UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA SEMESTRE OCTUBRE - FEBRERO 2017 UNIDAD DIDÁCTICA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA SEMESTRE OCTUBRE - FEBRERO 2017 UNIDAD DIDÁCTICA MATEMÀTICA FINANCIERA II AUTOR: Ing. Flavo Parra T. Quto - Ecuador

2 TABLA DE CONTENIDO UNIDAD I ANUALIDADES O RENTAS DEFINICIÓN DE ANUALIDAD REQUISITOS PARA QUE EXISTA UNA ANUALIDAD CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO Anualdades Certas Anualdades contngentes CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN LOS INTERESES Anualdades smples Anualdades Generales CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL MOMENTO DE INICIACIÓN Anualdades dferdas Anualdades nmedatas RESUMEN DE ANUALIDADES ANUALIDAD VENCIDA Valor presente de una anualdad vencda(a) Valor futuro de una anualdad vencda(s) TRANSFORMACION DE TASAS DE INTERES Tasas efectvas Vencdas y Tasas efectvas Antcpadas Tasas efectvas Antcpadas y Tasas Nomnales Antcpadas EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ANUALIDADES ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA INTERPOLACION LINEAL ANUALIDADES DIFERIDAS Anualdades Generales ANUALIDADES PERPETUAS ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL UNIDAD II AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN Amortzacón Fondo de Amortzacón TABLAS DE AMORTIZACIÓN DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR (DD) Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR (DA) TIPOS DE AMORTIZACION Amortzacón Gradual (Método Francés) Amortzacón Constante (Método Alemán) Amortzacón (Método Amercano) TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACION UNIDAD III TASAS DE INTERES-TMAR-COSTO DE OPORTUNIDAD Combnacón de Tasas TASA DE INTERES REAL TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) TMAR = Tasa de Inflacón + Premo al Resgo TMAR como Costo de Oportundad y como Costo de Captal VALOR ACTUAL NETO (VAN) TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) Índce de rentabldad IR PAYBACK DESCONTADO Relacón Benefco-Costo (B/C)

3 UNIDAD IV Documentos Fnanceros y Bonos BONO: PAGO DE INTERESES: VALOR NOMINAL: VALOR DE REDENCIÓN: MADURACIÓN: PRECIO DE LOS BONOS: TASA INTERNA DE RETORNO (TIR O RENTABILIDAD): PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN: VALOR EN LIBROS DE UN BONO BIBLIOGRAFIA

4 INTRODUCCION En este segundo curso de Matemátcas Fnanceras se trata temas referentes a:tasas equvalentes, anualdades, amortzacones, fondos de valor futuro, documentos fnanceros, bonos, tasas de nterés nternaconales, tasa real, análss de convenenca de nvertr a través de ndcadores como VAN, TIR, Payback, Relacón Costo Benefco, que son necesaros en las actvdades fnanceras especalmente en el largo plazo, para fnancar compras de benes nmuebles y muebles, fnancamento, negocacón con documentos, y aseguramento de todos los benes; que tenen aplcacón en la formacón del admnstrador profesonal. IMPORTANCIA Dentro del mundo de los negocos, el futuro profesonal se enfrentará en muchas ocasones a tomar decsones que nvolucran la nversón adecuada de los recursos con que cuenta o a la dsponbldad de los msmos por lo tanto es necesaro que tenga los conocmentos que nvolucran a la Matemátca Fnancera En el caso que nos ocupa, la formacón en la especaldad profesonal de Admnstracón Contabldad, la matera Matemátca Fnancera es de mportanca pues le permtrá al estudante, en el momento que desempeñe un cargo en los nveles de apoyo o de dreccón en una empresa sea públca o prvada, tenga las técncas, herramentas y destrezas para la toma de decsones; entonces, deberá revsar documentos y emtr una opnón profesonal decsva 4

5 y defntora sobre estudos y proyectos o nformes realzados, que necesaramente contendrán cálculos matemátcos y sobre todo fnanceros, para ver s es rentable o no una nversón. En el mundo actual, donde la economía se ha globalzado y que gracas al apoyo de la cbernétca se ha dado una verdadera revolucón; pues las negocacones y transaccones fnanceras y afectacones, se hacen en tempo real, por lo que se requere poseer sóldos conocmentos fnanceros que permtan aprovechar las oportundades que se presentan en el mercado y tomar las meddas precautelatoras cuando estas puedan afectar las fnanzas de la empresa. 5

6 UNIDAD I 1. ANUALIDADES O RENTAS INTRODUCCION Los flujos de caja (pagos) de los crédtos comercales y fnanceros, normalmente tenen las característcas de ser guales y peródcos, estos se denomnan anualdades, por ejemplo; son anualdades las cuotas peródcas para pagar período a período un electrodoméstco, de un vehículo, los salaros mensuales, las cuotas de los seguros, los pagos de arrendamentos, entre otros, sempre y cuando, no varíen de valor durante algún tempo. Trataremos las anualdades más comunes y de mayor aplcacón en la vda cotdana. Por lo cual, se calculará el valor presente de una anualdad y su valor futuro, de la msma manera se determnará el valor de la cuota gual y peródca y el número de períodos de la negocacón. 1.1 DEFINICIÓN DE ANUALIDAD Una anualdad es una sere de flujos de cajas guales o constantes que se realzan a ntervalos guales de tempo, que no necesaramente son anuales, sno que pueden ser daros, quncenales o bmensuales, mensuales, bmestrales, trmestrales, cuatrmestrales, semestrales, anuales. Las anualdades se smbolzan con la letra R. El concepto de anualdad, es mportante en el área de las fnanzas, entre otras consderacones, porque es el sstema de amortzacón más utlzado en las nsttucones fnanceras en sus dferentes modaldades de crédtos. Además, es muy frecuente que las 6

