TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1

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1 TEMA : Potencias y raíces Tema : Potencias y raíces

2 ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Concepto de potencia..- Potencias de exponente natural..- Potencias de exponente entero negativo..- Operaciones con potencias..- Notación científica...- Expresiones en notación científica...- Operaciones con notación científica....- Suma y diferencia....- Producto....- Cociente..- Raíces..- Radicales...- Simplificación de radicales...- Introducir factores en el radical...- Sacar factores del radical. 8.- Operaciones con radicales Suma y resta Multiplicación y división Potencia Raíz de una raíz. 9.- Racionalización de denominadores..- CONCEPTO DE POTENCIA Una potencia es una expresión de la forma otro número real llamado exponente. n a donde "a" es un número real llamado base y "n".- POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Las potencias de exponente natural se resuelven multiplicando la base tantas veces como indique el exponente: a n a a... a n veces Tema : Potencias y raíces

3 a) b) ( ) ( ) ( ) 9 c) ( ) ( ) ( ) ( ) Observaciones:. Las potencias de exponente un número par dan siempre como resultado un número positivo, mientras que si el exponente es un número impar, el resultado tendrá el mismo signo que tenga la base.. No confundir por ejemplo estas dos potencias: ( ) y. En el primer caso la base de la potencia es el número ( ), ya que el exponente está encima del paréntesis, lo que significa que afecta a todo lo que haya dentro de él, por lo que la base es un número negativo, pero como el exponente es un número par, el resultado final de la potencia va a ser positivo, por eso podemos escribir lo siguiente: ( ). En el segundo caso la base es el número, ya que solamente es ese número el que tiene el encima, y no así el signo que hay delante, por lo tanto en este caso lo que podemos escribir es lo siguiente:..- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO Toda potencia cuyo exponente sea un número entero negativo se puede escribir como una n potencia de exponente positivo, para ello basta invertirla: a n a a) b) ( ) ( ) 8.- OPERACIONES CON POTENCIAS. El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando: n m nm a a a a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Tema : Potencias y raíces

4 . El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene el mismo n n n exponente y como base el producto de las bases: a b ( a b) Ejemplo: ( ). El cociente o división de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se están multiplicando: n m nm a : a a a) b) : ( ) : ( ) ( ) ( ) c) : ). El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene el mismo n n n exponente y como base el cociente de las bases: a : b ( a : b) Ejemplo: : ( : ). Cualquier potencia de base distinta de cero y de exponente cero, vale : a 0, con a 0. a) 0 b) ( ) 0. La potencia de una potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de n nm los exponentes: a m a Ejemplo:.- NOTACIÓN CIENTÍFICA..- Expresiones en notación científica La notación científica consiste en escribir un número (normalmente muy grande o muy pequeño) con una cifra entera seguida o no de decimales y multiplicado por una potencia de diez. 0, ,0009 0,00, 0 9,0,, ,90,9,90 8 Tema : Potencias y raíces

5 ..- Operaciones con notación científica...- Suma y diferencia Para realizar sumas y restas con expresiones en notación científica hay que transformar cada expresión decimal de manera que todas las potencias de base 0 tengan el mismo exponente. 8 a) 0, 0, 0 (hay que expresar todos los sumandos con la misma potencia de 0, eligiendo la menor de las que aparecen, en este caso 0 0, 0 0, , 0 ( 000,) 0 0,0, b), 0 0, ( 0 ) 0 0 0, )...- Producto El producto de expresiones en notación científica es el resultado de multiplicar los números decimales y sumar los exponentes de las potencias de base 0. a),0,0 (,,) 0 b),0 0 (, ) 0 0, Cociente El cociente de dos expresiones en notación científica es el resultado de dividir los números decimales y restar los exponentes de las potencias de base 0. 9 a),0 : 0 9 (, : ) 0 b),0 : 0, 0 (, : ) 0 0, 0, 0.- RAÍCES La raíz enésima de un número real "a" se representa por n a y es el número que hay que elevar a "n" para que dé como resultado "a". Al número "n" se le llama índice de la raíz y al número "a" se le llama radicando. Tema : Potencias y raíces

