CM2 ENRICH CREUS CARNICERO Nivel 2

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1 CM ENRICH CREUS CARNICERO Nivel Unidad Cónicas Conocimientos previos CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA CÓNICAS Antes de comenzar con el Trabajo Práctico, necesitás repasar algunas cuestiones como: ) graficar puntos y rectas ) resolver sistemas de ecuaciones e interpretar sus soluciones 3) graficar conjuntos de puntos del plano que cumplan con una condición dada (lugares geométricos) Para ayudarte en este proceso, hemos preparado el presente material en el que te proponemos actividades para resolver.. Conocimientos previos sobre puntos y rectas.. Puntos del plano coordenado a) Sistema de ejes coordenados xy En esta Unidad trabajaremos con el sistema de ejes coordenados xy. Estos ejes, son rectas graduadas, perpendiculares entre sí: el eje x es una recta horizontal y el eje y es una recta vertical. El punto de intersección entre ellas determina el origen del sistema: este es el punto donde x = 0, e y = 0. Recordarás que los valores de x van creciendo a medida que nos movemos hacia la derecha del origen y decrecen hacia la izquierda del mismo (región donde los valores de x son negativos), mientras que los valores de y crecen hacia arriba del origen y decrecen hacia abajo del mismo (donde los valores de y son negativos). b) Puntos del plano Los puntos se representan, en el plano coordenado, mediante pares ordenados (x;y). Es fundamental tener presente el orden: la primera coordenada es siempre el valor de x, mientras que la segunda coordenada es el valor de y A continuación, se muestra la gráfica de los puntos: (-;) ; (;-) ; (;3) Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP

2 Actividad : Graficá los siguientes puntos del plano: (-4;5) ; (0;-3) ; (5/;) ; (4;-/) ; (-;0) ; (; )... Rectas a) Recta paralela al eje x La ecuación de una recta horizontal es: y = c ; siendo c una constante real A la derecha se han graficado, a modo de ejemplo, las rectas y = - y = y = b) Recta paralela al eje y La ecuación de una recta vertical es: x = d ; siendo d una constante real Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP

3 Como ejemplo, a la derecha se graficaron las rectas x = -4 x = 3 x = 5 Actividad : Escribí las ecuaciones de los ejes x e y. c) Recta no paralela a los ejes coordenados La ecuación explícita de una recta de este tipo es: y = ax + b ; siendo a y b constantes reales, con a 0 Como recordarás: b es la ordenada al origen, es decir, el punto donde la gráfica corta al eje y. a es la pendiente de la recta y tiene que ver con su inclinación. Si α es el ángulo que forma la recta con el eje x, la pendiente se calcula como a = tg(α). La pendiente de la recta puede ser positiva o negativa, como se muestra a continuación: La pendiente es positiva (a > 0) porque α es un ángulo menor a 90º La pendiente es negativa (a < 0) pues α es un ángulo mayor a 90º Actividad 3: Dada la recta de ecuación y = -x + 4: a) Sin graficar, decidí si los puntos (0;4); (/;) y (-;) están sobre la recta o no. b) Indicá dos puntos más de la recta. c) Finalmente, graficá la recta y todos los puntos anteriores.. Conocimientos previos sobre sistemas de ecuaciones.. Ecuaciones Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 3

4 Las ecuaciones nos permiten traducir enunciados del lenguaje cotidiano al lenguaje simbólico y esto nos ayuda a resolver problemas. Una ecuación es una igualdad entre expresiones, en las que pueden aparecer valores desconocidos denominados incógnitas. Una cuestión fundamental a la hora de resolver ecuaciones, es el hecho de que, cualquier operación que se realiza en un miembro de la igualdad, debe realizarse también en el otro. Como ejemplo, despejemos m de la siguiente ecuación: 4m 3 5 = 4m = + 5 4m 3 = 4m 3 = 4 4 m 3 = m 3 3 = m = Una ecuación racional es aquella en la que aparecen sumas, restas, productos, cocientes o potencias. Si la incógnita aparece en un radicando, es una ecuación irracional (por ejemplo: 3 x + 5 = ). En el caso de las ecuaciones racionales, según el exponente al que esté elevada la incógnita, la ecuación puede ser: Lineal: 3 x + 5 = - grado Cuadrática: z = + 4 z grado Cúbica: - y y = 0 grado 3 De grado : x = x grado La cantidad de soluciones reales puede ser, a lo sumo, igual al grado de la ecuación. Actividad 4: Resolvé las siguientes ecuaciones, indicando qué operación realizás en cada paso. 3x + a) = x 4 c) ( y )( y + ) = 5 y( 4 y ) y b) 7x 3 = x d) z = + 4 z.. Sistemas de ecuaciones Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 4

