2. Independencia del camino. Campos conservativos.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial.. Independencia del camino. ampos conservaivos. Ha ocasiones en las que la inegral de un campo vecorial F, definido en una región U, a lo largo de una curva no depende de la curva en sí, sino únicamene del eremo inicial del eremo final de la curva. Esos campos ienen una gran imporancia en las aplicaciones físicas recien el nomre de campos conservaivos. EJEMPLO. onsideremos el campo vecorial F:(, ) F(, ) = (, ) el segmeno que : [, ] ( ) = (, ) que une los punos (,) (,). Enonces F d = F( ( )) ( ) d = (, ) (,) d = d =. Si ahora consideramos al arco de paráola : [, ] ( ) = (, ) que une los punos (,) (,), oenemos F d = F( ( )) ( ) d = (, ) (, ) d = d =. En : a, ( ) = ( ( ), ( )) una curva regular que une los punos (,) general, sea [ ] (,). Eso significa que a ( ) = ( a ( ), a ( )) = (,) ( ) = ( ( ), ( )) = (,). Enonces a a = ( () ()] = ( ) ( ) a ( ) a ( ) =. a F d = F( ()) () d = ( (), ()) ( (), ()) d = ( () () + () ()) d Es decir, la inegral del campo F en cualquier curva regular que una los punos (,) (,) vale lo mismo, eso es. Igualmene se puede comproar que eso ocurre no solamene con esos punos, sino con cualquier pareja de punos de. A ese ipo de campos son a los que llamaremos conservaivos. DEFINIIÓN. Se dice que un conjuno U es coneo si odo par de punos de U se puede unir mediane arcos de curvas regulares, conenidos en U. DEFINIIÓN (AMPO ONSERVATIVO). Sean A B dos punos de un conjuno coneo dice que la inegral de línea enre A B de un campo vecorial coninuo F:(,, z) F(,, z) U. Se es independiene del camino seguido en U si dadas dos curvas regulares conenidas en U de forma que amas empiezan en A erminan en B se verifica que F d = F d. Dire- mos que un campo vecorial coninuo F: es un campo conservaivo en un conjuno coneo U si para cada par de punos AB, U la inegral de línea de F enre A B es independiene del camino.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. OBSERVAIÓN. Es fácil ver que un campo vecorial F : es conservaivo si, sólo si, la inegral de F sore cualquier curva cerrada regular conenida en U es cero. La regla de Barrow que veremos ahora proporciona un ejemplo ípico de un campo vecorial F que es conservaivo. Dicho campo es la diferencial de un campo escalar. TEOREMA (REGLA DE BARROW). Sea f :(,, z) f(,, z) un campo escalar definido en un conjuno aiero coneo U con derivadas parciales coninuas. Sea una curva regular con eremo inicial A eremo final B. Enonces Df d = f ( B) f ( A). DEM. Sea : [ a, ] ( ) una paramerización de la curva, siendo a ( ) = A ( ) = B. Enonces a ( ] Df d = Df ( ( )) ( ) d = f ( ( )) = f ( ( )) f ( ( a )) = f ( B ) f ( A ). La regla de Barrow para inegrales de línea asegura que la diferencial de un campo escalar es un campo vecorial conservaivo: la inegral de línea sólo depende de los punos inicial final de la curva sore la que se inegra. DEFINIIÓN. Si un campo vecorial F es la diferencial de un campo escalar f en un conjuno aiero coneo U, se dice que F deriva de un poencial la función f se llama función poencial de F. OBSERVAIÓN. ) Es fácil comproar que dos funciones poenciales de un mismo campo vecorial se diferencian en una consane. ) La regla de Barrow asegura que si un campo vecorial F deriva de un poencial con derivadas parciales coninuas en un conjuno aiero coneo U, enonces F es conservaivo en U. A coninuación esudiaremos la cuesión recíproca: si odo campo conservaivo admie una función poencial. Tamién esudiaremos una condición manejale que nos permia deerminar cuándo un campo vecorial deriva de un poencial. a

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. TEOREMA (FUNDAMENTAL DEL ÁLULO PARA INTEGRALES DE LÍNEA). Sea U un conjuno aiero coneo sea F:(,, z) F(,, z) un campo vecorial conservaivo en U. Fijamos un puno A U definimos el campo escalar f B U f B F d : ( ): =, ( B) donde B ( ) es cualquier curva regular conenida en U que une A con B. Enonces f es una función poencial de F. DEM. Pongamos Fz (,, ) = ( Pz (,, ), Qz (,, ), Rz (,, )). Tenemos que comproar que Df (,, z) = F(,, z), (,, z) U, es decir, f ( z,, ) = Pz (,, ), f ( z,, ) = Qz (,, ) f ( z,, ) = Rz (,, ) para odo puno (, z, ) U. Sólo proaremos la primera de esas res igualdades. Por definición de derivada parcial enemos que f(,, z) = lim. onsideremos una curva cualquiera f ( + z,, ) f( z,, ) que una el puno A con el puno (, z, ), una curva cualquiera que una el puno A con el puno ( +,, z), por úlimo, denoemos por el segmeno que une los punos (, z, ) ( +,, z). Por la definición del campo escalar f enemos que f ( z,, ) = Fd amién que f ( +,, z) = F d. omo los arcos, forman una curva cerrada en U F es un campo conservaivo, oenemos que F d + F d = F d. z Enonces ( ) (,, ), u = + uz u f ( + z,, ) f( z,, ) = F d= = P ( + uzdu,, ). ( u) = (,,) f( +,, z) f(,, z) Dividiendo por en la igualdad anerior oenemos = P ( + uzdu,, ), en consecuencia, f ( z,, ) = lim P ( + uzdu,, ) = Pz (,, ) como queríamos demosrar. OROLARIO. Sea U un conjuno aiero coneo F:(,, z) F(,, z) un campo vecorial coninuo. Las siguienes afirmaciones son equivalenes: ) F deriva de una función poencial ) F es conservaivo en U. f z U f z :(,, ) (,, ). ) La inegral de línea de F es cero en cualquier curva conenida en U que sea regular cerrada.

