Teoría de Grupos. Daniel Jiménez Briones. Octubre de 2013.

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1 Teoría de Grupos Daniel Jiménez Briones. Octubre de 2013.

2 Índice general 1. Grupos Introducción Nociones Básicas Propiedades Básicas Problemas Propuestos Subgrupo Problemas Propuestos Generado Problemas Propuestos Grupos Cíclicos Problemas Propuestos Subgrupos Notables Problemas Propuestos Clases Laterales Problemas Propuestos Subgrupo Normal Problemas Propuestos Grupo Cuociente Problemas Propuestos Homomorfismo Problemas Propuestos Teorema del Homomorfismo Problemas Propuestos Clasificación Grupos Cíclicos Grupo Hom Hom(Z n,z m ) Hom(Z r,z n Z m ) Hom(Z n Z m,z r ) Problemas Propuestos Automorfismos Automorfismo Interior Acción de Grupo en un Conjunto Problemas Propuestos Grupo de Permutación

3 ÍNDICE GENERAL Problemas Propuestos Grupos Abelianos Finitos Problemas Propuestos Teorema de Sylow Problemas Propuestos Problemas Misceláneos

4 Capítulo 1 Grupos 1.1. Introducción La noción de grupo la podemos encontrar en distintas área de la matemática o en la naturaleza. Un primer tipo consiste en las simetrías de un objeto, por ejemplo los polígonos regulares, para evidenciar las simetrías es conveniente marcar los objetos de alguna manera, aunque esta marcas no son partes del objeto, en el caso de los polígonos regulares, pueden ser los vértices o las aristas, en particular para el triángulo equilátero tenemos las siguientes simetrías: J Sea G el conjunto de todas las simetrías de esta figura, en este conjunto es fácil definir una operación binaria, que corresponde aplicar una después la otra de estas simetrías, y es claro que obtendremos una nueva simetría. Podemos describir todas las simetrías de esta figura y la denotamos por Sim(Triángulo). Para otros polígonos regulares también se puede determinar el mismo conjunto de simetrías. R Los objetos también puedes ser tridimensionales, como los poliedros regulares, en cuyo 3

5 CAPÍTULO 1. GRUPOS 4 caso podemos incorporar marcas en las caras. Tetraedro, Octaedro, Cubo, Dodecaedro. Otro tipo de conjunto donde existe una operación binaria, es en el siguiente, sea G el conjunto potencia de A = {a, b, c} y la correspondiente operación binaria dada por diferencia simétrica, de otro modo, : G G G (X,Y) X Y := X Y X Y En el ejemplo anterior tenemos la siguiente tabla de la diferencia simétrica u operación binaria φ {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} φ φ {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} {a} {a} φ {a,b} {a,c} {b} {c} {a,b,c} {b,c} {b} {b} {a,b} φ {b,c} {a} {a,b,c} {c} {a,c} {c} {c} {a,c} {b,c} φ {a,b,c} {a} {b} {a,b} {a, b} {a, b} {b} {a} {a, b, c} φ {b, c} {a, c} {c} {a, c} {a, c} {c} {a, b, c} {a} {b, c} φ {a, b} {b} {b, c} {b, c} {a, b, c} {c} {b} {a, c} {a, b} φ {a, b, c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,c} {a,b} {c} {b} {a} φ En forma natural se puede generalizar el ejemplo anterior del siguiente modo, dado un conjunto X no vacío y G = P(X) el conjunto potencia, entonces tenemos que la diferencia simétrica es una operación binaria en G. En cada uno de estos conjuntos con las respectivas operaciones binarias, podemos buscar o escudriñar, que propiedades básicas cumplen o satisfacen Nociones Básicas Definición 1 Sea G un conjunto no vacío. 1. Se dice que (G, ) es un Grupoide si y sólo si : G G G (a,b) a b es una función Otra manera de referirse a esta propiedad es Clausura u Operación Binaria

6 CAPÍTULO 1. GRUPOS 5 2. Se dice que (G, ) es un Semigrupo si y sólo si, (G, ) es un grupoide y además ( ) es asociativa ( a,b,c G)((a b) c = a (b c)). 3. Se dice que (G, ) es un Monoide si y sólo si (G, ) es un semigrupo y además ( ) tiene neutro ( e G)( a G)(a e = e a = a). 4. Se dice que (G, ) es un Grupo si y sólo si (G, ) es un monoide y además ( ) tiene la propiedad del inverso ( a G)( b G)(a b = b a = e). 5. Se dice que (G, ) es un Grupo Abeliano si y sólo si (G, ) es un grupo y además ( ) tiene la propiedad conmutativa ( a G)( b G)(a b = b a). Observación: No se debe confundir grupo puro con puro grupo Ejemplo 1 Los siguientes conjuntos con la operación que se indica son grupos: (Q,+) (R,+) (C,+) (Q, ) (R, ) (C, ) (M n (K),+) con K = Z,Q,R,C,Z n (GL n (K), ) con K = Z,Q,R,C,Z n (Z/nZ, +) (U(Z/nZ), ) (Z/pZ, ), con p número primo (K[x],+) con K = Z,Q,R,C,Z n (F(X,G), )el conjunto de la funciones de X en el grupo (G, ) (Biy(X), )el conjunto de las biyecciones de X en X Ejemplo 2 Sea G = Z, y se define a b = a+b+1. Demostrar que (G, ) es grupo. Solución: Claramente (Z, ) es un grupoide, pues : Z Z Z donde (a,b) = a b = a+b+1 es un único valor, luego es una función bien definida.

7 CAPÍTULO 1. GRUPOS 6 Ahora veamos que es asociativa, sean a,b,c Z se tiene que (a b) c = (a+b+1) c = a+b+1+c+1 = a+(b+c+1)+1 = a (b+c+1) = a (b c) Lo cual prueba que es asociativa, y por tanto (Z, ) es Semigrupo. Ahora para encontrar el elemento neutro, nos basaremos en suponer que existe, es decir, supongamos que para todo a Z existe b Z tal que a b = a a+b+1 = a b+1 = 0 b = 1 Luego, como 1 Z, y se puede comprobar que 1, es el neutro por la derecha de (Z, ), y análogamente también es el neutro por la izquierda, por lo tanto 1 es el elemento neutro de (Z, ), luego (Z, ) es un Monoide. Por último, supongamos que para cada a Z existe c Z tal que a c = 1 a+c+1 = 1 c = 2 a De este modo, obtenemos que 2 a es el inverso por la derecha de a, de forma análoga tendremos que 2 a es el inverso por la izquierda y por tanto 2 a es el inverso de a, luego (Z, ) es un Grupo. Más aún, tenemos que (Z, ) es un Grupo abeliano, ya que para todo a,b Z se tiene que a b = a+b+1 = b+a+1 = b a Ejercicio 3 SeanAun conjunto, G = P(A) elconjunto potenciay la diferenciasimétrica. Demostrar que (G, ) es grupo abeliano. Ejercicio 4 Sea G = Z, se define a b = a+b+ab. Determinar si (G, ) es semigrupo, monoide, grupo.

