Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal

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1 Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales, en el sentido que se pueden usar para determinar la ruta más corta entre dos nodos cualquiera de la red. Suponga que la red de ruta más corta tiene n nodos, y que se desea determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera s y t de la red. Formulación 1: En esta formulación se supone que entra a la red una unidad externa de flujo en el nodo s y sale en el nodo t, siendo s y t dos nodos entre los que se busca determinarla ruta más corta. Se definen x ij cantidad de flujo en el arco (i, j para toda i y j factibles c ij longitud del arco (i, j para toda iy j factibles Como sólo puede haber una unidad de flujo en algún arco en cualquier momento, la variable x ij debe asumir solamente valores binarios (0 o 1. Así, la función objetivo del programa lineal se vuelve: Minimizar z todos los arcos definidos (i,j c ij x ij Hay una restricción que representa la conservación de flujo en cada nodo; esto es, en cualquier nodo j, Flujo total que entra Flujo total que sale Formulación 2: La segunda formulación es en realidad el problema dual del programa lineal en la formulación 1. Como la cantidad de restricciones en la formulación 1 es igual a la cantidad de nodos, el problema dual tendrá tantas variables como cantidad de nodos haya en la red. También, las variables duales no deben estar restringidas, porque todas las restricciones de la formulación 1 son ecuaciones. Sea 1

2 y j la restricción dual asociada al nodo j Como s y t son los nodos inicial y terminal de la red, el problema dual se define como sigue: sujeta a Ejemplo Maximizar z y t y s yj y i c ij para toda i y j factibles (y i, y j R, i, j. Se tiene la red de ruta de la figura 1. Suponer que se desea determinar la ruta más corta del nodo 1 al nodo 2; esto es, s 1 y t 2. La figura 1 muestra cómo entra el flujo unitario en el nodo 1 y sale en el nodo 2. Figura 1: Inserción de un flujo unitario para determinar la ruta más corta entre el nodo s 1 y t 2. El número junto a cada camino corresponde a su largo respectivo. 2

3 La lista del programa lineal asociado, usando la formulación 1, se ve a continuación: x 12 x 13 x 23 x 34 x 35 x 42 x 45 Minimizar z Nodo Nodo Nodo Nodo Nodo Las restricciones representan la conservación de flujo en cada nodo. Por ejemplo, en el nodo 2 flujo que entra flujo que sale es x 12 + x x 23. Nótese que una de las restricciones siempre es redundante. Por ejemplo, si se suman las últimas cuatro restricciones er forma simultánea se obtiene x 12 +x 13 1, que es igual que la restricción 1. La solución óptima es z 55, x 13 1, x 34 1, x Esta solución expresa la ruta más corta del nodo 1 al nodo 2 como , y la distancia asociada es z 55 (millas. Para aplicar la formulación 2, el problema dual asociado con el programa lineal anterior es sujeta a Maximizar z y 2 y 1 y 2 y y 3 y 1 30 y 3 y 2 20 y 4 y 3 10 y 5 y 3 60 y 2 y 4 15 y 5 y 4 50 y k R, k. 3

4 Aunque el problema dual anterior es una definición matemática pura derivada del problema primal, en realidad se puede interpretar el problema en una forma lógica. Se define y i Distancia al nodo i. Con esta definición, la distancia más corta del nodo inicial 1 al nodo terminal 2 se determina maximizando y 2 y 1. La restricción asociada con la ruta (i, j indica que la distancia del nodo i al nodo j no puede ser mayor que la longitud directa de esa ruta. Puede ser menor si se puede llegar al nodo j desde el nodo i pasando por otros nodos que formen una ruta más corta. Por ejemplo, la distancia máxima del nodo 1 al nodo 2 es 100. Con la definición de y i como distancia al nodo i, se puede suponer que todas las variables son no negativas (en lugar de no tener restricción. También se puede suponer que y 1 0 es la distancia al nodo 1. Con base en la explicación anterior, y suponiendo que todas las variables son no negativas, la solución óptima es z 55, y 1 0, y 2 55, y 3 30, y 4 40, y 5 0. El valor de z 55 expresa la distancia más corta del nodo 1 al nodo 2, que también es igual a y 2 y La determinación de la ruta misma, a partir de esta solución, es algo ingenioso. Se ve que la solución satisface en forma de ecuación a las restricciones de las rutas 1-3, 3-4 y 4-2, porque sus holguras son igual a cero; esto es, y 3 y 1 30, y 4 y 3 10, y 2 y Este resultado identifica que la ruta más corta es la Otra forma de identificar las restricciones que se satisfacen en forma de ecuación es consultar la solución del programa lineal de la formulación 2. Toda restricción que tenga un valor dual distinto de cero debe estar satisfecha en forma de ecuación. La tabla siguiente aparea las rutas (restricciones con sus valores duales asociados. Ruta (restricción Valor dual asociado