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. OBSERVAIÓN. ) Si F d para una deerminada curva regular cerrada U, en virud del corolario anerior, deducimos que F no es conservaivo en U, o lo que es lo mismo, que no deriva de un poencial. ) Las condiciones que recoge el corolario anerior no son manejales para deerminar si un campo deriva de un poencial. El ojeivo del reso de la sección será el esudiar una condición sore las derivadas parciales de las funciones componenes del campo con uilidad prácica que nos permia deerminar si un campo es conservaivo. TEOREMA. Sea U un conjuno aiero coneo en sea F = ( P, Q, R): un campo vecorial con derivadas parciales coninuas. Si F deriva de un poencial, enonces las derivadas parciales de sus funciones componenes P, Q R verifican P Q, P = R Q = R. = z DEM. Si F deriva de un poencial, enonces eise una función poencial, digamos f z U f z :(,, ) (,, ), con derivadas parciales segundas coninuas al que Df( z,, ) = Fz (,, ) para odo (, z, ) U. Enonces, Pz (,, ) = f( z,, ), Qz (,, ) = f ( z,, ) R( z,, ) = fz ( z,, ). Pueso que f iene derivadas parciales de segundo orden coninuas que P = f = f = Q, P = f = f = R, Q = f = f = R. z z z z z z z DEFINIIÓN. Sea F = ( P, Q, R): U. Se llama roacional de F en el puno (, z, ) un campo vecorial definido en un conjuno aiero Ual vecor ( z z ) ro Fz (,, ): = R( z,, ) Q( z,, ), P( z,, ) R( z,, ), Q( z,, ) P( z,, ), o simplemene, F ( R Qz Pz R Q P) ro : =,,. Se dice que F es irroacional en U si para odo (, z, ) U, se verifica que ro F(,, z ) = (,,). En el caso de un campo idimensional dado por F = ( P, Q):, se llama roacional de F en el puno (, ) U al escalar ro F(, ) : = Q (, ) P (, ), o simplemene, ro F: = P Q. Se dice que F es irroacional en U si para odo (, ) U, se verifica que ro F(, ) =. OBSERVAIÓN. on esa erminología, el eorema anerior asegura que si F: es un campo vecorial con derivadas parciales coninuas, definido en un conjuno aiero coneo en U, que deriva de un poencial (o equivalenemene, es conservaivo en U ), enonces F es irroacional en U. Esa condición es necesaria pero no es suficiene. Un campo vecorial puede ser irroacional en un conjuno aiero coneo U no ser conservaivo en U. Un ejemplo es el campo F(, ): =,, con (, ) (,). Ese campo verifica P(, ) = Q(, ) para odo + + 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. (, ) (,), sin emargo, no es conservaivo en U : = { (,)} porque F d = π, siendo es la circunferencia unidad, como se compruea con facilidad. El hecho de que un campo vecorial sea conservaivo no depende sólo de las funciones componenes, sino que amién depende del conjuno donde esemos considerando el campo. Por ejemplo, el campo F sí es conservaivo en el aiero coneo U : = (,) (,), donde admie la función poencial f(, ) = arcan. La diferencia enre los conjunos { (,)} U : = (,) (,) es que ése es conveo el primero no lo es. De hecho, vamos a comproar que si el conjuno de referencia es conveo, la condición necesaria es amién suficiene. Recordemos que un conjuno U es conveo si el segmeno recilíneo que une dos punos cualesquiera de U esá conenido en U. En paricular, cualquier conjuno conveo es un conjuno coneo. TEOREMA. Sea U un conjuno aiero conveo sea F = ( P, Q, R): un campo vecorial con derivadas parciales coninuas que es irroacional en U. Enonces F deriva de un poencial en U. En oras palaras, en un conjuno aiero conveo un campo es conservaivo si, sólo si, es irroacional. DEM. Haremos la pruea suponiendo que (,,) U. Para la pruea procederemos direcamene, es decir, consruiremos la función poencial f ( z,, ) de forma que f = P, f = Q f z = R. onsideremos la curva : [,] ( ) = (,, z) que une el origen de coordenadas con el puno (, z, ). Definimos ahora el campo escalar f ( z,, ): = Fd vamos a comproar que Df( z,, ) = Fz (,, ). omo () = (,, z) enemos que Enonces ( ) f (,, z): = F d = P(,, z) + Q(,, z) + zr(,, z) d. Q = P f(,, z) = ( P(,, z) + P(,, z) + Q(,, z) + zr(,, z) ) d = R = Pz ( (,, ) ( (,, ) (,, ) z(,, )) ) = Pz + P z + P z + zp z d d ( Pz (,, ) DP ( ( )) = + ( ) ) d= Pz (,, ) + P ( ()) d d u =, du = d = d = Pzd (,, ) + ( P ( ( ))] P ( ( )) d dv= P ( ( )) dv, = P ( ( )) d = P ( ()) = Pz (,, ). Acaamos de comproar que f ( z,, ) = Pz (,, ). Igualmene se compruea la coincidencia de las oras dos derivadas. 