Sistemas de Coordenadas Astronómicas. Posiciones Especiales de los Astros

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1 continuación del Tema 1 Sistemas de Coordenadas Astronómicas. Posiciones Especiales de los Astros 1.6- Fórmulas de Nepper para triángulos esféricos Al trabajar con triángulos esféricos es conveniente, en ciertas ocasiones donde un lado o ángulo son rectos, emplear las fórmulas de Nepper. Para ello se construyen pentágonos complementarios alrededor del triángulo, [Figura 1.6a], de la siguiente forma: Figura 1.6a: Pentágonos de Nepper. A la izquierda para triángulos esféricos rectángulos y a la derecha para triángulos esféricos rectiláteros Los elementos son: ángulos A, B y C y catetos a, b y c. Se presentan los siguientes dos casos: a) Si el triángulo es rectángulo, tenemos que A = 90 y en entonces a es la hipotenusa Se envuelve el triángulo con un pentágono, [Figura 1.6a Izquierda], se definen sus lados de acuerdo a la figura y se aplican las siguientes fórmulas: cos (lado) = producto de los senos (lados opuestos) cos (lado) = producto de las cotg (lados adyacentes)

2 Por ejemplo: cos a = sen (90 - c) sen (90 - b), o bien cos a = cotg B cotg C b) Si el triángulo es rectilátero, entonces el lado a = 90, el pentágono se construye como el de la [Figura 1.6a Derecha] y valen las mismas fórmulas. Por ejemplo: cos c = sen (90 - C) sen b, o bien cos c = cotg (90º - B) cotg ( - A) 1.7- Astros en el Horizonte Llamaremos Elementos de Calaje a aquellos parámetros que nos permitirán localizar un astro en alguna posición del cielo para cualquier instante. Estos son el Acimut (A), la Distancia Zenital (z) y el tiempo del suceso o Ángulo Horario (H). Este último elemento deberá ser transformado a Tiempo Sidéreo ( l) u Hora Oficial Argentina (HOA). Cuando un astro está saliendo u ocultándose, la distancia cenital z = 90, por lo tanto tendremos un triángulo de posición rectilátero. El triángulo de posición y el correspondiente pentágono de Nepper se construyen según la [Figura 1.7a]. Figura 1.7a: Triángulo de posición rectilátero y pentágono de Nepper para astros en el horizonte

3 Calcularemos ahora los elementos de calaje. Sabemos que la distancia cenital z vale 90º, así que restan conocer los otros dos. Para saber cuánto vale el ángulo horario H sobre el horizonte; aplico entonces el coseno al lado correspondiente, [Figura 1.7a] : cos ( H) = cotg (90 ) cotg (90 ) cos H = tg tg cos H = tg tg (1) Para el acimut A: cos (90 ) = sen (A 90 ) sen (90 ) sen = cos A cos cos A = sen / cos (2) De la fórmula (1) veamos seis casos de cómo entran en juego los factores y : Primer Caso Si + 90 tg tg 1, lo cual no podría ser, puesto que según la fórmula (1), el coseno de H daría mayor que la unidad. Esto debe interpretarse como que la fórmula (1) falla porque el astro no corta el plano del horizonte. Por lo tanto, para que el astro corte al horizonte, [Figura 1.7b], debe cumplirse la condición: + 90, o bien 90 Si al valor : 90 =, la llamamos distancia polar, tenemos que la condición de corte es:

4 Figura 1.7b: Primer caso. Condición para que el astro corte el horizonte Segundo Caso Si y son de igual signo, implica que cos H es negativo y H debe estar entonces en el II o III cuadrantes, H 90 o H 6 h, [Figura 1.7c]. Esto indica que todos los astros que cumplen esta condición son visibles para el observador un tiempo mayor de : 2H = 12 h (entre la salida y puesta). Es mayor el tiempo que el astro permanece visible que invisible (caso del Sol en verano). Fig. 1.7c: Segundo caso. y son de igual signo y el cos H es negativo.

