Grupos y Anillos Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Problemas # 1

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1 Grupos y Anillos Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Problemas # 1 1. Dé dos razones por las cuales el conjunto de los enteros impares no es un grupo con la suma. 2. Determine cuales de las siguientes definiciones de son operaciones binarias en el conjunto dado. En los casos afirmativos diga si el conjunto dado es un grupo bajo dicha operación. (a) En Z + defina por a b = a b. (b) En Z + defina por a b = a b. (c) En Z + defina por a b = 2 ab. (d) En Q defina por a b = ab + 1. (e) En Q defina por a b = ab Pruebe que el conjunto {1, 2, 3} bajo la multiplicación módulo 4 no es un grupo, pero que {1, 2, 3, 4} bajo la multiplicación módulo 5 sí lo es. ( ) Hallar el inverso de A = en GL(2, Z ). 5. Pruebe que el conjunto {5, 15, 25, 35} es un grupo bajo la multiplicación módulo 40. Cuál es el elemento identidad de este grupo?, qué relación existe entre este grupo y U(8)? 6. Traduzca cada una de las siguientes expresiones multiplicativas en su contraparte aditiva. (a) a 2 b 3 (b) a 2 (b 1 c) 2 (c) (ab 2 ) 3 c 2 = e 7. Sea R = R {0}. Sea : R R R la función definida por a b = a b. (a) Demuestre que es una operación binaria asociativa en R. (b) Pruebe que existe una identidad a izquierda en R y un elemento inverso a derecha para cada elemento de R. (c) Es R un grupo bajo esta operación binaria? 8. Un profesor de álgebra abstracta intentó dar una lista de nueve enteros que forman un grupo bajo la multiplicación módulo 91. Pero inadvertidamente uno de los nueve números fue dejado afuera y la lista apareció como: 1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81. Cuál entero fue dejado afuera? 9. Sean a y b elementos de un grupo Abeliano y sea n Z. Muestre que (ab) n = a n b n. Es esto cierto para grupos no Abelianos? 1

2 10. Sean G un grupo, a, b G y n Z. Pruebe que: (a) (a 1 ) 1 = a (b) (ab) 1 = b 1 a 1 (c) (a 1 ba) n = a 1 b n a 11. Si a 1, a 2,..., a n son elementos de un grupo G, cuál es el inverso de a 1 a 2... a n? 12. Pruebe que un conjunto no vacío G, junto con una operación binaria asociativa en G satisfaciendo axiomas a izquierda es un grupo. 13. Sean G un conjunto no vacío y una operación binaria asociativa en G tal que las ecuaciones a x = b y y a = b tienen soluciones en G para todo a, b G. Pruebe que (G, ) es un grupo. 14. Sea G un grupo con la siguiente propiedad: para todo a, b, c G, si ab = ca, entonces b = c. Pruebe que G es Abeliano. 15. Sea G un conjunto finito con operación binaria asociativa tal que cumple la ley de cancelación a ambos lados. Pruebe que G es un grupo. 16. Sea G un grupo en el cual (ab) i = a i b i para tres enteros consecutivos fijos y para todo a, b G. Pruebe que G es Abeliano. 17. Sea G un grupo finito. Pruebe que el número de elementos x de G tales que x 3 = e es impar. Muestre que el número de elementos x de G tales que x 2 e es par. 18. Sea G un grupo finito y sea A el subconjunto de elementos de G distintos de la identidad que satisfacen la ecuación x 5 = e. Muestre que el número de elementos de A es múltiplo de Construya la tabla de Cayley para U(12). 20. Pruebe que la tabla de Cayley de todo grupo es un cuadrado latino, es decir, cada elemento del grupo aparece una sola vez en cada fila y en cada columna. 21. Suponga que la siguiente es la tabla de Cayley de un grupo. Llene los espacios en blanco. 22. Demuestre que el conjunto G = e a b c d e e a b e b c d e c d a b d { x, 1 x, 1 x, 1 1 x, x 1 x, x 1 } x es un grupo con la operación composición de funciones, teniendo en cuenta que 1 0 =, 1 = 0, 1 =, 1 =, = 1. {( ) ( ) ( Demuestre que G =,, grupo bajo la multiplicación usual de matrices. 2 ) ( 1 0, 0 1 )} es un