8 CAPÍTULO 1. GRUPOS 7 Grupo Diedral Sea n N, entonces D n = Sim(n agono regular) Enumeremos los vértices del 1 al n en el sentido del reloj, de manera referencial. Al realizar una simetría obtenemos una biyección del conjunto de vértice en si mismo. Además notemos que una simetría envía vértices adyacente en vértices adyacentes. De este modo podemos contar las posibles simetrías, el vértice 1 tiene n, posibilidades y el vértices 2 sólo tiene dos posibilidades, los adyacentes a la imagen del vértice 1, los demás quedan únicamente determinados. Por lo tanto hay a lo más 2n simetrías. Ahora construiremos las simetrías, cada n-agono regular, se puede rotar en 360/n grados, luego existe n rotaciones denotemos por R 1 esta rotación, note que las rotaciones no dejan fija ningún vértices. Además existe las reflexiones, para ello debemos diferenciar casos. Caso n impar: V R * El lado opuesto a un vértice es una arista, buscando el punto medio, se construye la reflexión, cada una de las cuales deja un punto fijo distinto, luego existe otras n reflexiones. Caso n Par: V A R El lado opuesto a un vértice es otro vértice, luego esta reflexiones dejan fija dos vértices, de este modo hay n/2 reflexiones, pero existe otro tipo, dada una arista existe la arista opuesta, buscando los puntos medios, se construye la reflexión, cada una de las cuales deja dos arista, luego existe otras n/2 reflexiones. De este modo existen 2n simetrías en un n-agono regular Es importante comprender, que la anterior demostración lleva implícita la construcción, pero no la notación mas conveniente. Para ello enumeraremos los vértices en el sentido contrario del reloj correlativamente. R 1 la rotación en el sentido de la enumeración en un ángulo de 360/n, V i la reflexión que deja fijo el vértice i y cuando corresponda A i,i+1 la

9 CAPÍTULO 1. GRUPOS 8 reflexión que deja fijo la arista {i,i+1} Veamos un ejemplo R A lo menos hay dos posible forma de describir esta función, es importante entender las implicancia de cada una de ellas. En este texto optaremos por donde esta por ello tenemos lo siguiente: R 1 (1) = 2; R 1 (2) = 3; R 1 (3) = 4; R 1 (4) = 1. Lo cual lo denotaremos por ( ) R 1 = = R 1 (1) R 1 (2) R 1 (3) R 1 (4) ( ) V Lo cual corresponde a Ahora operaremos ambas simetrías V 1 = ( ) V 1 R

10 CAPÍTULO 1. GRUPOS 9 Lo cual significa que primero hemos realizado la simetría V 1 y después hemos rotado. ( ) ( ) ( ) = Lo cual corresponde a a compuesta de funciones. Observación: Recuerde que la enumeración no pertenece a la figura sólo es referencia, y la notación no debe depender de las circunstancias. Ejercicio 5 Sea n N, entonces D n = Sim(n agono regular) es un grupo. Simetrías del Cubo Es importante tener presente que al describir esto grupo, involucran varias decisiones que llevan a distintas visualización del mismo este. Una de ella es que enumeramos las caras, las aristas o los vértices, son 6 caras, 12 arista y 4 vértices. cada una de ella bien de a pares ya que se distingue claramente el opuesto en la figura. y toda simetrías debe respetar lo opuesto. Argumentemos de dos formas distintas, si enumeramos las caras de modo que la opuesta sume 7, siempre sabremos que dado una la otra tiene una única posibilidad, por ello para la primera cara tenemos 6 posibilidades, adyacente a ella a cuatro, luego la otra tiene dos posibilidades y finalmente la tercera tiene dos posibilidades, entonces a lo mas hay 48 simetrías, una argumento similar lo obtenemos con los vértices, para el primero hay 8, para el segundo hay 3 y para el tercero hay 2, total 48. Observación: Lo anterior nos lleva interpretar que entendemos por simetría. Hay a lo menos forma de entender una primera y más general que consiste en preservar los elementos notable del objeto (vértices en vértices, aristas en arista, caras en cara, etc). y otra en que realizable sin deformar la figura) La discusión es mas profunda, ya que involucra el espacio en que se encuentra la figura, para más información mirar la teoría de grafos. Para el desarrollo del curso, sólo trabajaremos con las simetrías realizables en el espacio tridimensional. Una forma de reconocer este hecho, es mirar desde el exterior a la cara principal {1, 2, 3, 4} debe ser contraria al movimientos de las manecillas del reloj De este modo son sólo 24 simetrías realizables, ya que el tercer vértices tiene una sola posibilidad de mantener la orientación. Los tipos de movimientos son tres,

11 CAPÍTULO 1. GRUPOS 10 Movimiento de Caras C i,j, donde i,j son opuestos en una cara. Consiste en dejar fija la cara y mover en un cuarto de vuelta 90 el cubo en el sentido contrario al reloj C 1, Movimiento de Arista A i,j, donde {i,j} es una arista. Consiste en dejar fija la arista y mover en 180 el cubo A 1, Movimiento de Vértices V i, donde i es un vértices. Consiste en dejar fijo el vértices y mover en 120 el cubo en el sentido contrario al reloj V Propiedades Básicas En todo lo que sigue G representa un grupo y la notación empleada sera multiplicativa. Teorema 1 Sea G un grupo, entonces

12 CAPÍTULO 1. GRUPOS El elemento neutro es único. 2. El elemento inverso de cada elemento es único. Demostración: Si e es el neutro, entonces para todo a G se cumple que ae = ea = a. Supongamosentonces, queexiste e,e Gque también satisface lacondición anterior. Luego y por otro lado ee = e e = e (1.1) Por (1.1) y (1.2) se tiene que es decir e e = ee = e (1.2) e = ee = e e = e. La segunda parte de la demostración se deja de ejercicio, puesto que es una consecuencia inmediata de la siguiente proposición. Notación: El elemento neutro también se llama la identidad de G, en notación multiplicativa se denota por 1 y en notación aditiva por 0. El elemento inverso de a se denota en notación multiplicativa por a 1 y en notación aditiva por a. Propiedad 2 (Cancelación) Sea G un grupo 1. ( a G)( b G)( c G)(ab = ac b = c) cancelación izquierda 2. ( a G)( b G)( c G)(ba = ca b = c) cancelación derecha Demostración: Sólo demostraremos la primera equivalencia. Supongamosqueba = ca,luego comogesgrupo,existe a 1 Gtalqueaa 1 = a 1 a = e, entonces tenemos que es decir, b = be = b(aa 1 ) = (ba)a 1 = (ca)a 1 = c(aa 1 ) = ce = c b = c En la otra dirección es inmediata teniendo presente que la operación binaria es una función, sea b = c, luego (a,b) = (a,c) por lo tanto tiene igual imagen ab = ac. Una consecuencia de la propiedad de cancelación es la siguiente proposición Propiedad 3 Sea G un grupo y a,b G entonces 1. La ecuación ax = b tiene única solución en G y es x = a 1 b 2. La ecuación xa = b tiene única solución en G y es x = ba 1.

13 CAPÍTULO 1. GRUPOS 12 Demostración de ejercicio Ejemplo 6 Resolver la siguiente ecuación (si tiene sentido). 11x = 4 en U(Z 3157 ) Solución: Recordemos que un elemento en Z n es invertible (tiene inverso multiplicativo) si y sólo si es primo relativo con n. Ahora, como MCD(11,3157) = 11, entonces 11 y 3157 no son primos relativos y por tanto 11 no es invertible en Z 3157, luego la ecuación no tiene sentido en este grupo. Ejemplo 7 Resolver la siguiente ecuación (si tiene sentido). 25x = 3 en U(Z 3157 ) Solución: Por la observación hecha en el ejemplo anterior, esta vez la ecuación sentido y por ende tiene solución U(Z 3157 ), ya que MCD(3,3157) = 1 y MCD(25,3157) = 1. Para resolver la ecuación sólo debemos encontrar el inverso de 25 en Z 3157, y para esto recurriremos al algoritmo de Euclides (de la división). Tenemos De otro modo Así tenemos que 3157 = = = = = = = = es decir 1 = = 4 (7 4 1) 1 = = (25 7 3) 2 7 = = ( ) = = 25(884) ( 7) 1 = 25(884)+3157( 7) aplicando módulo 3157 en la ecuación anterior tenemos: 25(884) = 1 (mód 3157)

