Objetivos de la Unidad:

Transcripción

1 MATEMÁTICA Uidd Utilicemos Rdicles Objetivos de l Uidd: Aplicrás co seguridd ls lees de los rdicles pr l resolució de problems relciodos co el etoro

2 Rdicció idetificció de Elemetos de u rdicl Regls de los rdicles uso de regls proceso de simplificció ( ) Epresió co rdicl. Epoetes frcciorios. covertir simplificr Operció co rdicles Sum rest operr co rdicles semejtes b Producto b Divisió m Rciolizció m Descripció del proecto Al fil de est uidd ivestigrás ls fórmuls de volúmees áres de lguos poliedros sólidos geométricos tles como: l esfer, el coo, l pirámide, el cilidro, etc. Mtemátic - Noveo Grdo

3 Quit Uidd Lecció Rdicció Algebric Motivció E est uidd estudirás de mer itereste todo lo reltivo este elemeto lgebrico su operció llmd Rdicció. Hgmos de cso que os iicimos e el tem cosider l siguiete situció: Se quiere costruir u trim rectgulr cu superficie teg 7 m de áre, cuo lrgo se tres veces su cho. Cuáles so ls dimesioes de l trim? Idicdores de logro: Idetificrás co seguridd tods ls prtes de u rdicl. Eplicrás etrerás co cofiz l ríz -ésim. Simplificrás co seguridd epresioes que coteg rdicles hciedo uso de sus propieddes. Comiez por lo más importte: defie : cho de l trim,, lrgo de l trim. E cosecueci u ecució lgebric pr el áre es: ( ) = A (Lrgo por cho igul áre); l cul, l reuirl co l iformció 7 m, te coduce : = 7. Y est epresió o es más que u ecució cudrátic icomplet; cu solució trbjste e l uidd. = 7, =, = 0 Fctorizs tiees: ( ) ( + )= 0 Por lo tto ls ríces de l ecució so: = = Como o puede hber trims que teg cho egtivo, te decides por l ríz pricipl = Co u cho de m u lrgo de m, obtiees 7 m de áre. Mu bie!, Hz resuelto el problem! Pero cuádo prece los rdicles? Aprece cudo e u ecució, u vrible rel está elevd u poteci (o epoete) se quiere coocer el vlor que tom es vrible. Noveo Grdo - Mtemátic 7

4 UNIDAD L ríz cudrd de u úmero E el problem que viees resolviedo tiees: ( )= = Qué úmero multiplicdo por si mismo es igul? Obvimete se te ocurre que =. Dirás que es l ríz cudrd del úmero. El símbolo, llmdo sigo de rdicl, se us pr deotr l ríz cudrd o egtiv (o ríz pricipl) de u úmero. Pr el cso = se lee ríz cudrd de es igul. Ejemplo Ecuetr l ríz cudrd pricipl de los siguietes úmeros: ) 8 c) 0. b) d) 9 Del ejemplo, puedes etrer los siguietes resultdos, mu importtes: L ríz cudrd pricipl de u úmero positivo es positiv. Los úmeros egtivos o tiee ríces cudrds e el sistem de los úmeros reles. De mer geerl puedes referirte l ríz cudrd de u úmero de l siguiete form: Cosider que b so dos úmeros reles positivos. Dices que l ríz cudrd pricipl del úmero, es igul b, si: = b sigific que = b Se emple pr l ríz cudrd. Deot l ríz cudrd egtiv. L pregut que debes hcerte es l siguiete: Qué úmero multiplicdo por si mismo (o elevdo l cudrdo) d por resultdo l cifr que está detro del sigo rdicl? ) 8= 9, que 9 = 8 b) =, que = = c) 0. = 0., que ( 0. )( 0. )=( 0. ) = 0. d) 9 o es u úmero rel, que o eiste u úmero rel que l ser elevdo l cudrdo se igul 9. 8 Mtemátic - Noveo Grdo

5 UNIDAD Ejemplo Ecuetr: ) b) 9 ) = 8 Ríz cudrd egtiv. b) = 9 7 ( ) = c) ( 8) d) ( 9) c) 8 8 Culquier úmero rel elevdo l cudrdo siempre es positivo. ( ) =( ) = d) L ríz cúbic de u úmero Cuáto mide l rist de u cubo cuo volume es uiddes cúbics? Volume =( b)( b)( b)= b b Si b =, etoces el úico vlor que puede tomr b es el, que ( )( )( )= b b Etoces, es l ríz cúbic de. E otció mtemátic escribes: =, que se lee ríz cúbic de es. E geerl, te refieres l ríz cúbic señldo: = b sigific que = b dode b so culesquier úmero rel. Ejemplo Ecuetr: ( ) ) 000 b) 8 c) d) ) 000 = 0 Y que 0 = 000 ; (ot que 000 = 0 ) b) 8 = Y que ( ) = 8 ; (Así 8 = ( ) ) c) = = = Y que: = ( ) =( ) = d) Del ejemplo puedes etrer el siguiete resultdo importte: Pr culquier úmero rel, siempre eiste u ríz cúbic, que es úic. Noveo Grdo - Mtemátic 9

6 UNIDAD Ríz -ésim de u úmero: Cosider u úmero etero, te refieres l ríz -ésim del úmero rel, señldo: = b Sigific que = b ( ) Si es pr, los úmeros b debe ser positivos 0, b 0. Si es impr, los úmeros b puede ser culquier úmero rel. Los elemetos de l epresió rdicl se idetific sí: A l operció de etrer l ríz de u úmero que est detro del sigo rdicl, se le llm rdicció. Ejemplo Ídice Ctidd subrdicl o rdicdo Sigo de rdicl = b Idetific los elemetos de ls siguietes epresioes rdicles: ) = b) = ) Ídice: b) Ídice: Rdicdo: Rdicdo: Ríz: Ríz: Es costumbre omitir el ídice e l ríz cudrd. Ríz -ésim Actividd ) 7 c) e) 0. ( ) g) 8 7 i) b) d) f) 8 h) 8 j) Mtemátic - Noveo Grdo

