Dos problemas planteados y resueltos con Cabri-Géomètre

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1 Dos problemas planteados y resueltos con Cabri-Géomètre M. C. Minerva Aguirre Tapia U.A.N.L., CINVESTAV-IPN maguirre@mail.cinvestav.mx M. C. Rosa Elvira Páez Murillo UFPS, Colombia; CINVESTAV-IPN rpaez@mail.cinvestav.mx En este trabajo se muestra cómo con el uso del Cabri-Géomètre se pueden resolver problemas de optimización a través de las representaciones geométricas y numéricas, y al igual que problemas de geometría utilizando transformaciones. Se presentan dos problemas los cuales permitirán ilustrar cómo la tecnología varía nuestra aproximación a la enseñanza de temas matemáticos en contraste a la enseñanza tradicional. Introducción En los últimos años, el uso de las nuevas tecnologías ha estado revolucionando la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles. La enseñanza del cálculo y la geometría no son la excepción. El tratamiento de los diferentes temas de esta dos disciplinas empiezan a cambiar debido a la introducción de las nuevas tecnologías, de modo que se hace necesario pensar en una forma diferente de llegar a los conceptos fundamentales y en sus aplicaciones dentro del contexto escolar. En la enseñanza de las matemáticas, la adquisición de conceptos se considera una tarea fundamental. Tradicionalmente esta tarea ha girado en torno a la memorización de reglas y algoritmos sin referentes significativos conllevando a un aprendizaje repetitivo, compartamentalizado y puntual, donde la utilización de la representación algebraica ha sido el eje central. En los cursos de Cálculo, los problemas de optimización se utilizan para ilustrar las aplicaciones de la derivada y normalmente sólo se abordan a través de la representación algebraica. Ahora, con el uso del Cabri estos problemas se pueden abordar a través de representaciones numéricas y geométricas, abriendo la posibilidad de articularlas con la representación algebraica. Esta articulación es importante porque según Duval (1998, p.186) la comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión. En el caso de la enseñanza de conceptos básicos de la geometría, la NCTM, en sus estándares 2000 señala que: "La geometría de transformaciones ofrece otros lentes a través de los cuales investigar e interpretar los objetos geométricos. Para ayudarlos a formar imágenes de las formas a través de diferentes transformaciones, los estudiantes pueden usar objetos físicos, figuras trazadas en papel delgado, espejos u otras superficies reflejantes, figuras dibujadas sobre papel gráfico, y programas de geometría dinámica. Pueden explorar las características de los giros, vueltas, y deslizamientos y deben investigar las relaciones entre composiciones de transformaciones. Estas experiencias deben ayudar a los estudiantes a desarrollar un entendimiento fuerte de la simetría lineal y rotacional, escalamiento, y propiedades de los polígonos." 1

2 Problema 1: Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se maximice el ángulo ß? Situación No. 1: Representación Numérica 2

3 Situación No. 2: Representación Gráfica Situación No. 3: Representación Algebraica 5 2 Con la función β = π arctan arctan y un comando del Cabri, se puede x 3 x relacionar las tres representaciones y encontrar la solución exacta, sin recurrir a la derivación. Luego, el uso del Cabri-Géomètre ofrece nuevas alternativas en la solución de estos problemas sin necesidad de la aplicación del cálculo. Por lo que se debe repensar la enseñanza del mismo. Problema 2: Hay transformaciones como la dilatación (u homotecia) que se incluyen en el programa de secundaria, primero a nivel intuitivo a partir de un dibujo a escala y después se incluyen las aplicaciones de la semejanza. Una homotecia es una transformación del plano definida con la ayuda de un punto O (centro) y un número k (positivo o negativo) que es la razón de homotecia (o factor de escala). En general, al multiplicar por k las dimensiones lineales de una figura o cuerpo, su perímetro se multiplica por k, su área por k 2 y su volumen por k 3. 3

4 En el ejemplo mostrado esto significa que el perímetro del pentágono del centro corresponde a la mitad del perímetro del pentágono de la izquierda, y si comparamos sus áreas, el del centro tendría (0.5) 2 = 0.25 del área del pentágono de la izquierda. Problema: En un triángulo cualquiera ABC se toma un punto P sobre el lado AC y se traza la paralela al lado AB que pasa por P, el triángulo queda dividido en dos figuras: el triángulo PQC y el cuadrilátero ABQP. El punto P se mueve libremente sobre el lado AC, cuál será la posición de P para que las áreas A1 y A2 sean iguales? Para la resolución de este problema el estudiante debe tener en cuenta la semejanza de los triángulos ABC y PQC. (Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente). El razonamiento seguido considerando las transformaciones, en particular la homotecia, es: considerar como centro de homotecia el vértice C común a ambos triángulos semejantes, para encontrar el factor de escala se considera que éste, en el caso de áreas es k 2, lo que equivale a decir que si el triángulo PQC debe tener la mitad del área del triángulo ABC, entonces k 2 = ½, por tanto k = 2/ 2 que sería la distancia a considerar a partir del centro de homotecia C. 4

5 Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, se ha considerado la homotecia como un recurso adecuado al tema de semejanza. Con la ayuda del Cabri el estudiante puede explorar, a través del arrastre del punto P, una aproximación a la solución solicitada. Otra solución al mismo problema es la siguiente, como P se puede deslizar sobre el lado AB, se puede graficar la distancia BP en el eje horizontal y las áreas del triángulo APQ y el cuadrilátero BCQP en el eje vertical, cuya representación se muestra sobre los ejes coordenados. Al arrastrar P sobre el lado AB, observamos que la intersección de las gráficas corresponde a la posición solicitada de P. El alumno podría completar la solución analítica de este problema encontrando las ecuaciones de ambas gráficas y resolviendo las ecuaciones simultáneas correspondientes. El programa Cabri da la oportunidad de trabajar con diferentes registros de representación, como el tabular, gráfico, figural, mostrados en estos dos ejemplos. 5

6 Bibliografía Duval, R (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. Investigaciones en Matemática Educativa II. Grupo Editorial Iberoamerica, México, pp Hitt, F. (En prensa, 2000) El papel de los Esquemas, las Conexiones y representaciones Internas y Externas Dentro de un Proyecto de Investigación en Educación Matemática. NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics. USA. SEP. (1995). Libro para el maestro. Educación Secundaria. Secretaría de Educación Pública. México. Stewart, J. (1999) Cálculo. Conceptos y contextos. Editorial Internacional Thomson Editores, México. 6