Aplicaciones de las leyes de conservación de la energía

Transcripción

1 Aplcacones de las leyes de conservacón de la energía Estratega para resolver problemas El sguente procedmento debe aplcarse cuando se resuelven problemas relaconados con la conservacón de la energía: Dena su sstema, el cual puede nclur más de un objeto y puede o no nclur campos, resortes u otras uentes de energía potencal. Seleccone una poscón de reerenca donde la energía potencal (tanto gravtaconal como elástca) sea gual a cero, y utlce esta poscón en su análss. S hay más de una uerza conservatva, escrba una expresón para la energía potencal asocada a cada uerza. Recuerde que s la rccón o la resstenca del are están presentes, la energía mecánca no es constante. S la energía mecánca es constante, escrba la energía ncal total, E = K + U, en algún punto como la suma de las energías cnétca y potencal. Después escrba una expresón para la energía nal total, E = K + U en el punto nal. Puesto que la energía mecánca es constante, guale las energías totales y despeje la ncógnta. S se presentan uerzas ernas o de rccón (en cuyo caso, la energía mecánca no es constante), escrba prmero expresones para las energías ncal total y nal total. En este caso, la energía total dere de la energía ncal total, y la derenca es la cantdad de energía dspada por uerzas no conservatvas. Es decr, aplque la ecuacón (K + U) + K nt,nc + K = (K + U). Trabajo de una uerza. En la gura se muestra cómo varía con la poscón una uerza que actúa sobre una partícula. Calcule el trabajo de la uerza cuando la partícula se mueve desde x = 0 hasta x = 6.0 m. Solucón: El trabajo hecho por la uerza es gual al área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 6.0 m. Esta área es gual al área de la seccón rectangular de x = 0 a x = 4.0 m más el área de la seccón trangular de x = 4.0 m a x = 6.0 m. El área del rectángulo es (4.0) (5.0) N. m = 0 J y el área del trángulo es (.0)(5.0)/ N. m = 5.0 J. Por consguente el trabajo total realzado es de 5 J. 160

2 Medcón de la dureza de un resorte. Una técnca común utlzada para medr la constante de uerza de un resorte se descrbe en la gura. El resorte se cuelga vertcalmente y luego se le une una masa m en su remo neror. El resorte se estra una dstanca d a partr de su poscón de equlbro bajo la accón de la "carga" mg. Puesto que la uerza del resorte está drgda haca arrba, cuando el sstema está en reposo, debe equlbrar el peso mg haca abajo. En este caso, podemos aplcar la ley de Hooke y obtener F = kd = mg, o mg k = d Por ejemplo, s un resorte se ende.0 cm por una masa suspendda de 0.55 kg, la constante de uerza del resorte es K = mg/d = (0.55 kg)(9.80 m/s )/0.0 m = 69.5 N/m Un bloque que se jala sobre una superce sn rccón. Un bloque de 6.0 kg ncalmente en reposo es jalado haca la derecha a lo largo de una superce horzontal sn rccón por una uerza horzontal constante de 1 N, como muestra la gura. Encuentre la velocdad del bloque después de que se ha movdo 3.0 m. Solucón: El peso del bloque es equlbrado por la uerza normal, y nnguna de estas dos uerzas hace trabajo porque el desplazamento es horzontal. Puesto que no hay rccón, la uerza erna resultante es la uerza de 1 N. El trabajo realzado por esta uerza es W = Fs = (1 N)(3.0 m) = 36 N.m = 36 J 161