7 UNIDAD Regls de los rdicles H cierts regls o propieddes que te será útiles pr simplificr epresioes lgebrics que coteg rdicles. U primer regl, mu simple l puedes deducir si emis el literl d) de los ejemplos. E el ejemplo, hiciste lo siguiete: ( ) =( ) = E el ejemplo, hiciste: ( ) =( ) = Qué observs e comú e los dos ejemplos? Escribe quí tu observció: Ejemplo Ecuetr: ( ) ( ) ) 8 b) ( ) =( ) = ) 8 8 b) ( ) = ( ) = Puedes deducir l regl? Por supuesto que sí! L poteci -ésim de l ríz -ésim de u úmero, es igul. ( ) =, ( ) = Ejemplos: 80 ( ) = 80, 7 7 U segud regl es deducible de l mism defiició. Hemos señldo por ejemplo que: Si 000 = 0 etoces 000 = 0 Si 8= etoces 8= Si = etoces = ( ) Pero esto sigific que puedes epresr el rdicdo, e cd cso como u poteci, luego etrer l ríz; es decir: 000 = 0 = 0 8= = = ( ) = Regl Si, es u úmero rel ( el rdicl represet u úmero rel);, es u etero Se tiee: ( ) = Puedes señlr cómo es l regl? Noveo Grdo - Mtemátic

8 UNIDAD Regl Si, es u úmero rel ( el rdicl represet u úmero rel);, es u etero. Se tiee : = L ríz -ésim de l poteci -ésim de, es igul U cso especil se preset cudo se tiee u úmero rel egtivo elevdo u poteci pr. El resultdo de ( ) debe tomrse como ( o como ) que culquier úmero elevdo u poteci pr, debe ser positivo. Ejemplo Utiliz l regl pr comprobr que: ) 8( 7) = 8 7 b) Llevdo u comprobció de igulció: L ríz -ésim de u producto de úmeros, es igul l producto de ls ríces -ésims de tles úmeros. 8 7 = 8 7 ) 8( 7) = 8 7 b) Te ivito que e tu cudero desrrolles ( ) = l comprobció de ( ) = este literl. Sólo hz lo mismo que e ) = = Vs empler el ejemplo pr itroducir ls dos últims regls de est lecció. Regl = ( ) Si e so úmeros reles : Si e so úmeros reles Regl ( 0 ) : = L ríz -ésim de u cociete de úmeros es igul l ríz -ésim del umerdor etre l ríz -ésim del deomidor. Mtemátic - Noveo Grdo

9 UNIDAD Ejemplo 7 Simplific ls epresioes co rdicl. Supó que ls vribles e so positivs. 8 9 ) b) c) 8 Simplificr el rdicl sigific etrer tods ls ríces hst que el rdicdo sólo teg vribles co epoetes meores que el ídice del rdicl. = ( ) ( ) = ( ) 9 ) ( ) = = b) = = = ( ) = ( ) = c) 8 = 7 Le cceltiv = = Resume E est lecció hz predido etrer l ríz -ésim de epresioes co rdicles recoocer sus elemetos. Tmbié te hz fmilirizdo co cutro de ls priciples regls que se emple pr simplificr rdicles. ( ) = = ( ) = = Noveo Grdo - Mtemátic

10 UNIDAD Simplific ls epresioes co rdicles seleccio e cd cso l respuest correct: 8 8 ) 9 b) 9 c) d) 7 Autocomprobció El resultdo de. es igul : ) b) c) d) 0 ) b) 8 7 c) d) Seleccioe el eucido que NO es verddero: ) = b) ( ) = c) 8 = d) 9 = Solucioes. c.. d.... b. RAPIDEZ DE UN AUTO AL FRENAR L policí utiliz l rdicció cudo clcul l velocidd l que ib u vehículo cudo se le orde prr l coductor. E l fórmul S =. fd l letr d represet l distci e metros desde que plic el freo hst dode pró. L f es u coeficiete de fricció que es igul, cudo l crreter está sec 0. cudo está mojd. De tl mer que: si u uto derrp metros co f = A qué rpidez vei el uto e crreter sec? A qué rpidez vei si l crreter estb mojd? Utiliz f = Mtemátic - Noveo Grdo

11 Quit Uidd Lecció Idetificció de epresioes rdicles Motivció Qué so los epoetes rcioles? E l uidd estudiste l potecició co epoetes eteros te fmilirizste co lgus regls. Recuerds ésts? 0 = = = = Mu bie! Ls misms regls te sirviero pr deducir otrs regls: = 0 =, por lo tto tuviste que ceptr que: =, = Observ ( se puede escribi r ) E geerl = co, úmero etero. Pero Qué sucede si el epoete es u úmero rciol l epresió dopt l form? Verás que pr obteer u epresió equivlete debes hcer uso de rdicles. Idicdores de logro: Covertirás co iterés esmero epresioes co rdicles potecis co epoetes frcciorios vicevers. Recuerds l siguiete defiició de ríz cúbic? Si = b etoces = b, pero tmbié si = b etoces = b Vs emplerl e u ejemplo cocreto, verigudo qué es igul l epresió frcciori. Cosider que es igul u úmero rel b. = b, = b Elevs l cubo mbos ldos de l ecució. = b Lees de los epoetes. = b Pero etoces de cuerdo uestr defiició Si = b etoces = b Es decir que: =. Este es u ejemplo que relcio ls epresioes co epoete co ls epresioes co rdicl. L regl geerl qued sí: = Noveo Grdo - Mtemátic

