Aplicaciones Lineales

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1 Aplicaciones Lineales Ejercicios resueltos Ximo Beneyto

2 PROBLEMAS RESUELTOS APLICACIONES LINEALES 1.Dada la aplicación f : ú 3 6 ú² / f(x, y, z) = (x+y-z, 2x+3z): 1.1. Probar que f es una aplicación lineal Hallar el núcleo y la imagen de f Obtener la matriz asociada a f en las BASES canónicas de R 3 y R² 1.4. Obtener la matriz asociada a f, en las bases B={(1, 1, 2),(2, 1, 0),(1, 1, 1)} de R 3 y B'= {(1, 1),(2, 0)} de ú² 1.1 APLICACIÓN LINEAL. œ =(x, y, z), =(x', y', z') 0 R 3 œ ", ß 0 R f("@ + ß@ ) = "@ f( ) + ß@ f( )?. * f("a + $A )= f("a ( x, y, z)+ $A (x',y', z'))= f( "x + $x', "y + $Ay', "z + $z')={ Aplicando la definición de f} = ("x + $x' + "y + $y' - ("z + $z'), 2("x + $x') + 3("z + $z')) = = ("x + $x' + "y + $y' -"z - $z', 2"x + 2$x' + 3"z + 3$z' ) **"Af( ) + $Af( )= "A f( x, y, z) + $A f(x', y', z' )) = "A (x + y - z, 2x + 3z) + $A (x'+ y'- z', 2x'+ 3z') = = ( "x + "y - "z, 2"x + 3"z ) + ($x' + $y' - $z', 2$x' + 3$z') = ( "x + "y - "z + $x' + $y' - $z', 2"x + 3"z + 2$x' + 3$z') Como en ambos casos hemos llegado al mismo resultado Y f("@ + ß@ ) = "@f( ) + ß@f( ), por tanto f es una aplicación lineal. 1.2 NÚCLEO Por definición, Ker(f) = { (x, y, z) 0 R 3 / f(x, y, z) = (0, 0) } de donde: (x + y - z, 2x + 3z) = (0, 0) Y x + y - z = 0 * 2x + 3z = 0 * Resolviendo, x = -3z/2 ; y = 5z/2 œ z 0 ú. œ (x, y, z) 0 Ker(f) Y (x, y, z) = (,,z) = z@ (,, 1) (-3, 5, 2) Y Sistema Generador de Ker(f) = {(-3, 5, 2)}, como es un vector linealmente independiente: Una base del núcleo de f = {(-3, 5, 2)}

3 dim Ker(f) = IMAGEN Por definición, Im(f) = { f(x, y, z) / (x, y, z) 0 ú 3 } f(x, y, z) = (x + y - z, 2x + 3z) = x@ (1, 2) + y@ (1, 0) + z@ (-1, 3), de donde: Sistema Generador de Im(f) = {(1, 2), (1, 0), (-1, 3)}, analizando la dependencia lineal: 1.4 CLASIFICACIÓN Hemos visto que podemos clasificar una aplicación lineal a partir de la dimensión del núcleo y de la imagen, así: dim Ker(f) = 1 0 * dim Im(f) = 2 = dim R² * f es un EPIMORFISMO. ( Aplicación lineal SOBREYECTIVA) 1.5 MATRIZ ASOCIADA EN BASES CANÓNICAS f(1, 0, 0) = (1, 2) * f(0, 1, 0) = (1, 0) * Y La matriz asociada a f en las Bases Canónicas, es: f(0, 0, 1) = (-1, 3) * [ Observa el "doble lenguaje" empleado en lo que se refiere a la expresión del vector fila/vector columna según la parte de problema ]. 1.6 MATRIZ ASOCIADA A f RESPECTO DE LAS BASES B Y B' Sean B = {(1, 1, 2), (2, 1, 0), (1, 1, 1)} Base de R 3 y B'= {(1, 1), (2, 0)} Base de R². Expresando las imágenes de los vectores de la base B como combinación lineal de los vectores de la Base B': f(1, 1, 2) = (0, 8) = "@ (1, 1) + (2, 0) * " = 8 ß = -4 f(2, 1, 0) = (3, 4) = "'@ (1, 1) + ß'@ (2, 0) *Resolviendo: "' = 4 ß' = -1/2 f(1, 1, 1) = (1, 5) = "''@(1, 1) + ß''@(2, 0) * "''= 5 ß''= -2 La matriz asociada a f en las Bases B y B' es:

