Una cadena sobre Σ es cualquier secuencia de elementos de longitud finita sobre Σ.

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1 Alfabetos, Cadenas y Lenguajes Definición 1 Un Alfabeto es cualquier conjunto finito, no vacío. Ejemplo 1 Sea Σ = {0, 1, 2, 3,..., 9} donde 0 Σ Definición 2 Una cadena sobre Σ es cualquier secuencia de elementos de longitud finita sobre Σ. Longitud de una cadena Sea x Σ se denota por x y se define como el número de símbolos de x. { 0, si x = ɛ x = n, si x = a 1 a 2... a n 0

2 Observación 1 xy = x + y, x, y Σ Ejemplo 2 Sea Σ = {a, b}, u = aba y v = ba uv = ababa, uv = 5, por otra parte u + v = Ejemplo 3 aba = 3 y baaa = 4 Ejemplo 4 Σ = {a, b}, entonces aababa = 6 es la longitud de la cadena. Observación 2 Hay una única cadena de longitud cero sobre Σ, llamada cadena vacía denotada por ɛ, ɛ = 0 1

3 Observación 3 Si Σ es diferente de vacío, entonces Σ es el conjunto de todas las cadenas sobre Σ. Se le llama lenguaje universal. Ejemplo 5 Sea Σ = {1} entonces : Observación 4 Σ = {ɛ, 1, 11, 111, 1111,...} Un alfabeto es simplemente un conjunto finito no vacío, dados Σ 1 y Σ 2 alfabetos, se tiene Σ 1 Σ 2 también lo es, además Σ 1 Σ 2, Σ 1 Σ 2 y Σ 2 Σ 1. Observación 5 Σ es un conjunto infinito ya que los alfabetos no son vacíos, es decir si Σ no es vacío, entonces Σ es un conjunto infinto de cadenas de longitud finita. Concatenación de cadenas 2

4 La operación de la concatenación es una operación binaria entre cadenas del alfabeto Σ, esto es. : Σ Σ Σ Sean x, y y se denota por x y o simplemente xy si x = a 1 a 2... a n y y = b 1 b 2... b m entonces Observación 6 x y = a 1 a 2... a n b 1 b 2... b m Sea (Σ,, ɛ) es un monoide, con las siguientes propiedades. La concatenación es cerrada. x, y Σ, x y Σ La concatenación de cadenas es asociativa. x, y, z Σ, (xy)z = x(yz) la cadena vacía ɛ es la idéntica para la concatenación: x Σ, ɛx = xɛ = x 3

5 Potencia de una cadena se define como x para n N x n = { ɛ, si n = 0 x x n 1, si n 1 Ejemplo 6 Sobre Σ = {a, b}, (aab) 0 = ɛ, (aab) 1 = aab, (aab) 5 = aabaabaabaabaab Observación 7 ( n)(n N, x n = n x ) Observación 8 Si w Σ, ( m)( n)(m, n N w n+m = w n + w m ) Caso 1. n, m 1 w n+m = ww } {{ w} n+m,veces = (n + m) w por 4

6 otro lado, w n + w m = ww } {{ w} n w +m w n,veces + ww w } {{ } m,veces = Caso 2. n = 0, m 1 w n+m = w 0+m = w m, por otro lado, w n + w m = w 0 + w m = ɛ + w m = 0+ w m = w m Caso 3. m = 0, n 1 Similar al caso anterior. Caso 4. n = 0, m = 0 w n+m = w 0+0 = ɛ = 0, por otro lado, w n + w m = w 0 + w 0 = ɛ + ɛ = = 0 Sufijos y prefijos Definición 3 5

7 Decimos que una cadena z es subcadena de otra cadena w si existen cadenas x, y Σ tal que w = x z y prefijo(w) = {x Σ z Σ : w = x z} sufijo(w) = {x Σ z Σ : w = z x} Un prefijo de una cadena x es una subcadena inicial de x, es decir una cadena y es un prefijo si existe una cadena z tal que x = yz y de manera similar z es un sufijo de x. Los prefijos propios son aquellas cadenas que son prefijos de una palabra pero no iguales a la misma. Un prefijo y de x es un prefijo propio de x si y ɛ y y x Un sufijo z de x es un sufijo propio de x si z ɛ y z x 6

8 Ejemplo 7 Sea x = 121 es un prejijo de la cadena w = 121 pero no prefijo propio, además x es un sufijo de w = 121 pero no sufijo propio. Inversa de una cadena Sea x entonces x 1 es la inversa. { x I x si x = ε = y I a si x = ay, a Σ, y Σ Sea x = able entonces obtener x I x I = (able) I = (ble) I a = (le) I ba = (e) I lba = (ε) I elba = εelba = elba Lenguajes Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ, es decir L Σ. 7

9 Sea L =, es el lenguaje vacío. Sea L = {ɛ} lenguaje con la cadena vacía. = {ɛ} L = Σ Observación 9 Todo lenguaje L satisface L Σ y puede ser finito e infinito. Ejemplo 8 Σ = {a, b}. L = {a, aba, aca} Ejemplo 9 Σ = {a, b, c}. L = {a, aa, aaa, aaaa,...} = {a n : n 1} 8