5 En algunas situaciones puede haber más de una incógnita en una ecuación. En este caso, para hallar el valor de las incógnitas (si es que este valor existe), se necesita contar con un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas haya. Aunque existen varios métodos que nos permiten resolver sistemas de ecuaciones, utilizaremos los métodos de sustitución e igualación, por ser los más sencillos. Podemos encontrarnos con diferentes sistemas de ecuaciones, dependiendo de la forma de las ecuaciones que lo componen. A continuación definimos dos tipos de sistemas, que resolverás en este curso. a) Sistemas de ecuaciones lineales Son sistemas en los cuáles todas las ecuaciones que lo componen, son lineales. Algunos ejemplos son: x 3y = 9 = x x 3y + 4 = 0 x + y = 0 4x + y z + = 0 x + 3y = z + 5x z = 3 y Como ejemplo, resolvamos el primer sistema por el método de igualación. Recordá que debe despejarse una de las incógnitas de ambas ecuaciones. Despejemos por ejemplo y: De la primera ecuación: x 3y = 9 x x 3y = 9 x 3y = 9 x sumar -/ en ambos miembros 3 y. = 9 x. 3 3 y = 3 + x () multiplicar por -/3 en ambos miembros De la segunda ecuación: y = x y + = x + y = x + () sumar en ambos miembros Ahora debemos igualar las expresiones () y (): 3 + x = x + Lo que queda es operar algebraicamente para despejar x (aplicando la misma operación en ambos miembros de la igualdad): 3 + x = x x x = x + x 3 = x + x Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 5

6 3 = x + 3 = x + 4 = x 4 4. = x. = x Una vez hallado el valor de x, tenemos que calcular y reemplazando el valor de x en la expresión () o en la (): 4 37 y = + y = La solución del sistema es, entonces, el punto: 4 37 P ; b) Solución de un sistema de ecuaciones Qué representa la solución hallada para el sistema anterior? Los valores de x e y hallados son las coordenadas del punto en el que se cortan las curvas cuyas ecuaciones forman el sistema. En el caso de un sistema de ecuaciones lineales, ambas curvas corresponden a rectas. Grafiquemos las rectas del sistema resuelto y comprobemos que la solución hallada es correcta. Para esto, es conveniente hallar la ecuación explícita de la recta (Ver el apartado..c). Observaciones: - No siempre es posible hallar la solución de un sistema de ecuaciones ya que a veces, las curvas no se cortan. - Cuando existe solución, puede ocurrir que haya más de una. La cantidad de soluciones depende del tipo de ecuaciones que componen el sistema. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP

7 c) Sistemas mixtos de ecuaciones Son sistemas en los que, al menos una de las ecuaciones que lo componen, no es lineal. Algunos ejemplos son: 5x + y 3 = x + x = 0 ( x ) y 9 = x + = x.y = 9 3x = y Resolvamos el primer sistema mixto, ahora por el método de sustitución. En este caso, se debe despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y luego reemplazar su expresión en la otra ecuación. Si despejamos por ejemplo y de la ecuación lineal nos queda: Reemplazando en la primera ecuación: 5x + y 3 = x = x 5x = x + x 3 y 4 0 = x x + 4 x = x Esta última, es una ecuación de segundo grado, que se resuelve con la fórmula resolvente de las raíces para la ecuación de º grado (Ver apartado..). Los valores hallados son: x = ; x = Para cada valor de x hallado, debemos calcular el valor de y correspondiente. Para esto, debemos reemplazar x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Si reemplazamos en la ecuación lineal y = x, obtenemos: Si x = y = y = 0 Si x = y = y = Por lo tanto, hemos hallado como solución dos puntos de intersección: P (;0) y P (;). La representación gráfica del sistema es la siguiente: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 7

8 Actividad 5: Si existen, hallá la o las soluciones de los siguientes sistemas mixtos. Graficá las curvas y los puntos solución. a) y 3 = ( x 5) = 0 b) ( x 3) + ( y ) 4y 3x 0 = 0 = 5 c) y x = = x + 3. Conocimientos previos sobre lugares geométricos Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que cumplen con una condición determinada. A continuación se muestran algunos lugares geométricos como ejemplos. La recta graficada, es el lugar geométrico de todos los puntos (x;y) del plano que cumplen con la siguiente relación entre x e y: y = x + La región sombreada, es el lugar geométrico de todos los puntos (x;y) del plano que cumplen con la siguiente relación entre x e y: y > x + La línea punteada indica que los puntos de la recta no pertenecen al conjunto considerado. La región sombreada, es el lugar geométrico de todos los puntos (x;y) del plano que cumplen con la siguiente condición: x 0 Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 8

9 La parábola graficada, es el conjunto de todos los puntos (x;y) del plano que cumplen con la siguiente relación entre x e y: y = x + 8 La región sombreada, es el lugar geométrico de todos los puntos (x;y) del plano que cumplen con la siguiente relación entre x e y: x + y 9 Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 9