14 CAPÍTULO 1. GRUPOS 13 Luego 884 es el inverso de 25 en Z Finalmente tenemos que x = = 2652 en U(Z 3157 ) Ejemplo 8 Considere las siguientes funciones f, g, h Biy(R) tales que Resolver f Z g = h. f(x) = 3x+1; g(x) = 2 x; h(x) = 5x+1. Solución: Note que las funciones son biyectiva y que Luego despejando tenemos f 1 (x) = x 1 3 ; g 1 (x) = 2 x; h 1 (x) = x 1. 5 Z = f 1 h g 1 De lo cual obtenemos Z(x) = 10 5x 3. Por lo tanto Z : R R x 10 5x 3 Ejemplo 9 Sea D 15 el grupo de las simetrías del polígono regular de 15 lados, donde V i es la reflexión que no mueve el vértice i y R es la rotación en 24 grados en el sentido de la enumeración. Resolver las siguientes ecuaciones, de modo de reconocer el tipo de movimiento. 1. V 3 = V 1 X 1 2. V 9 = V 1 X 2 V 1 Solución: Para la primera ecuación tenemos que X 1 = V 1 1 V 3, para reconocer el elemento, verifiquemos la imagen dos elementos adyacentes. X 1 (3) = V 1 1 V 3 (3) = V 1 1 (3) = 14 y X 1 (2) = V 1 1 V ( 3 2) = V 1 1 (4) = 13 Luego X 1 (1) = 12, luego es una rotación en 264 grados. La segunda ecuación V 9 = V 1 X 2 V 1, luego se tiene que X 2 = V1 1 V 9 V1 1 = V 1 V 9 V 1, ya que es su propio inverso, ahora verifiquemos la imagen dos elementos adyacentes X 2 (1) = V 1 V 9 V 1 (1) = V 1 V 9 (1) = V 1 (2) = 15 y X 2 (2) = V 1 V 9 V 1 (2) = V 1 V 9 (15) = V 1 (3) = 14 Luego X 2 (3) = 13, luego es una reflexión en el vértice 8.

15 CAPÍTULO 1. GRUPOS 14 Ejemplo 10 Sea G el grupo de las simetrías del cubo. Sean V 6 = V 6 + la rotación en 120 grados que no mueve el vértice 6, A 1,4 la rotación en 180 grados que no mueve el arista {1,4} y C = C 1,5 + es la rotación en 90 grado que no mueve la cara {1,2,5,6}. Resolver explícitamente la siguiente ecuación: C X V 6 = A 1,4 Solución: Para la primera parte, despejando obtenemos que X = C 1 A 1,4 V 1 6 Para determinar que tipo de movimiento es podemos V 6 A 1,4 C Para reconocer el movimiento buscamos vértices aristas o caras fijas, en este caso tenemos los vértices 4,5 están fijos X = V 5 + = V4 Corolario 4 Sea G un grupo y a,b G entonces 1. (a 1 ) 1 = a 2. (ab) 1 = b 1 a 1 Demostración: Para la primera afirmación, sea a G, luego existe a 1 G, de igual modo existe el inverso de a 1, denotado por (a 1 ) 1, es decir se tiene que aa 1 = e a 1 (a 1 ) 1 = e

16 CAPÍTULO 1. GRUPOS 15 Luego se tiene y a = ae = a(a 1 (a 1 ) 1 ) = (aa 1 )(a 1 ) 1 = e(a 1 ) 1 = (a 1 ) 1 Para la segunda parte, notemos que ab(b 1 a 1 ) = a(bb 1 )a 1 = aa 1 = e (b 1 a 1 )ab = b 1 (a 1 a)b = b 1 b = e Luego,b 1 a 1 eselinverso deab.porlotanto,porlasegunda partedelteorema1tenemos que (ab) 1 = b 1 a 1 Observación: Sean g 1,g 2,g 3,g 4 G. Notemos que podemos tener distinto tipo de agrupación (g 1 g 2 )(g 3 g 4 ) = ((g 1 g 2 )g 3 )g 4 = (g 1 (g 2 g 3 ))g 4 = g 1 ((g 2 g 3 )g 4 ) luego e producto g 1 g 2 g 3 g 4 esta únicamente determinado. Teorema 5 (Ley de Asociatividad Generalizada) Sean g 1,g 2,...,g n elementos de G, el producto de ellos, está únicamente determinado, sin importar el orden en que se agrupen los productos cuidando si, de no alterar el orden de los factores. Observación: Teniendo presente el teorema anterior y el corolario podemos escribir sin ambigüedad la siguiente expresión: (g 1 g n ) 1 = gn 1 g 1 1. Además podemos omitir los paréntesis en una expresión algebraica, ya que obtendremos el mismo resultado, no importando como agrupemos el producto, pero no demos cambiar el orden. Definición 2 (Potencia) Sea g G, n N 0. Se define por recurrencia g 0 = 1 g n+1 = g n g, n N 0 Observación: Note que no es ambiguo escribir g n = n g = g g } {{ } n veces i=1 Así, también podemos ampliar la definición, a exponente entero g n = (g 1 ) n.

17 CAPÍTULO 1. GRUPOS 16 Propiedad 6 Sea G un grupo entonces 1. ( n Z)( g G)(g n+1 = g g n.) 2. ( n Z)( g G)(g n = (g n ) 1.) 3. ( n Z)( m Z)( g G)(g m+n = g m g n ) 4. ( n Z)( m Z)( g G)((g n ) m = g nm ) Demostración: Sólo haremos la prueba de [3] y las otras quedan de ejercicios, para ello usaremos inducción sobre n N 0. Sea p(n) := ( m N 0 )( g G)(g m+n = g m g n ), luego a) p(0) := ( m N 0 )( g G)(g m+0 = g m g 0 ), al reescribirlo obtenemos que es la propiedad del neutro. p(0) := ( m N 0 )( g G)(g m = g m e), b) Ahora debemos demostrar que ( k N 0 )(p(k) p(k +1)), para ello suponemos que es verdadero y debemos demostrar que p(k) := ( m N 0 )(g m+k = g m g k ) p(k +1) := ( m N 0 )(g m+(k+1) = g m g k+1 ) es verdadero Sea m N, g m+(k+1) = g (m+k)+1 = g m+k g por definición = (g m g k ) g por hipótesis = g m (g k g) asociatividad = g m g k+1 por definición luego tenemos que p(k + 1) es verdadero y por teorema de inducción se obtiene lo deseado. ( n N 0 )( m N 0 )( g G)(g m+n = g m g n ). Para completar la demostración veremos los otros casos: c) Cuando los dos elementos son negativos basta factorizar. Sea n,m N g n m = g (n+m) = (g 1 ) n+m = (g 1 ) n (g 1 ) m = g n g m

18 CAPÍTULO 1. GRUPOS 17 d) Ahora veremos cuando uno es negativo y el otro es positivo, de modo que la suma sea positiva. Sean n,m N, notemos que g n = g n m+m = g n m g m Luego g n g m = g n m e) El último caso, reemplazamos g por g 1 (g 1 ) n (g 1 ) m = (g 1 ) n m Luego se tiene g n g m = g n+m Por lo tanto se tiene ( n Z)( m Z)( g G)(g m+n = g m g n ). Teorema 7 (Ley de Conmutatividad Generalizada) Sean G un grupo conmutativo y g 1,g 2,...,g n G, entonces para todo σ biyección de I n = {1,2,...,n}. g 1 g 2 g n = g σ(1) g σ(2) g σ(n). (1.3) Demostración: La demostración será realizada por inducción en el número de elementos. p(n) := ( σ Biy(I n ))(g 1 g 2 g n = g σ(1) g σ(2) g σ(n) ) Claramente tenemos que p(1) := g 1 = g 1 es verdadero. Para la segunda parte suponemos p(k) y demostraremos p(k + 1) Sea σ una biyección de k +1 elementos, Supongamos que σ 1 (k +1) = j k +1 y σ(k +1) = i luego definimos σ(l) l j;k+1 ω(l) = i l = j k +1 l = k +1 (g 1 g k )g k+1 = (g ω(1) g ω(k) )g k+1 = (g ω(1) g ω(j 1) )g ω(j) (g ω(j+1) g ω(k) )g k+1 = (g ω(1) g ω(j 1) )g k+1 (g ω(j+1) g ω(i) )g ω(j) = g σ(1) g σ(j 1) g σ(j) g σ(j+1) g σ(k) g σ(k+1)