10 Ejemplo 10 Conjunto de las cadenas de n ceros seguidos por n unos. L = {ɛ, 01, 0011, ,...} Ejemplo 11 Conjunto de cadenas con igual número de ceros y unos. L 1 = {ɛ, 01, 10, 0011, 0101, 1001, ,...} Observación 10 Sea L = {a n b n : n 0} L 1 {0, 1} Ejemplo 12 El conjunto de los números binarios cuyo valor es primo. L P = {10, 11, 101, 111, 1011,...} 9

11 Ejemplo 13 Hay una correspondencia uno-uno entre las cadenas de {0, 1} y los números naturales N = {0, 1, 2,...} definida por: x #(1x) 1 Donde #y es el número natural representado por la cadena binaria y donde x {0, 1} {0, 1} N x #(1x) 1 ɛ Teorema 1 Para todo alfabeto Σ, Σ es enumerable. 10

12 Teorema 2 El conjunto de todos los lenguajes sobre Σ no es numerable. Operaciones entre Lenguajes Sean A, B Σ entonces, A B = {x x A o x B} {a} {b} = {a, b} {a, ab} {ab, aab} = {a, ab, aab} Sean A, B Σ entonces, A B = {x x A y x B} {a, ab} {ab, aab} = {ab} Complemento en Σ A = {x Σ x / A} A = Σ A 11

13 Si A y B son lenguajes sobre Σ, definiremos la diferencia como: Ejemplo 14 A B = {x x A y x / B} A = {cadenas de longitud par} sobre Σ = {a, b} A = {cadenas de longitud impar} Ejemplo 15 Sea Σ = {0, 1, 2, 3,..., 9} Sean los lenguajes A y B. A: Lenguaje de todas las cadenas que no contienen ninguno de los dígitos 2, 3,..., 9, Σ {2, 3,..., 9} = {0, 1} B: Lenguaje de todas las cadenas de ceros. A = {0, 1} y B = {0 } por tanto A B = {0, 1} {0 } = (0) 1(0 1) A B es el conjunto de todas las cadenas de unos y ceros con al menos un uno. Concatenación entre Lenguajes 12

14 Sean A y B sobre Σ, notada por A.B o simplemente AB. AB = {uv : u A y v B} Ejemplo 16 Si Σ = {a, b, c}, A = {a, ab, ac}, B = {b, b 2 } AB = {ab, ab 2, ab 2, ab 3, acb, acb 2 } BA = {ba, bab, bac, b 2 a, b 2 ab, b 2 ac} Ejemplo 17 Si Σ = {a, b, c}, A = {ba, bc}, B = {b n : n 0} AB = {bab n : n 0} {bcb n : n 0} BA = {b n ba : n 0} {b n bc : n 0} = {b n+1 a : n 0} {b n+1 c : n 0} Ejemplo 18 Sobre Σ y dos lenguajes A, B tal que AB=BA, Si A o B es igual a o ɛ Propiedades de la concatenación 13

15 1. AB BA 2. A. =.A = 3. A.{ε} = {ε}.a = A 4. A.(B.C) = (A.B).C (ley asociativa) 5. Ley distributiva de la concatenación con respecto a la unión. A.(B C) = A.B A.C (B C).A = B.A C.A 6. Distributiva generalizada. Si {B i } i I es una familia cualquiera de lenguajes sobre Σ, entonces A. i I i I B i = (A.B i ) i I B i.a = (B i.a)) i I 14

16 Observación 11 La propiedad asociativa permite escribir concatenaciones de tres o más lenguajes sin necesidad de usar paréntesis. La propiedad distributiva de la concatenación con respecto a la intersección no se cumple. A.(B C) A.B A.C Ejemplo 19 Contraejemplo. Sea A = {a, ɛ}, B = {ɛ}, C = {a}, donde B C =, A.(B C) = {a, ɛ}. =, por oto lado A.B A.C = {a, ɛ}.{ɛ} {a, ɛ}.{a} = {a, ɛ} {a 2, a} potencia de un Lenguaje 15

17 Dado un lenguaje A sobre Σ y (A Σ ) y n N, se define A 0 = {ε} A n = AA... A } {{ } n veces De manera recursiva { A n {ɛ}, si n = 0 = A A n 1, si n 1 Ejemplo 20 Sea A = {ab} A 0 = {ɛ} A 1 = A = {ab} A 2 = A.A 1 = {abab} A 3 = A.A 2 = {ababab} Observación 12 Se dice que dos lenguajes son iguales si contienen exactamente las mismas cadenas, es decir A = B. 16

18 Teorema 3 Sea A y B dos lenguajes sobre el alfabeto Σ. Entonces A = B si y sólo si A B y B A Cerradura de Kleene La cerradura de Kleene de un lenguaje A Σ es la unión de las potencias: se denota por A A = i 0 A i = A 0 A 1 A 2... la cerradura positiva se denota por A + A + = A i = A 1 A 2 A 3... i 1 Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2... donde Σ 0 = {ɛ}, sea cual sea el alfabeto Σ. Observación 13 17

19 Sea A entonces A = A + {ɛ} A Σ A + Σ + A + A {ε} = {ε} = {ε} + 0 = {ε} n =, para todo n 1 = {ε} + = Propiedades de la cerradura Sea A un lenguaje sobre Σ y A Σ A + = A.A = A.A 18