6 a) (hay que averiguar qué número hay que elevar a para que dé ) b) 8 (hay que averiguar qué número hay que elevar a para que dé 8) 9 (en este caso hay dos números que cumplen lo anterior) c) 8 (hay que averiguar qué número hay que elevar a para que dé -8) d) (hay que averiguar qué número hay que elevar a para que dé -) no existe Observaciones:. Las raíces de índice un número par y radicando positivo tienen siempre dos soluciones, la positiva y la negativa. Ejemplo:. Las raíces de índice par y radicando negativo no tienen solución en el conjunto de los números reales. Ejemplo: 9 no existe. Las raíces de índice impar siempre tienen una única solución cuyo signo coincide con el que tenga el radicando.,.- RADICALES Se llaman radicales a las expresiones en las que aparecen raíces indicadas porque no son exactas. 0,..- Simplificación de radicales Para simplificar radicales hay que escribir el radicando en forma de potencia y dividir el índice de la raíz y todos los exponentes de las potencias del radicando entre el mismo número. a) (tanto el índice, como el exponente, se pueden dividir los dos entre tres) 8 b) a (tanto el índice 8, como el exponente, se pueden dividir los dos entre ) c) (tanto el índice, como todos los exponentes, y, se pueden dividir entre dos) Tema : Potencias y raíces

7 ..- Introducir factores en el radical Se pueden introducir los factores que hay fuera de un radical dentro de él. Para ello basta elevarlos al índice del radical. a) b) 8 9 c)..- Sacar factores del radical A veces se pueden extraer factores fuera de un radical. Para ello dichos factores se tienen que poder expresar como potencias cuyo exponente sea mayor o igual que el índice de la raíz. a) 00 0 b) OPERACIONES CON RADICALES 8..- Suma y resta Los radicales con el mismo índice y mismo radicando se suman y restan operando con los coeficientes de los radicales. a) b) Tema : Potencias y raíces

8 La suma o resta de radicales que no tengan el mismo índice o el mismo radicando tiene que dejarse indicada: Ejemplo: Hay ocasiones en las que aparentemente no se pueden sumar o restar radicales porque no tienen el mismo índice y el mismo radicando, pero podemos conseguir que lo tengan simplificando los radicales y extrayendo fuera de ellos aquellos términos que se pueda. Ejemplo: Multiplicación y división El producto de radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el de los radicales que se multiplican y por radicando el producto de los radicandos. a) c) 0 b) 8 El cociente de radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el de los radicales que se dividen y por radicando el cociente de los radicandos. a) : b) 0 : Los radicales que no tienen el mismo índice se pueden multiplicar y dividir, pero después de expresarlos como radicales con el mismo índice a) 9 b) Tema : Potencias y raíces 8

9 8..- Potencia La potencia de una raíz es otra raíz que tiene como índice el mismo índice, y por radicando la potencia del radicando (es como si el número al que está elevada la raíz solamente afectara al radicando). a) b) 8..- Raíz de una raíz La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y el mismo radicando. a) b) Si entre una raíz y otra hay algún término, hay que introducirlo en la raíz que está más dentro. a) b) 9.- RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Racionalizar el denominador de una fracción consiste en quitar de él las raíces que tenga. Para ello basta multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción por una cantidad adecuada. CASO : en el denominador hay una raíz cuadrada. En este caso el numerador y el denominador se multiplican por la raíz cuadrada que haya en el denominador. a) b) c) Tema : Potencias y raíces 9

10 Tema : Potencias y raíces 0 d) CASO : en el denominador hay una raíz de índice mayor que. En este caso se multiplican el numerador y el denominador por una raíz con el mismo índice que tenga la raíz que hay en el denominador, y cuyo radicando sea el mismo elevado al número que le falte al exponente inicial para llegar al índice de la raíz. a) b) CASO : en el denominador hay una suma o una resta. En este caso se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, quedando así una identidad notable con la que desaparecerán las raíces del denominador. Observación: el conjugado de una suma de dos términos es la resta de esos mismos términos, y al revés, el conjugado de una resta es la suma. Por ejemplo, el conjugado de es y el conjugado de es. a) b) c) 9 d) 9 9 FIN DEL TEMA

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