5.- ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS

Transcripción

1 5.- ESTRUCTURS RTICULDS LS 1

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3 5.1 DEFIICIOES Y COCETOS Una estructura se dce artculadada o trangulada cuando está formada por barras conectadas entre s medante artculacones perfectas (rótulas). En la fgura 5.1 se muestra la vga Warrem como ejemplo de estructura artculada, nombrando los dferentes tpos de barras que la consttuyen. Cordones superores Rótulas (nudos) Cordones nferores dagonales RÓTUL montantes Fgura 5.1 Las artculacones antguamente se hacían con un pasador o bulón que atravesaba las barras. En la actualdad esta dsposcón constructva se ha substtudo por la unón de las barras medante roblones a una chapa (fgura 5.). Fgura TIO DE ESFUERZOS. Caso a). Las cargas exterores actúan solamente en los nudos.- En la fgura 5.3 se muestra una barra separada de las rótulas a las que estaba ncalmente unda, así como, tambén, las rótulas y la rebanada últma de la barra. 3

4 Q M M Q Fgura 5.3 nalzando el equlbro de la rótula (bulón) sometda a los esfuerzos que la barra le transmte se obtenen las sguentes conclusones: M (= M ) = 0 porque la rótula no absorbe momentos Q (= Q ) = 0 porque de no ser así, sobre la barra exstría un par que habría de ser equlbrado con un momento = 0 Obsérvese en la fgura que s el axl de la barra es de compresón (traccón), la accón de la barra contra el nudo lleva la dreccón de barra a nudo (de nudo a barra) Caso b). Las cargas exterores actúan sobre las barras.- Consdérese una estructura artculada como la que se muestra en la fgura 5.4 sobre la que actúan una carga aplcada sobre la barra Fgura 5.4 La barra se apoya sobre el resto de la estructura de forma tal que la carga (que actúa sobre ) se transmte a la estructura a 4

5 través de los nudos y. Consderando la barra separadamente, las reaccones (vertcales) en sus apoyos son V 1 y V (fgura 5.5). En cuanto a los esfuerzos en la estructura y a los movmentos de sus nodos es equvalente la actuacón de la carga que la de las cargas -V 1 y V. V1 V Fgura 5.5 El sstema consttudo por la estructura de la fgura 5.4 y las cargas actuantes sobre ella puede entonces desglosarse en la superposcon de los estados I y II (fgura 5.6). En el estado I se han colocado dos apoyos en los nudos y lo que equvale a hacer actuar en dchos nodos las cargas (reaccones) V 1 y V. En el estado las fuerzas actuantes son -V 1 y -V = I + V1 II V Fgura 5.6 En el estado I, la barra es la únca que sufre esfuerzos (cortantes y flectores). En el estado II todas las barras tendrán esfuerzos axles. 5.3 ISOSTTISMO E HIERESTTISMO E ESTRUCTURS DE RRS RTICULDS. Una estructura artculada se calfca de sostátca o estrctamente completa cuando pueden determnarse los esfuerzos axles en todas las barras utlzando sólo las ecuacones de la estátca. contnuacón se ncluyen algunos ejemplos del proceso numérco de dentfcacón como sostátca o hperestátca de una estructura artculada sguendo la metodología expuesta en el capítulo

6 1) Sea la estructura artculada de la fgura 5.7 Fgura 5.7 G.D.L.E. = 3 C.E. = 3 G.D.L.I. = 3*(11-1) =30 C.I. = **(-1)+**(3-1)+3**(4-1) = 30 or lo tanto. Estructura sostátca ) La estructura artculada de la fgura 5.8 es la del ejemplo 1) a la que se le ha elmnado una barra Fgura 5.8 G.D.L.E. = 3 C.E. = 3 G.D.L.I. = 3*(10-1) =7 C.I. = 3**(-1)+**(3-1)+**(4-1) = 6 or lo tanto. Estructura nestable: Mecansmo 3) La estructura artculada de la fgura 5.9 es la del ejemplo anteror a la que se le ha añaddo un apoyo con deslzadera Fgura 5.9 6

7 G.D.L.E. = 3 C.E. = 4 G.D.L.I. = 3*(10-1) =7 C.I. = 3**(-1)+**(3-1)+**(4-1) = 6 or lo tanto. Estructura sostátca 4) La estructura artculada de la fgura 5.10 es la del ejemplo 1) a la que se le ha elmnado una barra y aumentado una coaccón (apoyo derecho) Fgura 5.10 G.D.L.E. = 3 C.E. = 4 G.D.L.I. = 3*(10-1) =7 C.I. = **(-1)+4**(3-1)+1**(4-1) = 6 Estructura aparentemente sostátca 5) La estructura artculada de la fgura 5.11 es la del ejemplo 1) a la que se le ha añaddo una barra G.D.L.E. = 3 C.E. = 3 Fgura 5.11 G.D.L.I. = 3*(1-1) =33 C.I.=**(-1)+1**(3-1)+3**(4-1)+1**(5-1)=34 Metodología alternatva.- Estructura hperestátca de grado 1 Otro procedmento que puede utlzarse alternatvamente para la determnacón de una estructura altculada como sostátca o hperestátca es el que, a contunacón, se expone. 7