20 A.A = A (A ) n = A, para todo n 1 (A ) = A A +.A + A + (A ) + = A (A + ) = A (A + ) + = A + Ejemplo 21 Contraejemplo de A +.A + = A + Sea Σ = {a, b}, A = {a}, entonces: A + = A 1 A 2... = {a} {aa} {aaa}... = {a n : n 1} 19

21 Por otro lado, A +.A + = {a, a 2, a 3,...} {a, a 2, a 3,...} = {a n : n 2} Inverso de un Lenguaje sea A sobre Σ, se define A 1 como: A 1 = {u 1 : u A} Ejemplo 22 Sea Σ = {a, b} y L = {ab, abb, abc, cca} entonces L 1 = {ba, bba, cba, acc} Propiedades del inverso sean A y B lenguajes sobre Σ tal que (A, B Σ ) (A.B) 1 = B 1.A 1 (A B) 1 = A 1 B 1 (A B) 1 = A 1 B 1 20

22 (A 1 ) 1 = A (A ) 1 = (A 1 ) (A + ) 1 = (A 1 ) + Lenguajes Regulares Los lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ se definen recursivamente como:, {ε} son lenguajes regulares. a Σ, {a} es un lenguaje regular. si A y B son lenguajes regulares, también lo son: A B (Unión) A B (Concatenación) A (Cerradura de Kleene) 21

23 Son lenguajes regulares. Ningún otro lenguaje sobre Σ es regular. Ejemplo 23 Dado Σ = {a, b} el lenguaje A de todas las palabras que tienen exactamente una a. A = {b} {a} {b} Ejemplo 24 Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con b. B = {b} {(a b)} sobre Σ = {a, b} Ejemplo 25 Lenguaje de todas las cadenas que contienen la cadena ba. C = {(a b)} {ba} {(a b)} sobre Σ = {a, b} Expresiones Regulares 22

24 Definición 4 Sea Σ el alfabeto entonces la forma recursiva de una expresión regular: 1. y ɛ son expresiones regulares. 2. a es una expresión regular para toda a Σ 3. Si r y s son expresiones regulares, entonces r s,r s y r tambien lo son. 4. Ninguna otra secuencia de símbolos es una expresión regular. Ejemplo 26 Algunas expresiones regulares son: b 23

25 b(a b) (a b) ba(a b) Definición 5 Si r y s son expresiones regulares sobre el mismo alfabeto y si L(r) = L(s), entonces se dice que r y s son equivalentes, es decir que r = s. 1. r s en el caso de que L(r) L(s). 2. Si r = s se debe demostrar que r s r. Ejemplo 27 (a b) y ɛ (a b) b son equivalentes por que denotan el mismo lenguaje, por tanto (a b) = ɛ (a b) b 24

26 (a b) = {ɛ, b, b 2, b 3, ab, a 2 b, a n b, a ba ba b, bbbba 3 b} ɛ (a b) b = {ɛ, b, b 2, b 3, ab, a 2 b, a n b, a ba ba b, bbbba 3 b} Teorema 4 Sean r, s y t expresiones regulares sobre Σ, entonces: 1. r s = s r. 2. r = r = r. 3. r r = r. 4. (r s) t = r (s t). 5. rε = r = εr. 6. r = = r. 25

27 7. (rs)t = r(st). 8. r(s t) = rs rt y (r s)t = rt st. 9. r = r = r r = (ε r) = r (r ε) = (r ε)r = ε rr. 10. (r s) = (r s ) = (r s ) = (r s) r = r (sr ). 11. r(sr) = (rs) r. 12. (r s) = ε (r s) s. 13. (rs ) = ε r(r s). 14. s(r ε) (r ε) s = sr. 15. rr = r r 26

28 Observación 14 (r ɛ) = r Ejemplo 28 Podemos probar: (b aa b) (b aa b)(a ba b) (a ba b) = a b(a ba b) Ejemplo 29 Ejemplo 30 (a b) (b a) = (a b) Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que comienzan con b y terminan con a. Ejemplo 31 b(a b) a Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen exactamente dos a s. b ab ab 27

29 Ejemplo 32 Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de símbolos. (palabras de longitud par) (aa ab ba bb) Ejemplo 33 Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número impar de símbolos. (palabras de longitud impar) a(aa ab ba bb) b(aa ab ba bb) Ejemplo 34 Lenguaje de todas las cadenas sobre Σ = {0, 1} que tiene al menos un (0 + 1) Ejemplo 35 28

30 Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de a s. (b + (ab a)) (b (ab a) ) b (b ab ab ) Ejemplo 36 Σ = {a, b, c} Lenguaje de todas las palabras que no contienen la subcadena ac. c (a bc ) Ejemplo 37 Σ = {0, 1} Lenguaje de todas las palabras donde el tercer símbolo desde la derecha es 1. (0 1) 1(0 1)(0 1) 29

31 Finitos 1. Los autómatas finitos son máquinas abstractas que procesan palabras, las cuales son aceptadas o rechazadas. 2. El autómata actúa leyendo los símbolos escritos sobre una cinta semi-infinita, el autómata posee una cabeza o control finito que lee cada casilla desde el extremo izquierdo de la cinta. 3. Los autómatas finitos se dividen en autómatas finitos deterministas (AFD) y en autómatas 30

