Acotación de la Constante de Cheeger y de los autovalores del Operador de Laplace de una red

Transcripción

1 Acotación de la Constante de Cheeger y de los autovalores del Operador de Laplace de una red E. Bendito, A. Carmona y A.M. Encinas Resumen En este trabajo se presentan cotas de la constante de Cheeger y del primer autovalor del problema de Dirichlet para el Laplaciano de una variedad Riemanniana discreta mediante la utilización de medidas de equilibrio. En particular, se extiende el concepto de constante de Cheeger al caso de redes con pesos en las ramas y en los vértices no necesariamente relacionados. inalmente, se contrastan las cotas obtenidas a través de algunos ejemplos. Introducción El problema isoperimétrico establece que, entre todos los subconjuntos de IR n de volumen dado, la esfera tiene área mínima. En el caso discreto, el análogo natural del volumen es el número de vértices o la suma de los grados de los vértices en un subconjunto del grafo, mientras que la contrapartida para la medida de la frontera es el número de ramas con un vértice en y otro en el complementario. Los problemas en los que se consideran ratios de la forma /, se llaman problemas isoperimétricos para grafos. El mínimo del cociente anterior sobre los subconjuntos del grafo se denominada constante de Cheeger, h(γ). El problema de obtener la constante de Cheeger es NP completo, por tanto cualquier cota no trivial es deseable y potencialmente importante. Por otro lado las aplicaciones de los métodos de autovalores en combinatoria, teoría de grafos y optimización combinatoria tienen una larga historia. Una de las más importantes es el uso de los autovalores en la construcción de expanders. Las Parcialmente subvencionado por el MCYT (proyecto BM ) y por la ETSECCPB. Depto. de Matemática Aplicada III, UPC. enrique.bendito@upc.es

2 propiedades isoperimétricas de los grafos y sus autovalores juegan un papel crucial en el diseño de algunos algoritmos. Ambos conceptos están relacionados por el análogo discreto de la desigualdad fundamental de Cheeger para una variedad Riemannian, [3], h 2 (Γ) < λ 2h(Γ), 2 donde λ es el primer autovalor positivo del operador de Laplace. Para otras cotas y relaciones entre ambos conceptos ver [4, 6, 7, 8]. Otra de las herramientas utilizadas para obtener cotas sobre la constante de Cheeger es la identidad de Green, tanto en el caso discreto como en el continuo, [5]. En este trabajo utilizamos las denominadas medidas de equilibrio de un subconjunto de vértices respecto del operador de Laplace de una red para obtener cotas de la constante de Cheeger y también del primer autovalor positivo del operador de Laplace. En particular, la cota obtenida en la Sección 2 mejora la dada por Urakawa en [9]. El trabajo parte de otros realizados por los autores, [, 2], en los que se obtienen la Identidad de Green, la función de Green en términos de medidas de equilibrio y expresiones explícitas de dichas medidas para ciertas familias de grafos. 2 Constante de Cheeger y medida de equilibrio En esta sección hemos mantenido el lenguaje de variedades Riemannianas discretas y medidas en lugar de redes con conductancias y pesos en los vértices, debido a que los conceptos y resultados dados aquí para métricas ortogonales pueden generalizarse sin dificultad al caso de variedades discretas con métricas generales. A lo largo del trabajo denominaremos variedad discreta Γ = (V, E, c), a una red simple y conexa con conjunto de vértices V, conjunto de ramas E y donde c : V V IR es la función de conductancias, i.e, c(x, y) = c(y, x) > 0 si x y y c(x, y) = 0 en otro caso. Una medida sobre V es un función real positiva definida sobre el conjunto de vértices, ν C(V ). Diremos que una medida es densa si ν(x) > 0 para todo x V y denotamos por λ la medida cardinal. Llamamos variedad Riemanniana discreta a (Γ, µ), donde Γ es una variedad discreta y µ una medida densa en V. Llamamos función coeficiente de la estructura Riemanniana (µ(x) + µ(y)) a la función dada por c µ (x, y) = c(x, y). 2 Con estas definiciones el Laplaciano de una variedad Riemanniana discreta es

