Funciones de dos variables: Gradiente. Derivadas direccionales. Plano tangente. Linealización.

Transcripción

1 Funciones de dos variables:. Derivadas direccionales Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos Introducción 1 Introducción

3 Índice Introducción 1 Introducción

4 Introducción Hasta el momento, hemos representado habitualmente la superficies en el espacio mediante ecuaciones de la forma z = f (x, y), que representa la ecuación de una superficie S. A partir de ahora, conviene recurrir a una representación más general de la forma F (x, y, z) =0. Una superficie dada por z = f (x, y), podeos convertirla a la forma general, sin más que definir F como F (x, y, z) =f (x, y) z.

5 Introducción Puesto que F (x, y) z = 0, podemos considerar S como la superficie de nivel de F dada por F (x, y, z) =0, que es una ecuación alternativa de la superficie S. Ejemplo: Describir la superficie de nivel F (x, y, z) = 0 para la función F (x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 4

6 Índice Introducción 1 Introducción

7 Definición del gradiente de una función de 2 variables Sea Z = f (x, y) unafuncióndex, y tal que existen f x y f y.el gradiente de f,denotadopor f (x, y) eselvector f (x, y) =(f x (x, y), f y (x, y)). Otra notación usual para el gradiente es gradf (x, y). Para cada punto (x, y), el gradiente f (x, y) esunvectorenelplano,(noen el espacio). El gradiente F es normal a las superficies de nivel Si F es diferenciable en (x 0, y 0, z 0 )y F (x 0, y 0, z 0 ) 0,entonces F (x 0, y 0, z 0 ) es normal a la superficie de nivel que pasa por (x 0, y 0, z 0 ).

8 Es necesario darse cuenta de que f (x, y) esunvectorenelplano y F (x, y, z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcará la dirección de máxima variación de la función en cualquier punto.

9 Índice Introducción 1 Introducción

10 La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección. Definición formal de derivada direccional Si f es una función diferenciables de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario u es D u f (x, y) = f (x, y) u Ejemplo: Hallar la derivada direccional de f (x, y) =3x 2 2y 2 en el punto ( 3 4, 0), en la dirección del segmento recto que va de P =( 3 4, 0) a Q =(0, 1).

11 Índice Introducción 1 Introducción

12 Definición de plano tangente Sea F diferenciable en un punto P(x 0, y 0, z 0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) =0,con F (x 0, y 0, z 0 ) 0: El plano que pasa por P es normal a F (x 0, y 0, z 0 )sellama plano tangente a S en P. La recta que pasa por P con la dirección F (x 0, y 0, z 0 )se llama recta normal a S en P.

13 Ecuación del plano tangente Si F es diferenciable en (x 0, y 0, z 0 ), una ecuación del plano tangente a la superficie dada por F (x, y, z) =0en(x 0, y 0, z 0 )es F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 )=0 Puesto que entonces F (x, y, z) =f (x, y) z, F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) (z z 0 )=0

14 Índice Introducción 1 Introducción

15 Sea F diferenciable en un punto P(x 0, y 0, z 0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) =0,con F (x 0, y 0, z 0 ) 0.Podemoshacer una aproximación lineal de la superficie S cerca del punto (x 0, y 0, z 0 ) mediante la expresión F (x, y, z) =F (x 0, y 0, z 0 )+ F (x 0, y 0, z 0 )(x x 0, y y 0, z z 0 ). Considerando de nuevo que F (x, y, z) =f (x, y) z, esta expresión se transforma en: F (x, y, z) = f (x 0, y 0 ) z 0 +(f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) (x x 0, y y 0, z z 0 )

16 Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.