5 Tercer Caso Si y son de distinto signo, respetando la condición de corte dada en el primer caso, el cos H es positivo, así H está en el I o IV cuadrantes, [Figura 1.7d]. Entonces: 2H 12 h, Figura 1.7d: Tercer caso. y son de distinto signo. lo que indica que el astro está más tiempo bajo el horizonte que sobre él. Cuarto Caso Si = 0 el astro está siempre circulando en el Ecuador. Esto implica que la tg = 0 y el cos H = 0. Por lo tanto: H = 90 = 6 h El arco sobre el horizonte es igual al arco bajo el horizonte, [Figura 1.7e]. Es el caso del Sol en los equinoccios. Figura 1.7e: Cuarto caso. El astro circula por el ecuador

6 Quinto Caso Si = 0 el observador está situado sobre el Ecuador. Esto implica que la tg = 0 y el cos H = 0. Por lo tanto: H = 90 = 6 h Es un caso parecido al anterior. El astro está 12 h sobre el horizonte y 12 h abajo. Los arcos descriptos por el astro siempre son planos verticales, [Figura 1.7f]. Figura 1.7f: Quinto caso. = 0.Observador en el Ecuador Sexto Caso Habíamos dicho que si + 90, el astro no corta al horizonte; pero ahora se presentan dos casos : i) que el astro esté en el mismo hemisferio del observador y permanezca siempre visible. Entonces el signo = signo ii) que el astro esté en distinto hemisferio y por lo tanto no sea visible nunca. Entonces el signo signo Resumiendo: + 90 no corta al horizonte + 90 si corta al horizonte

7 La figura correspondiente es la misma que para el primer caso. De la fórmula (2) veamos cómo entran en juego los factores y : El cos es una función par, así que para cualquier, siempre el cos será de signo positivo, por lo que concluimos que el signo del cos A lo regula solamente. Si es negativo, implica que el sen es negativo, por lo tanto cos A es positivo. Entonces, si cos A (+) estamos en el I cuadrante (SW), o bien en el IV cuadrante (SE). Los astros se levantan en el IV cuadrante y se ponen en el I cuadrante, [Figura 1.7g]. Si es (+) implica que el sen es (+), por lo tanto cos A es ( ). Así, si cos A ( ), estamos en el II cuadrante (NW), o bien en el III cuadrante (NE). Los astros se levantan en el III cuadrante y se ocultan en el II cuadrante. Figura 1.7g: Salida y puesta de los astros en los cuadrantes Acimut Calculado Para calcular el acimut de un astro cualquiera, usamos la fórmula dada por trigonometría esférica: cos z sen - sen δ cos A (3) sen z cos Debemos tener en cuenta que el acimut verdadero puede o no coincidir con el acimut calculado. Para hallar el verdadero valor deberemos estudiar los cuadrantes, [Figura 1.7g].

8 cuadrantes: Vale decir que el acimut de un astro que se levanta, está encasillado en el III o IV Si cos A (+), corresponde al IV cuadrante : A verdadero = 360 A cálculo Si cos A ( ), corresponde al III cuadrante : A verdadero = A cálculo Para los astros que se ocultan, deberemos encasillarlos en el I o II cuadrantes: Si cos A (+) corresponde al I cuadrante : A verdadero = A cálculo Si cos A ( ) corresponde al II cuadrante : A verdadero = 180 A cálculo 1.8- Astros en el Meridiano Se dice que un astro está culminando cuando el mismo está cortando el plano meridiano del lugar. Cuando un astro corta al meridiano del lugar, el ángulo horario H en ese instante es nulo Desarrollemos el teorema del coseno para el lado z del triángulo de posición, [Figura 1.8a]: cos z = cos (90 ) cos (90 ) + + sen (90 ) sen (90 ) cos H Figura 1.8a: Triángulo de posición Como en el meridiano H = 0, entonces cos H =1 cos z = sen sen + cos cos * 1 cos z = cos ( ) z m = (4) En general cuando se habla de Coordenadas Horizontales (z, A) la distancia cenital z es siempre positiva. Ahora bien, para este único caso en que el astro corta al meridiano del lugar en un instante determinado, se le atribuirá a la distancia cenital z un signo, [Figura 1.8b].