8 En el equlbro de una barra de la estructura ntervenen las fuerzas que drectamente actúan sobre ella así como las reaccones (4) en los nodos en los que la barra se une a la estructura; el nº de ncogntas por cada barra es, en consecuenca, 4 (fgura 5.1), con lo cual: Fgura 5.1 úmero total de ncogntas: 4b sendo b el nº de barras úmero de coaccones externas: c (en el ejemplo c=3) Total ncógntas: 4b + c úmero de ecuacones que se pueden aplcar: Equlbro de una barra: 3 ( H=0, V=0, M=0) Equlbro de un nudo: ( H=0, V=0) Total ecuacones: 3b + n sendo b el número de barras n es el número de nudos de la estructura La estructura es sostátca s: 4b+c = 3b+n (b=n-c) La estructura es hperestátca s: b > n-c defnéndose grado de hperestatsmo G como g = b+c-n La estructura es mecansmo s: b < n-c EJEMLOS.- 1) Determínese la condcón de la estructura artculada de la fgura 5.13 Fgura

9 b = 5, n = 14, c = 3 g = *14 = 0 Estructura sostátca! ) Determínese la condcón de la estructura artculada de la fgura 5.14 Fgura 5.14 b = 31, n = 14, c = 3 g = *14 = 6 Estructura hperestátca de grado 6! (Obsérvese que la estructura tene las msmas condcones de apoyo que la de la fgura 5.13 pero ses barras más) plcando el método expuesto en el capítulo 3.3 se obtendría, en este caso: G.D.L.E. = 3 C.E. = 3 G.D.L.I. = 3(31-1) = 90 C.I. = 4**(3-1) +10**(5-1) = 96 Total G.D.L = 93 C = 99 Hperestátca de grado 6! La dferenca en la aplcacón de ambos métodos está en que Observacón La condcón b = n-c es una condcón necesara pero no sufcente de sostatcdad. Obsérvense, por ejemplo, las estructuras de la fgura 5.15; el crtero b = n-c dagnostca que ambas son sostátcas y, sn embargo, la de la derecha es un mecansmo. Fgura

10 5.4 ESFUERZOS E ESTRUCTURS RTICULDS ISOSTÁTICS Método del equlbro de nudos a) Método analítco.- Consdérese una estructura sostátca como la de la fgura 5.16 de la que se han obtendo sus reaccones. D C α β α E Fgura 5.16 R En el nudo confluyen tres fuerzas (fgura 5.17): La reaccón R La accón de la barra C contra el nudo La accón de la barra E contra el nudo C E α C Fgura 5.17 El equlbro de las fuerzas que actúan sobre el nudo permte escrbr E sen α = R C cos α = E sstema del que se obtenen E y C. Sobre el nudo C confluyen tres fuerzas: La accón de la barra C contra el nudo (conocda) La accón de la barra EC contra el nudo 10

11 La accón de la barra DC contra el nudo (fgura 5.18) DC EC α C α C Fgura 5.18 El equlbro de las fuerzas que actúan sobre el nodo permte escrbr DC EC cos α = C cos α EC sen α = C sen α sstema del que se obtenen EC y DC. Contnuando con el resto de los nodos se obtenen los axles de las dferentes barras de la estructura. l llegar al últmo nodo (nodo ) ya se conocen los axles de todas las barras con lo cual el equlbro de este nodo servrá como comprobacón de los valroes obtendos (nodo de cerre). Observacón.- La accón de una barra contra un nudo tene, evdentemente, la dreccón de la barra. Su sentdo es, sn embargo, más dfícl de predecr; s con argumentacones prevas relatvas a la deformada de la estructura puede razonarse este sentdo, al aplcar las ecuacones de equlbro del nudo saldrá un valor postvo para la accón barra-nudo. b) Método gráfco (Cremona) Este método es conceptualmente smlar al anteror (equlbro de las fuerzas que confluyen en cada uno de los nodos), pero utlza el polígono de fuerzas en lugar de plantear las ecuacones de equlbro (fgura 5.19) Fgura 5.19 R 11