4 Matricialmente, podríamos haber obtenido la matriz M, mediante la fórmula matricial : ######## 2. Dada la aplicación f(x, y, z) = (x+y-2z, 2x-z, 1). Probar que f no es lineal. Una de las consecuencias de la linealidad de f, es que la imagen del vector 0 del espacio inicial, sea el vector 0 del espacio final. Como en este caso f(0, 0, 0) = (0, 0, 1) (0, 0, 0) Y f no puede ser una aplicación lineal. ####### 3. Sea f: ú² 6 ú² una aplicación lineal, y B = una Base de (ú²(ú), +, A). Si: Hallar la matriz asociada a f en la Base B. Determinar la aplicación lineal y clasificarla. Empleando la linealidad de la aplicación, trataremos de conseguir las imágenes de los vectores de la Base B. Tomando los coeficientes de la combinación lineal, (Componentes de las imágenes de los vectores de la base B ) tenemos que la matriz asociada a f en la Base B es: por tanto

5 Expresado en forma de vector fila, NÚCLEO Por definición Ker(f) = {(x, y) 0 R² / f(x, y) = (0, 0) } Y = (0, 0) Y œ (x, y) 0 Ker(f) Y (x, y) = (0, 0) Y Ker(f) = {(0, 0)} ; dim Ker(f) = 0. IMAGEN Recurriendo en este caso al teorema de la dimensión, obtenemos: dim Ker(f) + dim Im(f) = dim R² Y 0 + dim Im(f) = 2 Y dim Im(f) = 2, por lo tanto: Im(f) = ú² dim Im(f) = 2. CLASIFICACIÓN f: ú² 6 ú² Endomorfismo * Como dim Ker(f) = 0 Inyectiva * Y f es un AUTOMORFISMO dim Im(f) = dim ú² Sobreyectiva * (Apl. lineal BIYECTIVA) ####### 4. Sea (P 2 [x](ú),+,a), el Espacio Vectorial de los polinomios de grado "2" en una indeterminada (x), con coeficientes reales, con las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar. Sea f: P 2 [x] 6 P 1 [x], la aplicación que a un polinomio de P 2 [x] le hace corresponder su derivada ( f(p(x)) = p'(x) œ p(x) 0 P 2 [x] ). Probar que f es una Aplicación Lineal. Hallar su matriz asociada en las Bases Canónicas. Clasificarla. Hallar la matriz asociada en las bases B = {x²+1, x+2, 1 } de P 2 [x] y B'= { x+1, x-1 } de P 1 [x]. Organicemos un poco el enunciado antes de afrontar el problema: f: P 2 [x] 6 P 1 [x] p(x) µ p'(x) ax²+ bx + c µ 2ax + b

6 ( pues es su derivada ). Así pues, nuestra aplicación lineal será: f(ax² + bx + c)= 2ax + b. LINEALIDAD œ p(x) = ax² + bx + c, q(x) = a'x² + b'x + c' 0 P 2 [x] * œ ", ß 0 R * f("@ p(x)+ ß@ q(x)) = "@ f(p(x) ) + ß@ f(q(x))? * f("@p(x) + ß@q(x)) = f( "@ (ax² + bx + c)+ ß@(a'x² + b'x + c')) = f( ("a + ßa')x² + ("b + ßb')x + ("c + ßc')) = 2 ("a + ßa')x + ("b + ßb') = 2"ax + 2ßa'x + "b + ßb'. ** "@f(p(x)) + ß@f(q(x)) = "@ f(ax² + bx + c) + ß@ f(a'x² + b'x + c')) = "(2ax + b) + ß( 2a'x +b') = 2" ax + "b + 2ßa'x + $ b'. Como en ambos casos hemos llegado al mismo resultado Y f("@p(x) + ß@q(x)) = "@f(p(x)) + ß@f(q(x)), por tanto f es una aplicación lineal. MATRIZ ASOCIADA EN BASES CANÓNICAS Sean B = {x², x, 1 } y B'= {x, 1} las Bases Canónicas de P 2 [x] y P 1 [x] respectivamente. y su acción sobre los vectores de P 2 [x]: [ Observa la forma de expresar los resultados en la base B' ] y tomando solo componentes en las bases canónicas, f(a,b,c)=(2a, b) NÚCLEO Por definición, Ker(f) = { ax² + bx + c 0 P 2 [x] / f(ax² + bx + c) = 0 (Polinomio cero) } f(ax²+bx+c) = 2ax + b = 0x + 0 Y * 2a = 0 Y a = 0 * b = 0 Y b = 0 œ ax² + bx + c 0 Ker(f) Y ax²+bx+c = 0x² + 0x + c = c = c@ 1. Base de Ker(f) = { 1 }, también podríamos haber puesto 0x² + 0x + 1 dim Ker(f) = 1