19 CAPÍTULO 1. GRUPOS 18 Definición 3 Sea G un grupo. Se dice que G es un grupo finito si y sólo si el conjunto G es finito, en caso contrario se dice que G es infinito. Se dice que el orden de G es n, si y sólo si el cardinal de G es n, lo denotamos por (G) = G = n. Ejemplo 11 Determinar el orden de los siguiente grupos: 1. El orden de Z 5 es El orden de Z n es n. 3. El orden de U(Z 6 ) es Recuerde que, en general, el orden de U(Z n ) = φ(n), donde φ es la función de Euler. 5. El orden de D n es 2n. 6. El orden de Sim(tetraedro) es El orden de (P(A), ) es 2 A. además tenemos que Z,Q,R,C son grupos infinitos Problemas Propuestos Problema 1. Sea D 9 el grupo de las simetrías, del polígono regular de 9 lados, donde V i es la reflexión que no mueve el vértice i y R es la rotación en 40 grados en el sentido de la enumeración. Resolver explícitamente las siguientes ecuaciones: a) V 5 = V 2 X 1 b) V 7 = V 1 X 2 V 1 Problema 2. Sea D 10 el grupo de las simetrías, del polígono regular de 10 lados, donde V i es la reflexión que no mueve el vértice i y R es la rotación en 36 grados en el sentido de la enumeración. Resolver explícitamente las siguientes ecuaciones: V 5 = V 2 X 1 R Problema 3. Sea D 24 el grupo de las simetrías, del polígono regular de 24 lados, donde V i es la reflexión que no mueve el vértice i, A i es la reflexión que no mueve la arista {i,i+1}, y R es la rotación en 15 grados en el sentido de la enumeración. Resolver explícitamente las siguientes ecuaciones:

20 CAPÍTULO 1. GRUPOS 19 a) V 6 = V 2 X 1 b) V 7 = RX 2 A 1 Problema 4. Sea D 25 el grupo de las simetrías, del polígono regular de 25 lados, donde V i es la reflexión que no mueve el vértice i y R es la rotación en 14.4 grados en el sentido de la enumeración. Resolver explícitamente las siguientes ecuaciones: (a) V 3 = V 1 X 1 (b) V 15 = V 1 X 2 V 3 Problema 5. Sea G el grupo de las simetrías del cubo. Sean A = A 1,2 la rotación que no mueve la arista {1,2}, V = V 4 + la rotación en 120 grados que no mueve el vértice 4 y C = C 1,7 + es la rotación en 90 grado que no mueve la cara {1,4,7,6}. Resolver explícitamente las siguiente ecuación: V X C = A Problema 6. Sea G el grupo de las simetrías del cubo. Sean V 6 = V 6 + la rotación en 120 grados que no mueve el vértice 6, A 1,4 la rotación en 180 grados que no mueve el arista {1,4} y C = C 15 + es la rotación en 90 grado que no mueve la cara {1,2,5,6}. Resolver explícitamente la siguiente ecuación: C X V 6 = A 1,4 Problema 7. Sea G el grupo de las simetrías del cubo. Sean A = A 1,2 la rotación que no mueve la arista {1,2}, V = V 4 + la rotación en 120 grados que no mueve el vértice 4 y C = C 3,7 + es la rotación en 90 grado que no mueve la cara {3,8,7,4}. Resolver explícitamente las siguiente ecuación: V X C = A Problema 8.

21 CAPÍTULO 1. GRUPOS 20 Sean H un subgrupo del grupo G y H g = {x G ( h H)( x = ghg 1 )}. Demostrar que, para todo g G, H g es un subgrupo de G. Problema 9. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. JUSTIFIQUE a) Si E es un conjunto, entonces (P(E), ) es un grupo. b) (R +, ) es un grupo. c) La ecuación 2 x = 3 en (Z, ), no tiene solución.(ejemplo 2) Problema 10. Sea H = {1, 1} R, se define en G = Z H, la siguiente operación binaria (a,b) (c,d) = (a+bc,bd). Demostrar que (G, ) es un grupo Subgrupo Definición 4 Sea H G, no vacío. Se dice que H es un subgrupo de G si y sólo si H es un grupo con la misma operación, y lo denotamos por: H G o bien (H, ) (G, ). es decir, si (G, ) es un grupo, entonces (H, ) es un subgrupo si cumple con 1. Clausura u Operación Binaria 2. Propiedad Asociativa 3. Propiedad del Neutro 4. Propiedad del Inverso : H H H (a,b) a b ( a,b,c H)((a b) c = a (b c)) ( e H)( a H)(a e = e a = a) ( a H)( b H)(a b = b a = e.)

22 CAPÍTULO 1. GRUPOS 21 Ejemplo (Q,+) es un subgrupo de (R,+) 2. (R,+) es un subgrupo de (C,+) 3. (Q, ) es un subgrupo de (R, ) 4. (M n (R),+) es un subgrupo de (M n (C),+) Propiedad 8 Sea H G, no vacío, entonces H es un subgrupo de G si y sólo si 1. ( a,b H)(ab H) 2. ( a H)(a 1 H) Demostración: ) Supongamosque H es un subgrupo de G, luego H es ungrupo y portanto se cumplen [1] y [2]. ) Supongamos que se cumplen [1] y [2], por demostrar que H es un subgrupo de G. Por [1] vemos que H cumple la clausura y además la asociatividad la hereda de G, pues H G, luego H es un Semigrupo. Como H es no vacío, se tiene que existea H, luego por [1] y [2] se tiene que aa 1 = a 1 a = e H Luego, H es un Monoide. Finalmente, por [2] se tiene que H es un grupo y por tanto un subgrupo de G. Propiedad 9 Sea H G, no vacío, entonces H es un subgrupo de G si y sólo si ( a,b H)(ab 1 H). (1.4) Demostración: ) Supongamosque H es un subgrupo de G, luego H es ungrupo y portanto se cumplen que dado a,b H, se tiene que b 1 H, luego ab 1 H ) Verificaremos la propiedad 1.4, sea a H, ya que es no vacío, luego se tiene que e = aa 1 H. Sean a,b H, luego b 1 = eb 1 H, es decir a,b 1 H y por lo tanto ab = a(b 1 ) 1 H Luego, H cumple las condiciones de la propiedad anterior, por tanto H un subgrupo de G. Ejemplo 13 Sean Z[i] = {a+bi C a,b Z} y Q[i] = {a+bi C a,b Q} Demostrar que Z[i], Q[i] son subgrupos de C Solución: Es claro que Z[i], pues 0 = 0+0i Z[i], además Z[i] C por definición. Sean u = a+bi,v = c+di Z[i], por demostrar que u v Z[i]. Notemos que u v = a+bi (c+di) = (a c)+(b d)i luego u v Z[i], pues (a c),(b d) Z. Así concluimos que Z[i] C. Demostrar que Q[i] C es análogo al ejercicio anterior.