12 UNIDAD Ejemplo Hciedo uso de l regl de epoetes rcioles, clcul: ) 9 d) 8 b) e) c) ) 9 = 9 = = b) = = = c) = = = d) 8 = = = = 8 8 e) : ot que este ejercicio se sle de uestr regl, que el umerdor de l frcció o es, sio que es. Si embrgo, si respets ls lees de los epoetes, puedes hcer lo siguiete: = = ( ) =( ) = Tmbié se lleg l mism respuest si hces: = = = ( ) = = L discusió de este literl te sirve pr orgizr l siguiete regl de los epoetes rcioles. m U epoete rciol de l form, dode m, so eteros co > 0, es equivlete l siguiete epresió co rdicl: m m =( ) Tmbié es equivlete: m Por ejemplo: = ; = m =( ) Mtemátic - Noveo Grdo

13 UNIDAD Ejemplo Coversió de u epresió rdicl poteci co epoete frcciorio Covierte ls epresioes co rdicl, epresioes co epoetes frcciorios simplific: ) 8 b) c) d) 9 ) 8 8 b) = ( ) e) f) = =( ) = Tmbié pudiste hberlo hecho sí: 8 = = c) = ( ) = ( ) = d) ( )= ( ) = ( ) = = e) = = = 8 8 ( ) f) = = = ( ) ( ) = 8 Actividd Covierte ls epresioes co rdicl, epresioes co epoetes frcciorios. Simplific si es posible. ) 9 = d) 7 = b) 7 = e) = ( ) c) ( ) = f) =, ( ) Segurmete e el ejercicio f) procediste sí: = ( ) =( ) =( ) = Tmbié pudiste hber hecho lo siguiete: = = = Puedes otr que ls lees de los epoetes so ls que más se emple. Si ls utilizs correctmete, puedes poco poco ir desrrolldo ejercicios más complejos. Noveo Grdo - Mtemátic 7

14 UNIDAD Ejemplo Supoiedo que ls vribles so positivs, simplific cd epresió. Epres l respuest de mer que sólo h epoetes positivos. ) b) ( ) ( ) ( ) c) d) ( ) + + ) = = ( ) ( ) b) 7 ( ) ( ) = =( )( )= 0 ( ) c) = = = = ( ) d) ( ) = = = 8 = Ejemplo Escribe los rdicles como epoetes rcioles simplific. ( ) b) ( )( ) c) ) b ( ) =( ) =( ) ( ) = ) b b b b b) ( )( )= = + = c) = ( ) = = = Itet resolver los siguietes ejercicios: 9 = b =( ) ( ) Actividd Trsld ls epresioes co rdicl su equivlete co epoete frcciorio simplific. ) ( )( ) d) b) c) ( ) ( ) e) Evlú el producto 0 Aboemos u poco más l compresió de uestr regl. Supote que e el ejercicio ) hubiers teido u epresió como: ( )( )( )=..., Hubiers procedido: = + + = = O bie: = = ( )( )( )( )= 8 Mtemátic - Noveo Grdo

15 UNIDAD Resumiedo tiees que: ( ) = ( ) = ( ) = Est secueci de resultdos justific u poco más l defiició de epresió co rdicles: l poteci de u rdicdo, co ídice rdicl, tiee como resultdo el rdicdo Epréslo quí: Mu bie! Ahor prcticrás co los epoetes rcioles e el setido cotrrio, es decir: covertir e rdicl, u epresió rciol. Coversió de potecis e epoetes frcciorios epresioes co rdicles Se trt de utilizr uestrs defiicioes: = = E csos como los siguietes: = = Reliz lguos ejercicios e este setido. Ejemplo m Epres e form de rdicl ls potecis frccioris simplific: ) c) b) ( ) d) z ) ( )( ) = = m + = = ( ) = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) b) c) = = = d) = z z = = = z = z = z Puedes observr e ls respuests de los ejercicios resueltos, que los epoetes de ls vribles del rdicdo, so siempre meores que el ídice del rdicl. Por ejemplo l respuest del literl ) es ; es clro que es mor que. Cudo este se cumple es que puedes decir que l simplificció h termido. No puedes cosiderr que hs termido, si tiees por ejemplo ; tmbié si h u producto o cociete de rdicles que tiee el mismo ídice debe reuirse e u solo rdicl. Noveo Grdo - Mtemátic 9

16 UNIDAD Actividd Epres e form de rdicl ls potecis frccioris simplific. ) ( ) 8b d) b b) e) z c) z f) Ejemplo Clcul el vlor de ls epresioes: 0 ) + + pr = 8 b) 0 + b + b pr =, b =. ) = + + = + + = Sustitues = 8 8 = + ( )+ = + + = 9 b) 0 + b + b = + + b b = + + b Sustitues = b = b = + + = + + = 7 70 Mtemátic - Noveo Grdo

17 UNIDAD E est lecció hs cotiudo eriqueciedo tus coocimietos sobre los rdicles. Auque quizás lo más importte que hs obteido h sido l etesió de l potecició co epoetes frcciorios su equivlete como epresió co rdicl. Ahor sbes que 9 o puede ser otr cos más que 9 cos más que 9. ; su vez 9 De igul form cooces hor que es igul vicevers. Not que de cuerdo esto se puede dr otrs equivlecis, por ejemplo: o puede ser otr = =, que es coforme co ls lees usules de los epoetes, que: =( ) = E muchs simplificcioes de epresioes lgebrics, result mu útil el empleo de ests equivlecis. A veces u epresió co epoetes frcciorios, se desrroll mejor si l pss su equivlete co rdicles, e otrs l epresió co rdicl se trbj mejor si l pss epresió rciol. Observ los siguietes ejemplos: ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = = = =( ) = = 8 Ls regls más importtes de est lecció: Resume = ; m =( ) m Noveo Grdo - Mtemátic 7