7 IMAGEN Vamos a obtener en esta ocasión el subespacio Im(f) a partir de la propiedad que nos dice que: Las imágenes de una base cualquiera del Espacio Inicial, forman un Sistema Generador del Subespacio Im(f). Para mayor agilidad, tomemos la base canónica de P 2 [x], B = {x², x, 1}. f(x²) = 2x * Por tanto, Sistema Generador de Im(f) = { 2x, 1, 0 }, tomando los vectores Linealmente f(x) = 1 * Independientes, f(1) = 0 * Base de Im(f) = { 2x, 1 } dim Im(f) = 2 CLASIFICACIÓN ) f:p 2 [x] 6 P 1 [x] * dim Ker(f) = 1 0 dim Im(f) = 2 = dim P 1 [x] * * f es un EPIMORFISMO (Apl. lineal SOBREYECTIVA MATRIZ ASOCIADA EN LAS BASES B y B' Sean B = {x²+1, x+2, 1 } de P 2 [x] y B'= { x+1, x-1 } de P 1 [x], las bases del enunciado. Como: f(x²+1) = 2x = "@ (x+1) + ß@ (x-1) * Resolviendo: " = 1 ß = 1 f(x+2) = 1 = "'@ (x+1) + ß'@ (x-1) * "' = 1/2 ß' = -1/2 f(1) = 0 = "''@ (x+1) + ß''@ (x-1) * "''= 0 ß''= 0 Por consiguiente, la matriz asociada a la aplicación respecto de estas dos bases, será: ####### 5. Sea f: R 2 6 R 3, una aplicación lineal. Consideremos las bases B = {(1, 2), (0, -1)} y B' = { (1, 1, 0),(0, 1, 1),(0, 0, 1)} sobre (R 2 (ú),+,a) y (R 3 (ú),+,a), respectivamente. Si la matriz asociada a f respecto de las Bases B y B' es:. Hallar la matriz asociada a f en las Bases Canónicas de R 2 y R 3. Tomando como referencia la expresión matricial de la repercusión del cambio de base en un

8 espacio vectorial sobre la matriz asociada a una aplicación lineal, obtenemos: A : Matriz asociada en {(1, 0), (0, 1)} y {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} M = Q P Y A = P -1, y tomando matrices convenientemente: ####### 6. A partir de tres materias primas, que llamaremos A,B, C, obtenemos mediante un proceso de fabricación, tres productos finales, que llamaremos P 1,P 2,P 3. Sabemos que el vector de cantidades de producción final (p 1,p 2,p 3 ) viene en función de las cantidades de materia empleada de cada tipo a,b,c. Siendo la relación: (p 1,p 2,p 3 ) = t(a,b,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b) Obtener las cantidades de A, B, C para un vector de producción (1, 6, 2) 6.2. Podemos obtener cualquier vector de producción? Con cantidades diferentes de materia prima, Podemos obtener la misma producción? 6.4. Obtener el vector de producción, para un vector de materias primas (2, 2, 2) e interpretar el resultado. Si nos fijamos un poco en la estructura del problema, observaremos que "t" es una aplicación lineal de ú 3 en ú 3, t: R 3 6 R 3 t(a,b,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b). 6.1 Veamos si existe (a, b, c) 0 R 3 / t(a, b, c) = (1, 6, 2). Tendremos que: t(a,b,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b) = (1, 6, 2) de donde: a + b - c = 1 % a = 1 - b +c a = 1 2a +3b + c = 6 % b + 3c = 4 % b = 1 a + b = 2 % c = 1 % c = 1 Hemos encontrado, pues, (a,b,c) = (1, 1, 1). Por tanto deberemos emplear: 1 unidad de materia prima A, 1 unidad de materia prima B y una unidad de materia prima C para obtener: 1 unidad de producto P 1, 6 unidades de producto P 2 y 2 unidades de producto