7 transaccones comercales se realcen medante una sere de pagos hechos a ntervalos guales de tempo, en vez de un pago únco realzado al fnal del plazo establecdo en la negocacón. Es convenente, en el estudo de las anualdades, tener en cuenta las defncones de los sguentes térmnos: Renta o Pago (R): es un pago peródco que se efectúa de manera gual o constante. A la renta tambén se le conoce con el nombre: cuota, depósto. Cualquer de estos térmnos pueden ser utlzados en lugar de anualdad. Perodo de Renta: es el tempo que transcurre entre dos pagos peródcos consecutvos o sucesvos. El perodo de renta puede ser anual, semestral, mensual, etc. Plazo de una anualdad: es el tempo que transcurre entre el nco del prmer período de pago y el fnal del últmo período de pago. 1.2 REQUISITOS PARA QUE EXISTA UNA ANUALIDAD Para que exsta una anualdad se debe cumplr con las sguentes condcones: Todos los flujos de caja deben ser guales o constantes. La totaldad de los flujos de caja en un lapso de tempo determnado deben ser peródcos. Todos los flujos de caja son llevados al prncpo o al fnal de la sere, a la msma tasa de nterés, a un valor equvalente, es decr, a la anualdad debe tener un valor presente y un valor futuro equvalente. El número de períodos debe ser gual necesaramente al número de pagos. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO Las anualdades según el uso del tempo se clasfcan en certas y contngentes Anualdades Certas Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ngresos o desembolsos) ncan y termnan en perodos de tempos defndos. Por ejemplo, cuando una persona compra en un almacén un electrodoméstco a crédto, se establecen en forma nmedata las fechas de ncacón y termnacón de la oblgacón fnancera. Las anualdades perpetuas o ndefndas, son una varante de las anualdades certas. 7

8 Los flujos de caja de las anualdades ndefndas comenzan en un perodo específco o determnado y la duracón es por tempo lmtado Anualdades contngentes Son aquellas en las cuales la fecha del prmer flujo de caja, la fecha del últmo flujo de caja, o ambas depende de algún evento o suceso que se sabe que ocurrrá, pero no se sabe cuándo. El ejemplo más clásco, es el contrato de un seguro de vda, se sabe que hay un benefcaro, al cual hay que realzarle una sere de pagos en un tempo plenamente defndo, pero no se sabe cuándo empezarán, por desconocerse fecha en que morrá el asegurado. Por el alcance que tenen las anualdades contngentes. 1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN LOS INTERESES generales. Según el uso de los ntereses las anualdades se clasfcan en anualdades smples y Anualdades smples Son aquellas en que el perodo de captalzacón de los ntereses concde con el perodo de pago. Por ejemplo, cuando se realzan depóstos trmestrales en una cuenta de cuenta de ahorros ntereses captalzables cada trmestre Anualdades Generales Son aquellas en que el perodo de captalzacón de los ntereses no concde con el perodo de pago. Por ejemplo, cuando se realzan depóstos mensuales en una cuenta de ahorro pero los ntereses se captalzan cada bmestre. 1.5 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES SEGÚN EL MOMENTO DE INICIACIÓN. nmedatas. Las anualdades se clasfcan según el momento de ncacón en dferdas e 8

9 1.5.1 Anualdades dferdas Son aquellas en las cuales la sere de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos), se dan a partr de un período de graca. Este se puede dar de dos maneras: a) Período de graca muerto, b) Período de graca con cuota reducda. En el perodo de graca muerto, no hay abonos a captal, n pagos de nterés, lo que mplca que el valor de oblgacón fnancera al fnal del período de graca se acumula por efecto de los ntereses, ncrementándose el saldo de la oblgacón fnancera, por lo tanto, a partr de este nuevo valor se determna el valor de la cuota ó de la anualdad (R). En el perodo de graca con cuota reducda, se hacen pagos de ntereses, pero no abono al captal, por lo cual, el valor de la oblgacón fnancera, no camba por efecto de los ntereses, ya que estos se han vendo cancelando a través del tempo, por lo tanto, el valor de la oblgacón fnancera al fnal del perodo de graca, es el ncal, y a partr de él, se calcula ó se determna el valor de la cuota ó de la anualdad (R) Para el cálculo del valor presente y del valor futuro de una anualdad dferda, se pueden utlzar las expresones que se demostraran para las anualdades vencdas y antcpadas, posterormente; sé vera como se pueden adaptar las fórmulas para aplcarlas sobre las anualdades dferdas Anualdades nmedatas Son aquellas en la que sere de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos) no tene aplazamento algunos de los flujos, es decr, los flujos se realzan en el perodo nmedato a la frma del contrato o del pagaré. 9

10 1.6 RESUMEN DE ANUALIDADES. Anualdades { smples generales { { vencdas certas { vencdas contngentes { vencdas certas { vencdas contngentes { { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas { nmedatas dferdas antcpadas { nmedatas dferdas Anualdad certa. Sus fechas son fjas y se estpulan de antemano Anualdad contngente. Las fechas del prmer pago o del últmo no son fjadas de antemano (o ambas). Anualdad smple. Cuando el perodo de pago concde con la tasa de nterés. Anualdad general. Cuando el perodo de pago no concde con la tasa de nterés. Anualdad vencda (ordnara). Cuando los pagos peródcos se realzan al fnal del msmo. Anualdad antcpada. el pago se lo realza al nco del perodo de pago. Anualdad nmedata. Cobros o pagos se realzan de nmedato el momento de formalzacón del trato. Anualdad dferda. Se realzan los cobros o pagos después de un perodo de graca. 1.7 ANUALIDAD VENCIDA Valor presente de una anualdad vencda(a) Es una cantdad o valor, localzado un perodo antes a la fecha del prmer pago, equvalente a una sere de flujos de caja guales y peródcos. Matemátcamente, se puede expresar como la suma de los valores presentes de todos los flujos que compone la sere Valor futuro de una anualdad vencda(s) 10