18 UNIDAD Al simplificr l epresió obtiees: ) b) ( ) c) d) Autocomprobció Señl cuál de ls igulddes es icorrect: ) 9 = 7 c) 9 b) 7 ( )= d) = 8 = Al simplificr, obtiees: ) b) c) d) Al sustituir = 8 e l ecució + + obtiees: ) 0 b) c) d) 0 0 Solucioes... b.. d.. c. RADICALES EN LA GEOMETRIA U plicció de los rdicles e l geometrí, cosiste e ecotrr uo de los ldos de u triágulo, sí: Si se cooce el ldo de u triágulo equilátero su ltur h se clcul medite h = E efecto utilizdo el teorem de Pitágors se tiee: h + =, h = h =, luego h = = U ejemplo es el Triágulo de ls Bermuds. 7 Mtemátic - Noveo Grdo

19 Quit Uidd Lecció Opercioes co rdicles Motivció Se puede sumr restr los rdicles? Ivestiguemos si puede hcerse. Supote que por lgu suerte de sortilegio l ríz cúbic de es igul u sdí = sdí. Obvimete esto te oblig ceptr que si tiees, etoces eres el orgulloso dueño de sdís. Por lo tto u operció tl como =, es u operció correct. De igul mer + = Idicdores de logro: Idetificrás, reducirás efecturás opercioes co rdicles semejtes co seguridd. Etrerás co seguridd fctores de u rdicl. Rdicles semejtes E l situció terior observste que si es posible operr co sdís; es decir co ; pero, se podrá relizr ls siguietes opercioes? ) + 7 =... b) =... c) 0 =... Verás que sólo u es posible. E el literl ), 7 so úmeros primos mu diferetes, por lo tto 7 o puede ser u sdí. No se puede sumr e el literl b); el álisis es más fácil l ríz cudrd de, o puede ser igul l ríz cúbic de. No se puede restr. De cuerdo lo que se h dicho, es el literl c) el que se puede operr, observ: 0 = 8 = 8 = = 0 Puedes decir que 0 es u térmio que tiee u rdicl semejte co L siguiete defiició es l que utilizrás pr idetificr rdicles semejtes.. Los rdicles so semejtes si tiee igules sus ídices tmbié igules sus ctiddes subrdicles. Noveo Grdo - Mtemátic 7

20 UNIDAD Ejemplo So semejtes los rdicles: ) 8 7 b) 8 8 Si los rdicles tiee el mismo ídice lo que debes hcer es trbjr co l ctidd subrdicl. U mecismo cosiste e descompoer los rdicdos e sus fctores primos. ) = 8 9 So semejtes. 8 b) 8 = ( ) = 8 8 So semejtes. Etoces, cuádo es que se puede sumr restr rdicles? Cudo los térmios que vs sumr o restr tiee rdicles semejtes. Por supuesto que, l morí de ls veces tiees que utilizr ls regls de rdicles pr simplificr totlmete el rdicl ddo, hst que se coviert e u térmio co u rdicl semejte l térmio que quieres operr del rdicdo. L descomposició e fctores primos, debe ser el primer pso. Por ejemplo: = = = = Ejemplo Efectú ls siguietes opercioes, si es posible. ) b) 7 8 c) + 9 ) Como trbjste los rdicles 8 7 e el ejemplo, tiees que 8 = 7 =. Como so rdicles semejtes puedes sumrlos sí: = + = ( + ) = 9 ( )( ) = ( ) = 7 Mtemátic - Noveo Grdo

21 UNIDAD b) De l mism form: 7 8 = 8 = ( 8) = c) Primero tiees que utilizr ls regls de rdicles pr ver si éstos so semejtes. = = que l = Actividd Sum, rest simplific ls siguietes epresioes. ) 9 + d) = = utilizste l propiedd = ; demás que = Luego los rdicles so semejtes puedes sumrlos ( ) + 9 = + = + Ejemplo Sum, rest simplific ls siguietes epresioes co rdicles. ) c) b) 8 + e) 8c d 7c d c) + 00 f) 8 + b) d) + + ) = ( + ) 7 = 7 b) Ecuetrs todos los fctores de los rdicdos: ( ) + ( ) ( ) = = 0 c) = = = ( ) = d) + + = + + = + + = ( + )+ = ( + ) + ( ) = ( ) Noveo Grdo - Mtemátic 7

22 UNIDAD Actividd Reliz ls sums del térmio de fil co el térmio de colum complet l tbl. Sólo lle los recudros de quellos resultdos que proviee de rdicles semejtes. E los dos primeros cudros de l segud colum tiees u ejemplo: + 8 = + ( ) = + = + 8 : Blco. No h rdicles semejtes El siguiete ejercicio tiee u poco de dificultd pero te servirá pr observr como se puede combir los coocimietos dquiridos trsceder e el mejo del álgebr. Digmos que se trt del uso de los rdicles semejtes e l solució de u ecució, que termi siedo cudrátic. Ejemplo Resuelve l ecució: = 0 = 0 ( ) = 0 Regl de epoetes frcciorios. ( ) = 0 Equivleci de epoete frcciorio co rdicl. Ahor le podremos u podo. Covegmos que = Sustituedo e l ecució tiees: = 0, que se h covertido e u ecució cudrátic. El cmio que sigue lo cooces: ( ) + ( )= 0 = ; = so ls solucioes. 7 Mtemátic - Noveo Grdo