3 Con el teorema del trabajo y la energía y al consderar que la energía cnétca ncal es cero, obtenemos W = K K = mv / v = W/m = (36 J)/6.0 kg = 1 m /s v = 3.5 m/s Ejercco Con la ecuacón de la cnemátca v = v + a x, encuentre la aceleracón del bloque y determne la velocdad nal. Respuesta: a =.0 m/s ; v = 3.5 m/s. Un bloque que se jala sobre una superce con rccón. Determne la velocdad nal del boque descrto en el ejemplo anteror s la superce es rugosa y el coecente de rccón cnétco es Razonamento En este caso debemos utlzar la ecuacón K = -s para calcular el cambo en la energía cnétca, K. La uerza neta ejercda sobre el bloque es la suma de la uerza aplcada de 1 N y la uerza de rccón, como se ve en la gura del ejemplo anteror. Puesto que la uerza de rccón apunta en dreccón opuesta al desplazamento, debe restarse a la uerza aplcada. Solucón: La magntud de la uerza de rccón es = µn = µmg. Por lo tanto, la uerza neta que actúa sobre el bloque es F neta = F - µmg = 1 N - (0.15) (6.0 kg) (9.80 m/s ) = 1 N N = 3.18 N Al multplcar esta uerza constante por el desplazamento, y con la ecuacón K = -s, se encuentra que K = Fnetas = (3.18 N) (3.0 m) = 9.54 J = mv /, consderando que v = 0. Por lo tanto v = K/m = (9.54 J)/6.0 kg = 3.18 m /s v = 1.8 m/s. Ejercco Encuentre la aceleracón del bloque utlzando la segunda ley de Newton y determne su velocdad nal utlzando los resultados de la cnemátca. Solucón: La segunda ley de Newton dce que: F neta = F - µmg = ma. Despejando la aceleracón se obtene que a = (F - µmg)/m = 3.18/6 = 0.53 m/s Utlzando la ecuacón de la cnemátca v = v + a x y consderando que v = 0 se obtene que v = (ax) 1/ = ( x 0.53 x 3) 1/ = 1.78 m/s. 16

4 Cuando la rccón no rena. Hemos encontrado muchas stuacones en las que están nvolucradas uerzas de rccón que tenden a reducr la energía cnétca de un objeto. Sn embargo, algunas veces estas uerzas pueden aumentar la energía cnétca de un objeto. Descrba algunas stuacones en las que lo anteror ocurra. Razonamento S una caja de madera se encuentra sobre la plataorma de un camón que acelera haca el este, la uerza de rccón estátca ejercda sobre la caja por el camón actúa haca el este y le da a la caja una aceleracón gual a la del vehículo (suponendo que la caja no se deslza).otro ejemplo es un auto que acelera debdo a la uerza de rccón ejercda sobre sus llantas por el camno. Estas uerzas actúan en la dreccón del movmento del auto y la suma de estas uerzas produce un aumento en la energía cnétca del auto. Un sstema masa-resorte. Un bloque con una masa de 1.6 kg se une a un resorte que tene una uerza constante de 1.0 x 10 3 N/m, como se ve en la gura. El resorte se comprme una dstanca de.0 cm y el bloque se suelta desde el reposo. (a) Calcule la velocdad del bloque conorme pasa por su poscón de equlbro x = 0 s la superce no tene rccón. 1 Solucón Con la ecuacón W r = kx resorte con x = -.0 cm = -.0 X 10 - m: m encontramos el trabajo hecho por el 163

5 w r = kx m = (1.0 X 10 5 N/m)(-.0 X 10 - m)/ = 0.0J 1 1 Con el teorema del trabajo y la energía ( W = mv - mv obtene r ), con v = 0 se v = W/m = 0.40 J/1.6 kg = 0.5 m /s r v = 0.50 m/s (b) Calcule la velocdad del bloque cuando pasa por la poscón de equlbro s una uerza de rccón constante de 4.0 N retarda su movmento. Solucón: Con la ecuacón K = -s calculamos la energía cnétca que se perde por la rccón y sumamos ésta a la energía cnétca determnada en la ausenca de rccón. S consderamos sólo la uerza de rccón, la energía perdda es -s = -(4.0N)(.0 X 10 - m) = J La energía cnétca nal, sn esta pérdda, se encontró en el ncso (a) gual a 0.0 J. Por lo tanto, la energía cnétca nal en presenca de rccón es K = 0.0 J J = 0.1 J = mv / v = (0.1 J)/1.6 kg = 0.15 m /s v = 0.39 m/s. Un satélte alrededor de la Terra. Un satélte de la Terra está en una órbta crcular a una altura de 500 km. Explque por qué el trabajo realzado por la uerza gravtaconal que actúa sobre el satélte es cero. Utlzando el teorema del trabajo y la energía, qué puede usted conclur acerca de la velocdad del satélte? Razonamento En la gura se muestra el movmento del satélte en una órbta crcular alrededor de la Terra. Su velocdad es tangente a la trayectora crcular y su desplazamento ds en cualquer pequeño ntervalo de tempo sempre está a 90 respecto de la uerza gravtaconal, que en todo momento apunta al centro de la Terra. En este caso, 164

