CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Transcripción

1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 7 CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Estructura Algebraca es todo conjunto no vacío en el cual se han defndo una o más leyes de composcón nterna, luego de cumplr certas propedades pueden formar: semgrupos, grupos, anllos y cuerpos 5. SEMIGRUPO Sea un conjunto no vacío A en el se ha defndo una operacón bnara (ley de composcón nterna) es un semgrupo s se verfca que: Ley Asocatva a ( b c) ( a b) c S además se verfca la ley conmutatva, es decr: a b b a Entonces, el semgrupo es conmutatvo. El semgrupo puede tener elemento neutro. Ejemplo En el conjunto de los números naturales defnmos la operacón bnara a b a b Demostrar que es un semgrupo Debe cumplr la ley asocatva a ( b c) ( a b) c Para la operacón defnda se tene: a ( b c) ( a b) c a ( b c) ( a b) c a b c a b c a b c a b c Por tanto, la operacón bnara defnda como a b a b en el conjunto de los números enteros (Z, ) forma un semgrupo Puede tambén observarse que verfca la propedad conmutatva:

2 7 ÁLGEBRA I a b b a a b b a a b a b Por lo tanto, es un semgrupo abelano Ejemplo En el conjunto de los números naturales sea la operacón bnara a b a b Demostrar que es un semgrupo Debe cumplr la ley asocatva a ( b c) ( a b) c Para la operacón defnda se tene: a ( b c) ( a b) c a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c a 6b 9c a 6b c Por tanto, la operacón bnara a b a b defnda en el conjunto de los números naturales (N ) no forma un semgrupo 5. GRUPO Un conjunto no vacío G sobre el cual se ha defndo una operacón bnara º se llama grupo respecto a es operacón s se verfcan las sguentes propedades: ( a, b) G a b G Ley de la Clausura (muchos autores suponen que esta ley se debe verfcar sempre y no la menconan) a ( b c) ( a b) c Ley Asocatva Exste un u G tal que a u u a a Exstenca del elemento neutro Para cada a G exste un a G tal que a a a a u Exstenca del Smétrco

3 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 7 Ejemplo Los conjuntos de; los números enteros Z los reales R y los complejos C consttuyen ejemplos cláscos de grupos con la operacón suma ordnara, puesto que las propedades menconadas anterormente son a la vez propedades de estos conjuntos de números. Los enteros no forman grupo con la operacón producto por que no tenen smétrcos multplcatvos, en cambo, los reales y los complejos s son grupos. Ejemplo Determne s el conjunto formado por las raíces cúbcas de la undad, forma un grupo con la operacón producto. Las raíces cúbcas de la undad son: ; ; Hallemos los productos correspondentes

4 7 ÁLGEBRA I Se puede construr la sguente tabla: * En la cual es posble verfcar todas las propedades de un grupo, el neutro es el elemento mentras que el smétrco de es y el smétrco de es : 5.. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS El elemento neutro u es únco Cada elemento a tene un elemento smétrco a - únco Se cumple la ley de la cancelacón, esto es: S a,b,c ε G y a b = a c entonces b = c S a,b ε G las ecuacones a x = b y a = b tenen solucones úncas Para todo a ε G el smétrco del smétrco es nuevamente el elemento orgnal, es decr: ( a - ) - = a Para todo a,b ε G se tene que: (a b) - = b - a -. En general (a b c.. p q) - = q - p - c - b - a -. Para cualquer a ε G y cualquer m ε Z + se defne a m = a a a.. a a de m factores Un grupo que cumple además la propedad conmutatva, es decr: a b b a Se denomna grupo abelano. Ejemplo 5 a) Demostrar s el conjunto de las clases resduales Z/(), módulo cuatro, forma un grupo respecto a la adcón. b) Verfque tambén s forma un grupo respecto a la multplcacón. a)

5 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 75 Podemos ver a través de la tabla que se verfca la propedad asocatva, por ejemplo ( ) ( ) El elemento neutro es el cero. El smétrco de es, el smétrco de es el msmo y el smétrco de es, en consecuenca las clases resduales modulo cuatro, forman un grupo respecto a la suma. Como la tabla es smétrca respecto a la dagonal prncpal se demuestra que el grupo es abelano. b) * En este ejemplo el cero hace que no se cumplan las propedades del grupo, s se excluyera el msmo los números y no tenen smétrcos. Evdentemente no forma un grupo 5. ANILLOS Se dce que un conjunto no vacío R forma un anllo respecto a las operacones bnaras de adcón (+) y multplcacón ( ), s para cualquer R se verfcan las sguentes propedades: Ley asocatva de la adcón (a+b)+c=a+(b+c) Ley conmutatva de la adcón a+b = b+a Exste un neutro adtvo z tal que a z a Exsten smétrcos adtvos Ayres Frank, ALGEBRA MODERNA, Edt. McGra Hll 969 Pag. 0