3 el operador L : C(V ) IR que asigna a cada u C(V ) la función ( ) Lu(x) = c µ (x, y) u(x) u(y) dλ(y). V En [] se mostró la siguiente identidad de Green: Dadas u, v C(V ) vlu dλ = ( )( ) c µ (x, y) u(x) u(y) v(x) v(y) d(λ λ). 2 V V V En esta sección consideramos fijada una variedad Riemanniana discreta (Γ, µ) y además la medida densa ν C(V ). Para cada V definimos la frontera de ramas de como = {(x, y) E : x, y c } y la frontera de vértices de como δ( ) = {x c : existe y tal que c(x, y) > 0}. Llamamos volumen de y volumen de a los valores vol( ) = d ν y vol( ) = c µ (x, y)d(λ λ), c respectivamente. Definimos la constante de Cheeger de una variedad Riemanniana discreta como el valor { } vol( ) h(γ) = inf vol( ) : # (V ), donde # (V ) = { V : 0 < vol( ) vol(v )/2}. Los subconjuntos de V para los que se alcanza el mínimo se denominan conjuntos isoperimétricos. La definición anterior es una generalización de las distintas constantes que han sido llamadas constante de Cheeger en la literatura. Cuando µ = λ la definición anterior corresponde a la conocida constante de Cheeger con pesos, ver [6]. Por otro lado, la constante de Cheeger se obtiene cuando las conductancias positivas valen, µ = λ y ν = k es la medida dada por los grados. inalmente el número isoperimétrico se obtiene cuando las conductancias positivas valen y µ = ν = λ. En [] se probó que para cualquier subconjunto propio V, existe una única medida llamada medida de equilibrio de con respecto del peso ν tal que γ (x) > 0 para todo x y Lγ (x) = ν(x), x ; γ (x) = 0, x c. Denotamos por γ M = max { γ (x); x δ( c ) } y γ m = min { γ (x); x δ( c ) }.

4 Proposición 2.. Sea V un subconjunto propio. Entonces, γ M vol( ) vol( ) γm. Además, cualquiera de las anteriores desigualdades es una igualdad sii γ constante en δ( c ). es Demostración. Consideramos la función característica de. Aplicando la identidad de Green con u = y v = γ obtenemos vol( )= Lγ dλ = ( )( ) c µ (x, y) γ (y) γ (x) (y) (x) d(λ λ) = 2 V δ( c ) δ( ) V V c µ (x, y) γ (x)d(λ λ) vol( ) γ M. Nótese que la desigualdad es una igualdad sii γ es constante en δ( c ). Corolario 2.2. Se satisface que { } { } min h(γ) min # (V ) # (V ) γm. γ M Además, cualquiera de las anteriores desigualdades es una igualdad sii γ constante en un conjunto isoperimétrico. es A continuación comparamos las cotas obtenidas en la Proposición 2. con algunas desigualdades isoperimétricas que son finas para ciertos conjuntos de vértices. Hay que señalar que cotas de este tipo son conocidas para pocos grafos. (i) El grafo completo K n : / = n. (ii) El ciclo C n : / 2/. (iii) El árbol infinito d-regular, T d : / d 2 + 2/, (los conjuntos isoperimétricos son bolas de radio r con vértices adicionales en la esfera del mismo centro y radio r +, y para estos subconjuntos de tiene que = (d 2) + 2). En los anteriores ejemplos las cotas están dadas precisamente por el valor de la medida de equilibrio y en todos ellos ésta es constante en la frontera de.

5 (i ) En K n, γ (x) =, para todo x. n (ii ) En C n, γ(x i ) = i( + i)/2, i =,...,. Por tanto, γ M = /2. (iii ) En T d, γ B r(y) (x) = B r (y), para todo x tal que d(x, y) = r. 2 + (d 2) B r (y) Para finalizar esta sección obtenemos una nueva caracterización de la constante de Cheeger en términos de densidades. Llamamos derivada conormal de u C(V ), a la función sobre la frontera de vértices de dada por u (x) = c µ (x, y)(u(x) u(y)) dλ(y), x δ( ). η u Entonces, el Teorema de Gauss establece que u dλ = dλ. η Proposición 2.3. Sea Γ una variedad Riemanniana discreta. Entonces, dλ δ( ) η h(γ) = min γ ; # (V ). dλ η δ( ) δ( ) 3 Autovalores y medida de equilibrio En esta sección estudiamos las relaciones entre los autovalores de un problema de contorno y las medidas de equilibrio que expresan la función de Green de dicho problema. Especifícamente, consideramos el siguiente problema de autovalores con respecto del peso ν: Encontrar u C(V ) tal que L(u)(x) = λu(x)ν(x), si x u(x) = 0, si x c. Cuando 0 el problema anterior se denomina problema de autovalores de Dirichlet. Denotamos su espectro por Spec D (Γ) = {λ < λ 2 λ s }, s =.