6 cos 90 = 0, por lo tanto F g ds = 0. De modo que conorme el satélte gre, el trabajo total que la uerza gravtaconal realza sobre él sempre será cero. El teorema del trabajo y la energía señala que el trabajo neto sobre una partícula durante cualquer desplazamento es gual al cambo en su energía cnétca. Puesto que el trabajo neto hecho sobre el satélte es cero, el cambo en su energía cnétca es cero, y su velocdad permanece constante. Un elevador. Un elevador tene una masa de 1,000 kg y transporta una carga máxma de 800 kg. Una uerza de rccón constante de 4,000 N provoca su movmento haca arrba, como muestra la gura. (a) Cuál debe ser la mínma potenca entregada por el motor para levantar el elevador a una velocdad constante de 3.00 m/s? Solucón: El motor debe sumnstrar la uerza T que jala al elevador haca arrba. De la segunda ley de Newton y del hecho de que a = 0, puesto que v es constante, obtenemos T- Mg = O donde M es la masa total (elevador más carga), gual al 1,800 kg. Por tanto, T = + Mg = 4.00 X 10 3 N + (1.80 X 10 3 kg)(9.80 m/s ) =.16 X 10 4 N dw ds Empleando la ecuacón P = = F = F v y el hecho de que T está en la dt dt msma dreccón que v, se obtene P = (.16 X 10 4 N) (3.00 m/s) = 6.49 X 10 4 W = 64.9 kw =87.0 cp. ya que un caballo potenca cp = 746 W. (b) Qué potenca debe entregar el motor en cualquer nstante s se dseña para brndar una aceleracón haca arrba de 1.00 m/s? Solucón: La aplcacón de la segunda ley de Newton al elevador produce T - Mg = Ma 165

7 T = M(a + g) + T = (1.80 x 10 5 kg) ( )m/s x 10 3 N =.34 X 10 4 N En consecuenca, utlzando la ecuacón P = Fv se obtene la potenca requerda P = Tv = (.34 x 10 4 v)w donde v es la velocdad nstantánea del elevador en metros por segundo. Por consguente, la potenca requerda aumenta conorme se requere más rapdez. En la prmera parte del ejemplo anteror, el motor entrega potenca para levantar el elevador, aunque el elevador se mueve a velocdad constante. Un estudante que analza esta stuacón arma que, según el teorema del trabajo y la energía, s la velocdad del elevador permanece constante, el trabajo hecho sobre él es cero. El estudante concluye que la potenca que debe entregar el motor tambén necesaramente será cero. Cómo explcaría usted esta aparente paradoja? Razonamento El estudante ha ntentado aplcar el teorema del trabajo y la energía a un sstema que no actúa como una partícula (hay una rccón mportante). Aplcando la ley de Newton, es la uerza neta sobre el sstema, multplcada por el desplazamento (del centro de masa), lo que es gual al cambo en la energía cnétca del sstema. En este caso hay tres uerzas que actúan sobre el elevador: la uerza haca arrba T ejercda por el cable, la uerza haca abajo de la gravedad y la uerza de rccón drgda haca abajo (véase la gura anteror). El elevador se mueve a velocdad constante (aceleracón cero) cuando la uerza haca arrba se equlbra con la suma de las dos uerzas haca abajo (T = Mg + ). La potenca que aplca el motor es gual a Tv, la cual no es cero. Parte de la energía sumnstrada por el motor en algún ntervalo de tempo se utlza para aumentar su energía potencal y parte se perde debdo a la uerza de rccón. De modo que no hay nnguna paradoja. Gasolna qua consume un auto compacto. Un auto compacto tene una masa de 800 kg y su ecenca está especcada en 18%. (Es decr, 18% de la energía de combustble dsponble se entrega a las ruedas.) Encuentre la cantdad de gasolna consumda para acelerar el auto desde el reposo hasta 60m/h (7 m/s). Aproveche el hecho de que la energía equvalente de un galón de gasolna es 1.3 x 10 8 J. Solucón: La energía requerda para acelerar el auto desde el reposo hasta una velocdad v es la energía cnétca, mv /. En este caso, 1 E = mv = 0.5 (800 kg)(7m/s) =.9 x 10 5 J S el motor uera 100% ecente, cada galón de gasolna brndaría 1.3 x 10 8 J de energía. Puesto que el motor sólo es 18% ecente, cada galón entrega 166

