ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

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Lorenzo Serrano Calderón
hace 7 años
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1 ELEMENTOS DE GEOMETRÍA 1. Elementos geométricos básicos: punto, recta y plano. 2. Semirrectas y segmentos. 3. Ángulos Cómo se miden los ángulos? 3.2. Ángulos importantes Clasificación respecto del ángulo recto Clasificación respecto del ángulo llano Ángulos complementarios, suplementarios, consecutivos y adyacentes Igualdad geométrica de los ángulos Bisectriz de un ángulo. 4. Rectas paralelas, secantes y perpendiculares. 5. Mediatriz de un segmento. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º ESO citados en el Real Decreto. Elementos básicos para la descripción de las figuras geométricas en el plano. Utilización de la terminología adecuada para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y configuraciones del mundo físico. Análisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano: paralelismo y perpendicularidad. Empleo de métodos inductivos y deductivos para analizar relaciones y propiedades en el plano. Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS. El gran matemático Euclides concluyó que el punto, la recta y el plano eran los tres elementos básicos de la Geometría y los definió del siguiente modo: El punto es lo que no tiene dimensiones. La recta es lo que tiene una dimensión: largo. El plano es lo que tiene dos dimensiones: largo y ancho. 2. SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS. Si en una recta marcamos un punto, lo que obtenemos son dos semirrectas. A este punto le llamamos origen de las semirrectas. Es decir, una semirrecta es una recta que está limitada en un extremo. Si marcamos un punto en una semirrecta tendremos un segmento. Los dos puntos serán los extremos del segmento. Es decir, un segmento AB es una parte de una recta limitada por dos extremos. APM Página 2

3 3. ÁNGULOS. Un ángulo es la región comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, con el mismo origen Cómo se miden los ángulos? Para medir ángulos utilizamos el transportador, que es una regla semicircular (aunque también las hay de círculo completo). Veamos cómo se mide un ángulo con un transportador. 1. Podemos ver que en el centro de la de la parte recta del transportador hay un punto. En este punto es donde debemos colocar el vértice del ángulo que queremos medir. 2. Del centro del transportador parten dos semirrectas hacia derecha e izquierda que nos van a indicar el lado del ángulo que tomamos como base. Así pues, colocamos una de las semirrectas sobre la base del ángulo. 3. El otro lado del ángulo que queremos medir se prolonga hacia un número de la parte semicircular del transportador. Dicho número será la medida del ángulo. Existen otros instrumentos para la medida de ángulos, como son el teodolito, el sextante y el goniómetro. APM Página 3

4 3.2. Ángulos importantes. Ángulo nulo (0º): los lados son el mismo. Ángulo recto (90º): los lados forman un ángulo de 90º. Ángulo llano (180º): los lados están sobre la misma recta, pero en sentido contrario. Ángulo completo (360º): los lados están superpuestos después de que uno de ellos de un giro completo Clasificación respecto del ángulo recto. Ángulo agudo: Mide menos que un ángulo recto. Ángulo obtuso: Mide más que un ángulo recto y menos que un ángulo llano. APM Página 4

5 3.4. Clasificación respecto del ángulo llano. Ángulo convexo: Mide menos que un ángulo llano. Ángulo cóncavo: Mide más que un ángulo llano Ángulos complementarios, suplementarios, consecutivos y adyacentes. Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto. Dos ángulos son suplementarios cuando su suma es un ángulo llano. Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado en común. Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común y además suman 180º, es decir, si son consecutivos y suplementarios. APM Página 5

6 3.6. Igualdad geométrica de los ángulos. Decimos que dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice común y sus lados están sobre las mismas rectas pero en sentido contrario. Dos ángulos agudos u obtusos son iguales si son opuestos por el vértice. Dos ángulos agudos u obtusos son iguales si tiene sus lados paralelos. Dos ángulos agudos u obtusos son iguales si los lados de uno son perpendiculares a los del otro Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. Propiedad: Los puntos de la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de ambos lados del ángulo. APM Página 6

7 Pero, cómo construir la bisectriz con regla y compás? Vamos a seguir los siguientes pasos: 1. Desde el vértice del ángulo trazamos con el compás el arco CD de una amplitud suficientemente grande. 2. Desde C, y con un radio superior a la mitad del ángulo, trazamos el arco 1. Desde D, con el mismo radio, trazamos el arco El punto de corte del arco 1 y el arco 2 marcará por dónde debe pasar la bisectriz del ángulo Â. 4. RECTAS PARALELAS, SECANTES Y PERPENDICULARES. En función de la posición que ocupen dos rectas en el plano, éstas pueden ser: Rectas paralelas, si no se cortan nunca, es decir, si no tienen ningún punto en común. Rectas secantes, si se cortan en un punto. Rectas perpendiculares, si son secantes y forman cuatro ángulos rectos. APM Página 7

8 5. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Propiedad: La distancia de los extremos A y B del segmento a cualquier punto de la mediatriz es la misma. Pero, cómo se construye la mediatriz de un segmento con regla y compás? Vamos a seguir los siguientes pasos: 1. Trazamos, con centro en A, el arco 1, que tiene por radio algo más que la mitad del segmento. 2. Trazamos, con centro en B, el arco 2, con el mismo radio que el arco Trazamos la mediatriz, que es la recta que pasa por los puntos de corte de los dos arcos. APM Página 8

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