3 24. Pruebe que SL(n, R) es un subgrupo de GL(n, R) bajo el producto usual de matrices. 25. Pruebe que el conjunto de todos los números racionales de la forma 3 m 6 n, donde m y n son enteros, es un grupo bajo la multiplicación. 26. Demuestre que el conjunto {1, 2, 3,..., n 1} es un grupo bajo la multiplicación módulo n si y sólo si n es primo. 27. Sea S = R { 1}. Defina en S la siguiente función a b = a + b + ab. (a) Pruebe que es una operación binaria en S (b) Demuestre que (S, ) es un grupo (c) Hallar la solución de la ecuación 2 x 3 = 7 sobre S. 28. Sean Ĉ := C { } y M el conjunto de todas las funciones f : Ĉ Ĉ tales que f(z) = az + b cz + d, donde a, b, c, d son números complejos con ad bc 0. Demuestre que M es un grupo con la operación composición de funciones. 29. Determine cuales de los siguientes subconjuntos de los números complejos son subgrupos bajo la suma de C: (a) R (b) Q + (c) 7Z (d) ir (e) {π n : n Z}. 30. Determine si el conjunto de todas las matrices A de orden n n tales que A T A = I n (conjunto de las matrices ortogonales) es un subgrupo de GL(n, R) bajo el producto usual de matrices. 31. Muestre que si H y K son subgrupos de un grupo Abeliano G, entonces el conjunto HK := {hk : h H, k K} es un subgrupo de G. 32. Sea G un grupo Abeliano y sea n un entero positivo. Pruebe que el conjunto H = {x G : x n = e} es un subgrupo de G. 33. Sean r y s enteros positivos. Demuestre que H = {nr + ms : m, n Z} es un subgrupo de Z. 34. Pruebe que la intersección (arbitraria) de subgrupos de un grupo es un subgrupo. 35. Dé un ejemplo de un grupo donde aba 1 b. 36. Si es una operación binaria en S, un elemento x de S se dice idempotente para si x 2 = x x = x. Pruebe que todo grupo tiene un único elemento idempotente. 37. Pruebe que si (ab) 2 = a 2 b 2 en un grupo entonces ab = ba. 3

4 38. Sea G un grupo. Para todo g G definimos la función Φ g : G G por Pruebe que: Φ g (x) = gxg 1. (a) Φ g es uno a uno y sobre para todo g G (b) Φ gh = Φ g Φ h para todo g, h G. 39. Pruebe que si G es un grupo con la propiedad de que el cuadrado de todo elemento es la identidad, entonces G es Abeliano. 40. Pruebe que el conjunto de todas las matrices 3 3 con entradas reales de la forma 1 a b 0 1 c es un grupo bajo la multiplicación usual de matrices. 41. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo a, b G defina a b si y sólo si ab 1 H. Pruebe que es una relación de equivalencia en G. 42. Sea G un grupo y sean a, b G y m, n Z. Demuestre que: (a) a m a n = a m+n (b) (a m ) n = a mn (c) Si ab = ba entonces (ab) n = a n b n. 43. Pruebe que en todo grupo, cualquier elemento y su inverso tienen el mismo orden. 44. Sean G un grupo (con operación escrita aditivamente), X un conjunto no vacío y F(X, G) el conjunto de todas las funciones f : X G. Defina la adición en F(X, G) como sigue: (f + g) : X G, (f + g)(x) = f(x) + g(x). Pruebe que F(X, G) es un grupo, el cual es Abeliano si G lo es. 45. Sea G un grupo. Muestre que Z(G) = a G C G (a). 46. Cuáles de los siguientes grupos son cíclicos? para cada grupo cíclico muestre un generador de dicho grupo: (a) (Z, +), (Q, +), (Q +, ), (6Z, +) (b) { a + b 2 : a, b Z } bajo la suma. 47. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Para cualquier x G se define xhx 1 := {xhx 1 : h H}. Pruebe que: (a) xhx 1 G (b) Si H es cíclico entonces xhx 1 es cíclico (c) Si H es Abeliano entonces xhx 1 es Abeliano. 4