23 CAPÍTULO 1. GRUPOS 22 Ejemplo 14 Sea Q(i) = {a+bi Q[i] a 0 b 0} Demostrar que Q(i) es un subgrupo de C. Solución: Vemos que Q(i), pues 1 = 1 + 0i Q(i). Notemos que Q(i) Q[i] C, además 0 Q(i) por definición, entonces Q(i) C. Sean u = a+bi,v = c+di Q(i), por demostrar que uv 1 Q(i). Notemos que uv 1 = (a+bi)( c di ac+bd c 2 +d2) = c 2 +d + bc ad 2 c 2 +d 2i Ahora, supongamos que uv 1 Q(i), es decir estudiemos entonces los casos ac+bd = 0 bc ad = 0 1. Si a = 0 b 0, se tiene que c = d = 0 lo cual es una contradicción, pues v = c+di Q(i). 2. ({b,c,d} {0}) = 1 son casos similares al caso 1, es decir, en todos existen contradicciones (se deja de ejercicio su verificación). 3. Para el caso {a,b,c,d} {0} = estudiemos el sistema ac+bd = 0 /b bc ad = 0 / a entonces d(a 2 +b 2 ) = 0 d = 0 a 2 +b 2 = 0 lo cual es una contradicción. Así concluimos que uv 1 Q(i) y por tanto Q(i) C. Ejercicio 15 Sea A = {a+b 3 5 R ab Q} Determinar si A es un subgrupo de R Definición 5 Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Se dice que H es subgrupo propio de G si y sólo si {e} H G. Propiedad 10 Sea G un grupo entonces se tiene que 1. Sean H y K subgrupos de G, entonces H K es un subgrupo de G. 2. Sea {H λ } λ L una familia de subgrupos de G, entonces λ L H λ es un subgrupo de G.

24 CAPÍTULO 1. GRUPOS 23 Demostración: Haremos la demostración [1] y la de [2] se deja de ejercicio. Notemos que H K, pues e H y e K (por el hecho de ser subgrupos de G) y por tanto e H K. Además, es fácil ver que H K G. Ahora sólo nos resta probar que si a,b H K, entonces ab 1 H K. Como a,b H K, entonces a,b H y a,b K, luego como ambos son grupos se tiene que ab 1 H y ab 1 K, de modo que ab 1 H K Por lo tanto H K G. Observación: Si H,K son subgrupos de G, entonces H K no necesariamente es un subgrupo de G. Un Ejemplo de ello es H = 3Z;K = 4Z subgrupos de Z, en la unión se encuentra el 3 y el 4 pero 7 = 3+4 no pertenece a la unión. Luego necesitamos construir el más pequeño de los subgrupos que contiene a H y también a K Problemas Propuestos Problema 11. Determinar en cada caso, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1. Q R 2. R + R. 3. U = {u C ( n N)(u n = 1)} C. {( ) } a b 4. H = a,b Q M b a 2 (Q). {( ) } a b 5. H = GL c d 2 (R) ad bc = 1 GL 2 (R). 6. L x0 = {f F(R,R) f(x 0 ) = 0} F(R,R); x 0 fijo. 7. L = {f F(R,R) ( t Z)(f(t) = 0)} F(R,R). 8. H = {f F(R,R) ( x R)(f(x) = 0)} F(R,R). 9. H = {f F(R,R) ( x R)(f(x) = 0)} F(R,R). 10. K = {T a F(R,R) T a es una traslación, con a R} F(R,R), donde T a (x) = x+a. 11. H = {h t F(R,R) h t es una homotecia, con t R} Biy(R).

25 CAPÍTULO 1. GRUPOS 24 Problema 12. Sean G = Biy(R) = {f F(R,R) f es biyectiva}. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. (a) H 0 = {h t F(R,R) h t es una homotecia, con t R} G, ( es decir, h t (x) = tx). (b) H 1 = {t a F(R,R) t a es una traslación, con a R} G, ( es decir, t a (x) = x+a). (c) H 2 = {f G ( x R)(f( x) = f(x)} G Problema 13. Demuestre que un grupo no puede ser unión de dos subgrupos propios Generado Sea S un subconjunto de G, el grupo generado por S, es el subgrupo más pequeño de G que contiene a S y se denota por S. Caso particular si S = {x 1,x 2,...,x n } es un conjunto finito entonces Propiedad 11 Sea G un grupo y a G S = {x 1,x 2,...,x n } = x 1,x 2,...,x n {a} = a = {a n G n Z} Solución: Sean a G y H = {a n G n Z}, notemos que a 0 = e H, y a n G, luego H es no vacío y H G. Además, dado a n,a m H, se tiene que a n (a m ) 1 = a n a m = a n m H Luego H es un subgrupo que contiene a, por otro lado se tiene que < a > es el subgrupo más pequeño que contiene al elemento a, por lo tanto < a > H, dado a m H se tiene que a m < a >, de lo cual obtenemos H =< a > Ejemplo 16 Determinar 2 en G = Z 6. Solución: Por propiedad 11 tenemos que Ejemplo 17 Determinar 2 en G = Z 7. 2 = {2n Z 6 n Z} = {0,2,4}

26 CAPÍTULO 1. GRUPOS 25 Solución: Nuevamente, por propiedad 11 tenemos que 2 = {2 n Z 7 n Z} = {1,2,4} Ejemplo 18 Sea S = {f}, donde f esta definida por f(x) = x+1. Determinar S en el grupo (Biy(R), ). Solución: Dada la función f(x) = x + 1, tenemos f 2 (x) = f(x + 1) = x + 2, de lo cual podemos obtener generalizar que f n+1 (x) = f(x+n) = x+n+1 es decir, por inducción se tiene que f n (x) = x+n, y las funciones inversas esta dada por, f n (x) = x n. de este modo se tiene que f = { g Biy(R) ( n Z) x R)(g(x) = x+n)} Ejemplo 19 Sea S = {f}, donde f esta definida por f(x) = x+1. Determinar S en el grupo (F(R,R),+). Solución: Dada la función f(x) = x+1, tenemos (f +f)(x) = f(x)+f(x) = 2x+2, de lo cual podemos obtener generalizar que (n+1)f(x) = nf(x)+f(x) = nx+n+x+1 es decir, por inducción se tiene que nf(x) = nx + n, y las funciones inversas aditiva esta dada por, (nf)(x) = nx n. de este modo se tiene que f = { g F(R,R) ( n Z) x R)(g(x) = nx+n)} Propiedad 12 Sean a S G, luego se tiene que a S G Ejemplo 20 Determinar {2,3} = 2,3 en el grupo Z 6, es decir, (Z 6,+). Solución: Note que 2 = {2,4,0} y 3 = {3,0}, pero como H = 2,3 es un subgrupo, se tiene que 1 = 3 2 H, luego se tiene que n = n1 H De lo cual obtenemos 2,3 = Z 6 Ejemplo 21 Determinar {2,3} = 2,3 en el grupo G = Z 7, es decir, (Z 7, ).

27 CAPÍTULO 1. GRUPOS 26 Solución: Sea 2 = {2,4,1}, 3 = {3,2,6,4,5,1} Por lo tanto 2,3 = U(Z 7 ). Propiedad 13 Sea φ S G, entonces Demostración: Sea S = H G S H K = H G S H Por la propiedad 10, se tiene que K es un subgrupo de G. Además S K, luego S K, por otro lado tenemos que S S, luego es un subgrupo que contiene a S, por lo tanto K = H G S H H H H S, es decir, K = S. Observación: Sean H,K G, entonces tenemos que H K es el subgrupo más pequeño que contiene a H y K y se cumple el siguiente diagrama de inclusiones. G H K K H Propiedad 14 Sea S G, entonces H K {e} H = {s 1 s n ( n N)( i {1,2,...,n})(s i S s 1 i S)} es el subgrupo de G generado por S Problemas Propuestos Problema 14. Sea G =Biy(Z) y f : Z Z ; g : Z Z x x+1 x x Describir H =< f,g > G, es decir, dada h H entonces h Biy(Z) y h(x) =... Problema 15. Sean G = Sim( ) y V i la reflexión que deja fijo el vértice i). Determinar V 3,V 2.