9 Para estrellas que culminen al sur del cenit, o sea para más negativas que, decimos que z es (+). Si el astro culmina al norte del cenit, decimos que z es ( ). Figura 1.8b: Signo de la distancia cenital Un astro cualquiera culmina siempre en dos puntos; hasta ahora hemos considerado que en culminación inferior se produce debajo del horizonte y no es visible. Pero existen astros cuyas culminaciones superiores (CS) e inferiores (CI) se producen sobre el horizonte y son siempre visibles, [Figura 1.8c]. Son las estrellas cercanas al polo llamadas circumpolares. Como CI + CS = 180, para que la fórmula (4) siga valiendo se deberá poner : z CI = CI = (180 CS ) F i g Figura 1.8c: Estrellas circumpolares

10 Con respecto al acimut A, decimos que para los astros que culminan al sur del cenit A = 0, y para los astros que culminan al norte del cenit A = 180. Para un astro que culmina exactamente en el cenit en un instante dado =, z = 0 y el acimut A es indeterminado Astros en el Primer Vertical El Primer Vertical es el plano que, conteniendo a la vertical del lugar, es perpendicular al meridiano del lugar. Así, en el instante en que un astro se encuentra transitando el primer vertical, su acimut A = 90 al Oeste o A = 270 al Este. El triángulo formado es rectángulo y, en consecuencia, podemos armar el pentágono de Nepper, [Figura 1.9a]. Figura 1.9 a: Primer vertical y pentágono de Nepper armado para estrellas que cortan este plano El acimut A ya lo conocemos (A = 90º o A = 270º), es decir que solo nos faltan conocer los restantes dos elementos de calaje. Para conocer H trabajo sobre el pentágono de Nepper : cos H = cotg cotg (90 ) cos H = tg / tg (5)

11 La latitud la conozco (mediante algún método de observaciones astronómicas o extraídas de mapas cartográficos) y la declinación del astro la puedo consultar en algún catálogo estelar cualquiera. Así, calculando por la fórmula (5) el ángulo horario H, puedo conocer el instante sidéreo l del corte del astro por el primer vertical, usando la expresión l = + H, donde la ascensión recta también la saco del catálogo. Si lo deseo puedo transformar el Tiempo Sidéreo l en Hora Oficial Argentina HOA. De (5) vemos que deberá cumplirse que cos H 1, por lo tanto tg tg, vale decir que la condición de corte al primer vertical es:. Pero el corte puede producirse bajo el horizonte, en cuyo caso no lo veremos. Para que se produzca arriba del horizonte tenemos que conseguir que el cos H sea (+) y que el signo = signo de. Entonces, para que un astro corte al primer vertical sobre el horizonte, deben cumplirse simultáneamente que : signo de = signo de Para conocer la distancia cenital z aplicamos la regla de Nepper : cos (90 ) = sen sen (90 z) cos z = sen / sen (6) De (6) vemos también que para que el astro corte al primer vertical sobre el horizonte, es necesario que el signo = signo. Si, por el contrario, el signo signo, implica que cos z 0 y z 90, en consecuencia el astro corta al primer vertical bajo el horizonte.