11 Es la cantdad o valor ubcado en el últmo flujo de caja, equvalente a todos los flujos de caja constantes y peródcos de la sere. Matemátcamente, es el valor fnal que se obtene al sumar todos los valores llevados al futuro. R R R R R R R R n n A R * n (1 ) S R * n TRANSFORMACION DE TASAS DE INTERES. Dentro del campo fnancero algunas de las tasas que son de uso común se puede menconar las sguentes: Tasa Actva Tasa Efectva y efectva peródca Tasa Pasva Tasa Flat Tasa Referencal TASAS INTERNACIONALES Tasa Nomnal Tasa Lbor Tasa Prme Tasa E.U.R.I.B.O.R Tasa Actva Es la tasa que las entdades fnanceras cobran en sus actvdades credtcas, conocdas tambén como de colocacón de sus recursos. Tasa Pasva Es la tasa que las entdades pagan a los depostaros o nversonstas que colocan sus recursos en dchas entdades. 11

12 Tasa Referencales Son las tasas que da Banco Central y que srven de referenca para que las entdades fnanceras fjen sus tasas actvas y pasvas en sus operacones. Estas son presentadas semanalmente. Tasa Nomnal (j) Esta tasa es consderada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en los contratos. Expresa la forma en que se va ha captalzar los ntereses (nterés compuesto), presentándose como: xx% Anual convertble(perodo de tempo de captalzacón) = a.c. perodo de tempo. xx% Anual captalzable(perodo de tempo de captalzacón) xx% Anual compuesto(perodo de tempo de captalzacón) Perodo de tempo de captalzacón = Fraccón del año Tambén se puede decr, que la tasa nomnal es la que presenta de manera anual la tasa que efectvamente (tasa efectva peródca) se gana o paga en el perodo de captalzacón multplcada por su frecuenca de conversón. Frecuenca de conversón (m).- Es el número de veces que los ntereses se converten en captal en el año, dependendo del perodo de tempo que se consdere para su captalzacón, así tendríamos que s la captalzacón es mensual m sería gual a 12. Ejemplo: j = 24% mensuales en el año. anual captalzable mensualmente, entonces m = 12 captalzacones = j m = 24% 12 = 2% mensual 12

13 En nterés smple, la tasa de nterés con la que se trabaja se consdera como nomnal sn que esto sgnfque que se den captalzacones; como ejemplo podemos decr s un captal de $1.000, se presta a 180 días a una tasa: a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa dara = 0,12/360; =0,00033 daro o 0,033% daros b) 5% semestral; podría consderarse el tempo como un semestre y utlzar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa dara = 0,05/180; = % daro. Fórmula para transformacón de tasas: (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m = (1 + j m ) m (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 j j anual j o j anual = j m Ejemplos: Transforme las tasas ndcadas a) j = 8% a. c. t j = a. c. s (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m 2 ( ) 4 = (1 + j 2 2 ) 2 j 2= 8.08% a. c. s b) j = 8% a. c. t = mensual = j m = 8% 4 = 2% trmestral 13

14 (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 4 = (1 + 2 ) 12 2 = 0. 66% mensual c) = 2% mensual j = a. c. s = j m j = m j = 2% 12 = 24% a. c. m (1 + j m1 1 ) = (1 + j m2 2 ) m 1 m 2 j 2 = 12.30% a. c. s ( ) 12 = (1 + j 2 2 ) 2 d) = 6% bmestral = trmestral (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 6 = (1 + 2 ) 4 2 = 9.13% trmestral Tasa Efectva y Efectva Peródca () Es la tasa que realmente se está ganando o pagando durante un determnado perodo de tempo. Cuando se consdera que el perodo de tempo es un año se denomna tasa anual o tasa efectva anual; de lo contraro s el perodo es menor a un año se consdera como una tasa efectva peródca. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto, Anualdades, TIR, Bonos) (Tenga en cuenta que sempre la tasa efectva es mayor que la tasa nomnal, pues en esta se consderan los valores captalzados.) Tasas efectvas Vencdas y Tasas efectvas Antcpadas Cuando hablamos de nterés por antcpado, el monto de los ntereses se paga o se captalza al nco del perodo. Con el fn de encontrar su equvalenca con el nterés vencdo 14

15 se emplea una ecuacón de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un perodo, como sgue: A = X- ax A= X (1-a) (1) A F = X La tasa antcpada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto no aparece al fnal. Por otro lado aplcando el prncpo de equvalenca tenemos que: F = A(1+) consderando que F = X Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-a)(1+) y smplfcando tenemos: 1 = (1-a)(1+); (2) (1-a) = 1/ (1+); 1-1/ (1+) = a; (1+-1)/(1+) = a: a = 1 + Se consdera: = Tasa de nterés efectva peródca vencda a = Tasa de nterés efectva peródca antcpada Partendo de la ecuacón (2) tambén podemos despejar la tasa vencda en funcón de la antcpada, como sgue: (1+) = 1/ (1-a); 1/ (1-a)-1 = ; (1-1+ a)/ (1-a) = ; a = 1 a Ejemplos: 15

16 1.- Encuentre la tasa efectva peródca vencda equvalente a una tasa del 4% anual antcpada. =? anual a= 4% annual = 0,04/(1-0,04) = ; = 4,17% annual vencda 2.- Encuentre la tasa efectva antcpada equvalente a una tasa efectva anual vencda del 9%. a=? anual = 9%anual = 0,09/(1+0,09) = 0,0826; = 8,26% anual antcpada Tasas efectvas Antcpadas y Tasas Nomnales Antcpadas Smlar a lo vsto ya con las tasas vencdas efectvas y nomnales, para la transformacón tenemos la formula = j/m; donde en este caso se converte en ay j en ja; mantenéndose m como frecuenca de conversón y la condcón de que sea la tasa sea del msmo perodo de captalzacón. a = ja/m Ejemplos: 1.- Encuentre la tasa efectva peródca equvalente a una tasa del 4% a.c.t. antcpada. ja = 4% a.c.t. m = 4 a=? trmestral a= 0,04/4 = 0,01; a= 1% trmestral antcpada. 16