9 P Nos preguntamos si œ (p 1,p 2,p 3 ) 0 R 3 existe (a, b, c ) 0 R 3 / t(a, b, c) = (p 1,p 2,p 3 ), es decir, si la aplicación es SOBREYECTIVA. Recordemos la caracterización de la sobreyectividad a partir de la dimensión de la imagen, dim Im(f) = dim F, mejor trabajar con la caracterización que demostrar el concepto sobreyectividad, más sencillo!. f(1, 0, 0) = (1,2,1) % Y Sistema Generador de Im(f) = {(1,2,1), (1,3,0), (-1, 1, 0)}, veamos f(0, 1, 0) = (1,3,0) % son Linealmente Independientes: f(0, 0, 1) = (-1,1,0) % Base de Im(f) = {(1,2,1), (1,3,0), (-1, 1, 0)} dim Im(f) = 3 = dim R 3 Y f es SOBREYECTIVA, así pues, cualquier vector de producción se puede obtener a partir del correspondiente vector de materias primas. [ Desde un punto de vista económico, el resultado sería discutible al no tener sentido cantidades negativas de materias primas ] Naturalmente, si la aplicación es inyectiva, no podrá obtenerse un vector de producto final a partir de dos vectores diferentes de materia prima. de clasificar f. Empleando de nuevo la caracterización de INYECTIVIDAD ( dim Ker(f) = 0 ), vamos a tratar Como dim Ker(f) + dim Im(f) = dim R 3 Y dim ker(f) + 3 = 3 Y dim Ker(f) = 0 Y f es INYECTIVA. Por lo tanto, vectores de materias primas diferentes, dan lugar a vectores de producto final diferentes según concepto de inyectividad. Si además juntamos los resultados, obtenemos que f es un AUTOMORFISMO, que establecería una correspondencia " uno a uno ", entre los vectores de materia prima y los vectores de producto acabado ". 6.4 Como f(2,2,2) = (2,12, 4) Y obtendremos: 2 unidades de producto P 1, 12 unidades de producto P 2, 4 unidades de producto P 3. ####### 7. Sea P 2 [x], el Espacio Vectorial de los polinomios de grado "2" en una

10 indeterminada(x), con coeficientes reales, con las operaciones usuales de suma de polinomios y producto por un escalar. Sea f: P 2 [x] 6 P 2 [x], la aplicación f(p(x)) = x@p'(x) - p(x) œ p(x) 0 P 2 [x] ). Probar que f es una Aplicación Lineal. Hallar su matriz asociada en las Bases Canónicas. Hallar Núcleo e Imagen. Clasificarla. Hallar la matriz asociada en la base B = {x²+1, x+2, 1 } de P 2 [x]. Organicemos un poco el enunciado antes de empezar el problema: f: P 2 [x] 6 P 2 [x] p(x) 6 x@p'(x) - p(x) ax²+ bx + c 6 x@(2ax + b) - ( ax²+bx+c) = ax² - c Nuestra aplicación lineal será: f(ax² + bx + c) = ax² - c. A partir de esta construcción el problema se resuelve con la misma estructura que el problema nº 4. ( Dejamos al lector la tarea de resolverlo). ####### 8. Sea f: R 3 6 R 3 un Endomorfismo, B = { } una Base de R 3. Si sabemos que:. ", $, : 0 ú. Hallar la matriz asociada a f: 8.1. En la Base B 8.2. En la Base Vamos a emplear el concepto de matriz asociada a un Endomorfismo respecto de una Base B. Recordemos que la matriz asociada se obtenía mediante las imágenes de los vectores de la Base B expresados por columna como combinación lineal de los vectores de la Base B.( Ya que al ser un endomorfismo, la Base del Espacio Inicial y la Base del Espacio Final es la misma (Salvo mención explícita en sentido contrario)). 8.1 Como :