12 En cada nudo, el polígono de fuerzas (que ha de ser cerrado) se nca por alguna fuerza conocda (por ejemplo, en el nudo 1 se empeza por la reaccón). Una vez elegdo un orden de recorrdo de las fuerzas (en el ejemplo, el sentdo de las agujas del reloj) se van colocando estas (o sus líneas de accón) hasta que el polígono cerra (fgura 5.0). or medcón drecta sobre el polígono (lo que requere un dbujo lmpo y precso) se obtenen los módulos y sentdos de los axles que actúan en todas las barras de la estructura. UDO UDO UDO Traccón 35-Compresón UDO Traccón 45 Compresón UDO UDO 6 65 R Compresón 64 Fgura Método analítco del equlbro de seccones (Rtter).- Este método se basa en plantear el equlbro de una parte o trozo de la estructura. En la fgura 5.1 puede verse una estructura que, a efectos de su análss, se ha dvddo en dos partes habéndose planteado el equlbro de la parte dentfcada con trazo contnuo. 1

13 son: Las fuerzas que ntervenen en el equlbro de la parte analzada Las fuerzas aplcadas sobre sus nudos Las reaccones en el o en los apoyos que formen parte de ella Los axles de las barras de unón entre las dos partes R R Fgura 5.1 El sguente paso es plantear las ecuacones de equlbro. La nuldad del momento del sstema de fuerzas se ha de plantear en puntos oportunamente selecconados para obtener los axles de las barras de unón, que son las ncógntas del problema; en el ejemplo de la fgura 5.1 Tomando momentos en 4 se obtene 53 Tomando momentos en 5 se obtene 64 Tomando momentos en se obtene MOVIMIETOS E ESTRUCTURS RTICULDS ISOSTÁTICS ara calcular un movmento (U o V) de un nodo de una estructura artculada, es recomendable aplcar el teorema de Castglano. 13

14 δ = 0 I ds + M EΩ 0 M I ds 0 I + Q Q EI ds G C + M O T M 1 T ds GK sendo: 0, M 0, Q 0 y M T 0 el axl, el flector, el cortante y el torsor en el estado real I, M I, Q I y M T I el axl, el flector, el cortante y el torsor en un estado fctco sn carga exteror alguna excepto una carga undad en la dreccón del movmento que se desea calcular. δ el movmento en el punto de aplcacón de la carga undad y en la dreccón de esta. En el caso de las estructuras artculadas, el únco esfuerzo a consderar es el axl (los flectores y cortantes sobre una barra cargada no partcpan en los movmentos traslaconales de los nodos), con lo cual la expresón a utlzar es: δ = 0 I ds EΩ ero los axles de cada barra son constantes a lo largo de la barra con lo cual δ = ds E 0 I 0 I = Ω EΩ Sea, por ejemplo, la estructura de la fgura 5. en la que se quere calcular el desplazamento vertcal del punto. Los axles 0 de la expresón anteror son los que se obtendrían del estado real 0 y los axles I los que se obtendrían de un estado auxlar 1 en el que una carga vertcal undad actúa sobre el punto. L 1 ESTDO 0 Fgura 5. ESTDO I 14

15 Ejemplo.- En la estructura de la fgura 5.3 obtener el movmento horzontal del punto a a a 1 R Fgura 5.3 y 13 lanteando el equlbro del nodo se obtenen los axles 1, a = R.a R ( ) = Cos30º ( + ) = Cos60 = 3 = 1 1 R = 3 Rtg a 3 3 U = [ * + tg30* tg30] EΩ Cos30 Cos ÁLISIS DE ESTRUCTURS RTICULDS HIERESTÁTICS Sea el caso de una estructura como la de la fgura 5.4 que es hperestátca de grado 1 sendo su hperestatsmo externo (una coaccón de más ). 15

16 Fgura 5.4 Se substtuye una coaccón (por ejemplo el apoyo ntermedo) por su efecto, que es una reaccón vertcal (desconocda) R (fgura 5.5). R Fgura 5.5 La condcón a mponer es, evdentemente, que el movmento vertcal del punto de aplcacón de R (el ncal apoyo) sea nulo. De esta condcón se obtenen el valor de R pudendo resolver la estructura como sostátca. Sea ahora el caso de una estructura como la de la fgura 5.6 que es hperestátca de grado 1 sendo su hperestatsmo de tpo nterno (una barra de más ). Fgura 5.6 En cada barra de una estructura artculada aparece un axl porque entre sus nudos extremos hay un desplazamento relatvo con lo cual la estructura actúa sobre la barra (axl) y la barra actúa (en accón recíproca) sobre la estructura. En la estructura de la fgura 5.6 se elmna el hperestatsmo nterno susttuyendo, por ejemplo, la barra más larga, por su efecto sobre la estructura, que es el de un par de 16