17 2.- Encuentre la tasa nomnal a.c.s. antcpada equvalente a una tasa efectva peródca 2,3% semestral antcpada. a= 2,3% semestral ja =? a.c.s.. m = 2 ja = 0,023 x 2 = 0,046; ja = 4,6% a.c.s. antcpada. Para el caso de anualdades generales se necesta la transformacón de tasas de nterés con el objetvo de que la tasa de nterés concda el perodo de pago. 1.9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ANUALIDADES Para resolver problemas en los que ntervenen las anualdades tome en cuenta las sguentes recomendacones: Lea con detenmento el problema y determne la pregunta que le pde para dar solucón. Realce un gráfco que represente el enuncado del problema Identfque s es una anualdad o no. Realce la clasfcacón de acuerdo al tpo de anualdad explcada anterormente. Plantee la ecuacón de valor (PAGOS = DEUDAS) Utlce con cudado su calculadora. 1. Una persona deposta hoy en una nsttucón fnancera la suma de $ que le paga una tasa de nterés del 3% mensual. Calcular el valor acumulado al fnal de año, s cada mes deposta $ 300? FF R=300 c/mes =3% mensual R R R R R R X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI 17

18 PAGOS = DEUDAS ECUACION DE VALOR X = S (1 + ) 12 x = 300 ( ) X = , ( ) Un padre de famla desea reunr para dentro de dez años la suma de $X para garantzar los estudos unverstaros de su hjo, por lo cual deposta en una nsttucón fnancera que reconoce un nterés del 24% a.c.m, $ 3000 cada año, y en los años 3 y 7 deposta adconalmente $ y $ respectvamente. R=3000 c/año j=24% a.c.m FF R R R R R R R R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI X 1 + = ( ) 12 = 26.82% anual PAGOS = DEUDAS X = S (1 + ) (1 + ) 3 X = 3000 ( ) X = , ( ) ( ) 3 2. Juan solcta un préstamo bancaro para un proyecto nmoblaro a 2 años plazo, pagando cuotas bmestrales a una tasa de nterés del 14%. Para segurdad del crédto el banco le entregara $ ahora y $ después de 8 meses. Determne la cuota bmestral a cancelar. FF R=bmestral =14% anual R R R R R R R R

19 CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI ( ) = (1 + b ) 6 b = 2.21% bmestral ( ) 4 = A ( ) 4 1 ( ) 12 = R R = $23.143,90 3. El señor Juan Pérez recbó tres ofertas al querer vender un apartamento, ubcado en Ambato. La prmera consstía en $ de contado. La segunda consstía en $ de contado y $ 230 al mes durante 36 meses. La tercera era de $ 650 al mes durante 3,5 años. S la tasa de nterés es del 2% mensual. Cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el señor Juan Pérez? a) $ de contado b) $ de contado y $230 al mes durante 36 meses F F R=230/mes =2% mensual R R R R R R ( ) 36 X = X = $35.862,43 c) $ 650 al mes durante 3,5 años 1 ( ) 42 X = X = $18.352,62 4. Los dneros de un contrato de arrendamento por un año, que empeza hoy, con canon de $ 300 mensuales antcpados, los deposto en una corporacón que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el acumulado obtendo, ses meses después de vencdo el contrato. B) S el arrendataro qusera pagar hoy el total de dcho contrato, y se le reconocera el 2,2% mensual por pronto pago. Cuánto debe cancelar hoy? 19

20 F F R=300/mes =2.5% mensual R R R R R R X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI a) X = S(1 + ) 6 X = [300 ( )12 1 ] ( )( ) 6 = 4.919, b) A = ( ) 12 ( ) = 3.202, ANUALIDADES ANTICIPADAS Son aquellas en las que la sere de flujos de caja se realzan al nco de cada perodo; por ejemplo el pago mensual del arrendo de una casa, ya que prmero se paga y luego se habta en el nmueble VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El valor presente de los flujos de caja (ngresos y desembolsos) guales antcpados será el valor, que en el momento de realzada la operacón fnancera, sea equvalente a todos los flujos de caja. S se consdera que una deuda (A) se va a cancelar medante n pagos guales de valor R, a una tasa de nterés () se tene: 20

21 FF R R R R R R R n-1 n 1 (1 ) A R n VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A partr del dagrama económco que se detalla a contnuacón se puede determnar la fórmula que permte calcular el valor futuro de una anualdad antcpada. R R R R R R R FF n-1 n (1 ) S R n 1 1 Resumen: R R R R R R R n-2 n-1 n A S A = R [1 + (1 (1 + ) n+1 ) ] o A = [R S = R [ (1 + )n (1 + ) n ] (1 + ) 1] o S = [R (1 + )n 1 ] (1 + ) Ejemplos: 1. Una persona recbe por concepto de arrendo (mes antcpado), la suma de $1.000 mensuales, y deposta el 30% en una cuenta de ahorros en una nsttucón fnancera, que le reconoce el 2% de nterés mensual. El depósto lo realza un vez recbe el valor de la renta. S el nmueble estuvo arrendado por un año, Cuánto tendrá acumulado en la cuenta al fnal de los 12 meses? 21