11 La matriz asociada será: [ Observemos que la matriz asociada a un Endomorfismo, respecto de una Base que cumpla la condición de que sus vectores se transforman en múltiplos de sí mismos mediante f, es una matriz DIAGONAL ] 8. 2 Como : razonando como en el problema anterior ####### 9. Dada la aplicación f : ú 2 6 M 2 tal que : 9.1. Probar que f es una plicación lineal 9.2. Hallar núcleo e imagen de f 9.3. Clasificar f 9.4. Hallar la matriz asociada a f en bases canónicas de ú 2 y M f lineal? Para comprobarlo, vamos a desarrollar ambos lados de la igualdad : ** f " (x, y) + $ (x', y') = f " x + $ x', " y + $ y' = [ Definición de f ] = ** " A f(x, y) + $ f (x', y') = [ Definición de f ]

12 = [ suma usual en M 2 ]= En ambos casos llegamos al mismo vector ( matriz ) Y f es aplicación lineal 9.2 Núcleo? Como Ker (f) = { (0, 0) } ; dim Ker (f) = 0 Imagen? Y ahora definamos la imagen de f Im (f) = { f (x, y) 0 M 2 / (x, y) 0 ú 2 } Como Sistema Generador de Es fácil comprobar que se trata de dos vectores linealmente independientes Y una base de dim Im (f) = Clasificación? Recordemos la opción de clasificar una aplicación lineal a partir del núcleo y de la imagen Y f es un MONOMORFISMO [ Aplicación Lineal

13 Inyectiva ] 9.4. Matriz asociada a f en bases canónicas? 6 Base canónica de (ú 2 (ú), +, A) { (1, 0), (0, 1) } 6 Base canónica de (M 2 (ú), +, A) Resolviendo de una forma muy sencilla Y " 1 = 1 " 2 = 1 " 3 = 0 " 4 = 0 $ 1 = 0 $ 2 = 1 $ 3 = 0 $ 4 = 1 Y La matriz asociada a f en bases canónicas será : Comentario : La imagen de un vector mediante la matriz A, la obtenemos multiplicando la matriz por el vector columna. El resultado es un vector columna y no una matriz de M 2. Para obtener ésta basta con desarrollar las componentes obtenidas en la base de M 2 considerada ( En este caso la base canónica ). Para hallar f(1, 3) = f(1, 3) = Comprendido? Obviamente el vector (1, 3) en base canónica de (ú 2 (ú), +, A) tiene por componentes (1, 3) ####### 10. Se considera el homomorfismo f: ú 3 6 ú 2 que hace corresponder a los vectores { (1, 0, 1), (0,

14 1, 1), (1, 1, 0)} los vectores { (1, 0), (0, 2), (1, 1) } respectivamente. Se pide : Matriz asociada a f en las bases canónicas de ú 3 y ú Núcleo e Imagen de f f -1 (2, 3) 6 Ordenando la transformación de la que nos hace mención el enunciado Sea f: ú 3 6 ú 2 / La primera comprobación que hacemos es observar si { (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) } forman una base de ú 3, pues, de lo contrario, no podríamos considerar definido el homomorfismo. 6 Vamos a dar tres maneras diferentes de resolver el problema de obtener la imagen mediante f de un vector cualquiera de ú 3. ( Hay más, por supuesto ) 6 1ª Solución Utilizando el concepto de base œ (x, y, z) 0 ú 3, sean ", $, ( 0 ú / (x, y, z) = " A(1, 0, 1) + $A (0, 1, 1) + (A (1, 1,0) Y Aplicando f a ambos lados y teniendo en cuenta la linealidad de f Y Sustituyendo las imágenes : Y y operando

15 Como : La matriz asociada a f en las bases canónicas de ú 3 y ú 2 es : 6 2ª Solución.- Utilizando más el concepto linealidad de f. Llamemos Sustituyendo en las relaciones iniciales Resolviendo : ( Vamos a detallar la solución )

16 Sustituyendo en las demás relaciones : Y La matriz asociada a f en bases canónicas de ú 3 y ú 2 es : 6 3ª Solución La llamamos técnica de la matriz incógnita. Sea A la matriz asociada a f en bases canónicas Y En cada caso hemos cimentado la demostración sobre una idea diferente: 6 Buscando la imagen de un vector cualquiera de ú 3 6 Buscando las imágenes de los vectores de la base canónica de ú 3. Opera, en lo sucesivo, con la que te resulte más sencilla Núcleo, Imagen, Clasificar? Si es la matriz asociada a f en canónicas Y œ (x, y, z) 0 ú 3 y en vector fila