5 48. Sean p y q números primos distintos. Encuentre el número de generadores de Z pq. Recuerde que este número se denota por φ(pq). 49. Sean p un número primo y n N. Encuentre el número de generadores de Z p n. 50. Halle el orden del subgrupo cíclico del grupo dado y generado por el elemento indicado: (a) El subgrupo de Z 4 generado por 3 (b) El subgrupo de U 6 generado por u = cos ( ) ( 2π 3 + i sin 2π ) 3 (c) El subgrupo de GL(4, R) generado por A = Halle el número de elementos en el grupo cíclico indicado: (a) El subgrupo cíclico de Z 30 generado por 25 (b) El subgrupo cíclico i del grupo (C, ) 1 + i (c) El subgrupo cíclico del grupo (C, ) Halle los subgrupos del grupo dado y dibuje el correspondiente látice de subgrupos: (a) Z 11 (b) Z 12 (c) Z 36 (d) U(20) (e) Z p n, donde p es un primo y n N (f) Z p 2 q, donde p y q son primos distintos. 53. Muestre que un grupo cíclico finito con un solo generador puede tener a lo más dos elementos. 54. Demuestre que un grupo que no tiene subgrupos propios no triviales es cíclico. 55. Encuentre los generadores de Z 6, Z 8 y Z Cuántos subgrupos tiene Z 20? Dé un generador para cada uno de los subgrupos de Z 20. Sea G = a y orden de a es 20. Cuántos subgrupos tiene G? Dé un generador para cada uno de los subgrupos de G. 57. Muestre que un grupo que tiene sólo un número finito de subgrupos debe ser finito. 58. Sean m, n Z. Encuentre un generador para m n. 59. Sean H un subgrupo del grupo G y g G. Pruebe que N G (ghg 1 ) = gn G (H)g Considere el conjunto {4, 8, 12, 16}. Muestre que este conjunto es un grupo bajo multiplicación módulo 20 construyendo su tabla de Cayley. Cuál es el elemento identidad de este grupo? Es este grupo cíclico? En caso afirmativo, encuentre todos sus generadores. 5

6 61. Si a = n, muestre que a k = a gcd(n,k) y que a k = n gcd(n, k). 62. Sea x = n. Pruebe que x r = x s si y sólo si gcd(n, r) = gcd(n, s). 63. Demuestre que en un grupo cíclico finito G de orden n, para todo entero positivo m que divide a n, la ecuación x m = e tiene exactamente m soluciones en G. Cuál es la situación si 1 < m < n y m no divide a n? 64. Sea G un grupo Abeliano y sean H y K subgrupos cíclicos finitos de G de ordenes r y s respectivamente. (a) Demuestre que si gcd(r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo cíclico de orden rs. (b) Demuestre que G contiene un subgrupo cíclico de orden lcm(r, s). 65. Sea G un grupo finito. Demuestre que existe un entero positivo fijo n tal que a n = e para todo a en G. (Note que n es independiente de a.) 66. Sean a y b elementos de un grupo G. Si a = m, b = n, y m y n son primos relativos, pruebe que a b = {e}. 67. Sea (S, ) el grupo de todos los reales distintos de 1, bajo la operación definida por a b = a + b + ab (ver ejercicio 27). Pruebe que (S, ) es isomorfo al grupo (R, ) de todos los reales distintos de cero con el producto. 68. Sean G = { a + b 2 : a, b Q } y {( a 2b H = b a ) } : a, b Q. Pruebe que (G, +) y (H, +) son grupos; en este último + representa la suma usual de matrices. Demuestre que G y H son isomorfos. Pruebe además que G y H son cerrados bajo el producto. Su isomorfismo preserva la multiplicación? 69. Sea G el grupo de todos los polinomios con coeficientes reales bajo la suma. Para cada f en G se define f como la antiderivada de f que pasa por el punto (0, 0). Pruebe que la función : G G es un homomorfismo. Cuál es el kernel de este homomorfismo? Es un homomorfismo si f denota la antiderivada de f que pasa por el punto (0, 1)? 70. Pruebe que φ(a + ib) = a ib es un automorfismo del grupo (C, +). Pruebe que para todo x, y C, φ(xy) = φ(x)φ(y). 71. Determine cuales de las siguientes funciones φ son homomorfismos. (a) φ : (R, +) (Z, +) dada por φ(x) = x. (b) φ : (M n (R), +) (R, +) dada por φ(a) = Tr(A), donde Tr(A) denota la traza de la matriz A. (c) φ : (GL(n, R), ) (R, +) dada por φ(a) = Tr(A). 72. Sea G un grupo. Pruebe que la función η : G G definida por η(x) = x 1 es un automorfismo de G si y sólo si G es Abeliano. 6