17 fuerzas guales y opuestas que actúan en los nodos y a los que la barra está unda (fgura 5.7). Fgura 5.7 Estas fuerzas actuantes sobre los nodos y (accón de la barra contra el nudo) son guales (fgura 5.8) a las fuerzas actuantes en los extremos de la barra (accón del nudo contra la barra). Fgura 5.8 La condcón evdente de compatbldad a mponer es que el movmento relatvo entre los nodos y de la estructura (que se ha de calcular aplcando el teorema de Castglano) concda con el alargamento de la barra obtendo aplcando la ley de Hooke. 5.7 ICREMETO TÉRMICO Y ERRORES DE EJECUCIÓ En las estructuras es frecuente que durante el proceso de montaje se fuerce la nstalacón de barras que tenen una longtud dferente a la dstanca exacta entre los bulones en los que se han de nsertar (fgura 5.9) δ e 17

18 Fgura 5.9 or otro lado, a lo largo del cclo de vda de la estructura, esta puede sufrr varacones de la temperatura respecto a la que tenía en el momento del montaje; estas varacones de temperatura modfcan (fgura 5.30) la geometría de las barras (longtud e ncurvacón). Curvatura debda al gradente térmco T1 T C T 1 T Fgura 5.30 δ t largamento o acortamento debdo a la temperatura meda T1 + T Tanto los denomnados errores de ejecucón como las varacones térmcas, nducen varacones de longtud en las barras sobre las longtudes teórcas establecdas por las coordenadas de los nodos y la consguente aparcón de una nteraccón mutua barraestructura que probablemente de lugar a la aparcón de esfuerzos axles que pueden llegar a ser mportantes. Supóngase que se ha modfcado la longtud de una barra de una estructura por cualquera de los efectos descrtos. a) S la estructura es sostátca no aparecen esfuerzos (fguras 5.31, 5.3 y 5.33) Fgura

19 Fgura 5.3 Fgura 5.33 b) S la estructura es hperestátca, pueden aparecer esfuerzos (en la parte hperestátca) (fguras 5.34 y 5.35) Fgura 5.34 Fgura Un ejemplo de análss En la estructura artculada de la fgura 5.36 cuyas barras tenen seccón Ω y longtud L, la barra D sufre un ncremento térmco unforme T. D C 19

20 Fgura 5.36 La barra D, al sufrr un ncremento térmco T aumenta su longtud en un valor α T L sendo α el coefcente de dlatacón del materal. ara mpedr este alargamento se requerría aplcar una fuerza que dese lugar a un acortamento de la barra del msmo valor que el alargamento. es decr L/(EΩ) = α T L = α T E Ω Consdérese entonces la estructura propuesta desglosada en dos estados superpuestos (fgura 5.37). En el estado 1 se mpde la traslacón del nodo D en la dreccón de la barra D aplcando una carga en D de valor ; en este estado el axl de todas las barras es nulo hecha excepcón del de la barra D que es de compresón y de valor. En el estado se aplca una carga en D de valor en la dreccón de la barra D con el sentdo que se ndca en la fgura; este estado, en el que las cargas son fuerzas en nudos, es el que ha de resolverse aplcando el teorema de Castglano, = α T EΩ = α T EΩ D C D C Estado 1 Estado Fgura Energía de deformacón en una estructura artculada sometda a cargas en nudos y a varacones de longtud de sus barras. La energía de deformacón en una rebanada sometda a un esfuerzo axl, vene dada por la expresón 0

21 Energía = 1 ( ds ) = 1 E ds Ω expresón que puede escrbrse como 1 E 1 ds = Ω ds EΩ pudéndose entonces dentfcar el factor ds/(eω) como el alargamento de la rebanada. El factor ½ refleja el hecho de la aplcacón progresva del axl hasta producr dcho alargamento. En la expresón de la energía de deformacón de una estructura U = barras 1 E L Ω en cada uno de los sumandos se dentfca, gualmente, el producto del axl de la barra por el alargamento de la barra. EΩ Del msmo modo, s alguna de las barras tene un error de ejecucón, la energía de deformacón varía en el térmno e + barras con error L e Error de ejecucón t Y s alguna de las barras sufre una varacón de longtud por ncremento térmco, la energía de deformacón aumenta en al térmno + barras con T t ( t = α L T ) 1

22 Con lo cual la energía de deformacón de una estructura sometda a cargas externas y sufrendo algunas de sus barras errores de ejecucón o ncrementos térmcos resulta: barras E L U Ω = 1 + error con barras e + T con barras t plcacón del teorema de Castglano a la obtencón de movmentos en estructuras con modfcacón de longtud en barras. S se derva la energía de deformacón con respecto a una de las cargas exterores j, se obtene el movmento del punto de aplcacón de la carga en la dreccón de esta: + + Ω = = t j e j barras j j j E L U r pudéndose nterpretar j como el axl en la barra -ésma cuando la carga j =1. Es decr: + + Ω = = t I e I barras I j j E L U r 0