8 úncamente (0.18) (1.3 x 10 8 J) =.3 x 10 7 J. Por tanto, el número de galones utlzados para acelerar el auto es Número de galones = J J/gal = galones En estas condcones, un galón de gasolna se consumría después de acelerar 77 veces. Esto demuestra las exgentes necesdades de energía en stuacones remas de arranque y paro contnuos. Potenca entregada a las ruedas. Suponga que el auto descrto en el ejemplo anteror tene un valor nomnal de rendmento de combustble de 35 m/gal cuando vaja a 60 m/h. Cuánta potenca se entrega a las ruedas? Solucón El auto consume 60/35 = 1.7 gal/h. A partr de que cada galón es equvalente a 1.3 x 10 8 J. encontramos que la potenca total consumda es P = (1.7 gal/h) (1.3 x 10 8 J/gal)/(3.6 x 10 5 s/h) = 6 kw Puesto que 18% de la potenca dsponble se emplea para mpulsar el auto, la potenca entregada a las ruedas es (0,18)(6kW) = 11 kw. Este valor es aproxmadamente la mtad del obtendo para el auto grande de 1,450 kg analzado en el to. Sn duda el tamaño es un actor mportante en los mecansmos de pérdda de potenca. Proyectles. Tres bolas déntcas se lanzan desde la parte superor de un edco, todas con la msma velocdad ncal. La prmera bola se lanza horzontalmente, la segunda a certo ángulo sobre la horzontal, y la tercera a certo ángulo debajo de la horzontal, como muestra la gura. Ignore la resstenca del are y descrba sus movmentos y compare las velocdades de las bolas cuando llegan al suelo. Razonamento La prmera y tercera bolas aumentan su velocdad después de que son lanzadas, en tanto que la segunda prmero se rena y después, luego de alcanzar altura máxma, aumenta su velocdad. Las trayectoras de las tres son parábolas. Las tres tardan derentes tempos para llegar al suelo. Sn embargo, todas tenen la msma velocdad de mpacto debdo a que empezan con la msma energía cnétca y expermentan el msmo cambo en energía potencal 167

9 1 gravtaconal. En otras palabras, E total = mv + mgh bolas. es la msma para las tres Una pelota en caída lbre. En la gura se lustra cómo se deja caer una bola de masa m desde una altura h sobre el suelo. (a) Ignore la resstenca del are y determne la velocdad de la bola cuando está a una altura y sobre el suelo. Razonamento Puesto que la bola está en caída lbre, la únca uerza que actúa sobre ella es la gravtaconal. En consecuenca, podemos usar el prncpo de conservacón de la energía mecánca. En prncpo, la bola tene energía potencal y no energía cnétca. Conorme cae, su energía total (la suma de las energías cnétca y potencal) permanece constante y es gual a su energía potencal ncal. Solucón Cuando la bola se suelta desde el reposo a una altura h sobre el suelo, su energía cnétca es K = 0 y su energía potencal es U = mgh. Cuando la bola se encuentra a una dstanca y sobre el suelo su energía cnétca es K = mv / y su energía potencal en relacón con el suelo es U = mgy, donde la coordenada y se mde desde el nvel del suelo. Al aplcar la ecuacón K + U = K + U, obtenemos 0 + mgh = mv / + mgy v = g(h y) v = [g(h y)] 1/ (b) Determne la velocdad de la bola a una altura h s se le da una velocdad ncal v. Solucón En este caso, la energía ncal ncluye la energía cnétca gual a mv /, y de la ecuacón 1 1 mv + mgy = mv + mgy 168