22 R=300/mes =2% mensual FF R R R R R R R R S CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI S = [300 ( )12 1 ] ( ) = $4.104, Un documento ofrece pagos trmestrales de $ , ncando el prmer pago el 20 de abrl de 1995 y termnando el 20 de abrl de S se desea cambar este documento por otro que estpule pagos trmestrales de $X comenzando el 20 de abrl de 1997 y termnando el 20 de octubre de Hallar el valor de la cuota, suponga una tasa del 24% a.c.t. F F R=30.000/trm =6% trm R R R R R R CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGAI = j m = 24% 4 = 6% trmestral A = A = $ ( ) 45 ( ) 0.06 F F R=30.000/trm =6% trm R R R R R

23 ,46( ) 7 1 ( ) 19 = R 0.06 R = $66.232,28 3. Los dneros de un contrato de arrendamento por un año, que empeza hoy, con canon de $ 300 mensuales antcpados, los deposto en una corporacón que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el acumulado obtendo, ses meses después de vencdo el contrato. B) S el arrendataro qusera pagar hoy el total de dcho contrato, y se le reconocera el 2,2% mensual por pronto pago. Cuánto debe cancelar hoy? F F R=300/mes =2.5% mensual R R R R R R X CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI c) X = S(1 + ) 6 X = [300 ( )12 1 ] ( )( ) 6 = 4.919, d) A = ( ) 12 ( ) = 3.202, INTERPOLACION LINEAL. La nterpolacón lneal es un procedmento muy utlzado para estmar los valores que toma una funcón en un ntervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1, f(x1)) y (x2,f(x2)). Para estmar este valor utlzamos la aproxmacón a la funcón f(x) por medo de una recta r(x) (de ahí el nombre de nterpolacón lneal, ya que tambén exste la nterpolacón cuadrátca). La expresón de la nterpolacón lneal se obtene del polnomo nterpolador de Newton de grado uno: RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL 23

24 Veamos los pasos que tenemos que segur para hallar la recta de regresón: 1º. Dados los puntos de la funcón (x1, y1) y (x2, y2), queremos estmar el valor de la funcón enunpuntoxenelntervalox1<x<x2. 2º. Para hallar la recta de nterpolacón nos fjaremos en la sguente magen. Para ello utlzamos la semejanza de los trángulos ABD y CAE, obtenendo la sguente proporconaldad de segmentos: AB/AC=BD/CE. 3º. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos: BD=(AB/AC) CE. Traducendo al lenguaje algebraco obtenemos que: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Y despejando y, obtenemos: y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Para nuestro estudo fnancero lo utlzaremos para calcular tasas de nterés y posterormente para el cálculo del TIR (Tasa nterna de retorno). 24

25 Ejemplos: 1. A qué tasa nomnal convertble semestralmente se acumula $ luego de 15 depóstos semestrales de $ R=12.000/semestre =? S = R (1 + )n = (1 + ) = (1 + )15 1 El objetvo es encontrar la tasa de acuerdo al apéndce 2 Interpolacón lneal La pregunta? qué valor se da a. Al ser arbtraro; ncemos con un valor del 1%. 0,01 0,02 0,05 0,1 0,15 0,16 VR 16,097 17,293 21,579 31,772 47,58 51,66 La dferenca entre el 1% y 2%, crece pero un valor pequeño, así msmo arbtraramente vaya al 5%, así como al 10%. Entre el 5% y 10% la dferenca es práctcamente de 10, podría subr al 15% que sumado al 31, 77 le daría algo como 41, contnúe con el proceso. Entre 15%(47,58) y 16%(51,56) está el valor buscado (50), utlce la fórmula de nterpolacón lneal. Puntos: (47,58, 0,15)(51,66, 0,16) 25

26 y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = = ( ) = = 15.59% semestral j = xm j = 15.59%x2 = 31.18% a. c. s 2. Una empresa desea nvertr $ en un proyecto que, según los planes, deberá producr un flujo de ngresos de $ bmestrales vencdos durante dos años. Qué tasa de nterés efectvo anual rendría el proyecto? R=4200/bm =%bmestral n (1 + ) n A = R 1 (1 + ) = (1 + ) = Tenemos una ecuacón que algebracamente no podemos resolver, entonces utlzamos la nterpolacón lneal dando valores a y() para encontrar el valor de referenca x(vr). 0,02 0,04 0,06 0,08 0,09 0,1 VR(x) 10,575 9,3851 8,3838 7,5361 7,1607 6,8137 y() = ( ) = 9.05% bmestral ( ) 6 = (1 + 2 ) 1 = 68.17% anual 26

27 3. Para pagar una deuda de $ se abonan 7 mensualdades vencdas de $ ,66. Qué tasa nomnal convertble mensualmente se cargó en la operacón? FF R= ,66/mes =% mensual (1 + ) n 1 (1 + ) 7 A = R [ ] = ,66 [ ] 1 (1 + ) 7 6,3494 = [ ] (y) 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 VR(x) 6,7282 6,4720 6,2303 6, El admnstrador del club de fútbol Los nvencbles está evaluando la compra de un nuevo autobús para transportar los jugadores. Una arrendadora fnancera le ofrece un plan de compra medante el pago de 36 mensualdades antcpadas de $19.862,35. Cuál es la tasa de nterés nomnal anual que está cargando la arrendadora s el preco del autobús es de $ ? S además de las 36 mensualdades antcpadas, el equpo debe pagar 5% del valor del autobús como opcón de compra sn ntereses, un mes después de concludo el pago de los abonos mensuales, cuál sería el valor actual de los pagos que deben realzarse para adqurr el autobús? FF R=19.862,35/mes =?