7 73. Sea G un grupo Abeliano finito y n un entero positivo que es relativamente primo con G. Pruebe que la función φ : G G definida por φ(x) = x n es un automorfismo de G. 74. Dé un ejemplo de un grupo G con un subgrupo propio H tal que G y H son isomorfos. 75. Hallar un homomorfismo φ : U(30) U(30) con kernel K = {1, 11} y φ(7) = Sea G un grupo. Pruebe que Aut(G) es un grupo bajo la composición de funciones. 77. Sean G un grupo y a un elemento de G. Pruebe que la función φ a : G G, definida por φ a (x) = axa 1, es un automorfismo de G. Pruebe además que el conjunto Inn(G) = {φ a : a G} es un grupo bajo la composición de funciones. Éste es llamado el grupo de automorfismos internos de G. 78. Sea G un grupo y sea g G. Si z Z(G), muestre que el automorfismo interno inducido por g es el mismo automorfismo interno inducido por zg, i.e., φ g = φ zg. 79. Suponga que g y h inducen el mismo automorfismo interno de un grupo G. Pruebe que h 1 g Z(G). 80. Combine los dos ejercicios anteriores en un teorema tipo si y sólo si. 81. Son U(20) y U(24) isomorfos? 82. Sean G un grupo y h, k G. Sea φ : Z Z G definida por φ(m, n) = h m k n. (a) Dé una condición necesaria y suficiente, que involucre h y k, para que φ sea un homomorfismo. (b) Dé una condición necesaria y suficiente sobre G, para que φ sea un homomorfismo. 83. Un subgrupo N de un grupo G es llamado un subgrupo característico si para todo φ Aut(G), φ(n) = N. Pruebe que: (a) Todo subgrupo de un grupo cíclico es característico. (b) El centro de un grupo es un subgrupo característico. 84. Sean n Z + y r U(n). Pruebe que la función α : Z n Z n, definida por α(x) = rx mod n, es un automorfismo de Z n. 85. Sea φ : G H un homomorfismo de grupos. Demuestre que φ(g) es Abeliano si y sólo si para todo x, y G se cumple que xyx 1 y 1 ker(φ). 86. Sea φ : G G un isomorfismo de un grupo (G, ) a un grupo (G, ). Pruebe que: (a) Si G es cíclico, entonces G es cíclico. (b) Si G es Abeliano, entonces G es Abeliano. (c) Si g G tiene orden k, entonces φ(g) tiene orden k. 87. Sean G = a un grupo cíclico y G un grupo isomorfo a G. Si φ : G G es un isomorfismo, pruebe que para todo x G, φ(x) está completamente determinado por el valor φ(a). Es decir, si φ : G G y ψ : G G son dos isomorfismos tales que φ(a) = ψ(a), entonces φ(x) = ψ(x) para todo x G. 7