10 1 1 se obtene mv + mgh = mv + mgy. La velocdad a la altura y esta dada por v = v + g(h - y) Este resultado es consstente con la expresón v y = v y0 + g(y - y 0), de la cnemátca, donde y 0 = h. Asmsmo, este resultado es váldo ncluso s la velocdad ncal orma un ángulo con la horzontal (el caso de un proyectl). El péndulo smple. La gura muestra un péndulo compuesto por una esera de masa m unda a una cuerda lgera de longtud L La esera se suelta desde el reposo cuando la cuerda orma un ángulo 90 o con la vertcal, y el pvote en P no tene rccón. (a) Encuentre la, velocdad de la esera cuando ésta se encuentra en el punto más bajo, b. Razonamento La únca uerza que realza trabajo sobre m es la uerza de la gravedad, ya que la uerza de la tensón sempre es perpendcular a cada elemento del desplazamento y, en consecuenca, no eectúa trabajo. En vsta de que la uerza de la gravedad es una uerza conservatva, la energía mecánca total es constante. Por consguente, cuando el péndulo se balancea, hay una transerenca contnua entre la energía potencal y la cnétca. En el nstante en que se suelta el péndulo, la energía es totalmente potencal. En el punto b, el péndulo tene energía cnétca pero ha perddo energía potencal. En el punto c el péndulo ha recuperado su energía potencal y su energía cnétca es otra vez cero. Solucón S se mden las coordenadas vertcales a partr del centro de rotacón, entonces y a = -Lcosθ 0 y y b = -L. Por tanto, U a = -mglcosθ 0 y U b = -mgl. La aplcacón del prncpo de conservacón de la energía mecánca produce K a + U a = K b + U b mglcosθ 0 = mv b - mgl 169

11 v b = gl(1 - cosθ 0) (b) Cuál es la tensón T en la cuerda en el punto b? Solucón Puesto que la uerza de tensón no realza trabajo, no puede determnarse con el método de la energía. Para encontrar T b, podemos aplcar la segunda ley de Newton en la dreccón radal. Prmero, recordemos que la aceleracón centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo es gual v /r drgda haca el centro de rotacón. Como r = L en este ejemplo, obtenemos F = T - mg = ma = mv /L r b r b Al combnar esta ecuacón con la expresón obtenda en (a) obtenemos la tensón en el punto b: T b = mg + mg(1 - cosθ 0) = mg(3 - cosθ 0) Ejercco Un péndulo de.00 m de longtud y kg de masa se suelta desde el reposo cuando la cuerda orma un ángulo de 30.0 con la vertcal. Encuentre la velocdad de la esera y la tensón en la cuerda cuando la esera se encuentra en su punto más bajo. Respuesta.9 m/s; 6.1 N. Plano nclnado. Una caja que deslza haca abajo por una rampa. La gura muestra una caja de 3.0 kg que se deslza haca abajo por una rampa en un muelle de carga. La rampa mde 1.0 m de largo y está nclnada a La caja empeza desde el reposo en la parte superor, expermenta una uerza de rccón constante cuya magntud es gual a 5.0 N y contnúa movéndose una corta dstanca sobre el suelo plano. Utlce métodos de energía para determnar la velocdad de la caja cuando alcanza el punto neror de la rampa. Solucón Puesto que v = 0, la energía cnétca ncal es cero. S la coordenada vertcal (y) se mde desde la parte neror de la rampa, entonces y = 0.50 m. Por lo tanto, la energía mecánca total del sstema en la parte superor es en su totaldad energía potencal: U = mgy = (3.00 kg)(9.80 m/s ) (0.500 m) = 14.7 J 170

12 Cuando la caja alcanza el punto neror, la energía potencal es cero debdo a que su elevacón es y = 0. Por consguente, la energía mecánca total en el punto neror es en su totaldad energía cnétca, K = mv / Sn embargo, en este caso no podemos decr que U = K porque hay una uerza no conservatva erna que rae energía mecánca del sstema: la uerza de rccón. En este caso, K = -s, donde s es el desplazamento a lo largo de la rampa. Recuérdese que las uerzas normales a la rampa no trabajan sobre la caja debdo a que son perpendculares al desplazamento.) Con = 5.00 N y s = 1.00 m, tenemos K = -s= (-5.00 N)(1.00 m) = J Esta expresón nos dce que una parte de la energía mecánca se perde por la presenca de la uerza de rccón retardadora. La aplcacón de la ecuacón F neta dx = K produce 1 -s = mv - mgy (mgy - s) v = = m (14.7 J J) 3.0 kg =.54 m/s Ejercco Con la segunda ley de Newton determne la aceleracón de la caja a lo largo de la rampa, y con las ecuacones de la cnemátca encuentre la velocdad nal de la caja. Solucón: La segunda ley de Newton nos dce que F = mgsenθ - s = ma. Despejando la aceleracón se obtene a = (mgsenθ - )/m = (3 x 9.81 x sen30 5)/3 = 3.3 m/s. s De la cnemátca, tenemos la ecuacón ( x 3.3 x 1) 1/ =.54 m/s. v = v 0 + ax. Como v 0 = 0, v = (ax) 1/ = Ejercco S se supone que no hay rccón en la rampa, encuentre la velocdad nal de la caja y su aceleracón a lo largo de la rampa. Respuesta 3.13 m/s; 4.90 m/s. Movmento sobre un plano nclnado curvo. Una nña de masa m se desplaza sobre un tobogán rregularmente curvo de altura h = 6.00 m, como muestra la gura. 171