28 1 (1 + ) n A = R [ ] (1 + ) 1 (1 + ) = [ ] (1 + ) 1 (1 + ) 36 24,4558 = [ ] (1 + ) y() 0,01 0,02 0,03 VR(x) 30, , ,48722 P 1 (25,99862,0.02)P 2 (22,48722,0.03) y = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = ( ) y = = = 2.44% mensual (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2 ( ) 12 = (1 + 2 ) 1 = 33.55% anual FF R=19.862,35/mes =? 5%( ) OPCIÓN DE COMPRA: 5%( ) = (1 + ) n = R [ ] (1 + ) ,50(1 + ) 36 28

29 1 ( ) = R [ ] ( ) ,50( ) = R ,14 R = ,52 5. El Comté Pro-mejoras de El Madrgal prevé susttur un equpo de bombeo de agua para rego, msmo que tendrá una vda útl de 10 años su costo será $ más $ por nstalacón. Por esta razón los membros del Comté han decddo crear un fondo medante pagos mensuales a una tasa del 14.5% a.cm. a) Establecer el valor de cada depósto que permta el reemplazo e nstalacón del equpo de bombeo. b) S el Comté está conformado por 45 socos; cuál es la cuota mensual de cada soco. R/mes J=14.5% a.c.m S AGCVI = 14.5% 12 = 1.208% mensual = R ( ) Cuota Soco = = R = Una persona adquere a crédto un electrodoméstco que cancelará en 12 pagos mensuales guales de $ , a una tasa de 2% mensual. Encontrar el valor de contado del electrodoméstco. 29

30 FF =2%mensual R= /mes A Clasfcacón de la anualdad: ACSVI 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) 12 A = [ ] = , Un apartamento se adquere a crédto por la suma de $ en cuota mensuales guales, la oblgacón se pacta a 15 años a una tasa de nterés del 1.5% mensual. Determnar el valor de las cuotas. FF R/mes =1.5%mensual Clasfcacón de la anualdad: ACSVI 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) = R [ ] R = 9.662,53/mes Susttur una sere de flujos de cajas constantes de $ al fnal de cada año, durante 5 años, por el equvalente en cuotas mensuales vencdas, con un nterés del 2.4% mensual. 30

31 FF R=45.500/año =2.4% mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACGVI (1 + 1 ) p 1 = (1 + 2 ) p 2( ) 12 = (1 + 2 ) 1 2 = 32.92% anual 1 (1 + ) n 1 ( ) 5 A = R [ ] A = [ ] A = ,91 FF R=mensual =2.4% mensual ,91 1 ( ) ,91 = R [ ] R = 3.317,02 mes Un crédto de $ para cancelarlo en 24 cuotas mensuales de $ con dos cuotas extras en pactadas en los meses 8 y 16, s la tasa de ntereses es del 3,2% mensual; calcular el valor de las cuotas extras. 31

32 FF x x R= mes =3.2%mensual A Clasfcacón de la anualdad: ACSVI PAGOS = DEUDAS A + x(1 + ) 8 + x(1 + ) 16 = ( ) [ ] + x( ) 8 + x( ) 16 = x = ,52 x = , Como benefcaro de un plan de jublacón, el señor Domínguez puede recbr$ de nmedato; o puede recbr $ ahora y el resto con pagos de $6.000 cada 3 meses. S la compañía paga nterés del 16% anual convertble trmestralmente. Cuántos pagos completos recbrá? FF R=6000trmestral j=16%a.c.t n-1 n Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = j m = 16% 4 = 4% trmestral 32

33 PAGOS = DEUDAS 1 ( ) n = [ ] = 1.04 n n = log 0.2 log 1.04 n = Con qué cantdad adconal al últmo pago completo le lqudarán el total de su benefco de jublacón? Lqudacón: 41 pagos guales y uno menor. FF R=6000trmestral j=16%a.c.t R S x x = (1 + ) 41 S x = ( ) [ ( )41 1 ] = R = ( ) 1 = Con qué pago fnal realzado 3 meses después del últmo pago de $6.000 le lqudarían el total? Lqudacón: 40 pagos guales y uno mayor. 33

34 FF R=6000trmestral j=16%a.c.t R S x x = (1 + ) 40 S x = ( ) [ ( )40 1 ] = R = 5.969,38( ) 1 = 6.208,17 9. Cada 2 meses, el día 25, se deposta $1.000 en un fondo de nversón que paga 14% convertble bmestralmente, Cuánto se habrá acumulado en el fondo un nstante antes de realzar el vgésmo cuarto depósto? 2. FF R=1.000/bmestre j=14% a.c.b Clasfcacón de anualdad: ACGAI S = j m = 14% 6 = % bmestral S = R [ (1 + )n 1 ] (1 + ) S = [ ( )24 1 ] ( )

35 S = , ANUALIDADES DIFERIDAS Una anualdad dferda es aquella en que el prmer pago se efectúa después de transcurrdo certo número de perodos. El tempo transcurrdo entre la fecha en la que se realza la operacón fnancera y la fecha en que se da el prmer pago, se conoce como período de graca. El perodo de graca, puede ser muerto o de cuota reducda. En el prmero, no se pagan ntereses n se abona a captal, por lo tanto, el captal ncal se va ncrementando a través del tempo de graca por no pagarse los ntereses; mentras que en el segundo se pagan los ntereses, pero no se hacen abonos a captal, es decr, en este caso, el captal prncpal no se ncrementa en el período de graca, porque se están cancelando los ntereses. Ejemplos: 1. Una deuda de $ se va a cancelar medante 18 pagos trmestrales de $R cada uno. S el prmer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dnero, calcular R con una tasa del 12% anual captalzable trmestralmente. FF j=12% a.c.t R R R R R R R A Clasfcacón de anualdad: ACGD = j m = 12% 4 = 3% trmestral Alternatva 1: FF en cero 35