32 finitos no deterministas (AFN) ambas funciones. Finitos Deterministas (AFD) Sea M = (Q, Σ, q 0, T, δ) un AFD entonces: Σ: es el alfabeto de entrada. Q: es el conjunto de estados q 0 : Estado inicial T : Conjunto de estados finales. δ : Q Σ Q determina un único estado siguiente para el par δ(q i, γ) correspondiente al estado actual y la entrada. Función de Transición Extendida La función de transición δ puede ser extendida a δ que opera sobre estados y cadenas. δ : Q Σ Q donde δ(q, ɛ) def q, 31

33 δ(q, w) def δ( δ(q, x), a) donde w = xa, si δ(q, x) = p entonces, δ(q, w) = δ(p, a), w, x Σ y a Σ Observación 15 Formalmente, el lenguaje aceptado por M es: L(M) = {w Σ : δ(q 0, w) T } Diagramas de Estado Un AFD puede ser representado por un grafo dirigido y etiquetado. Ejemplo 38 Sea Σ = {a, b}, Q = {q 0, q 1, q 2 } q 0 : estado inicial T = {q 0, q 2 } estados finales o de aceptación. 32

34 La expresión regular del autómata es a + a b(a + b(a + b)) b Ahora queremos ver si w = abb es reconcida por el lenguaje a través de la función de transición extendida: δ(q 0, abb) = δ( δ(q 0, ab), b) = δ(δ( δ(q 0, a), b), b) = δ(δ(δ( δ(q 0, ɛ), a), b), b) = δ(δ(δ(q 0, a), b), b) = δ(δ(q 0, b), b) = δ(q 1, b) = q 2 33

35 Por tanto como δ(q 0, abb) T, w L(M) Ejemplo 39 Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje L = a = {ε, a, a 2, a 3,...} Ejemplo 40 Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje L = a + = {a, a 2, a 3,...} 34

36 Ejemplo 41 Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje de todas las palabras que contienen un número par de a s. Podemos obtener la expresión regular del autómata revisando que sale del estado inicial: el autómata reconoce b, b ab a, ab a, b (ab a), (ab a) por tanto la expresión regular sería: (b + ab a) 35

37 Ejemplo 42 Diseñar el AFD que reconozca b a +. Ejemplo 43 AFD que reconoce todas las cadenas sobre Σ = {0, 1} que tiene al menos un 0. Ejemplo 44 Diseñar el AFD que reconozca a + b +. 36

38 Ejemplo 45 Diseñar el AFD sobre Σ = {0, 1} que reconozca en binario el lenguaje de todos los múltiplos de 2. Binario Decimal

39 Podemos verificar que la expresión regular (0 + (1 + 0)) es reconocida por el autómata. Ejemplo 46 Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje de todas las cadenas que tienen un número par de símbolos. Podemos obtener la expresión regular concatenando todas las posibilidades: {a, b}.{a, b} = {aa, ab, ba, bb} con las siguientes condiciones: 1. aa se puede repetir y tomar cualquiera de los ciclos ab, ba o bb. 2. Lo mismo se puede hacer con cada una {aa, ab, ba, bb} por tanto la expresión sería: (aa + ab + ba + bb) 38

40 : Q Σ 2 Q 39 EISC Ejemplo 47 se puede construir el AFD que acepta el lenguaje sobre Σ = {a, b} L = {x contiene una subcadena de dos a s consecutivas} Finitos No Deterministas Donde M = (Q, Σ, q 0, T, ) 1. Σ: es el alfabeto de entrada. 2. Q: es el conjunto de estados. 3. q 0 Q:Estado inicial. 4. = T Q: Conjunto de estados finales o de aceptación. 5.

41 Donde 2 Q denota el conjunto potencia de Q o el conjunto de todos los subconjuntos de Q. 2 Q = {A A Q} Definición 6 Sea M = (Σ, Q, q 0, T, ) un AFN. La función de transición: : Q Σ 2 Q Se extiende inicialmente a conjuntos de estados. Para a Σ y S Q se define como: Definición 7 (S, a) = q S (q, a) La función extendida de es una función: : Q Σ 2 Q 40

42 (q, ɛ) = {q}, q Q (q, w) = ( (q, x), a) = p (q,x) (p, a) q Q, a Σ, w = xa Σ, (q, w) es el conjunto de estados alcanzables bajo la entrada de x desde algún estado en q. Observación 16 Formalmente, el lenguaje aceptado por M es: L(M) = {w Σ : (q 0, w) T } Ejemplo 48 Diseñar el AF sobre Σ = {0, 1} que reconozca el lenguaje de todas las cadenas que terminan en

43 Este autómata reconoce el lenguaje {x01 : x Σ } Ejemplo 49 Obtener (q 0, 101) (q 0, 101) = ( (q 0, 10), 1) = ( ( (q 0, 1), 0), 1) = ( ( ( (q 0, ɛ), 1), 0), 1) = ( ( ({q 0 }, 1), 0), 1) = ( ({q 0 }, 0), 1) = ({q 0, q 1 }, 1) = {q 0, q 2 } Como la colección de estados contiene al menos un estado de aceptación q 2 indica que algún recorrido de la cadena 101 termina en estado de aceptación. Por tanto 101 pertenece al lenguaje, es decir: (q 0, 101) = {q 0, q 2 } {q 2 } = Entonces w = 101 L(M) 42