12 Si = 0, implica que el astro recorre el ecuador y por lo tanto corta al primer vertical con A = 90, z = 90 y H = 90 = 6 h. El astro corta al primer vertical y al horizonte al mismo tiempo (es aproximadamente el caso de la estrella de las Tres Marías : Ori-Mintaka) el cenit. Si =, implica que el cos z = 1 y z = 0, el astro corta al primer vertical en Si = 0, el observador está situado en el ecuador y este coincide con el primer vertical. Solo lo cortarán, o mejor dicho se superpondrán, aquellas estrellas cuya = Astros en Máxima Elongación Consideremos una estrella circumpolar que por supuesto tiene una declinación grande. La misma se moverá sobre un círculo menor paralelo al círculo ecuatorial. El acimut de la estrella variará progresivamente hasta llegar a un máximo. En la posición de máximo acimut el círculo vertical que pasa por la estrella es tangente al círculo paralelo. En este momento la estrella habrá conseguido su máximo apartamiento del meridiano, [Figura 1.10a]. Figura 1.10a: Una estrella en el momento de máxima elongación

13 Así, a la máxima elongación la definimos como el instante en que la estrella alcanza el mayor apartamiento del meridiano del lugar. Como se ve en la figura, el círculo vertical y el círculo horario correspondiente son perpendiculares, por lo que el ángulo paraláctico Q = 90. También se deduce que los astros a elongar son los que no cortan al primer vertical, pues no habría un acimut máximo sobre el horizonte. Desarrollando el pentágono de Nepper, [Figura 1.10b]: cos H = cotg (90 ) cotg cos H = tg cotg cos H = tg / tg (7) F Figura 1.10b: Pentágono de Nepper para las condiciones de máxima elongación Calculando H puedo encontrar entonces el tiempo sidéreo l del instante de máxima elongación haciendo: l = + H De la fórmula (7) notamos que la condición para que una estrella pueda elongar es que el cos H 1, lo que implica que tg tg o bien Como la estrella puede elongar bajo el horizonte, debemos hacer que H se mantenga en el I o IV cuadrantes; esto significa que el cos H debe ser (+) por lo que el signo = signo. Para encontrar el acimut A, operamos en el pentágono de Nepper : cos = sen ( A) sen (90 ) cos = sen A cos sen A = cos / cos (8)

14 Para encontrar la distancia cenital z : cos (90 ) = sen (90 z) sen sen = cos z sen cos z = sen / sen (9) Orto y Ocaso del Sol El orto es la salida de los astros por el horizonte y el ocaso es la puesta de los mismos. En ambos casos tenemos que el ángulo de altura h = 0 o, lo que es lo mismo, la distancia cenital z = 90. En el triángulo de posición aplicamos la fórmula del coseno al lado z: cos z = cos (90 - ) cos (90 - ) + sen (90 - ) sen (90 - ) cos H 0 = sen sen + cos cos cos H (10) Operando en la expresión (10) llegamos a: cos H = tg tg H = cos -1 ( tg tg ) en donde debe ser: tg tg 1 tg cotg tg -1 ( cotg ) 90 (11) De (11) se deduce que hay lugares en la Tierra en que el Sol no sale ni se pone durante el día. Si la declinación máxima que puede alcanzar el Sol es la oblicuidad de la eclíptica: max = 23.5

15 66.5 (círculo ártico) 66.5 (círculo antártico) Para calcular el orto y el ocaso del Sol con mayor precisión tenemos que considerar la refracción, paralaje y el semidiámetro. z = 90 + Refracción Paralaje + Semidiámetro z = = Puede agregarse, si es necesario, la altura sobre el nivel del mar: z = h 1/2 donde h es la altura en pies sobre el nivel del mar A partir de la distancia cenital z encontrada, calculo del triángulo de posición el cos H, luego obtengo el tiempo sidéreo l y la Hora Oficial Argentina. La precisión que puede lograrse al calcular la salida y puesta del Sol depende fuertemente de la refracción atmosférica sobre el horizonte. A pesar que hemos considerado un valor de 36, la misma es impredecible pudiendo valer incluso algunos grados. Esto hace que el cálculo sea solo aproximado y con un error de 3 o 4 minutos de tiempo.