36 DEUDAS = PAGOS = A (1 + ) 3 1 ( ) = R [ ] ( ) = R( ) R = ,67 Alternatva 2: FF en (1 + ) 3 = A ( ) 3 1 ( ) 18 = R [ ] ,6 = R( ) R = ,66 2. Una persona debe pagar $ dentro de 6 meses. Con cuántos pagos bmestrales de $2187,63 podría lqudar su adeudo s el nterés es de 19.76% captalzable bmestralmente, y debe realzar el prmer pago pago dentro de 12 meses? a) Anualdad vencda R=2187,63/ bm. j=19.76%a.c.b n AGDVD = 19.76% 6 = 3.29% bmestral 11000( ) 2 = ( ) (n 5)

37 = (n 5) (n 5) = log log (n 5) = 6 n = 11 De 5 a 11 son 6 cuotas vencdas b) Anualdad antcpada R=2187,63/ bm. j=19.76%a.c.b n ( ) 3 1 ( ) (n 6)+1 = [1 + ] = (n 6)+1 (n 6) + 1 = log log (n 6) + 1 = 5 n = 12 De 6 a 12 son 6 cuotas antcpadas 1.13 Anualdades Generales Las anualdades generales, son aquellas en las cuales los períodos de pago no concden con los períodos de nterés, por ejemplo; una sere de pagos semestrales con una tasa efectva trmestral. Una anualdad puede ser reducda a una anualdad smple, s se hace que los períodos de tempo y los períodos de nterés concdan, hay dos formas como se puede realzar: 1. Calcular pagos equvalentes, que deben hacerse en concordanca con los períodos de nterés. Consste en encontrar el valor de los pagos que, hechos al fnal de cada período de nterés, sean equvalentes al pago únco que se hace al fnal de un perodo de pago. 2. Modfcar la tasa, hacendo uso del concepto de tasas equvalentes, para hacer que concdan los perodos de pago con los del nterés. 37

38 Ejemplo Hallar el acumulado de 24 pagos trmestrales de $ cada uno suponendo una tasa de nterés del 30% a.c.m. Realce el ejercco por las dos formas enuncadas anterormente Método 1: Transformamos el pago mensual equvalente de acuerdo a la tasa de nterés. j=30%a.c.m R/mensual /trmestral = j m = 30% 12 = 2.5% mensual S = R [ (1 + )n 1 ] 2800 = R [ ( )3 1 ] R = /mes Calculamos el monto acumulado con el pago mensual, para los 24 pagos trmestrales. R=910.38/mes =2.5%mensual S S = R [ (1 + )n 1 ] S = [ ( )72 1 ] = , Método 2: Transforme tasa de nterés de acuerdo al perodo de pago con las fórmulas conocdas. = 2.5% mensual = trmestral 38

39 (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 3 = (1 + 2 ) 1 2 = % trmestral R=2.800/trmestre =7.689%trmestral S S = R [ (1 + )n 1 ] S = [ ( )24 1 ] = , Conclusones: Los valores dferen por el número de decmales usados en la transformacón de la tasa de nterés, así como en la cuota mensual, s el valor encontrado guardamos en memora de la máquna de calcular los valores son exactos. Podríamos afrmar que el método2, resulta ser el más usado por facldad. 3. Un empleado desea ahorrar $ en el próxmo año. S puede hacer depóstos semanales en una cuenta que paga el 0.5% mensual efectvo. Cuánto debe depostar cada semana, s se consderan 48 semanas por año? R/semana =0.50% mensual Clasfcacón de anualdad: ACGVI (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) = = 0.125% mensual 39

40 S = R [ (1 + )n 1 ] = R [ ( )48 1 ] R = 2.326,17 semanal 4. El ngenero Martínez debe hacer 10 pagos bmestrales de $4000, comenzando dentro de 2 meses. S desea cambar ese plan de pagos por otro en que haga 18 pagos mensuales a partr del próxmo mes, y se pactan los ntereses a 18% anual. Cuál debe ser el mporte de los pagos mensuales? FF R=4.000/bmestre =18% anual A (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 6 2 = 2.80% bmestral 1 (1 + ) n 1 ( ) 10 A = R [ ] A = [ ] = , FF R/mes =18% anual ,74 (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 12 2 = 1.39% mensual 1 (1 + ) n 1 ( ) 18 A = R [ ] ,74 = R [ ] R = 2.177,74 mes 40

41 5. A un empleado le ofrecen lqudarlo en la empresa donde trabaja medante un pago efectvo de $ S en vez de aceptar eso desea recbr $4.000 mensuales vencdos. Cuántos pagos de este valor debe recbr s se consderan ntereses a 16% a.c.s? Clasfcacón de la anualdad: ACGVI FF R=4.000/mes j=16%a.c.s n-1 n A = j m = 16% 2 = 8% semestral (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 1 = (1 + 2 ) 6 2 = 1.29% mensual 1 (1 + ) n 1 ( ) n A = R [ ] = [ ] = n n = a) 28 pagos guales y un pago menor R=4.000/mes FF S x = ( ) ( ) x x = , ,70 = 2.142,55 41

42 R = 2.142,55( ) = 2.178,19 b) 27 pagos guales y un pago mayor x = ( ) ( ) x = , ,68 = 6.064,32 R = 6.064,32( ) = 6.142,55 6. Al comprar mercancías se quedan debendo $ , para cancelarlas en 3 años, por cuotas mensuales guales el prmes año, cuotas bmestrales guales durante el segundo año y con cuotas trmestrales guales en el tercer año. S las cuotas bmestrales son el doble de las cuotas mensuales, y las cuotas trmestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas, sí la tasa de fnancacón es del 2% mensual. 3. FF =2% mensual R R R 2R 2R 2R 2R 2R R/3 R/3 R/3 R/ Am Ab At Clasfcacón de la anualdad: ACGVI = 2% mensual = bmestral = trmestral (1 + 1 ) p1 = (1 + 2 ) p2 ( ) 2 = (1 + 2 ) 1 2 = 4.04% bmestral ( ) 2 = (1 + 2 ) 1 2 = 4.04% bmestral 42