44 Ejemplo 50 El AFD que reconoce el lenguaje de las palabras sobre Σ = {a, b}, que terminan en b es equivalente al AFN. Ejemplo 51 Considere el lenguaje denotado por la expresión r = ab a + sobre Σ = {a, b} obtener el AFN. Ejemplo 52 43

45 Sea Σ = {a, b}, y s = (ab aba) obtener el AFN. Ejemplo 53 Obtenga el AFN de la expresión ɛ (a b) b. Ejemplo 54 Obtenga el AFN de la expresión (a b) + (aba) +. Equivalencia entre AFD y AFNs Es fácil ver que todo AFN M = (Q, Σ, q 0, T, ) tiene un AFD M tal que L(M) = L(M ). Ejemplo 55 Consideremos el AFN M tal que L(M) = ab a + sobre Σ = {a, b} 44

46 La función de transición de M es: a b q 0 {q 1, q 2 } q 1 {q 1 } q 2 {q 2 } El nuevo AFD M = (Q, Σ, {q 0 }, T, δ) construido a partir de M presenta las siguientes características: 1. Q = {, {q 0 }, {q 1 }, {q 2 }, {q 1, q 2 }} 2. Σ = Σ 45

47 3. q 0 = {q 0} 4. T = {S 2 Q, S contiene al menos un estado de aceptación} Sea T = {q 1, q 2 } entonces T = {{q 1 }, {q 2 }, {q 1, q 2 }} 5. donde S 2 Q δ : 2 Q Σ 2 Q (S, a) δ(s, a) = (S, a) δ a b {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 2 } {q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 1 } El diagrama de estados del AFD es: 46

48 Teorema 5 Dado un AFN M = (Q, Σ, q 0, T, ) se puede construir un AFD M equivalente a M, es decir, tal que L(M) = L(M ). Demostración. Sea el AFN M = (Q, Σ, q 0, T, ) construimos M así: donde M = (2 Q, Σ, {q 0 }, T, δ) δ : 2 Q Σ 2 Q (S, a) δ(s, a) = (S, a) T = {S 2 Q, S contiene al menos un estado de aceptación} 47

49 Se demostrará que L(M) = L(M ) probando que para toda cadena w Σ δ({q 0 }, w) = (q 0, w) 1. Paso básico. Para w = ɛ, entonces δ({q 0 }, ɛ) = (q 0, ɛ) = {q 0 } Para w = a, a Σ entonces δ({q 0 }, a) = ({q 0 }, a) = (q 0, a) 2. Paso Inductivo. Hipótesis: δ({q 0 }, w) = (q 0, w) Tesis: δ({q 0 }, wa) = (q 0, wa) para a Σ δ({q 0 }, wa) = δ(δ({q 0 }, w), a) = δ( (q 0, w), a) = ( (q 0, w), a) = (q 0, wa) Caso desfavorable 48

50 Hay la posibilidad que los 2 n estados del AFD construido a partir del AFN de n estados resulten accesibles. Ejemplo 56 Este AFN no tiene un AFD equivalente con menos de 2 n estados. L(M) = {x1c 2 c 3... c n : x {0, 1}, c {0, 1}} 1. M está en el estado q i, i = 1, 2,..., n si y sólo si w Σ tiene la forma x1a 1 a 2 a i 1 donde los a j son símbolos de entrada. 2. Si a i = 0, (q 0, xa 1 a 2 a i 1) ) / T Si i = n, (q 0, x1a 1 a 2 a i 1) ) T 49

51 ({q 0, q 1,..., q n }, 1) = {q 0, q 1,..., q n } Automátas con ɛ-transiciones Un autómata con ɛ-transiciones es un AFN M = (Q, Σ, q 0, T, ) donde la función de transición está definida así: : Q (Σ {ɛ}) 2 Q La ɛ-transición permite al autómata cambiar internamente de estado sin consumir el símbolo leído sobre la cinta. Ejemplo 57 Podemos representar la a sin necesidad de colocar el estado inicial como estado final. 50

52 a b ɛ q 1 q 1 q 2 q 2 Ejemplo 58 Sea Σ = {a, b} y L = Lenguaje de todas las palabras sobre Σ que tienen un número par de a s o un número par de b s. Equivalencia entre los AFN-ɛ y AFN Los AFN-ɛ son computacionalmente equivalentes al modelo AFN. Teorema 6 51

53 Dado un AFN-ɛ M = (Q, Σ {ɛ}, q 0, T, ), se puede construir un AFN M equivalente a M, es decir L(M) = L(M ) Definición 8 Para todo estado q Q, definimos la cerradura de q como: ɛ c(q) = {p p es accesible desde q sin consumir nada en la entrada } ɛ c{q 1, q 2,..., q k } = ɛ c(q 1 )... ɛ c(q k ) Definición 9 Para q Q y σ Σ se define: d(q, σ) = {p hay una transición de q a p etiquetada con σ} d({q 1, q 2,..., q i }, σ) = n k=1 d(q i, σ) Definición 10 52