23 UNIDAD Pero recuerd que =. Por lo tto: = = = = = ( ) = L solució pr es de l ecució origil es S = {, } Es mu recomedble dquirir como costumbre, que siempre que resuelvs u ecució debes comprobr si el cojuto solució que hs ecotrdo stisfce l ecució dd. E el presete cso: Si teemos: ( ) =( ) = ( ) Si = ( ) = ( ) ( ) = + = 0 = 0 = 0 Observ que e efecto los dos vlores stisfce l ecució. E l opertori de rdicles tú puedes tmbié echr mo de otros coocimietos que tiees, por ejemplo, l le distributiv de los úmeros: b + c = ( b + c ) Ejemplo Ecuetr l respuest de l siguiete epresió co rdicles ( + )+ ( + )+ = ( + )+ Le del producto de rdicles = ( + )+ Ríz de u poteci = ( + )+ Aplics Fctor Comú = + + Reduces térmios semejtes = 7 + = [ 7 + ] Noveo Grdo - Mtemátic 77

24 UNIDAD Etrcció de fctores de u rdicl De hecho est operció l hs veido hciedo, l relizr ls simplificcioes e los ejercicios. Te hs mprdo e l defiició =, que e plbrs puedes trducir: E l rdicció, si el ídice del rdicl es igul l epoete que está elevd u ctidd o vrible e el rdicdo, etoces es ctidd o vrible sle del rdicdo. 7 ( ) = 7 = 7 ; = ; = ; 7 Hs visto que tmbié es válid si vrios fctores tiee potecis igules l ídice, es decir: π = π Lo que os rest pr hcer más práctico el proceso de simplificció es que, si los fctores tiee epoetes m que so múltiplos del ídice, etoces el fctor sle del rdicl co epoete m Esto es: Ejemplo Simplific ) π = π = π c) 8 b) 00 7 d) 9 b 0 ) 0 = = = 7 b) 00 = ( ) ( ) = ( ) = 0 c) 8 8 = ( ) = d) 9 b = b = b = = = b = b 78 Mtemátic - Noveo Grdo

25 UNIDAD Simplific hst que el epoete del fctor se meor que el ídice del rdicl. Actividd ) 7 b = d) = b) 0 7 = e) 7c d c 8 d = c) b b = f) 7 7 = E est lecció hs predido idetificr rdicles semejtes utilizr tus coocimietos pr reducir o simplificr epresioes co rdicles. Tmbié hs dquirido mejores herrmiets pr etrer fctores de u rdicl. H lgus coss importtes remrcr: Los fctores detro del rdicl debes descompoerlos e fctores co epoetes que se múltiplos del ídice del rdicl. De es mer podrás etrerlos del rdicl. Detro del rdicl o debe quedr fctores co epoete mor que el ídice del rdicl. Simplific el rdicdo tes del proceso de etrcció de fctores: = = = = = = = = Debes recordr que pr logrr mor cofiz seguridd e tus procedimietos de solució tiees, ecesrimete, que prcticr relizr suficietes ejercicios. Resume Noveo Grdo - Mtemátic 79

26 UNIDAD Autocomprobció 7 Al simplificr obtiees: ) c) Seleccio l iguldd que o se cumple: ( ) = ) b) d) b) ( b ) = b c) 8 = d) = es igul : ) b) c) d) El resultdo de simplificr b 8b es: ) b b) b b c) b d) b b Solucioes. b.... d.. b. DISTANCIA AL HORIZONTE L curvtur de l Tierr limit l distci que se puede ver desde u edificio. U fórmul que clcul l distci máim es d = rh + h dode h: es l ltur del edificio r es el rdio de l Tierr. (r = 7 km) Si tto d, r h se mide e km, qué distci máim se observrí desde l zote de u edificio de 00 m? d = ( 7)( 0. )+( 0. ) = 798. km Cuál es l distci máim que se puede observr desde l zote de u edificio de 00 m? Verific d =.7 km. 80 Mtemátic - Noveo Grdo

27 Quit Uidd Lecció Fctores de los rdicles Motivció Cómo se itroduce fctores detro de u rdicl? U úmero rel, se ecotrb de pseo por u crreter cudo de proto se topó co u túel, dode hbí u eorme ríz quit. Si o te coviertes e u poteci cico, o te dejo psr le dijo l ríz quit. El úmero rel vio que l cos ib e serio, sí que o tuvo más remedio que hcer: ( )( )( )( )( )= etrr l rdicl, ivocr l le de etrccioes de fctores de u rdicl slir como si d del otro ldo del túel. Idicdores de logro: Itroducirás fctores bjo el sigo del rdicl, co cofiz. Trsformrás co seguridd los rdicles empledo cmbio de ídices. Rciolizrás co orde epresioes rdicles. Itroducció de fctores e u rdicl L operció cotrri de etrer fctores es itroducir fctores. De cuerdo l lecció terior, pr etrer los fctores de l epresió 8 procedís sí: 8 = = = Si hor deses hcer l operció cotrri, es decir regresr los fctores detro del rdicl, (l se h queddo mu sol) bstrí co elevr cd fctor l poteci. Noveo Grdo - Mtemátic 8

28 UNIDAD Ejemplo Itroduce los fctores e el rdicl simplific el rdicdo. ) b b) c) d) ) b = ( ) b = ( ) b = b ( ) = ( ) = b) = 7 c) = ( ) = ( ) = d) = = = 8 E geerl puedes justificr este procedimieto empledo ls regls coocids: b = b = b Defiició ríz, de u poteci Regl del producto Actividd Itroduce los fctores e el rdicl simplific el rdicdo. ) = c) + = b) b c c = d) = Cmbio de ídice e u rdicl De cuerdo ls lees cceltivs de los úmeros reles, sbes que: = = = =... 9 Luego si, es u úmero rel, teemos que: 9 = = = =... Y hor, de cuerdo ls lees de los epoetes frcciorios su equivlete e form de rdicl se tiee que: 9 = = = =... 8 Mtemátic - Noveo Grdo