28 CAPÍTULO 1. GRUPOS Grupos Cíclicos Definición 6 Sea G un grupo, se dice que G es un grupo cíclico si y sólo si existe g G tal que G = g Ejemplo Z es un grupo cíclico infinito generado por 1 o por Z n es un grupo cíclico generado por 1, más aún, generado por cualquier r Z n tal que MCD(n,r) = U(Z 5 ) es un grupo cíclico generado por Q, R y C no son cíclicos. Propiedad 15 Todo Grupo Cíclico es Abeliano Demostración de ejercicio Observación: Notemos que el recíproco de la proposición anterior no es válido, por ejemplo, R es un grupo abeliano, pero no es cíclico. Teorema 16 Todo subgrupo de un Grupo Cíclico es Cíclico. Demostración: Sea G un grupo cíclico generado por a y sea H G, veamos que si H = {e} entonces H = e, por lo tanto es cíclico. Supongamos que H {e}, entonces existe e a m G tal que a m H para algún m Z +. Ahora, consideremos m como el menor entero positivo tal que a m H. El objetivo es demostrar que H = a m, pero sabemos que a m H, luego basta demostrar que H a m. Sea b H G, como G es cíclico entonces b = a n para algún n Z. Ahora, como es costumbre, utilicemos el algoritmo de la división para m y n. n = mq +r 0 r < m a n = a mq+r a n (a m ) q = a r Ahora como a n,a m H y H es grupo entonces a n (a m ) q = a r H, pero como m es el menor entero positivo tal que a m H y además 0 r < m, entonces r = 0. Por lo tanto n = mq, luego b = a n = (a m ) q Entonces b es una potencia de a m (es decir, b a m ) y por tanto H a m. Así concluimos que H es cíclico.

29 CAPÍTULO 1. GRUPOS 28 Ejemplo 23 Determine todos los subgrupo de Z 6. Solución: Es claro que 1 = 5 = Z 6 Por la proposición precedente, los subgrupos de Z 6 son: 1. Los subgrupos triviales 0 = {0} y Z H 1 = 2 = 4 = {0,2,4}. 3. H 2 = 3 = {0,3}. Ejemplo 24 Determine todos los subgrupos de U(Z 9 ). Solución: Los subgrupos de U(Z 9 ) son: 1. Los triviales 1 = {1} y 2 = 5 = U(Z 9 ). Note que el grupo es cíclico 2. H 1 = 4 = 7 = {1,4,7}. 3. H 2 = 8 = {1,8} Teorema 17 Sea g G, entonces el subgrupo generado por g, es decir, g es 1. infinito o bien 2. Existe k N tal que g = {1,g,...,g k 1 }, todos distintos, g = k Demostración: Sean n, m Z, entonces g n g m g n = g m 1. Si para todo n,m Z tenemos g n g m, entonces todos los elementos g n son distintos, es decir: Z g m g m esta aplicación es biyectiva, es decir, G es infinito. 2. Si existen n,m distintos tal que g n = g m, luego g n m = 1 g m n = 1. Así tenemos que {l N g l = 1} es un conjunto no vacío y acotado inferiormente. Luego existe k = min{l N g l = 1},

30 CAPÍTULO 1. GRUPOS 29 Sea m Z, por algoritmo de la división tenemos m = k s+r, donde 0 r < k Así g m = g ks g r = (g k ) s g r = 1 g r = g r, g m {1,g,...,g k 1 }. Veamos ahora que los elementos son distintos, dado m, nn, menores que k, supongamos que mgeqn tales que g m = g n, luego g m n = 1, pero m n < k, luego m = n, luego tenemos Definición 7 Sea g G, g = {1,g,...,g k 1 }. 1. Se dice que el orden de g es infinito si y sólo si g es infinito. 2. Se dice que el orden de g es n si y sólo si g = n. Notación: g = g = o(g) = ord(g) Corolario 18 Sean G un grupo y g G de orden n. Si g m = e entonces m es múltiplo de n. ( ) 2 0 Ejemplo 25 Sea A = GL (Z 5 ). Entonces el orden de A es 4. Ya que ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} =,,, ( ) 1 2 Ejemplo 26 Sea B = GL (Z 5 ). Entonces el orden de B es 5. Ya que ( ) = {( ) ( 1 4, 0 1 ) ( 1 1, 0 1 ) ( 1 3, 0 1 ) ( 1 0, 0 1 Observación: Note que AB y BA del ejemplo anterior tienen orden 4, y no es el producto de los ordenes. ( ) ( ) ( ) AB = = {( ) ( ) ( ) ( )} AB =,,, ( ) ( ) ( ) BA = = {( ) ( ) ( ) ( )} BA =,,, )}

31 CAPÍTULO 1. GRUPOS 30 Propiedad 19 Sea G = g finito de orden n, entonces para todo k N, tal que 1 k < n, se tiene que g k n = MCD(n, k) Demostración: Sean G = g finito de orden n, y k N, tal que 1 k < n, luego Además, se tiene que n (g k ) MCD(n,k) = (g n ) MCD(n,k) = e (g k ) r = e g kr = e De lo cual tenemos, existe m, tal que nm = kr, por lo tanto n MCD(n,k) m = k k MCD(n,k) r, es decir de este modo n r. MCD(n,k) n MCD(n, k) k MCD(n,k) r Problemas Propuestos Problema 16. Determine todos los subgrupos de U(Z 13 ). Problema 17. Determine todos los subgrupos de U(Z 4 ) Z 7 Problema 18. Determine todos los subgrupos de {1, 1} Z 5. Problema 19. Sean g,h G tales que g = m; h = r. Si g,h conmutan entonces gh = MCM(m,r). Problema 20. Sean G un grupo y a G de orden finito entonces para todo x G se tiene que a = a 1 = xax 1

32 CAPÍTULO 1. GRUPOS Subgrupos Notables Sea S G, se define 1. Centro de G Z(G) = {g G g h = h g h G} Ejemplo 27 El centro de Z es Z, pues para todo x Z se tiene que para todo y Z x+y = y +x Ejemplo 28 El centro de D 3 es {Id}. 2. Centralizador: C G (S) = {g G g s = s g s S}. Observación: El centralizador de G en G es el centro de G, es decir, Z(G) = C G (G). 3. Normalizador: N G (S) = {g G g S = S g}. donde g S = {x G ( s S)(x = gs)} S g = {x G ( s S)(x = sg)} 4. Conmutador de G [G, G] = {ghg 1 h 1 G g,h G} denotamos [g,h] = ghg 1 h 1 [G, G] = {[g,h] G g,h G} Ejemplo 29 El conmutador de D 3 es R = {Id,R,R 2 }, donde R es la rotación en 60 grados en sentido de la enumeración. Observación: Con las herramientas que poseemos hasta el momento, el conmutador de un grupo G cualquiera no es fácil de calcular, ya que en general debemos considerar dos elementos arbitrarios g, h G y debemos calcular explícitamente el elemento [g, h] el cual es un elemento de [G,G] (y como [G,G] es grupo, entonces también están sus potencias), y así sucesivamente. Sin embargo, en las siguientes secciones conoceremos dos herramientas que nos serán de utilidad para el calcular este importante subgrupo.

33 CAPÍTULO 1. GRUPOS 32 Ejemplo 30 Sean G = GL 2 (R) y sea S = C G (S) y N G (S). ( ) x y Solución: Sea C z w S (G), luego ( )( ) x y 1 0 z w 1 3 ( )( ) x y 0 1 z w 0 2 { ( Del cual tenemos el siguiente sistema de ecuaciones el cual tiene como soluciones = = ) x+y = x 3y = y z +w = x+3z 3w+y = 3w 2y = z x = y 2w = 2x z = 2y x = w, y = z = 0, ( ( )( ) 1 0 x y 1 3 z w ( )( ) 0 1 x y 0 2 z w ) }. Determinar Así tenemos que { ( ) } x 0 C G (S) = G 0 x x R ( ) x y De manera análoga, sea N z w G (S), luego ( ) { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } ( x y , =, z w { ( x y z w )( ) (, x y z w Entonces tenemos dos casos: )( ) } = { ( )( x y z w ) (, x y z w ) )( x y z w ) } 1. ( )( ) x y 1 0 z w 1 3 ( )( ) x y 0 1 z w 0 2 = = ( )( ) 1 0 x y 1 3 z w ( )( ) 0 1 x y 0 2 z w el cual es el caso que estudiamos para calcular el centralizador.