5 Formulación del problema de flujo máximo con programación lineal Se define x ij como la cantidad de flujo en el arco (i, j y sea c ij la capacidad del mismo arco. Se supone que s y t son los nodos inicial y terminal entre los cuales se debe determinar el flujo máximo en la red capacitada (es decir, con sus capacidades. Las restricciones del problema conservan el flujo de entrada y salida en cada nodo, con excepción de los nodos inicial y terminal. La función objetivo maximiza el flujo total que sale del nodo inicial s, o el flujo total que entra al nodo terminal t. Ejemplo En el modelo de flujo máximo de la figura 2, s 1 y t 5. La tabla siguiente es un resumen del programa lineal correspondiente con dos funciones objetivo distintas, que dependen de si se maximiza la entrada del nodo 1 ( z 1 o la salida al nodo 5 ( z 2. x 12 x 13 x 14 x 23 x 25 x 34 x 35 x 43 x 45 Maximizar z Maximizar z Nodo Nodo Nodo Capacidad La solución óptima, usando cualquiera de las funciones objetivo, es x 12 20, x 13 30, x 14 10, x 25 20, x 34 10, x 35 20, x El flujo máximo asociado es z 1 z

6 Figura 2: Red del ejemplo Programación lineal avanzada En esta sección veremos una versión matricial de la programación lineal que permite el desarrollo de varios algoritmos computacionalmente eficientes: el método símplex modificado, el algoritmo de Karmarkar, de punto interior, totalmente distinto, que parece bastante eficiente al manejar programas lineales muy grandes. Fundamentos del método simplex En la programación lineal, se dice que el espacio de soluciones factibles forma un conjunto convexo si el segmento de recta que une dos puntos factibles distintos cualquiera también está en el conjunto. Un punto extremo del conjunto convexo es un punto factible que no puede estar en un segmento de recta que una a dos puntos factibles distintos en el conjunto. En realidad, los puntos extremos son lo mismo que los puntos de esquina (vértices, nombre más adecuado desde el punto de vista geométrico que se usó anteriormente. 6

7 La figura 1 ilustra dos conjuntos. El conjunto (a, que es característico del espacio de soluciones de un programa lineal, es convexo (con cinco puntos extremos, mientras que el conjunto (b es no convexo. Figura 3: Ejemplos de un conjunto (a convexo y (b no convexo. En la solución gráfica del programa lineal, demostramos que la solución óptima siempre se puede asociar con un punto extremo factible (vértice del espacio de soluciones. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque en programación lineal todo punto factible se puede determinar como función de los puntos extremos. Por ejemplo, en el conjunto convexo (a de la figura 3, dados los puntos extremos X 1, X 2, X 3, X 4 y X 5, un punto factible X se puede expresar como combinación convexa de los puntos extremos mediante en donde X α 1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 + α 4 X 4 + α 5 X 5, 5 α i 1, α i 0 i. i1 7

8 Esta observación demuestra que los puntos extremos contienen todo lo necesario para definir por completo el espacio de soluciones. Ejemplo Demostrar que el siguiente conjunto es convexo: C {(x 1, x 2 x 1 2, x 2 3, x 1 0, x 2 0} Sean X 1 (x 1 1, x 1 2 y X 2 (x 2 1, x 2 2 dos puntos distintos cualquiera en C. Si C es convexo, entonces X (x 1, x 2 α 1 X 1 + α 2 X 2 también debe estar en C. Para demostrar que eso es cierto se necesita demostrar que se satisfacen todas las restricciones de C en el segmento de recta X; esto es x 1 α 1 x α 2 x 2 1 α 1 (2 + α 2 (2 2, x 2 α 1 x α 2 x 2 2 α 1 (3 + α 2 (3 3. Por consiguiente, x 1 2 y x 2 3 porque α 1 + α 2 1. Además, se satisfacen las condiciones de no negatividad, porque α 1 y α 2 son no negativos. Conviene expresar el problema lineal general en forma de ecuación matricial. Se define X como un n-vector que representa las variables; A como matriz de (m n que representa los coeficientes de restricción, y C como un n-vector que representa los coeficientes de la función objetivo. Entonces el programa lineal se escribe como sigue: sujeta a Maximizar o minimizar z CX AX b, X 0 Al usar el formato de la tabla simplex, siempre se puede hacer que las m columnas de la extrema derecha de A representen la matriz identidad I mediante arreglos adecuados de las variables de holgura y artificiales asociadas 8