29 UNIDAD Hs epresdo u rdicl de ídice, e rdicl de ídice, ídice 9, ídice, etc. Es mu importte dvertir que, 9,,, so múltiplos de. Sólo puedes umetr el ídice del rdicl e múltiplos del ídice del rdicl ddo. No se puede umetr, que o es múltiplo de. Los siguietes so umetos válidos: = = 8 = =... 0 b b 0 = = b = b =... Crees que puedes deducir u regl? Por ejemplo: Puedes epresr e rdicl ídice? Mu bie! Sé que lo hs hecho! Itetdo ser prácticos puedes proceder tmbié sí: = ( ) = Puedes escribir u regl hor? Not lo siguiete: = = ( ) = Se puede regresr l epresió iicil. Ejemplo Icremet el ídice del rdicl ddo, l ídice señldo. Simplific el rdicdo. ) ídice 8 b) ídice c) b ídice 8 ) Pr umetr ídice 8, debes multiplicr el ídice por = = ( ) = ( ) = b) 8 8 = ( ) = ( ) = = c) b = ( b ) = ( b ) = 8 b Noveo Grdo - Mtemátic 8

30 UNIDAD Actividd Icremet el ídice del rdicl ddo, l ídice señldo. Simplific el rdicdo. ) b ríz de : c) z ríz de 9: b) b ríz de 0: d) b z ríz de 7: Reducir el ídice de u rdicl Se trt de relizr, si es posible, l operció cotrri. Por ejemplo, ddo u rdicl e ídice epréslo como rdicl ídice. Lo que es importte señlr hor, es que el ídice l cul se quiere reducir el rdicl debe ser submúltiplo del ídice del rdicl iicil. U ídice se puede reducir ídice,,. El proceso es ectmete l revés. Si quieres reducir 8 ídice, procedes sí: Ejemplo 8 = 8 = 8 = ( ) = Reducir el ídice del rdicl ddo, l ídice meor posible. Simplific el rdicdo. ) 9 b b) 8 8 b 8 c) b c ) Los múltiplos de so el el. Al observr el rdicdo puedes dvertir que se puede etrer fctores si el rdicdo se ecotrr detro de. Por lo tto puedes hcer: 9 b = b = b 9 b) b = b = b c) 8 b c b c = = b c = bc Hs visto que puedes icremetr reducir el ídice de u rdicl. L regl geerl que puedes precisr que e l práctic hs veido utilizdo l puedes deducir sí: De los ejemplos prticulres de l form: = m m m m Puedes estblecer: = ; m, eteros 8 Mtemátic - Noveo Grdo

31 UNIDAD Reduce el ídice del rdicl ddo, l ídice meor posible. Simplific el rdicdo. Actividd ) = d) 7 = b) 8 = e) = c) 9 b = Rciolizció de rdicles A meudo el deomidor de u frcció cotiee u rdicl. Por ejemplo: Rciolizr el deomidor de u frcció sigific de mer simple, hcer desprecer el rdicl del deomidor. E el cso de, h que hcer desprecer del deomidor. L clve pr hcer está e multiplicr por u coveiete úmero ( Por ejemplo = ), ( ) = +, + = Pr el cso de, l rciolizció se cosigue hciedo = = ( ) Noveo Grdo - Mtemátic 8

32 UNIDAD Ejemplo Rcioliz el deomidor de l epresió simplific ) b) c) d) e) ) = = = ( ) ( ) ( ) b) = ( ) = = = = ( ) c) H u form lter más rápid de resolver este ejercicio. Not que sólo flt u e el rdicdo pr completr que l puede slir del rdicl. d) = = = = = = = e) Este ejercicio es u poco diferete los demás. Se debe multiplicr por pr que el rdicl pued desprecer. + = ( + ) ( ) = El producto e el deomidor es: ( + ) ( )= + =( ) = Revisemos u poco más uestros procedimietos de rciolizció Si el deomidor tiee Debemos multiplicr rrib bjo por ( ) Pr obteer e el deomidor b + b b + b b b + 8 Mtemátic - Noveo Grdo

33 UNIDAD Actividd Rcioliz el deomidor de l epresió simplific: ) = c) = e) = b) 0 = d) = f) 7 = Resume E est lecció hs predido itroducir fctores detro del sigo rdicl, idetificádol como l operció ivers de etrcció de fctores. Si el fctor itroducir es Y el rdicl es El rdicdo qued sí: ( ) = b b = 0 b Hs revisdo tmbié vridos ejemplos desrrolldo ejercicios relciodos co umetr o bie reducir el ídice de u rdicl. Debes recordr quí que solo puedes umetr el ídice e múltiplos del ídice del rdicl ddo. = = Y e el proceso cotrrio solo puedes reducir u ídice e sub-múltiplos del ídice ddo. = = 9 = Filmete hs desrrolldo, co seguridd cofiz, vrios ejercicios de rciolizció del deomidor de u frcció. Noveo Grdo - Mtemátic 87

34 UNIDAD Al rciolizr el deomidor de obtiees: ) c) b) d) 9 Autocomprobció Al reducir el ídice del rdicl l meor ídice posible simplificr l epresió 9 obtiees: ) c) b) d) Al itroducir detro del rdicl los fctores de l epresió obtiees: ) c) b) d) Al icremetr el ídice de ) tiees: 7 7 c) b) d) Solucioes. c.. b.... d. RADICALES EN EL CALCULO DE VOLUMEN Alguos tques subterráeos e ls gsoliers tiee l form de u cilidro circulr recto está colocdos horizotlmete co l superficie. El volume V de gsoli e el tque está clculdo medite l fórmul 9 V = 0h, dode h es l ltur de l h gsoli e pulgds. Si l itroducir u vrill de profudidd e el tque l ltur es h = 8 pulgds Cuát gsoli h e el tque? 88 Mtemátic - Noveo Grdo