54 A partir de un M = (Q, Σ {ɛ}, q 0, T, ) que tiene ɛ-transiciones, se puede construir un AFN sin ɛ-transiciones que acepte el mismo lenguaje, se define M = (Q, Σ, q 0, T, ) Ejemplo 59 T = T {q ɛ c(q) T } (q, σ) = ɛ c(d(ɛ c(q), σ)) Construir un AFN-ɛ que reconozca sobre Σ = {a, b, c}, el lenguaje L = a b c Las cerraduras de los estados {q 0, q 1, q 2 } ɛ c(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 } ɛ c(q 1 ) = {q 1, q 2 } ɛ c(q 2 ) = {q 2 } 53

55 T = {q 2 } {q ɛ c(q) T } = {q 0, q 1, q 2 } T = {q 2 } {q 0, q 1, q 2 } = {q 0, q 1, q 2 } El siguiente AFN reconoce el mismo lenguaje que reconoce el AFN-ɛ anterior. 54

56 Finitos y Expresiones Regulares 1. Construcción de autómatas finitos a partir de expresiones regulares. 2. Construcción de expresiones regulares a partir de autómatas. a) Lema del orden (Ecuaciones del Lenguaje) b) Conversión de AF a expresiones regulares por eliminación de estados. Teorema 7 Un lenguaje regular si y sólo si es aceptado por un autómata finito (AFD o AFN o AFNε) 55

57 Conversión de E.R a Finitos Teorema 8 Para toda expersión regular R nosotros podemos construir un AFN-ɛ M tal que L(R) = L(M) Paso Básico. El autómata acepta el autómata 56

58 acepta {ɛ} el autómata acepta {a} Paso Inductivo. 1. Autómata que acepta R S Sea M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, s 2, T 2, 2 ) entonces para el nuevo AFN M = (Q, Σ, s, T, ) tenemos: 57

59 a) Σ = Σ 1 Σ 2 b) T = {s } si y sólo si = 1 2 {(s, ɛ, s 1 ), (s, ɛ, s 2 )} {(T 1, ɛ, s ), (T 2, ɛ, s )} donde s es un estado final nuevo. c) Q = Q 1 Q 2 {s} {s }, donde s es el nuevo estado inicial. Sin estado final adicional. a) Σ = Σ 1 Σ 2, T = T 1 T 2 b) Q = Q 1 Q 2 {s}, donde s es el nuevo estado inicial. = 1 2 {(s, ɛ, s 1 ), (s, ɛ, s 2 )} 2. Autómata que acepta R S Sea M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, s 2, T 2, 2 ) entonces 58

60 para el nuevo AFN M = (Q, Σ, s, T, ) que acepta L(M 1 )L(M 2 ) a) Q = Q 1 Q 2 b) s = s 1 c) T = T 2 d) = 1 2 (T 1 {ɛ} s 2 ) 3. Autómata que reconoce R Sea el AFN M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) entonces el nuevo AFN M = (Q, Σ, s, T, ) que acepta (L(M 1 )) viene dado por: a) Q = Q 1 {s} {s } b) T = {s } 59

61 c) = 1 {(s, ɛ, s 1 ), (s, ɛ, s )} (T 1 {ɛ} s ) Ejemplo 60 Sea Σ = {a} y el L = a obtener a Este es el autómata que reconoce L = a Ejemplo 61 Construir (ab ba) Construimos ab y ba 60

62 Construimos ab ba Construimos (ab ba) Lema de Orden (Ecuaciones de lenguaje) Teorema 9 61

63 Sea Σ un alfabeto y sean E y A subconjuntos de Σ, entonces la ecuación de lenguaje X = E A X admite la solución X = A E cualquier otra solución Y deberá contener A X, además ɛ / A, X = A E es la única solución. Teorema 10 Sea n 2 considere el sistema de ecuaciones cuyas incognitas x 1, x 2,..., x n dado por: x 1 = E 1 A 11 x 1 A 12 x 2... A 1n x n x 2 = E 2 A 21 x 1 A 22 x 2... A 2n x n. x n 1 = E n 1 A (n 1)1 x 1... A (n 1)n x n x n = E n A n1 x 1 A n2 x 2... A nn x n Entonces el sistema tiene única solución: En la cual i,j {1,... n}, ɛ / A i Entonces el nuevo sistema se obtiene hasta n-1: 62

64 x 1 = Ê 1 Â 11 x 1 Â 12 x 2... Â 1(n 1) x n 1 x 2 = Ê 2 Â 21 x 1 Â 22 x 2... Â 2(n 1) x n 1. x n 1 = Ê n 1 Â (n 1)1 x 1... Â (n 1)(n 1) x n 1 y se definen: Ê i = E i (A in A nne n ), i = 1... n 1 Â ij = A ij (A in A nna nj ), i,j = 1... n 1 E i = φ ɛ si q i / F si q i F Ejemplo 62 Dado el siguiente AFD obtener la expresión regular usando ecuaciones de lenguaje y la solución única: 63

65 x 1 = ax 1 + bx 2 x 2 = bx 1 + ax 2 + ɛ Aplicamos el teorema de solución de ecuaciones: Obtenemos Ê 1 Obtenemos  11 x 1 = Ê 1 +  11 x 1 Ê 1 = E 1 + (A 12 A 22 E 2) Ê 1 = + (b.a.ɛ) Ê 1 = ba  11 = A 11 + (A 12 A 22 A 21)  11 = a + (b.a.b)  11 = a + ba b 64