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. EJEMPLO. onsideremos el campo vecorial F z ( z z z 4 ) (,, ) = + 4, +, ( + ), definido en 4. Oservemos que Pz (,, ): = + 4 z, Qz (,, ): = + z R( z,, ): = z( + ). Es fácil comproar que el campo F es irroacional, por ano, deriva de un poencial que vamos a calcular mediane la fórmula ( ) f (,, z) = P(,, z) + Q(,, z) + zr(,, z) d 4 4 ( ( 4 ) ( ) ( ( ))) = + z + + z + z z + d ( ) ( = + 7z + 5 z d= + z + z = + z + z. OBSERVAIÓN (ONSTRUIÓN DE LA FUNIÓN POTENIAL). Si saemos que un ciero campo F = ( P, Q, R) deriva de un poencial queremos hallar una función poencial f, enonces podemos consruir la función poencial que nos da el eorema fundamenal del cálculo para inegrales de línea (inegrando a lo largo de un segmeno) o ien planear el sisema de res ecuaciones diferenciales f P, f = Q fz = R resolverlo. Por ejemplo, consideremos el campo vecorial = F z z z z z (,, ) = ( + +, 4, + ) definido en que iene roacional cero, como se compruea sin dificulad. El eorema anerior asegura que F iene una función poencial f. Vamos a calcularla. Saemos que f z z z (,, ) = + +, luego f ( z,, ) = z+ z + + gz (, ), siendo g(, z ) una función ariraria de dos variales. Enonces la derivada parcial con respeco a es f z z g z z (,, ) = 4 + (, ) = 4, con lo que g (, z ) = nos queda g(, z) = h( z), siendo hz ( ) una función ariraria de una variale. Enonces fz ( z,, ) = + z+ h ( z) = + z, luego h ( z) = hz ( ) = z+. En definiiva enemos que f ( z,, ) = z+ z + z+. La consane se suele deerminar con alguna condición punual sore la función poencial. EJERIIO. En cada uno de los siguienes casos, deermina si F es o no es el gradiene de un campo escalar. En caso afirmaivo, calcula una función poencial. () F(, ) = (, + ). () F(, ) = (, ). () F(, ) = (, ). (4) F(, ) = ( sen sen +,cos + cos + ). (5) F(, ) = ( +, ). (6) F(, ) = ( +,). (7) F(,, z) = ( + z, z, ). 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO. Lección. álculo vecorial. EJERIIO. Pruea que el campo F(, ) = ( +, + + ) es conservaivo halla una función poencial f al que f (, ) =. EJERIIO. onsideremos el campo vecorial F : dado por F e d (, ) = sen( ) + cos( ) +, a cos( ) +. calcula am- Deermina los valores de a saiendo que F es un campo conservaivo en ién una función poencial de F. EJERIIO 4. Sea F : el campo vecorial definido por F(, ) = ( a, )cos( ). Para qué valores de los parámeros a es F un campo conservaivo? Para esos valores, calcula una función poencial. EJERIIO 5. Sea F el campo F(, ) =,,. Es conservaivo? Descrie dominios donde lo sea halla sus funciones poenciales. Siendo el arco de la paráola = que va desde A = (,) hasa B = (, ) calcula F d. 4 EJERIIO 6. () Dado el campo vecorial F(, ) = 6,, definido en el semiplano superior, eso es, en R= {(, ) : > }, pruea que ese campo no es el gradiene de ningún campo escalar. a () Encuenra una función de la forma μ (, ) = de manera que μ F sí sea el gradiene de un campo escalar deermina las correspondienes funciones poenciales. EJERIIO 7. alcula una función poencial para cada uno de los siguienes campos escalares: () F(, ) = (6,4+ ); () F z z z z z (,, ) = (,, + cos + sen ). EJERIIO 8. onsidera el campo vecorial definido por F z z ze z z e z (,, ) = ( + sen, + sen, + + cos ). () Jusifica que F es un campo conservaivo sin calcular una función poencial. () alcula una función poencial del campo F. () Enuncia demuesra la regla de Barrow para inegrales de línea. (4) alcula la inegral desde el polo nore hasa el polo sur. F d donde es un meridiano de la esfera + + z = 4, recorrido 7