35 Quit Uidd Lecció Opercioes co rdicles Motivció A Mrcelo le h dejdo l tre de sumr los rdicles siguietes: ; ; 7 ; 8 9 Él solo recuerd que h que simplificr los rdicles. Puedes tú udrle Mrcelo sumr estos rdicles? Idicdores de logro: Efecturás sums rests de rdicles co seguridd Efecturás multipliccioes divisioes de rdicles co destrez seguridd. Resolverás problems utilizdo rdicles sus opercioes co orde esmero. Co u clculdor de bolsillo tu puedes hcer +,.,, obteer u respuest rápid., Si embrgo, si o dispoes de clculdor o el profesor o te lo permite e est etp de tu estudio, debes coocer como proceder pr relizr culquier operció co rdicles. Es lo que vmos revisr e est últim lecció. Sum rest de rdicles E l lecció de est uidd tú trbjste co rdicles semejtes. Si recuerds: dos rdicles so semejtes si tiee igul ídice e igul ctidd sub-rdicl o rdicdo So rdicles semejtes los siguietes? Respode flso (f) o verddero (v) ) 8 d) b) 7 e) 8 8 c) 8 f) Noveo Grdo - Mtemátic 89

36 UNIDAD Pr relizr sums rests co los rdicles solo debemos lizr ls situcioes. Los ídices los rdicdos so ectmete igules 8 se puede sumr restr directmete. Sum : + ( 8 ) = ( 8) = Rest : + ( 8 ) = + 8 ( ) = + 8 = 0 Los ídices so igules pero los rdicdo o lo so, uque posiblemete lo se si se simplific. se puede sumr restr pero debemos simplificr. = Sum: + ( )= = ( ) = Rest: ( )= ( + ) = 7 Puede suceder que l simplificció del rdicdo o coduzc u rdicl semejte. E ese cso o se puede relizr l operció. + = + = + o so semejtes. Ejemplo Sum, rest simplific ls siguietes epresioes. ) 0 + c) ( 0) b) 9 + d) 8 + ) 0 + = 0. + ( 0)( ) ( 0 + ) 8 b) 9 + = + =( )( ) + ( ) = = ( 9 + 0) c) =... = = ( ). ( ) d) 8 + = + = = ( ) 90 Mtemátic - Noveo Grdo

37 UNIDAD Efectú simplific ls siguietes epresioes Actividd ) + d) 8 0 ( 0) b) 7 e) c) Producto de rdicles El procedimieto e l multiplicció de rdicles puede ser mucho más fácil que e ls sums rests que o se ecesite que los rdicles se semejtes. Vmos cosiderr el siguiete esquem pr desrrollr uestro tem. Los ídices de los rdicles so igules so igules. E este cso o h problem pues bst que utilicemos uestr regl de l ríz e-ésim de u producto. ( )( ) = ( )( ) = Es mu fácil, o es cierto? = Los ídices de los rdicles o so igules, quí si h u pequeño problem, pero teemos dos cmios que podemos seguir. El primero cosiste e icremetr los rdicles su míimo comú múltiplo. Por ejemplo si desemos hcer el producto debemos epresr los dos ( )( ) rdicles como, el míimo comú múltiplo de es, esto lo hicimos e l lecció. Y hor podemos hcer el producto cudo se tiee ríces igules. ( )( )=( )( )= El otro cmio cosiste e hcer uso de los epoetes rcioles su form equivlete como rdicl: = m Retomdo uestro producto de rrib hcemos. ( )( )=( ) ( ) = m los deomidores de los epoetes frcciorios debe ser igules (míimo comú múltiplo de es ) = =( ) ( ) =( ) = X Puedes otr que hemos llegdo l mismo resultdo. Co u poco de práctic tú podrás utilizr culquier de los dos recursos pr efretr los productos. = = = = Noveo Grdo - Mtemátic 9

38 UNIDAD Ejemplo Multiplicr los rdicles simplificr. ( )( ) d) ( ) e) ( )( 9) ) b) c) f) ) ( )( )= = ( ) = = ( ) = =( )( )= ( ) b) =( )( )= = = c) d) ( )= ( )( )= = = = = = = e) f) = ( ) ( ) = = = Actividd Multiplic los rdicles simplific. ) ( 8) ( )= d) ( )( )= ( )( )= b) 0 = e) c) ( )( )= f) + ( ) = 9 Mtemátic - Noveo Grdo

39 UNIDAD Ejemplo Clcul el vlor de ls epresioes cudo =, = ( )( ) ( )( ) ) + b) ) ( + )( )= + = = ( )( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( )=( ) ( ( ) ) = ( ) = b) ( ( ) = ( ) = 08 Divisió de rdicles Pr l divisió de rdicles ls estrtegis so ls misms que pr l multiplicció. Si los rdicles tiee igul ídice, emples l regl de ríz e-ésim de u cociete. = = = Si los rdicles o tiee igul ídice, debes epresrlos e u ídice comú igul l míimo comú múltiplo de los rdicles. 8 b b = = b b Ejemplo ( b ) ( b ) = b b = b Simplifics epoetes. Efectú ls divisioes simplific. 0 0 b ) b) c) d) 0 b 0 0 ) = = ; e este cso se podrí hber seguido tmbié el cmio de 0 0 rciolizr l deomidor. = = = = b) c) d) 0 = = = = = ( 0 ) 0 0 = = 0 = ( ) b b b = = = b b b ( ) b Noveo Grdo - Mtemátic 9

