ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí

2 Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics, ecuciones prbólics, y ecuciones hiperbólics. Ests tres clses de ecuciones incluyen ls ecuciones diferenciles prciles más frecuentemente encontrds en ingenierí y cienci.

3 Clsificción Un ventj de proceder de est mner es que muchs propieddes son comunes miembros de l mism clse. Se pondrá énfsis en ecuciones lineles porque juegn un rol centrl en modeldo mtemático y computcionl de sistems continuos.

4 Clsificción Un dominio de donde n es el número de vribles independientes de l función Culquier ecución diferencil prcil puede ser escrit como ( u) + ( bu ) cd x, ( x) es un mtriz simétric, ( x) es un vector, c( x) es un número rel o un esclr Pr b Lu R n será considerdo; + cu = f u.

5 Clsificción El operdor diferencil linel L definido es el más generl operdor diferencil linel de segundo orden. Si los elementos de l mtriz y el vector b son denomindos por n n ij i= 1 j= 1 y b x j i, respectivmente, l ecución puede ser escrit como ij x j + n j= 1 x j ( b ) ju + cu = f

6 Clsificción Los vectores propios (eigenvectores) de l mtriz (x) constituyen un bse de R n,y que es simétric, y se puede decir que el operdor diferencil L es Elíptico cundo los vlores propios (eigenvlores) son no-cero y del mismo signo, en cuyo cso es definid(y se positiv o negtiv); Hiperbólico cundo todos los vlores propios son nocero y uno de ellos es de signo opuesto todos ellos. Prbólico cundo todos los vlores propios excepto uno son no-cero y todos quellos que son no cero tienen el mismo signo.

7 Clsificción Cundo el número de vribles independientes son dos, ess condiciones pueden ser expresds como O, con I. Elíptico II. Hiperbólico III. prbólico 11, b 1 = 1, c < > = I. II. III. Elíptico b Hiperbólico b prbólico b c < c > c =

8 Forms cnónics SE Presentrán tres ecuciones con coeficientes constntes, que constituyen prototipos de cd un de ls diferentes clses de ecuciones diferenciles prciles. Ests ecuciones ilustrn efectivmente sus propieddes y sus comportmientos.

9 Forms cnónics Pr ls ecuciones elíptics un prototipo es l ecución de Lplce, definid como n i= 1 x u i = L ecución de ond, que es el prototipo de ls ecuciones hiperbólics se escribe como n 1 u u = t x i= 1 i O, introduciendo el operdor Lplcino u u = t

10 Forms cnónics Similrmente, l ecución del clor,que es el prototipo de ls ecuciones prbólics, se escribe como t n 1 i= 1 x u i O u = t =

11 Problems bien plntedos Generlmente cd ecución diferencil prcil (o sistem de tles ecuciones) tiene muchs soluciones y pr formulr problems que teng un sol solución es necesrio suplementr ls ecuciones con condiciones de fronter decuds y posiblemente condiciones iniciles. Un problem sí es denomindo problem bien plntedo cundo posee un y solo un solución, l cul depende continumente en ls condiciones de fronter e iniciles.

12 Problems bien plntedos Un problem que involucr un ecución diferencil prcil y condiciones de fronter se denomin problem con vlores l fronter (o un problem de vlores l fronter e iniciles, cundo tmbién involucr condiciones iniciles).

13 Problems con vlores l fronter: el cso elíptico. Pr el cso del operdor diferencil de Lplce considermos un dominio, contenido en R Entonces el ms generl de los problems con vlores l fronter es : Dds ls funciones encuentre un función u tl que u = f f en y g ( n f y con fronter. definid en y g definid en ), α + βu = en n donde se sume queα y β son números reles y queα + β = 1. A tles condiciones de fronter se les denomin condiciones de fronter Robin.

14 Problems con vlores l fronter: el cso elíptico. Hy csos prticulres de este problem generl que ocurren en muchs instncis y que hn recibido much tención. Cundo α =, se obtiene el problem de Dirichlet : u = u = f f en u = en Cundo β =, se obtiene el problem de Dirichlet : en = en n

15 Problems con vlores iniciles y l fronter. Pr formulr est clse de problems, generlmentese consider el dominio [,T], Con T >, donde[,t] es un intervlo de l líne de los reles. En lgunos csos de interés teórico, se puede trtr el intervlo infinito [, )

16 Problems con vlores iniciles y l fronter. L ecución del clor Pr est ecución, dicionlmente ls condiciones de fronter, l solución debe stisfcer ( x,) u ( x) ls condiciones iniciles u =, x En cunto ls condiciones de fronter, son ls misms que pr el problem con vlores l fronter considerds en el cso del operdor de Lplce.

17 Problems con vlores iniciles y l fronter. Dds ls funciones ( f definid en [, T ], g definid en [, T ] y u definid en ) el más generl problem de vlores iniciles y l fronter qui considerdo pr l ecución del clor consiste en encontr un función que cumpl con ( x,) = u ( x),, y u u = f en t α + βu = g en n u x f g, (, T ) (, T )

18 Problems con vlores iniciles y l L ecución de ond fronter. Pr est ecución, en dición ls condiciones de fronter, l solución debe stisfcer ( x,) = u ( x) ls condiciones iniciles u, x ( x,) = u '( x) t Ls condiciones de fronter en est instnci son ls misms que pr l ecución del clor.

19 Problems con vlores iniciles y l fronter. Dds ls funciones ( f definid en [, T ], g definid en [, T ] u y u ' definids en ) el más generl problem de vlores iniciles y l fronter qui considerdo pr l ecución de ond consiste en encontr un función que cumpl con u u = f t α + βu = g n u, ( x,) = u ( x) t en ( x,) = u '( x) f, g en u y u (, T ) ', (, T ) x

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

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