17 NÚCLEO Ker (f) =/{ (x, y, z) 0 ú 3 / f (x, y, z) = (0, 0) } si x = 0 Y 3y + z = 0 Y z = - 3y œ (x, y, z) 0 Ker (f) Y (x, y, z) = (0, y, -3y) = y (0, 1, -3) Ker (f) = < (0, 1, -3) > Una Base Ker (f) = { (0, 1, -3) } dim Ker (f)) = 1 IMAGEN Im (f) = { f(x, y, z) 0 ú 2 / (x, y, z) 0 ú 3 } dim Im(f) = 2 CLASIFICACION Y f es un EPIMORFISMO [ Aplicación Lineal Sobreyectiva ] 10.3 f -1 (2, 3)? Si (x, y, z) 0 f -1 (2, 3) Y f(x, y, z) = (2, 3) Y Resolviendo : x = 2 3y + z = 8 Y z = 8-3y ( Hay infinitas soluciones ) f -1 (2, 3) = { (x, y, z) 0 ú 3 / x = 2 ; z = 8-3y œ y 0 ú }

18 ####### 11. Determinar, si es posible, las siguientes aplicaciones : f :ú 3 6 ú 2 Aplicación Lineal Im (f) generada por { (1, 1), (0, -2) } Ker (f) generado por { (-1, 0, 0), (1, 3, 2) } 6 Como (1, 1) y (0, -2) son linealmente independientes Y Una base de Im(f) = { (1, 1), (0, -2) } dim Im (f) = 2 6 Como (-1, 0, 0) y (1, 3, 2) son linealmente independientes Y Una base de Ker(f) = { (-1, 0, 0), (1, 3, 2) } dim Ker(f) = 2 El teorema de la dimensión nos dice que dim Ker(f)+ dim Im(f) = dim ú 3, pero en este caso Y no es posible determinar una aplicación lineal con las condiciones anteriores f :ú 4 6 ú 3 Aplicación Lineal Im (f) = < (1, 1, 1), (0, -2, 1) > Ker (f) = < (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) > 6 Razonando como en el apartado anterior Y Una base de Im(f) = { (1, 1, 1), (0, -2, 1) } dim Im (f) = 2 6 Y Una base de Ker(f) = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) } dim Ker(f) = 2 dim Ker(f) + dim Im(f) = dim ú = 4 Y En este caso, si es posible determinar una aplicación lineal que cumpla las condiciones anteriores. Puesto que una aplicación lineal queda determinada conocidas las imágenes de una base del Espacio Inicial, vamos a seguir este camino con los datos que tenemos. 6 En primer lugar, ampliemos la base del núcleo a una base de ú 4, añadiendo dos vectores linealmente independientes con los que ya tenemos. (La selección la haremos de forma intuitiva ) * Base Ker(f) = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) }

19 * Base ú 4 = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) } Hallemos sus imágenes, apoyándonos en el concepto de núcleo e imagen 6 (-1, 0, 0, 1) 0 Ker(f) Y f(-1, 0, 0, 1) = (0, 0, 0) ( 1, 3, 2, 0) 0 Ker(f) Y f( 1, 3, 2, 0) = (0, 0, 0) 6 ( 1, 1, 1) 0 Im(f) Y f( 1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) ( 0, -2, 1) 0 Im(f) Y f( 0, 1, 0, 0) = (0, -2, 1) Con lo cual queda determinada una aplicación lineal f :ú 4 6 ú 3 cumpliendo las condiciones. [ NOTA : f no es, desde luego, única. Los vectores con los que ampliamos la base de ker(f), no son únicos, ni la asignación de las imágenes de estos vectores es única ] ####### 12. Sea f : ú 3 6 ú 3 una aplicación lineal / 6 Dado el subespacio de ú 3, S = { (x, y, z) 0 ú 3 / x + y + z = 0 } Y f(v) = v œ v 0 S 6 Ker (f) = { w 0 ú 3 / w t A v = 0 œ v 0 S } Dar la matriz asociada a f, considerando en el espacio inicial, la base B = { (1, 0, -1), (0, 1, -1), (1, 1, 1)} y en el esapcio final, la base canónica de ú Definir la imagen de un vector cualquiera (x, y, z) 0 ú Matriz de f en base B? Vamos a comenzar, imponiendo a f las dos condiciones del enunciado. Busquemos una base de S : œ (x, y, z) 0 S Y x + y + z = 0 Y z = -x -y Y (x, y, z) = (x, y, -x-y) = x (1, 0, -1) + y (0, 1, -1) Y S = < (1, 0, -1), (0, 1, -1)> Y Base S = { (1, 0, -1), (0, 1, -1) } [ Observa la pequeña habilidad para que los vectores obtenidos "coincidan" con los dos primeros vectores de la base B. Casualidad preparada! ] Como f (v) = v œ v 0 S Y f(1, 0, -1) = (1, 0, -1) Y f(0, 1, -1) = (0, 1, -1) Como Ker(f) = { w 0 ú 3 / w t A v = 0 œ v 0 S }