6 76 ÁLGEBRA I a a tal que a ( a) z Ley asocatva de la multplcacón (a b) c=a (b c) Leyes dstrbutvas a (b+c)=a b + a c (b+c) a=b a+c a Los conjuntos de números enteros Z, raconales Q, reales R y complejos C, consttuyen ejemplos cláscos de anllos con las operacones de adcón y multplcacón ordnaras, puesto que, cumplen con todas las propedades antes menconadas. Ejemplo 6 Demostrar que el conjunto S x y z 9 : x, y, z Q es un anllo respecto a las operacones de adcón y multplcacón en R. Demostramos prmeramente que es cerrado respecto a la suma y producto, para ello debemos verfcar que ambas operacones dan como resultado, expresones que mantenen el formato ncal. x y z 9 p q r 9 x p y q z r 9 Se observa que es cerrado respecto a la suma. x y z 9 p q r 9 xp xq xr 9 y p y q y r 9 pz 9 q z 9 r 9z 9 Agrupando apropadamente se tene: xp yr qz xq yp rz 9 xr yq pz Mantenendo la estructura, por tanto, es cerrado respecto a la multplcacón. La ley asocatva y conmutatva de la adcón, así como las leyes dstrbutvas y asocatva de la multplcacón se satsfacen por ser propedades cláscas de los números reales y por ser S subconjunto de R El neutro adtvo del anllo será:

7 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 77 Mentras que los smétrcos tendrán la forma: x y z 9 Por tanto, el conjunto S forma un anllo respecto a las operacones de adcón y multplcacón ordnaras. Ejemplo 7 Sea el anllo M = {(a,b,c,d) a,b,c,d Є Q} con adcón y multplcacón defndas por: (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h) (a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh) Demostrar la ley asocatva del producto y una de las leyes dstrbutvas La ley asocatva del producto dce ( a b) c a ( b c ) Para térmnos como los del anllo planteado se tendrá: ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l) ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l ) Trabajando en el prmer membro tenemos: ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l) ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l ) ae bg, af bh, ce dg, cf dh (, j, k, l ) ( ae bg) ( af bh) k, ( ae bg) j ( af bh) l, ( ce dg) ( cf dh) k, ( ce dg) j ( cf dh) l ae afk bg bhk, aej afl bgj bhl, ce cfk dg dhk, cej cfl dgj dhl

8 78 ÁLGEBRA I a( e fk) b( g hk), a( ej fl) b( gj hl), c( e fk) d( g hk), c( ej fl) d( gj hl) ( a, b, c, d) ( e fk), ( ej fl), ( g hk), ( gj hl) ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l) ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l) Ley Dstrbutva ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) (, j, k, l) a( b c) ab ac ) lqqd ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) ( a, b, c, d) (, j, k, l) Trabajamos en el prmer membro para gualarlo al segundo: ( a, b, c, d)( e, f j, g k, h l ) a( e ) b( g k), a( f j) b( h l), c( e ) d( g k), c( f j) d( h l) ae a bg bk, af aj bh bl, ce c dg dk, cf cj dh dl ( ae bg) ( a bk), ( af bh) ( aj bl), ( ce dg) ( c dk), ( cf dh) ( cj dl) ( ae bg), ( af bh), ( ce dg), ( cf dh) ( a bk),( aj bl),( c dk) ( cj dl) ( a, b, c, d) ( e, f, g, h) ( a, b, c, d) (, j, k, l ) lqqd 5.. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS Todo anllo es un grupo adtvo abelano Exste un elemento neutro adtvo únco z Cada elemento tene un smétrco adtvo únco

9 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 79 Se cumple la Ley de la Cancelacón para la adcón. -(-a)=a ; -(a+b)= -a +(-b) a z = z a = z a (-b) = - (a b) = (-a) b 5. SUBANILLOS Un subconjunto no vacío S de un anllo que sea a su vez un anllo con las operacones defndas para ese se denomna un subanllo de, por consguente S es subgrupo del grupo adtvo de. 5.5 ANILLO CONMUTATIVO Es aquel que cumple la Ley Conmutatva del producto, es decr: a b = b a 5.6 ANILLO UNITARIO Es aquel que tene neutro multplcatvo, es decr: a u = u a = a 5.7 DIVISORES DE CERO Sea R un anllo con elemento neutro z Se dce que un elemento a z de R es un dvsor de cero, s exste un elemento b z de R tal que: a b = z ; b a = z Los anllos Z, Q, R. C no tenen dvsores de cero Ejemplo 8 Sea el anllo M = {(a,b,c,d) a,b,c,d Є Q} con adcón y multplcacón defndas por: (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h) (a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh) Hallar, s exsten los dvsores de cero: Recordemos que el neutro del anllo es:

10 80 ÁLGEBRA I (a,b,c,d) (,0,0,) = (a+b0, a0+b, c+d0, c0+d)= (a,b,c,d) Los dvsores de cero dstntos del neutro son (,0,,0) (0,0,0,) = (0+0, 0+0, 0+0, 0+0)=(0,0,0,0) 5.8 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS Un homomorfsmo (somorfsmo) del grupo adtvo de un anllo R en (sobre) el grupo adtvo del anllo R que preserva la segunda operacón, la multplcacón, se llama homomorfsmo (somorfsmo) de R en (sobre) R Ejemplo 9 Consdérese el anllo R = { a,b,c,d } con tabla de adcón y multplcacón defndas por + a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a * a b c d a a a a a b a b c d c a c d b d a d b c Y el anllo R = { p,q,r,s } con tabla de adcón y multplcacón + p q r s p r s p q q s r q p r p q r s s q p s r * p q r s p s p r q q p q r s r r r r r s q s r p La byeccón a r, b q, c s, d p Aplca R sobre R (tambén R sobre R) preservando las operacones bnaras; por ejemplo Ayres Frank, Algebra Moderna, Edt. McGra Hll Ed.969 Pag. 0

11 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 8 d = b + c q + s = p b = c d s p = q, etc. Así que R y R son anllos somorfos 5.9 TEOREMA En todo somorfsmo de un anllo R sobre un anllo R s z es el cero de R y z es el cero de R se tene z z s R R : a a, entonces -a -a s u es la undad de R y u es la undad de R, se tene que u u s R es un anllo conmutatvo, tambén lo es R. 5.0 DOMINIO DE INTEGRIDAD Un anllo conmutatvo, untaro sn dvsores de cero es un Domno de Integrdad. Los anllos Z, Q, R, C son domnos de ntegrdad 5. CUERPO Un anllo F cuyos elementos no nulos forman un grupo multplcatvo, se llama cuerpo. Todo cuerpo tene elemento undad y todo elemento no nulo del cuerpo posee un nverso (smétrco multplcatvo); s la multplcacón es conmutatva, el cuerpo se dce conmutatvo. Algunos autores denomnan a los cuerpos conmutatvos como Campos. Los axomas que caracterzan a la estructura de un cuerpo son: (F, +) es un grupo abelano. (F, -{0}, ) es un grupo abelano. El producto es dstrbutvo respecto a la suma. Los anllos Q, R, C son cuerpos conmutatvos, mentras Z no es un cuerpo, debdo a que no posee smétrcos multplcatvos. Ayres Frank. ÁLGEBRA MODERNA. Edt McGra Hll Coleccón Schaum 969

12 8 ÁLGEBRA I 5.. PROPIEDADES Ejemplo 0 Todo domno de ntegrdad con un número fnto de elementos es un cuerpo conmutatvo. Todo cuerpo es un anllo smple. Los cuerpos no admten dvsores de cero En todo cuerpo vale la ley de cancelacón del producto, para todo elemento no nulo del msmo. S b 0 entonces la ecuacón b x = a tene solucón únca. El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es gual al opuesto de su recíproco. Determnar s el conjunto F x R / x a b, a, b Q con las operacones de adcón y multplcacón ordnaras es un cuerpo Verfcamos la ley e la clausura Sean x a b ; y c d x y a b c d ( a c) ( b d ) x y a b c d ( ac bd) ( ab bc ) Observamos que ambas operacones mantenen la estructura orgnal. Verfcamos s es asocatva respecto a la suma S x a b ; y c d ; z f g ( x y) z a b c d f g ( a c) ( b d) f g ( x y) z ( a ( c f )) ( b ( d g)) x ( y z ) Lazo Sebastán. ALGEBRA MODERNA. Imp. Sopa Ltda. 999 Pag. 7

13 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 8 El neutro adtvo será: e 0 0 Para todo x a b exste un La operacón suma es evdentemente una operacón conmutatva, por tanto vemos que forma un grupo abelano respecto a la suma. Puesto que F es un subconjunto de R se verfca la propedad asocatva respecto al producto. El elemento neutro multplcatvo es: e 0 El nverso de todo elemento tendrá la sguente forma. S x x e x x a b x 0 x a b a b a b a b a b a b a b a b Donde a, b son dstntos de cero. El producto es conmutatvo por ser F R El conjunto F menos el neutro adtvo {0} forma un grupo abelano respecto al producto. Verfcamos la ley dstrbutva x( y z) xy xz x( y z) a b c d f g x( y z) a b c f d g x( y z) a c f b d g b c f a d g x( y z) ac af bd bg bc bf ad ag x( y z) ac bd ad bc af bg fb ag

14 8 ÁLGEBRA I x( y z) a b c d a b f g x( y z) xy xz lqqd Por lo tanto el conjunto F con las operacones de suma y producto ordnaros forma un cuerpo.