34 CAPÍTULO 1. GRUPOS ( )( ) x y 1 0 z w 1 3 ( )( ) x y 0 1 z w 2 0 = = ( )( ) 0 1 x y 2 0 z w ( )( ) 1 0 x y 1 3 z w Del cual tenemos el siguiente sistema de ecuaciones x+y = z 3y = w z +w = 2x 3w = 2y 2y = x x = y 2w = x+3z z = y +3w el cual tiene como solución x = y = z = w = 0 ( ) 0 0 pero G, luego este caso no puede ocurrir. Así concluimos que 0 0 N G (S) = C G (S) Propiedad 20 Sean G un grupo y S G no vacío, entonces 1. C G (S) G 2. N G (S) G 3. C G (S) N G (S) 4. N G (S) N G (C G (S)) Demostración: Sean G un grupo y S G no vacío, por definición se tiene que e C G (S) G. Veamos ahora, sean g,h C G (S), luego para todo s S se tiene que gs = sg y hs = sh. (gh)s = g(hs) = (gs)h = s(gh) luego gh C G (S). Por otro lado tenemos hs = sh sh 1 = h 1 s

35 CAPÍTULO 1. GRUPOS 34 es decir, h 1 C G (S). Por lo tanto C G (S) es un subgrupo G. Veamos ahora que e N G (S) G. Sean g,h N G (S), luego se tiene que gs = Sg y hs = Sh. (gh)s = g(hs) = g(sh) = (gs)h = S(gh) luego gh N G (S). Por otro lado tenemos que si hs = Sh, entonces Sh 1 = h 1 S. Dado x = sh 1, por lo cual xh = s, es decir hxh = hs = s h, por lo tanto cancelando hx = s, es decir x = h 1 s h 1 S. En el otro sentido x = h 1 s, por lo cual hx = s, es decir hxh = sh = hs, por lo tanto cancelando xh = s, es decir x = s h 1 Sh 1. Sh 1 = h 1 S, es decir, h 1 N G (S) Por lo tanto N G (S) es un subgrupo G. Para la tercera proposición tenemos que C G (S) y N G (S) son grupos solo falta ver la contención Dado g C G (S) Propiedad 21 Sea G un grupo. G es conmutativo si y sólo si [G, G] = {e}. Demostración: Si G es conmutativo, entonces se tiene que dado a,b G se cumple ab = ba es decir, aba 1 b 1 = e. De lo cual se tiene que [a,b] = e, para todo a,b G. Luego [G,G] = e = {e}. En el otro sentido se tiene que [G,G] = {e} por lo tanto, para todo a,b G [a,b] = e, de lo cual se tiene aba 1 b 1 = e ab = ba luego G es conmutativo. Propiedad 22 Sea G un grupo G es conmutativo si y sólo si Z(G) = G. Definición 8 Sea S G, y sea g G. Se define S g = {gsg 1 s S}, se llama el conjugado de S, en particular si H G, se define el conjugado de H. H g = {ghg 1 h H},

36 CAPÍTULO 1. GRUPOS 35 Propiedad 23 Sean φ S G, H G. Demostrar que: H g G. Demostración: Notemos que H g φ, pues e = geg 1 H g, además es claro que H g G. Sean x = ghg 1,y = gh g 1 H g, por demostrar que xy 1 H g. Tenemos: xy 1 = ghg 1 (gh g 1 ) 1 = ghg 1 g(h ) 1 g 1 = gh(h ) 1 g 1 Ahora, como H es grupo se tiene que h,(h ) 1 H, por lo tanto xy 1 H g. Así concluimos que H g G. Propiedad 24 Sean φ S G, H G. Demostrar que: C G (S g ) = (C G (S)) g Demostración: La demostración la haremos por contención i) Primero veamos (C G (S)) g C G (S g ). Sea x (C G (S)) g, luego x = ghg 1 con h C G (S). Por demostrar que x C G (S g ) si y sólo si xm = mx ( m S g ). Para ello notemos que: xm = (ghg 1 )(gkg 1 ) con k S, h C G (S) = g(hk)g 1 h C G (S), entonces conmuta con k = g(kh)g 1 = (gkg 1 )(ghg 1 ) = mx Luego x C G (S g ), y por tanto ii) Veamos ahora que C G (S g ) (C G (S)) g. (C G (S)) g C G (S g ) Sea y C G (S g ), entonces tenemos que y(gsg 1 ) = (gsg 1 )y ( s S). Por demostrar que y (C G (S)) g si y sólo si y = gng 1 con n C G (S). Notemos que y = g(g 1 yg)g 1, entonces sólo basta demostrar que g 1 yg C G (S). Para todo s S tenemos que: (g 1 yg)s = (g 1 yg)s(g 1 g) aplicamos una identidad = g 1 [y(gsg 1 )]g = g 1 [(gsg 1 )y]g = s(g 1 yg)

37 CAPÍTULO 1. GRUPOS 36 es decir, g 1 yg C G (S), entonces y (C G (S)) g. Por lo tanto Por (i) y (ii) queda demostrado que C G (S g ) (C G (S)) g (C G (S)) g = C G (S g ). Propiedad 25 Sean φ S G, H G, entonces 1. S g = S g 2. N G (S g ) = (N G (S)) g Ejercicio 31 Determinar el centro de los siguientes grupos. 1. G = GL n (K) 2. G = R 3. G = D 4 Ejercicio 32 Calcular el conmutador para 1. G = Biy({1,2,3}) 2. G = GL 2 (K) 3. G = D n {( ) } a b 4. G = a,b K Problemas Propuestos Problema 21. Sea G = Sim( ) y S = {V 3,V 2 } ( V i la reflexión que deja fijo el vértice i). Determinar el Z(G) y C G (S). Problema 22. Sea G = Biy(Z), f(x) = x+1. y g(x) = x Determinar el C G ({f}) y N G ({f,g}) Problema 23.

38 CAPÍTULO 1. GRUPOS 37 {( ) 1 b Sea G = GL 2 (R) y H = 0 1 Determinar el C G (H) y N G (H). } b R. Problema 24. Sea G = GL 2 (R) y H = Determinar N G (H). Problema 25. Sea G = GL 2 (R) y H = Determinar N G (H). {( a 0 0 b {( a b 0 1 ) ) a,b R }. } a R,b R. Problema 26. Sean G y G dos grupos. Demuestre que Z(G G ) = Z(G) Z(G ). Problema 27. Sea G un grupo y H un subgrupo de G Demostrar que [H,H] es un subgrupo de [G,G] Clases Laterales Sea G un grupo y H G. Se define la siguiente relación derecha en G, dada por, si a,b G a H b ab 1 H Propiedad 26 H es una relación de equivalencia. Demostración: Sean a,b,c G. 1. H es Refleja. Por demostrar a H a, esto es, si y sólo si aa 1 H, pero aa 1 = e H ya que H es un subgrupo de G 2. H es Simétrica. Por demostrar a H b b H a. Como ab 1 H, y además H es grupo tenemos que (ab 1 ) 1 = ba 1 H

39 CAPÍTULO 1. GRUPOS k es Transitiva. Por demostrar (a H b b H c) a H c. Como (ab 1 H) (bc 1 H), y además H es grupo, tenemos que (ab 1 )(bc 1 ) = ac 1 H. Lo cual prueba que H es transitiva. Entonces, por [1],[2] y [3] queda demostrado que H es una relación de equivalencia. Así H define una partición sobre G, dada por la clase que están definida del siguiente modo Luego por lo tanto cl(a) = {b G b H a} = {b G ba 1 H} = {b G ( h H) ( ba 1 = h ) } = {b G ( h H)(b = ha)} = Ha. a H b Ha = Hb, G = a R Ha donde R es un sistema de representante de las clases. Propiedad 27 Sean a,b G y H G, entonces es una biyección. f : Ha Hb ha hb Demostración: Notemos que esta bien definida, ya que., x = ha = h a cancelando obtenemosqueh = h,luegohbesúnico.esinyectivademaneraanáloga,setienequef(ha) = f(ka) entonces hb = kb, luego cancelando se tiene h = k, es decir ha = ka. Es epiyectivas, ya que,dado y Hb, luego y = hb = f(ha). Observación: Análogamente también se define la relación de equivalencia izquierda en G. Dada por: a H b a 1 b H y las clases cl(a) = {b G b H a} = {b G a 1 b H} = {b G ( h H) ( a 1 b = h ) } = {b G ( h H)(b = ah)} = ah.