8 88. Cuál es el orden de un k-ciclo (a 1 a 2 a k )? 89. Cuál es el ciclo (a 1 a 2 a n ) 1? 90. Determine el orden de las siguientes permutaciones: (a) (147) (b) (124)(3578) [ (c) ]. 91. Cuáles son los posibles ordenes de los elementos de S 6 y A 6? y de S 7 y A 7? 92. Muestre que A 8 posee un elemento de orden Cuál es el máximo orden de un elemento en A 10? 94. Sean S un conjunto finito y f : S S una función. Pruebe que f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. Es esto cierto si S es infinito? 95. Sea n N. Determine si un n-ciclo es una permutación par o impar de acuerdo a si n es un número par o impar. 96. Pruebe que A n es un subgrupo de S n. 97. Considere las permutaciones de S 6 [ ] σ = y τ = [ ]. (a) Escriba σ y τ como producto de ciclos disjuntos. (b) Escriba σ y τ como producto de 2-ciclos. (c) Calcule στ, στ 2, τσ 2 y στσ 1. (d) Calcule σ, τ 2 y σ Sean A un conjunto no vacío y a A. Sea T a = {σ S A : σ(a) = a}. Pruebe que T a es un subgrupo de S A. 99. Pruebe que para todo entero n 3, S n no es Abeliano. Es más, pruebe que el único elemento σ S n tal que para todo τ S n, στ = τσ es σ = (1) (la permutación identidad) Sean A un conjunto no vacío, B un subconjunto de A y b un elemento fijo de B. Cuáles de los siguientes conjuntos son subgrupos de S A? (a) {σ S A : σ(b) B} (b) {σ S A : σ(b) B} (c) {σ S A : σ(b) = B} Dé la tabla del subgrupo cíclico de S 5 generado por la permutación ( ) ρ =, el cual tiene 6 elementos. Es ρ isomorfo a S 3? 8

9 102. Demuestre que cualquier elemento en A n, para n 3, es un 3-ciclo o un producto de 3-ciclos Sea G el conjunto de todas las permutaciones de los enteros positivos Z +. Sea H el subconjunto de elementos de G que se pueden expresar como un producto de un número finito de ciclos. Demuestre que H es un subgrupo de G Demuestre que una permutación con orden impar tiene que ser una permutación par Sea σ S n una permutación. Defina la matriz A σ = (a ij ) de orden n n como: { 1 si j = σ(i) a ij = 0 si j σ(i). (a) Demuestre que {A σ GL(n, R) : σ S n } es un subgrupo de GL(n, R) isomorfo a S n. (b) Escriba 8 matrices que formen un grupo bajo multiplicación que sea isomorfo a D El conjunto de las permutaciones impares de S n es un grupo? por qué? 107. Sean α, β S n. Pruebe que α 1 β 1 αβ es una permutación par Sea G un grupo de permutaciones sobre el conjunto X. Sea a X y defina stab(a) = {α G : α(a) = a}, el cual es llamado el estabilizador de a en G. Pruebe que stab(a) es un subgrupo de G. (Este subgrupo fue introducido por Galois en 1832.) 109. Sea (1, 3, 5, 7, 9)(2, 4, 6)(8, 10). Si α m es un 5-ciclo, qué puede decir sobre m? 110. En S 4, encuentre un subgrupo cíclico de orden 4 y un subgrupo no cíclico de orden Encuentre elementos de grupo α y β tales que α = 3, β = 3 y αβ = Represente el grupo de simetrías de un triángulo equilátero como un grupo de permutaciones de sus vértices Pruebe que para todo n 3, Z(S n ) = {(1)} Pruebe que una permutación con orden impar debe ser una permutación par. Ayuda: Use el ejercicio Pruebe que si H es un subgrupo de S n, entonces o cada miembro de H es una permutación par o exactamente la mitad de ellas son pares Sea H = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Calcule las clases laterales a izquierda de H en A Sea H = 3Z. (a) Encuentre las clases laterales a izquierda de H en Z. (b) Decida si las siguientes clases laterales son iguales o no: 11 + H y 17 + H 9