40 UNIDAD Actividd Efectú ls divisioes simplific. ) = b) = c) = d) b b = Ejemplo Cosider los siguietes triágulos semejtes: Por semejz de triágulos puedes escribir: = De quí puedes despejr : = + ( + ) 80 ( + ) ( + ) = Descompoes ( ) = Efectús l multiplicció = Opers. + = Sums. ( + ) = Qué propiedd plicste e este pso? ( + ) = Rciolizs. ( + ) = = ( +( ) ) = ( + )= + 8 Verific ls opercioes teriores. 9 Mtemátic - Noveo Grdo

41 UNIDAD Resume Co est lecció hs completdo tus coocimietos sobre los rdicles, sus regls, opercioes simplificcioes. Solo debes recordr lgus coss: Pr combir simplificr rdicles e ls sums ls rests csi siempre tedrás que simplificr el rdicdo pr obteer rdicles semejtes. E el producto l divisió de rdicles l clve está e covertirlos e rdicles co igul ídice. Esté ídice lo cosigues l hllr el míimo comú múltiplo de los rdicles implicdos e l operció. Recuerd tmbié que puedes recurrir l equivleci de epoetes rcioles pr resolver el problem. Por ejemplo: ( )( )=( ) =( ) =( ) ( ) ( ) ( ) = (( )( )) =( ) = = Noveo Grdo - Mtemátic 9

42 UNIDAD Autocomprobció Al efectur l operció simplificr 8 se obtiee: es: Al operr simplificr obtiees: ) c) 8 ) ( )( ) c) b) 8 d) b) d) Seleccio l iguldd que es correct. ) 8 8 = c) 7 9 = b) + = d) = Al operr simplificr obtiees: c) ) 7 b) d) Solucioes..... d.. c. CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Cudo se dej cer u objeto libremete desde l zote de u edificio de ltur h coocid, tú puedes clculr mu fácilmete el tiempo (e segudos) que trd e llegr l suelo.así h = gt ddo que (g es l celerció de l grvedd e m t idic s el tiempo e segudos) l despejr t obtiees u h rdicl: t = co g = 9.8 m/s g si el edificio tiee 00 mts de ltur etoces: ( 00) t = =. seg Mtemátic - Noveo Grdo

43 Soluciorio Lecció Actividd ) 7 = ( ) = d) = g) = j) 8 b) = = e) 0. = 08. h) 8= ( ) = c) Lecció Actividd 7 f) 8 = 8 i) = ( ) = ) 9 = = c) ( ) = ( ) = ( ) = e) = 8 7 = = b) 7 = 7 d) 7 7 = f) = = Actividd ) ( )( )=( + )( )= = ( ) = d) 9 = ( ) = = b) = = e) 0 + = ( )= = ( )= 0 ( ) = = = c) Actividd ) ( ) b b b b = ( )= ( )= d) b 0 0 = = = = b b b b 0 b) 9 8 = 0 = 0 = 0 e) = z z c) z z z z = = = f) = = Lecció Actividd ) 9 + = ( 9+ ) = b) 8 + = + = c) + 00 = + 0 = + 0 Noveo Grdo - Mtemátic 97

44 Soluciorio d) + 8+ = + = + e) 8 7 c d c d = ( c d ) c d ( ) f) 8 + = + Actividd ( ) ) 7 b b = b c) b b = b = b e) 7 8 c d c d = d c c d 7 b) 0 = 0 d) = f) 7 7 = 9 Lecció Actividd ) 8 b) Actividd b c ) 7 b b) 0 b c) 9 8 z d) o se puede, que 7 o es múltiplo de. Actividd ) b) c) b Actividd ) Lecció Actividd b) 0 c) 8 ( + ) d) = = c) d) 7 e) ( ) + d) ) ( + ) b) c) d) ( ) e) ( + ) Actividd ) 0 b) 0 c) d) 8 7 e) f) + + Actividd ) b) c) d) e) f) 98 Mtemátic - Noveo Grdo

45 Proecto Te hbrás ddo cuet e los supermercdos que muchos productos sobre todo los líquidos, tles como: gu, leche, bebids gseoss, cervezs, etc. so presetdos e evses que tiee forms de poliedros sólidos geométricos. Segú se l ctidd de producto que se dese ofrecer, sí so ls dimesioes del evse. Tu proecto cosiste e fijr u volume de producto ofrecer l público; u vez fijdo, clculr ls dimesioes que debe teer el evse. Te do u ejemplo: quieres veder u queso cu presetció teg form de pelot u volume de queso de, cm, Cuál debe ser el rdio de l pelot? L fórmul del volume de u esfer es V = π r ; luego, = πr. Por lo tto r = (, ) r =. 08 = 8cm. π Estmos de cuerdo e lo que tiees que hcer? Deses veder coos de sorbete co u ltur de 0 cm u volume de. Cuál debe ser el rdio? Deses veder u bebid gseos e evses cilídricos de. cm de diámetro u volume de, cuál debe ser l ltur del evse? Quieres veder leche de so e evses co form de pirámide cudrd de ltur 8 cm u volume de, cuál debe ser l logitud del ldo de l bse? r 0 h v g Superficie lterl Bse b Noveo Grdo - Mtemátic 99

46 Recursos Deis G.Zill Jquelie M. Dewr, Álgebr Trigoometrí, segud edició, Mc Grw Hill, Bogotá 000. Stewr, Redli Wtso, Precálculo, tercer edició, Thompso, Méico 00. Sulliv, Álgebr trigoometrí, séptim edició, Perso Pretice Hll, Méico 00. Willim Medoz Glori Glo de Nvrro, Mtemátic básic Pre- Uiversitr 8ª reimpresió; UCA editores, El Slvdor 007. www. didctik.com Mtemátic - Noveo Grdo

47 UNIDAD COLOFON Noveo Grdo - Mtemátic 0

48 UNIDAD 0 Mtemátic - Noveo Grdo