66 Reemplazando Ê 1 y  11 en x 1 x 1 = Ê 1 +  11 x 1 x 1 = ba + (a + ba b)x 1 Aplicando el teorema de solución única nos queda: x 1 = (a + ba b) ba Por tanto (a+ba b) ba es la expresión regular del autómata. Ejemplo 63 Este AFD reconoce todas las cadenas de con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 65

67 Propiedades de los Lenguajes Regulares Lema del Bombeo Para todo lenguaje regular L (sobre un alfabeto Σ) existe una constante n N, llamada la constante del bombeo para L, tal que toda palabra w L, con w n, satisface las siguiente propiedad: w se puede descomponer como w = uvx, con uv n, v ɛ, y para todo i 0 se tiene uv i x L. 66

68 1. Tanto u como x pueden ser la palabra vacía ɛ, pero v ɛ. 2. La palabra v ( o la parte central) se puede bombear cero o mas veces en el sentido de que uv i x es aceptada por M para todo i El lema del bombeo se puede usar para concluir que cierto lenguaje no es regular. (contradicción) 67

69 Ejemplo 64 Podemos usar el lema del bombeo para demostrar que el lenguaje L = {a i b i : i 0} no es un lenguaje regular. Solución: Si L es regular, existe una constante de bombeo n para L. Sea w = a n b n L donde w se descompone en w = uvx, con v 1, uv n y para todo i 0, uv i x L u y v constan únicamente de as. u = a r, para algún r 0 v = a s, para algún s 1, por que v 1 Entonces, De donde, x = a n (r+s) b n = a n r s b n uv 2 x = a r a s a s a n r s b n = a r+2s+n r s b n = a n+s b n Conclusión, por el lema del bombeo, la palabra uv 2 x L pero como s 1, a n+s b n / L. POR LO TANTO L NO PUEDE SER REG- ULAR. 68

70 Ejemplo 65 Podemos también ver que el lenguaje de las paĺındromes sobre {a, b} no es un lenguaje regular. Si L fuera regular, existiría n la constante de bombeo y w = a n ba n L donde w se descompone en w = uvx, con v 1, uv n y para todo i 0, uv i x L, por lo tanto u y v constan únicamente de as. u = a r, para algún r 0 v = a s, para algún s 1, por que v 1 Entonces, De donde, x = a n (r+s) ba n = a n r s ba n uv 2 x = a r a s a s a n r s ba n = a r+2s+n r s ba n = a n+s ba n Observación 17 69

71 En conclusión por el lema del bombeo, la palabra uv 2 x L pero como s 1, a n+s ba n no es un paĺındrome. POR LO TANTO L NO PUEDE SER REGULAR. Propiedades de Clausura Teorema 11 Si L, L 1 y L 2 son lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ, también lo son: 1. L 1 L 2 (Unión) 2. L 1 L 2 (Concatenación) 3. L + (cerradura positiva de Kleene) 4. L = Σ L (complemento) 5. L (cerradura de Kleene) 70

72 6. L 1 L 2 (intersección) 7. L 1 L 2 (Diferencia) 8. L 1 L 2 (Diferencia simétrica) Observación 18 Un sublenguaje (subconjunto) de un lenguaje regular no es necesariamente regular, es decir, la familia de los lenguajes regulares no es cerrada para subconjuntos. Dicho de otra forma, un lenguaje regular puede contener sublenguajes no-regulares. Ejemplo 66 L = {a n b n : n 1} es un sublenguaje del lenguaje regular a b Teorema 12 71

73 Si L y M son lenguajes regulares, también lo es L M. Observación 19 Todo lenguaje finito es regular y la unión finita de lenguajes regulares es regular. La unión infinita de lenguajes no necesariamente es regular. L = {a n b n : n 1} = i 1 {a i b i } Donde cada {a i b i } es regular, pero L no lo es. Teorema 13 Si L es un lenguaje regular con el alfabeto Σ, entonces L = Σ L también es un lenguaje regular. PRUEBA. 72

74 1. Sea L = L(M) para un AFD M = (Q, Σ, q 0, T, δ) 2. Entonces L = L(M ) donde M el AFD M = (Q, Σ, q 0, Q T, δ) 3. M = M, pero los estados de aceptación de M se transforman en estados de no aceptación en M y viceversa. 4. w L(M ) si y sólo si δ(q 0, w) Q T, lo que significa que w / L(M) Ejemplo 67 Obtener el lenguaje complementario del siguiente autómata. AFD que reconoce (0 + 1) 01 73

75 AFD que reconoce el el complementario del lenguaje (0 + 1) 01 Ejemplo 68 Podemos demostrar que L = {a i b j 0, i j} No es regular. : i, j Supongamos que L es regular entonces a b L debe ser regular. a b L = {a i b i : i 0} 74

76 Teorema 14 Si L 1 y L 2 son lenguajes regulares, también lo es L M. PRUEBA. Sean L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ) donde M 1 = (Q 1, Σ 1, q 0, T 1, δ 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, q 0, T 2, δ 2 ), Entonces construimos: M 1 = (Σ, Q 1 Q 2, (q 1, q 2 ), T 1 T 2, δ 1 ) donde δ : Q 1 Q 2 Σ Q 1 Q 2 δ((q i, q j ), a) = (δ 1 (q i, a), δ 2 (q j, a)) Esta función satisface: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) Ejemplo 69 Construir el AFD que acepte el lenjuaje L de todas las palabras sobre Σ = {a, b} que tienen un número par de a s y un número par de b s. 75