9 con la solución básica de arranque. Una solución básica de AX b se determina igualando n m variables a cero, y resolviendo las m ecuaciones resultantes con las m incógnitas que quedan, siempre que la solución obtenida sea única. Dada esta definición, la teoría de la programación lineal establece la siguiente relación entre la definición geométrica de puntos extremos, y la definición algebraica de soluciones básicas: Puntos extremos de {X AX b} Soluciones básicas de AX b La relación indica que los puntos extremos del espacio de soluciones del programa lineal están totalmente definidos por las soluciones básicas del sistema AX b, y viceversa. Se llega entonces a la conclusión de que las soluciones básicas de AX b contienen toda la información necesaria para determinar la solución óptima del problema lineal. Además, si se impone la restricción de no negatividad X 0, la búsqueda de la solución óptima se confina sólo a las soluciones básicas factibles. Para formalizar la definición de una solución básica, se puede expresar el sistema AX b en forma vectorial como sigue: n P j x j b j1 El vector P j es la j-ésima columna de A. Se dice que un subconjunto de m vectores forma una base B, si y sólo si esos m vectores son linealmente independientes. En este caso, la matriz B es no singular (determinante no nulo. Si X B es el conjunto de m variables asociado con los vectores de B no singular, entonces X B debe ser una solución básica. En este caso, BX B b Dada la inversa de B 1 que es B, se obtiene la solución básica correspondiente: X B B 1 b 9

10 Si B 1 b 0, entonces X B es factible. Naturalmente, la definición supone que las n m variables restantes son no básicas de valor cero. El resultado anterior demuestra que en un sistema de m ecuaciones y n incógnitas, la cantidad máxima de soluciones básicas (factibles y no factibles es Cm n n! m!(n m! Ejemplo Determinar y clasificar (en factible y no factible todas las soluciones básicas del siguiente sistema de ecuaciones: ( x 1 x 2 x 3 En la tabla siguiente se resumen los resultados. ( 4 2 B BX B b Solución Estado (P 1, P ««x1 4 x 2 2 ««x1 1/4 3/8 x 2 1/4 1/8 «4 2 «7/4 3/4 «Factible (P 1, P 3 No es base (P 2, P ««x2 4 x 3 2 ««x2 1/4 1/8 x 3 1/4 3/8 «4 2 «3/4 7/4 «No factible Tabla símplex generalizada en forma matricial En esta sección se usarán matrices para desarrollar la tabla símplex general. Esta representación será la base para desarrollos posteriores. Se tiene la programación lineal en forma de ecuación: Maximizar z CX, sujeta a AX b, X 0 El problema se puede escribir en forma equivalente como sigue: 10

11 ( 1 C O A ( z X ( 0 b Supongamos que B es una base factible del sistema AX b, X 0, y sea X B el conjunto correspondiente de variables básicas, con C B como su vector objetivo asociado. Entonces, la solución correspondiente se puede calcular como sigue: ( z X B ( 1 CB O B 1 ( 0 b ( 1 CB B 1 O B 1 ( 0 b ( CB B 1 b B 1 b La tabla general símplex en forma matricial se puede derivar de las ecuaciones originales como sigue: ( 1 CB B 1 O B 1 ( 1 C O A ( z X ( 1 CB B 1 O B 1 ( 0 b Con manipulaciones matriciales se llega al siguiente conjunto de ecuaciones: ( ( ( 1 CB B 1 A C z CB B O B 1 1 b A X B 1 b Como P j es el j-ésimo vector de A, la columna de la tabla símplex asociada con la variable X j se puede representar como sigue: Básica x j Solución z C B B 1 P j c j C B B 1 b X B B 1 P j B 1 b De hecho, esta tabla es la misma que se presentó en el desarrolo del método simplex primal. Una propiedad importante de esta tabla es que la inversa B 1, es el único elemento que cambia de un cuadro al siguiente, y que todo el cuadro se puede generar una vez conocido B 1. Este punto es importante, porque se puede controlar el error computacional de redondeo en cualquier cuadro, si se controla la exactitud de B 1. Este resultado fue la razón principal del desarrollo del método símplex modificado que veremos más adelante. 11

12 Ejemplo Se tiene la siguiente programación lineal: sujeta a: Maximizar z x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 5x 4 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x x 1 x 2 2x 3 + 6x 4 5 x k 0, k. Se debe generar el tabla símplex asociada con la base B (P 1, P 2. Dado B (P 1, P 2, entonces X B (x 1, x 2 T y C B (1, 4. Así, Entonces se obtiene X B ( x1 B 1 x 2 ( B 1 b 1 ( 1/5 1/5 3/5 2/5 ( 1/5 1/5 3/5 2/5 ( 10 5 ( 3 4 Para calcular las columnas de restricción en el cuerpo de la tabla, B 1 (P 1, P 2, P 3, P 4 ( 1/5 1/5 3/5 2/5 ( A continuación se calcula el renglón objetivo como sigue: ( C B [B 1 (P 1, P 2, P 3, P 4 ] C (1, ( (1, 4, 7, 5 (0, 0, 1, 3 Por último, se calcula el valor de la función objetivo como sigue: ( 3 z C B B 1 b C B X B (1, Así, toda la tabla se puede resumir como sigue: 12

13 Básica x 1 x 2 x 3 x 4 Solución z x x La conclusión principal de este ejemplo es que una vez conocida la inversa B 1, se puede generar toda la tabla símplex a partir de B 1 y los datos originales del problema. 13

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