13 La nña parte del reposo en el parte superor. (a) Consdere que no hay rccón y determne la velocdad de la nña en la parte neror. Razonamento La uerza normal, n, no realza trabajo sobre la nña puesto que esta uerza sempre es perpendcular a cada elemento del desplazamento. Además, puesto que no hay rccón, la energía mecánca es constante, es decr, K + U = constante. Solucón S medmos la coordenada vertcal (y) desde el punto neror del tobogán, entonces y = h, y = 0, y se obtene K + U = K + U 0 + mgh = mv / + 0 v = gh Observe que el resultado es el msmo como s la nña hubera caído vertcalmente una dstanca h. En este ejemplo, h = 6.00 m, lo que produce v = [ (9.80 m/s )(6.00 m)] 1/ = 10.8 m/s (b) S una uerza de rccón actúa sobre la nña, qué cantdad de energía dspa dcha uerza? Suponga que v = 8.00 m/s y m = 0.0 kg. Solucón En este caso K 0y la energía mecánca no es constante. Podemos utlzar la ecuacón F dx = K para encontrar la pérdda de energía cnétca producda por la rccón, suponendo que se conoce la velocdad nal en el punto neror: 1 K = E - E = mv - mgh K = (0.0 kg) (8.00 m/s) / - (0.0 kg) (9.80 m/s ) (6.00 m) = J De nuevo, K es negatva como consecuenca de que la rccón rae energía cnétca del sstema. Nótese, sn embargo, que debdo a que el tobogán es curvo, la uerza normal camba en magntud y dreccón durante el movmento. En consecuenca, la uerza de rccón, que es proporconal a n, camba tambén durante el movmento. Pensaría usted que es posble determnar el coecente de rccón µ a partr de estos datos? 17

14 Vamos a esquar. Un esquador parte del reposo desde la parte superor de una pendente sn rccón de 0.0 m de altura, como se ve la gura. En el pe de la pendente, el esquador encuentra una superce horzontal donde el coecente de rccón cnétca entre los esquís y la neve es de Cuánto vaja el esquador sobre la superce horzontal antes de detenerse? Solucón Prmero calculemos la velocdad del esquador en el pe de la pendente. Puesto que ésta no presenta rccón, la energía mecánca permanece constante, de modo que encontramos v = gh = [(9.80 m/s )(0.0 m)] 1/ = 19.8 m/s Luego aplcamos la ecuacón F dx = K conorme el esquador se mueve a lo largo de la superce horzontal rugosa. El cambo en la energía cnétca a lo largo de la horzontal es K = -s, donde s es el desplazamento horzontal. Por tanto, K = -s = K - K Para determnar la dstanca que el esquador recorre antes de detenerse, se toma K = 0. Puesto que v = 19.8 m/s, y la uerza de rccón es = µn = µmg, se obtene 1 -µmgs = - mv o ben, despejando s v s = µg = (19.8 m/s) (0.1)(9.8 m/s ) = 95. m Ejercco Encuentre la dstanca horzontal que recorre el esquador antes de detenerse s la pendente tambén tene un coecente de rccón cnétca gual a Respuesta 40.3 m. El rle de are comprmdo. El mecansmo de dsparo de un rle de juguete se compone de un resorte de constante desconocda. 173