43 1 (1 + ) n A = R [ ] 1 ( ) 12 A m = R [ ] = R ( ) 6 A b = 2R [ ] = R ( ) 4 A t = R/3 [ ] = R PAGOS = DEUDAS = A m + A b ( ) 12 + A t ( ) = R R( ) R( ) = R R = ,05 mensual R = ,10 bmestral R = ,02 trmestral 1.14 ANUALIDADES PERPETUAS Una anualdad perpetua es aquella en la que no exste el últmo pago, o aquella que tene nfnto números de pagos. Tenendo en cuenta que en este mundo todo tene fn, se puede defnr, que una anualdad ndefnda o perpetuas, es aquella que tene muchos flujos de caja (ngresos o desembolsos), como ejemplos, se podrían ctar las cuotas de mantenmento de una carretera o de un puente, o una nversón a muy largo plazo donde solo se retran los ntereses, claro, suponendo que éstos son guales en cada uno de los períodos. En esta anualdad, solo exste valor presente que vene a ser fnto, porque el valor futuro o monto será nfnto por suponerse que los flujos de caja son ndefndos. En realdad las anualdades 43

44 perpetuas o ndefndas no exsten. La anualdad perpetua vencda se representa en un dagrama económco de la sguente manera: R A Sabemos que el valor presente de una anualdad está dada por: A = R [ 1 (1+) n ]; s se aplca el lmte cuando n ; entonces (1 + ) n ; tende a ser cero (0); de ahí que el valor presente de una perpetudad es: A = R Ejemplo 1: Los exalumnos de una unversdad decden donarle un laboratoro y los fondos para su mantenmento futuro. S el costo ncal es de $ y el mantenmento de estma en $ anuales, hallar el valor de la donacón, s la tasa efectva es de 15% anual. FF R=5.000/anual =15% A PAGOS = DEUDAS A = = ,33 Ejemplo 2: Para mantener en buen estado las carreteras muncpales, la junta de goberno decde establecer un fondo a fn de realzar las reparacones futuras, que se estman en $ cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con una tasa de nterés del 18% efectva. 44

45 1.- Debemos establecer la cuota anual. S = R [ (1 + )n 1 ] = R [ ( )5 1 ] 0.18 R = ,84 anual A = , = , ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO Analcemos una sere de flujos de caja (ngresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un valor unforme o constante, como tambén aquellas que aumentan o dsmnuyen en un valor porcentual. Es convenente afrmar, que báscamente la únca condcón que camba entre las anualdades y las anualdades con gradentes artmétcas y geométrcas es que el valor de los flujos de caja varía y las demás condcones no se modfcan, por lo cual, los conceptos de anualdades vencdas, antcpadas, dferdas y generales que se trataron anterormente son los msmos y se manejaran en déntca forma. DEFINICION Se denomna gradente a una sere de flujos de caja (ngresos o desembolsos) peródcos que poseen una ley de formacón, que hace referenca a que los flujos de caja pueden ncrementar o dsmnur, con relacón al flujo de caja anteror, en una cantdad constante o en un porcentaje. Para que una sere de flujos de caja se consderen un gradente, deben cumplr las sguentes condcones: Los flujos de caja deben tener una ley de formacón. Los flujos de caja deben ser peródcos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equvalente. 45

46 La cantdad de perodos deben ser guales a la cantdad de flujos de caja. Cuando los flujos de caja crecen en una cantdad fja peródcamente, se presenta un gradente lneal crecente vencdo, sí los flujos de caja se pagan al fnal de cada perodo. S los flujos de caja ocurren al comenzo de cada período se está frente a un gradente lneal crecente antcpado. S el prmer flujo se posterga en el tempo, se presenta un gradente lneal crecente dferdo. Las combnacones anterores tambén se presentan para el gradente lneal decrecente. En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realzan al fnal de cada período se tene un gradente geométrco crecente vencdo, y s los flujos ocurren al nco de cada período, se tene un gradente geométrco crecente antcpado. Se tendrá un gradente geométrco crecente dferdo, s los flujos se presentan en períodos posterores a la fecha de realzada la operacón fnancera. Lo anteror ocurre con el gradente geométrco decrecente GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL Es la sere de flujos de caja peródcos, en la cual cada flujo es gual al anteror ncrementado o dsmnudo en una cantdad constante y se smbolza con la letra G y se le denomna varacón constante. Cuando la varacón constante es postva, se genera el gradente artmétco crecente. Cuando la varacón constante es negatva, se genera el gradente artmétco decrecente. Valor presente(a) y futuro(s) de un gradente artmétco o lneal crecente Valor presente.- Es la cantdad, que resulta de sumar los valores presente de una sere de flujos de caja que aumenta cada período en una cantdad constante denomnada gradente (G). Valor futuro.- Es la cantdad, que resulta de sumar los valores futuros de una sere de flujos de caja que aumenta cada período en una cantdad constante denomnada gradente (G). 46

47 R R+G R+2G R+3G R+(n-2)G R+(n-1)G n-1 n Para calcular el valor presente y futuro de una anualdad con gradente artmétco utlzamos las formulas. 1 (1 + ) n A = R [ ] ± G [1 (1 + ) n n (1 + ) n] = A U ± A G S = R [ (1 + )n 1 ] ± G [(1 + )n 1 n] = S U ± S G R = cuota ncal antcpada, vencda o dferda = tasa de nterés de la transaccón n = número de perodos G = gradente artmétco (ley de formacón), crecente o decrecente A U = Valor presente de anualdad unforme A G = Valor presente de anualdad con gradente S U = Valor futuro de anualdad unforme S G = Valor futuro de anualdad con gradente Recuerde la sere de pagos o flujos de caja responden a las seres o progresones artmétcas; el valor de cualquer cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquer termno. R n = R + (n 1)G 47