10 1 + H y 5 + H 7 + H y 23 + H 118. Sea n 2. Encuentre las clases laterales a izquierda de H = nz en Z Suponga que a tiene orden 15. Encuentre las clases laterales a izquierda de a 5 en a Sean G un grupo, H un subgrupo de G y a G. Pruebe que ah = H si y sólo si a H Sean G = (C, ) y H = {x G : x = 1}. Dé una descripción geométrica de las clases laterales de H en G Suponga que K es un subgrupo propio de H y que H es un subgrupo propio de G. Si K = 42 y G = 420, cuáles son los posibles ordenes de H? 123. Sean a, b, c R, G = (R 3, +) y H = {(x, y, z) G : ax + by + cz = 0}. Dé una descripción geométrica de las clases laterales a izquierda de H en G Muestre que a pesar de que A 4 = 12, éste no posee elementos de orden 6. Esto prueba que el reciproco del Teorema de Lagrange no es cierto en general Suponga que G = pq, donde p y q son primos. Pruebe que todo subgrupo propio de G es cíclico Sea n N. Pruebe que si a es cualquier entero relativamente primo a n, entonces a φ(n) = 1 mod n Pruebe que un grupo no Abeliano de orden 10 debe tener 5 elementos de orden 2. Generalice este hecho para el caso de un grupo no Abeliano de orden 2p, donde p es un primo impar. Cuántos elementos de orden 2 tiene un grupo Abeliano de orden 2p, donde p es un primo impar? 128. Suponga que G es un grupo Abeliano con un número impar de elementos. Muestre que el producto de todos los elementos de G es la identidad Suponga que G es un grupo con más de un elemento y que G no posee subgrupos propios no triviales. Pruebe que G es primo. (No asuma de antemano que G es finito.) 130. Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que K H G. Pruebe que si H : K y G : H son finitos, entonces G : K = G : H H : K Sea G un grupo de orden impar. Pruebe que la ecuación x 2 = a tiene una única solución para todo a en G Sean H y K subgrupos de un grupo G. Pruebe que HK es un subgrupo de G si y sólo si HK = KH Sean H y K subgrupos de un grupo G. Pruebe que si H y K son primos relativos, entonces H K = {e} Sea H = {(1), (12)}. Es H normal en S 3? 135. Pruebe que SL(n, R) es normal en GL(n, R). 10

11 136. Pruebe que si H es un subgrupo de índice 2 en el grupo G, entonces H es normal en G Sea H = {(1), (12)(34)} en A 4. (a) Pruebe que H no es normal en A 4. (b) Verifique que aunque αh = βh y σh = ρh, no es cierto que ασh = βρh, donde α = (243), β = (142), σ = (132) y ρ = (234). Por qué esto no contradice la buena definición de la operación en los grupos cocientes? 138. Pruebe que un grupo cociente de un grupo cíclico también es cíclico Cuál es el orden del elemento en el grupo cociente Z 18 / 6? 140. Cuál es el orden del grupo cociente Z 60 / 15? 141. Sean G = U(16), H = {1, 15} y K = {1, 9}. Son H y K isomorfos? Son G/H y G/K isomorfos? 142. Sean G = GL(n, R) y H = { A G : det A = 3 k, k Z }. Pruebe que H es un subgrupo normal de G Muestre, mediante un ejemplo, que en un grupo cociente G/H puede suceder que ah = bh, pero que a b Pruebe que un grupo cociente de un grupo Abeliano es Abeliano Suponga que G es un grupo no Abeliano de orden p 3 (donde p es un primo) y Z (G) {e}. Pruebe que Z (G) = p Sean G un grupo, H G y N G. Si N H, pruebe que H/N G/N si y sólo si H G (Grupo de los cuaterniones) Sea Q 8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, donde i 2 = j 2 = k 2 = 1, i = ( 1)i, 1 2 = ( 1) 2 = 1, ij = ji = k, jk = kj = i, y ki = ik = j. (a) Construya la tabla de Cayley para Q 8. (b) Pruebe que H = {1, 1} Q 8. (c) Construya la tabla de Cayley para Q 8 /H Pruebe que la intersección de subgrupos normales de un grupo G es también un subgrupo normal de G Sea H un subgrupo normal de un grupo finito G. Si gcd ( x, G/H ) = 1, pruebe que x H Si N es un subgrupo normal de G y G/N = m, pruebe que x m N para todo x G Si G es un grupo no Abeliano, pruebe que Aut(G) no es cíclico Sea G un grupo. Si H = {g 2 : g G} es un subgrupo de G, pruebe que H es un subgrupo normal de G Sea Q 8 = {±1, ±i, ±j, ±k} el grupo de los cuaterniones. Pruebe que 1 Q 8. 11

12 154. (Tercer Teorema de Isomorfismos) Pruebe que si M G, N G y N M, entonces M/N G/N y G/N M/N = G/M Sea H un subgrupo normal de un grupo G. Pruebe que si G : H = p (p primo), entonces para todo K G ó (a) K H ó (b) G = HK y K : K H = p Sea N un subgrupo normal de un grupo G. Pruebe que todo subgrupo Ā de Ḡ = G/N es de la forma Ā = A/N, donde A es un subgrupo de G que contiene a N. 12

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