15 Cuando el resorte se comprme 0.10 m, el rle es capaz de lanzar un proyectl de 35.0 g hasta una altura máxma de 0.0 m cuando se dspara vertcalmente desde el reposo. (a) Ignore todas las uerzas resstvas y determne la constante del resorte. Razonamento Puesto que el proyectl parte del reposo, la energía cnétca ncal en el sstema es cero. S el punto cero para la energía potencal gravtaconal se establece en la poscón más baja del proyectl, entonces la energía potencal gravtaconal ncal tambén es cero. La energía mecánca de este sstema permanece constante debdo a que no hay uerzas no conservatvas presentes. Solucón La energía ncal total del sstema es la energía potencal elástca almacenada en el resorte, que es kx /. Como el proyectl alcanza una altura máxma h = 0.0 m, la energía potencal gravtaconal nal es mgh, su energía cnétca nal es cero, y la energía potencal elástca nal tambén es cero. Como la 1 energía mecánca del sstema es constante, encontramos kx = mgh, de donde mgh k = x (0.035 kg)(9.8 m/s )(0.0 m) k = = 953 N/m (0.1 m) (b) Determne la velocdad del proyectl cuando pasa por la poscón de equlbro del resorte (donde x = 0), como se muestra en la gura. Solucón Usando el msmo nvel de reerenca para la energía potencal gravtaconal que en el ncso (a) vemos que la energía ncal del sstema es aún la energía potencal elástca kx /. La energía del sstema cuando el proyectl se mueve a través de la poscón no deormada del resorte se compone de la energía cnétca del proyectl, mv /, y su energía potencal gravtaconal, mgx. Por consguente, en este caso la conservacón de la energía produce 174

16 1 1 kx = mv + mgx Al despejar la velocdad v se obtene v = kx m - gh susttuyendo los valores de todas las varables se obtene v = 19.7 m/s. Ejercco Cuál es la velocdad del proyectl cuando está a una altura de 10.0 m? Respuesta 14.0 m/s. Choque masa-resorte. A una masa de 0.8 kg se le da una velocdad ncal v = 1. m/s haca la derecha y choca con un resorte lgero de constante de uerza k = 50 N/m, como se muestra en la gura. (a) S la superce no presenta rccón, calcule la compresón máxma ncal del resorte después del choque. Razonamento Antes del choque, la masa tene energía cnétca y el resorte está en equlbro, y su energía almacenada es cero. Así pues, la energía total del sstema (masa más resorte) antes del choque es mv /. Después del choque, y cuando el resorte está totalmente comprmdo, la masa está en reposo y su energía cnétca es cero, mentras que la energía almacenada en el resorte tene su valor máxmo, kx /. La energía mecánca total del sstema es constante puesto que no actúan uerzas no conservatvas sobre él. Solucón Como la energía mecánca es constante, la energía cnétca de la masa antes del choque debe ser gual a la energía máxma almacenada en el resorte cuando éste está totalmente comprmdo, o 1 1 mv = kx 175

17 despejando x = m v k susttuyendo los valores de todas las varables se obtene x = 0.15 m. (b) S una uerza constante de rccón actúa entre el bloque y la superce con µ = 0.50 y s la velocdad del bloque en el momento de chocar con el resorte es v = 1. m/s, cuál es la compresón máxma en el resorte? Solucón En este caso, como consecuenca de la rccón, la energía mecánca no se conserva. La magntud de la uerza de rccón es = µn = µmg = 0.50(0.80 kg)(9.80 m/s ) = 3.9 N En consecuenca, la pérdda de energía cnétca debdo a la rccón cuando el bloque se desplaza de x = 0 a x = x es K = - x La susttucón de ésta en la ecuacón K + U = K nt-nc + K produce 1 1 K = (0 + kx ) - ( mv + 0) o ben, 1 1 -x = kx - mv con los valores de las varables conocdas, se obtene 5x + 3.9x = 0 Al resolver la ecuacón cuadrátca para x se obtenen los valores x 1 = 0.09 m y x = -0.5 m. La solucón con sgncado ísco es x 1 = 0.09 m = 9. cm. La raíz negatva no tene sentdo debdo a que, cuando se detene, el bloque debe encontrarse a la derecha del orgen. Nótese que 9. cm es menor que la dstanca obtenda en el caso sn rccón (a). Este resultado es el esperado debdo a que la rccón retarda el movmento del sstema. Bloques conectados en movmento. En la gura se muestran dos bloques conectados entre sí por medo de una cuerda lgera que pasa sobre una polea sn rccón. 176