40 CAPÍTULO 1. GRUPOS 39 Fácilmente se demuestra que es una biyección. f : ah Hb ax xb Definición 9 Sea H G, g G 1. gh se llama la clase lateral izquierda de g. 2. Hg se llama la clase lateral derecha de g. Notación: Denotaremos por: G H = {ah a G} H G = {Ha a G} el conjunto de las clases laterales izquierdas y el conjunto de las clases laterales derechas respectivamente. Ejemplo 33 Consideremos D 3 y K = {V 3,Id}, con V i es la reflexión que fija el vértice i. Solución: Por definición tenemos: D 3 K = {σ {V 3,Id} σ D 3 } luego, podemos escoger elementos de D 3 para conocer explícitamente los elementos (clases laterales) de G/K, por ejemplo V 2 {V 3,Id} = {V 2 V 3,V 2 Id} = {R,V 2 } Luego A modo de observación V 1 {V 3,Id} = {V 1 V 3,V 1 Id} = {R 2,V 1 } D 3 K = {{V 3,Id},{R 2,V 1 }, {R,V 2 }}. D 3 = {V 3,Id} {R 2,V 1 } {R,V 2 } Teorema 28 Sea G un grupo, H G, entonces 1. Todo elementos g de G está contenido en una sola clase lateral derecha (izquierda). 2. Las funciones son biyectivas. H Ha h ha H ah h ah

41 CAPÍTULO 1. GRUPOS G es la unión disjunta de sus clases laterales derechas (izquierda). 4. Existe una función biyectiva entre el conjunto de las clases laterales derechas y el conjunto de las clases laterales izquierda. Definición 10 Se define el índice de H en G, denotado por [G : H], es el número de clases laterales derechas o izquierdas. Observación: En el ejemplo 33 tenemos que [D 3 : K] = 3. Teorema 29 (Lagrange) Si H G, entonces Además si G < 1. H divide a G 2. g divide a G G = [G : H] H Demostración: Sea G un grupo finito, de la tercera parte del teorema 28 sabemos que G = a R Ha donde R es un sistema de representante de clases. Entonces tenemos que G = a R Ha = [G:H] luego, por la segunda parte del teorema 28 se tiene que G = [G:H] i=1 Ha i = [G:H] i=1 i=1 Ha i H = [G : H] H es decir G = [G : H] H Corolario 30 Sea G un grupo finito 1. Si G tiene orden primo entonces es cíclico y no tiene subgrupos no triviales. 2. Si G = n, entonces g n = 1, para todo g G.

42 CAPÍTULO 1. GRUPOS 41 Demostración: Sea K G, tal que {e} K, luego tenemos que G = [G : K] K delocual, K divideaunprimoynoesunidad, porlotanto G = K,ycomosonconjuntos finitos, se tiene que G = K. Dado e g G, luego {e} < g >, y por lo tanto G =< g >, es decir, el grupo G es cíclico. Para la segunda parte, dado g G, se tiene que K = g, luego ord(g) = g = K, divide a G = n, por lo tanto n = g t. g n = g g t = (g g ) t = 1 t = 1 Teorema 31 Sean K H G, tales que [G : H],[H : K] son finitos, entonces [G : K] = [G : H] [H : K] Demostración: Sean K H G, tales que [G : H],[H : K] son finitos, entonces se tiene: G = Ha i; H = Kb j con a i G, b j H i I j J reemplazando se obtiene y G = (i,j) I J Kb ja i I J = I J = [G : H] [H : K]. Luego basta demostrar que la unión es disjunta, es decir, Kb j a i = Kb r a s j = r i = s para ello, recuerde que las clases laterales son iguales o disjunta. Sea b j a i Kb r a s b j a i = kb r a s a i = b 1 j kb r a s, como b 1 j kb r H a i H a s, es decir, i = s a i = a s reemplazando y cancelando obtenemos kb r = b j, luego están relacionado, y como pertenecen a un sistema de representante, se tiene que b r = b j r = j Ejemplo 34 Determine un sistema de representante de clases para el conjunto R Z.

43 CAPÍTULO 1. GRUPOS 42 Solución: Sabemos que Además notemos que para todo a Z R Z = {x+z x R} a+z = Z Luego, si tomamos, por ejemplo el real 12, vemos que 12, Z = 0, Z pues 12 = 12, , Z. Más generalmente, para todo x R existen únicos a Z y b [0,1[ tales que x = a+b Así tenemos que un sistema de representantes para el conjunto R Z es [0,1[ Problemas Propuestos Problema 28. Demuestre que Zesunsistema derepresentante declases parael conjunto Z Z (3,5). Problema 29. Determine un sistema de representantes para el conjunto Z 4 U(Z 5 ) (2,4). Problema 30. {( ) } {( ) a b 1 b Sea G = a R 0 1,b R y H = 0 1 Determinar el conjunto cuociente G H } b R Subgrupo Normal Sea G grupo y H G, luego al conjunto de las clases laterales izquierda, se desea definir una operación binaria, de modo de obtener una estructura natural de grupo, de manera similar a la construida en Z n, para ello G H = {ah a G} Luego la multiplicación natural debería ser: ah bh = abh

44 CAPÍTULO 1. GRUPOS 43 Pero esta bien definido? para poder responder afirmativamente, debemos averiguar si depende o no de los representantes, es decir, Luego debe cumplirse que ah 1 H bh 2 H = ah 1 bh 2 H = ah 1 bh ( h H)(abH = ah 1 bh) es decir, los elementos deben estar relacionados con lo cual se tiene que ah 1 b = abh h 1 b = bh ( h H)(b 1 hb H) o bien Hb = bh Definición 11 Sea G un grupo y H un subgrupo de G entonces Se dice que H es un subgrupo normal de G, denotado por H G si y sólo si ( g G)(Hg = gh). Propiedad 32 Sea H un subgrupo del grupo G, tal que ( g G)(gHg 1 H) entonces H G. Demostración: Sean g G, y x = gh gh, luego xg 1 = ghg 1 ghg 1 H, por lo tanto xg 1 = k H, de lo cual se tiene x = kg Hg. En el otro sentido se tiene que, dado g G, y x = hg Hg, luego g 1 x = g 1 hg g 1 Hg H, por lo tanto g 1 x = k H, de lo cual se tiene x = gk gh. Propiedad 33 Si G es conmutativo, entonces todos los subgrupos son normales. Demostración: Sea G un grupo conmutativo, y H un subgrupo, entonces ghg 1 = {ghg 1 h H} = {gg 1 h h H} = H Luego H es un subgrupo normal Propiedad 34 Sea G un grupo, entonces Z(G) G. Demostración: Sea G un grupo conmutativo, y Z(G) el centro de G, entonces gz(g)g 1 = {gkg 1 k Z(G)} = {gg 1 k k Z(G)} = Z(G) Luego Z(G) es un subgrupo normal Propiedad 35 Sea S G, entonces C G (S) N G (S),

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