6 Además, 0 < λ es un autovalor simple y el correspondiente autovector es positivo. Los autores han probado en [] que la función de Green de un problema de Dirichlet está dada por: G(x, y) = γ (y) ( γ γ γy (x) γy (x) ), donde γ y γy son las medidas de equilibrio con respecto del peso ν para los conjuntos y \ {y}, respectivamente. A continuación estudiamos algunas relaciones entre estas medidas de equilibrio y los autovalores del problema de Dirichlet. El primer resultado es una consecuencia del Teorema 2. [9] y del hecho de que la medida de equilibrio alcanza el mínimo en la frontera. Proposición 3.. Sea Γ una variedad Riemanniana discreta y γ la medida de equilibrio para un subconjunto propio. Entonces, { } min x γ λ (x) γm. Sin embargo podemos obtener una cota superior mejor si aplicamos la caracterización de λ a través del cociente de Rayleigh. Proposición 3.2. Sea Γ una variedad Riemanniana discreta. Entonces, γ dν λ. (γ ) 2 dν Demostración. El resultado se obtiene tomando u = γ en la expresión u Lu dλ λ = min. u C( ) u 0 u 2 dν

7 Esta cota es mejor que la dada en la Proposición 3. ya que γ dν γ dν = (γ ) 2 dν min{γ } γ γ dν m. A continuación aplicamos la cota inferior de la Proposición 3. y la cota superior de la Proposición 3.2 a algunos ejemplos simples. (i) Sea Γ un grafo formando por un triángulo más una rama añadida a uno de los vértices, por ejemplo al x 3. Si = {x, x 2, x 3 }, entonces γ = (4, 4, 3, 0) t y λ = 2 3 = Por tanto, 0.25 λ (ii) Sea Γ un árbol 3 regular con diámetro 2. Consideramos la bola de centro la raíz y radio, entonces γ = (, 2/3, 2/3, 2/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0) t y λ = 3 3 = Por tanto, λ (iii) Sea Γ un camino con n + 2 vértices y supongamos que ν = 2. Si = {x,..., x n }, entonces ( γ (x ) i ) = i(n + i), i =,..., n (ver [2]). Por otro π lado, λ = cos. Por tanto, n + λ n(n + ) 5 (n + ) ( ) π π 2 Obsérvese que cuando n, cos. Este ejemplo n + 2(n + ) 2 muestra lo ajustada que puede ser la cota dada en Proposition 3.2. (iv) Sea Γ un grafo distancia regular y = B(x 0, r). En [] se mostró que la medida de equilibrio se distribuye por distancias y está dada por r γ B s (i) =, i = 0,, r. B s Por tanto, s=i λ (B(x 0, r)) r k i i=0 s=i ( r r k i s=i i=0 r B s B s B s B s ) 2

8 Referencias [] E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas, Solving Boundary Value problems on Networks using Equilibrium measures, J. unct. Anal., 7 (2000), p [2] E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas, Shortest paths in distance-regular graphs, European J. Combin., 24 (2003), p [3] J. Cheeger, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian, Problems in Analysis (R.C.Gunning, ed.), Princeton Univ.Press (970), p [4].R.K. Chung, Discrete isoperimetric inequalities, Prepint (2003). fan/ [5].R.K. Chung, A. Grigor yan y S.T. Yau, Higher eigenvalues and isoperimetric inequalities on Riemannian manifolds and graphs, Comm. Anal. Geom., 8 (2000), p [6].R.K. Chung y P. Tetali, Isoperimetric inequalities for cartesian product of graphs, Combin. Probab. Comput., 7 (998), p [7] S. riedland y R. Nabben, On Cheeger-type inequalities for weighted graphs, J. Graph Theory, 4 (2002), p. 7. [8] B. Mohar, Isoperimetric numbers of graphs, J. Combin. Theory, Serie B, 47 (989), p [9] H. Urakawa, Eigenvalue comparison theorems of the discrete Laplacians for a graph, Geom. Dedicata, 74 (999), p