18 El bloque de masa m 1 descansa sobre una superce horzontal y está conectado a un resorte de constante de uerza k. El sstema se lbera desde el reposo cuando el resorte no está deormado. S m cae una dstanca h antes de quedar en reposo, calcule el coecente de rccón cnétca entre m 1 y la superce. Razonamento y solucón En esta stuacón se deben consderar dos ormas de energía potencal: gravtaconal y elástca. Escrbendo la ecuacón K + U = K + K como donde nt-nc K = K + U g + U s U g es el cambo en la energía potencal gravtaconal, y U s ; es el cambo en la energía potencal elástca del sstema. En esta stuacón, K = 0 debdo a que la velocdad ncal y nal del sstema son cero. Asmsmo, la pérdda en la energía cnétca debdo a la rccón es K = - s = - µm1gh El cambo en la energía potencal gravtaconal se asoca sólo con m puesto que la coordenada vertcal de m 1 no camba. En consecuenca, obtenemos U g = U - U = - mgh donde las coordenadas se han meddo desde la poscón más baja de m. El cambo en la energía potencal elástca en el resorte es 1 U s = U - U = kh - 0 Al combnar estas ultmas ecuacones, se obtene 1 - µm1gh = - mgh + kh Esta órmula representa una manera de medr el coecente de rccón cnétca entre un objeto y alguna superce. 177

19 Una orma de levantar un objeto. La gura muestra dos bloques undos entre sí por medo de una cuerda sn masa que pasa por una polea sn rccón y una clavja sn rccón. Un remo de la cuerda está unda a una masa m 1 = 3.00 kg que está a una dstanca R = 1.0 m de la clavja. El otro remo de la cuerda se conecta a un bloque de masa m = 6.00 kg que descansa sobre una mesa. Desde qué ángulo θ (meddo desde la vertcal) debe soltarse la masa de 3.00 kg con el n de que se levante de la mesa el bloque de 6.00? Razonamento Es necesaro el auxlo de varos conceptos para resolver este problema. Prmero, debemos emplear la conservacón de la energía para encontrar la velocdad de la masa de 3.00 kg en la parte neror de la trayectora crcular como una uncón de θ y del rado de la trayectora. Luego, aplcamos la segunda ley de Newton a la masa de 3.00 kg en el punto neror de su trayectora para determnar la tensón como una uncón de los parámetros dados. Por últmo, debemos advertr que el bloque de 6.00 kg se levanta de la mesa cuando la uerza haca arrba que la cuerda ejerce sobre él supera a la uerza de la gravedad que actúa sobre el bloque. Este procedmento nos permte encontrar el ángulo buscado. Solucón La aplcacón de la conservacón de la energía a la masa de 3.00 kg produce K + U = K + U 0 + m 1 gy = m 1 v / + 0 donde v es la velocdad de la masa de 3.00 kg en la parte neror de su trayectora. (Nótese que K = 0 puesto que la masa de 3.00 kg parte del reposo y U = 0 en vrtud de que la parte neror del círculo es el nvel cero de la energía potencal.) De acuerdo con la geometría, en la gura vemos que y = R - Rcosθ. El empleo de esta relacón en la ecuacón anteror produce v = gr(1 - cosθ) Después de esto aplcando la segunda ley de Newton a la masa de 3.00 kg cuando ésta se encuentra en la parte neror de la trayectora crcular, se obtene 178

20 v T - m1g = m1 R o ben v T = m1g + m1 R Esta msma uerza se transmte al bloque de 6.00 kg, y s éste apenas se va a levantar de la mesa, la uerza normal sobre él se vuelve cero, y es necesaro que T = m g. Usando esta condcón, junto con las expresones anterores, se obtene gr(1 - cosθ) mg = m1g + m1 R es decr cosθ = 3m - m m 1 1 Al susttur los parámetros dados, se encuentra que θ = 60.0 o. Ejercco S el ángulo ncal es θ = 40.0, encuentre la velocdad de la masa de 3.00 kg y la tensón en la cuerda cuando esta masa está en el punto más bajo de la trayectora crcular. Respuesta.35 m/s; 43. N. 179

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