20 Y si (x, y, z) 0 ker(f) Y (x, y, z) = (z, z, z) = z (1, 1, 1) Base Ker(f) = {(1, 1, 1)} Como (1, 1, 1) 0 ker(f) Y f(1, 1, 1) = (0, 0, 0) Y La matriz asociada a f en la base B de ú 3 (inicial) y CANONICA en ú 3 (final) será [ Imágenes de los vectores de la base del Espacio Inicial como combinación lineal de los vectores de la base del Espacio Final ] f(x, y, z)? Vamos a utilizar la tercera salida al problema de obtener la matriz en bases canónicas de una aplicación lineal construída sobre bases cualesquiera. En este caso, tendremos una bonita resolución matricial. Sea A, la matriz asociada a f en base canónica. Como f(v) = A A v œ v 0 ú 3 Y Es decir : y, despejando matricialmente,

21 Existencia garantizada por formarla vectores de una base. Y de la forma habitual : ####### 13. Sea f : ú 3 6 ú 2 una aplicación lineal / f(x, y, z) = (x+y, y+z) œ (x, y, z) 0 ú 3, se consideran las bases B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } de ú 3 y B' = { (1, 1), (1, 2) } de ú 2. Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases B y B'. Utilizar la matriz anterior para hallar f(v) siendo v = (1, 2, 1). 6 M B, B' (f) Utilizando fundamentos Y Como

22 Resolviendo ( Es supersencillo ) " = 2 $ = -1 "' = 3 $' = -1 "'' = 2 $'' = 0 cuya acción será [ ATENCION : Problema propuesto para comprender el significado de la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de cualquier par de bases ] 6 f(v)? Puesto que la matriz anterior opera sobre vectores expresados en la base B Y al ser v = (1, 2, 1) necesitamos conocer sus componentes en la base B. Veamos : Sean ", $, ( 0 ú / (1, 2, 1) = " (1, 0, 0) + $ (1, 1, 0) + ( (1, 1, 1) Resolviendo Y " = -1, $ = 1, ( = 1 Y v = (-1, 1, 1) B Aplicando la matriz anterior Y Y f(v B ) = (3, 0) B' para obtener las coordenadas del vector, expresándolo mediante su relación con B' (3, 0) B' = 3 A (1, 1) + 0 A (1, 2) = (3, 3) [ Observa que sustituyendo en la definición original de la aplicación : f (1, 2, 1) = (1+2, 2+1) = (3, 3) que es el mismo resultado que hemos obtenido ] ####### 14. Considera (P 3 (x)(ú),+,a),(m 2 (ú)(ú),+,a) y sus bases: B = {x 3,x 2,x,1} y. Sea la aplicación lineal

23 f:p 3 (x)6m 2 (ú)/f(ax 3 +bx 2 +cx+d)=. Hallar: Matriz de la aplicación en las bases citadas Base y dimensión del núcleo y de la imagen Clasificación M B, B' (f)? Desarrollando el problema, tal vez un poco más de lo habitual. Hallemos las imágenes de los vectores de la base B y expresémoslas como combinación lineal de los vectores de la base B'. B = {x 3, x 2, x, 1 } f(x 3 ) = f(1 A x A x A x + 0 } = f(x 2 ) = f(0 A x A x A x + 0 } = f(x) = f(0 A x A x A x + 0 } = f(1) = f(0 A x A x A x + 1 } = Como la base de M 2 (ú ) es la base canónica Y las componenetes de cada una de las imágenes obtenidas coincidirá con los elementos de la matriz respectiva en el orden marcado por las matrices de la base B={x 3, x 2, x, 1 } f(x 3 ) = ( ) B' f(x 2 ) = ( ) B' f(x) = ( ) B' f(1) = ( ) B' Y M B, B' (f) =

24 14.2. Núcleo de f, Imagen de f Ker(f) = { ax 3 + bx 2 + cx + d 0 P 3 (x) / f (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = } Y f (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = œ ax 3 + bx 2 + cx + d 0 Ker(f) Y ax 3 + bx 2 + cx + d = cx 2 + cx + d = c (x 2 + x) + d A 1 Ker(f) = < x 2 + x, 1 > Base Ker(f) = { x 2 + x, 1 } dim Ker(f) = 2 Im(f) = { f(ax 3 + bx 2 + cx + d) 0 M 2 (ú ) / ax 3 + bx 2 + cx + d 0 P 3 (x) } Y f (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = Im(f) =< > Es fácil comprobar que son Linealmente Independientes Base Im(f) = { } Clasificación dim Im(f) = 3 Y f es una aplicación lineal u HOMOMORFISMO ordinario ####### 15. Sea la aplicación f : ú 3 6 ú 3 definida por f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) Probar que f es una aplicación lineal Hallar núcleo e imagen. Clasificarla

25 15.3. Hallar su matriz asociada en : Base canónica de ú Base B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } f lineal? Desarrollando ambos lados : ** f (" (x, y, z) + $ (x', y', z')) = f (" x + $x', " y + $y', " z + $z') = (" x + $x' + " y + $y', " y + $y' - (" z + $z'), " x + $x' + " y + $y' + " z + $z' ) = (" x + $x' + " y + $y', " y + $y' -" z - $z', " x + $x' + " y + $y' + " z + $z' ) ** " f (x, y, z) + $ f (x', y', z') = " ( x+y, y-z, x+y+z) + $ (x'+y', y'-z', x'+y'+z') = = (" x + " y + $ x' + $y', " y - " z + $y' - $z', " x +" y + " z + $x' + $y' + $z' ) Coordenada a coordenada ambos vectores son iguales. Y f es una aplicación lineal Núcleo e Imagen? * NÚCLEO Como f : ú 3 6 ú 3 Ker (f) = { (x, y, z) 0 ú 3 / f(x, y, z) = (0, 0, 0) } Como f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) = (0, 0, 0) Y Y Ker(f) = {(0, 0, 0) } Y dim Ker(f) = 0 * IMAGEN Im(f) = { f(x, y, z) 0 ú 3 / (x, y, z) 0 ú 3 } f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) = x A (1, 0, 1) + y A (1, 1, 1) + z A (0, -1, 1) Im(f) = < (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1) > Estudiemos su dependencia lineal

26 Son Linealmente Independientes Y Base Im(f) = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1) } Y dim Im(f) = 3 Im (f) = ú 3 * Clasificación Como f : ú 3 6 ú 3 ENDOMORFISMO dim Ker (f) = 0 INYECTIVA dim Im(f) = 3 = dim ú 3 SOBREYECTIVA f es un AUTOMORFISMO ( Endomorfismo BIYECTIVO ) Matriz? Matriz asociada a f en base canónica? Como f : ú 3 6 ú 3 tomaremos la misma base en el espacio inicial como en el final. Sea B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } la base canónica de ú Matriz asociada a f en base B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } y final. Vamos a dar dos resoluciones : a) Concepto de matriz de una aplicación lineal respecto de bases en un espacio inicial f(1, 0, 0) = (1, 0, 1) ; Sea (1, 0, 1) = " (1, 0, 0) + $ (1, 1, 0) + ( (1, 1, 1) f(1, 1, 0) = (2, 1, 2) ; Sea (2, 1, 2) = "' (1, 0, 0) + $'(1, 1, 0) + ('(1, 1, 1) f(1, 1, 1) = (2, 0, 3) ; Sea (2, 0, 3) = "'' (1, 0, 0) + $''(1, 1, 0) + (''(1, 1, 1) Resolviendo [ Observa : M B (f), pues no es necesario M B,B (f) al ser ENDOMORFISMO ] b) Mediante la relación matricial.

27 Hagamos un pequeño DIAGRAMA de apoyo P A v B = v CAN Y M B (f) = P -1 A M CAN (f) A P Como : Y Operando : [ Ambas resoluciones han sido muy elegantes ] #######