77 Entonces L = L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) tiene cuatro estados: Q 1 Q 2 = {(q 1, q 2 ), (q 1, q 4 ), (q 3, q 2 ), (q 3, q 4 )} T 1 T 2 = {(q 1, q 2 )} δ es: δ((q 1, q 2 ), a) = (δ 1 (q 1, a), δ 2 (q 2, a)) = (q 3, q 2 ) δ((q 1, q 2 ), b) = (δ 1 (q 1, b), δ 2 (q 2, b)) = (q 1, q 4 ) δ((q 1, q 4 ), a) = (δ 1 (q 1, a), δ 2 (q 4, a)) = (q 3, q 4 ) δ((q 1, q 4 ), b) = (δ 1 (q 1, b), δ 2 (q 4, b)) = (q 1, q 2 ) δ((q 3, q 2 ), a) = (δ 1 (q 3, a), δ 2 (q 2, a)) = (q 1, q 2 ) δ((q 3, q 2 ), b) = (δ 1 (q 3, b), δ 2 (q 2, b)) = (q 3, q 4 ) δ((q 3, q 4 ), a) = (δ 1 (q 3, a), δ 2 (q 4, a)) = (q 1, q 4 ) δ((q 3, q 4 ), b) = (δ 1 (q 3, b), δ 2 (q 4, b)) = (q 3, q 2 ) 76

78 Teorema 15 Si L y M son lenguajes regulares, también lo es L M. PRUEBA. L M = L M, por el teorema de lenguaje complementario, M es regular y por la intersección de lenguajes regulares, entonces L M es regular, por tanto L M es regular. Ejemplo 70 Podemos construir la diferencia de Σ {0 + 1} 1 sobre Σ = {0, 1} Σ {0 + 1} 1 = Σ ({0 + 1} 1) 77

79 1. Se obteiene ({0 + 1} 1) 2. Los AFD se intersectan. Ejemplo 71 Sea el lenguaje L L = {wb n : w Σ, w = n, n 1} L = {abb 2, bbb 2, ababb 4,... ab, aab 2, aaab 3,...} } {{ } a n b n No es regular. Si L es regular entonces L a b regular, pero. debe ser L a b = {a n b n : n 1} Algoritmos de Decisión Teorema 16 Sea M un AFD con n estados y sea L = L(M). 78

80 1. L si y sólo si M acepta una palabra w tal que w < n. a) ) Si M acepta una cadena de longitud menor que n, entonces L (es obvio) b) ) Suponemos que L, entonces existirá un w L(M). Necesitamos probar que L(M) contiene una cadena menor que n. Si w < n quedará probado. Por contradicción si w n por el lema del bombeo, w = uvx, donde uv n, v ɛ. Por tanto v 1 y se tiene que uv i x L(M) para todo i 0, entonces ux < w ( lo que contradice la minimalidad de w ). 2. L es infinito si y solo si M acepta una palabra w tal que n w < 2n. a) ) Supongamos que L(M) es infinito, existe w L con w n 79

81 por Lema del bombeo w = uvx, donde uv n, v ɛ si w < 2n la demostración termina. Entonces suponemos que w 2n v uv n Corolario 1 Sea Σ un alfabeto dado. Existen algoritmos para los siguientes problemas de decisión referentes a autómatas finitos sobre Σ: 1. Dado un autómata finito, Es L(M)? 2. Dado un autómata finito, Es L(M) infinito? 3. Dados dos autómatas finitos M 1 y M 2, Es L(M 1 ) = L(M 2 )? 1. Algoritmo: 80

82 a) Construir un AFD M que acepte el lenguaje L(M). b) Chequear la aceptación o rechazo de todas las palabras w Σ tales que w < n, donde n es el número de estados de M. 2. Algoritmo. a) Construir un AFD M que acepte el lenguaje L(M). b) Chequear la aceptación o rechazo de todas las palabras w Σ tales que n w < 2n, donde n es el número de estados de M. Ejemplo 72 El AFD que reconoce el lenguaje de las palabras sobre Σ = {a, b}, que terminan en b es equivalente al AFN. 81

83 1. Sea r 1 expresión de M 1 y r 2 expresión de M 2 entonces L(r 1 ) = L(r 2 ) 2. L(M 1 ) = L(M 2 ) 3. Sea L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ) entonces: L 1 = L 2 L 1 L 2 = Observación 20 82

84 Dados dos autómatas finitos M 1 y M 2, L(M 1 ) = L(M 2 )? Existe un algoritmo siendo esto un problema de decisión. Sea G = (Σ, N, S, P ) Gramáticas Regulares Σ: Alfabeto N: Símbolos no terminales. S: Símbolo no terminal de inicio. P : son las producciones de la forma A w donde A N, w Σ N que satisface lo siguiente: 1. w contiene un no terminal como máximo. 2. Si w contiene un no terminal, entonces es el símbolo que está en el extremo derecho de w. Ejemplo 73 Sobre Σ = {a, b} sea el lenguaje a b entonces: N = {S} P : S as b 83

85 Ejemplo 74 Sea el lenguaje a b a entonces la gramática regular es: S aa b a A aa b Ejemplo 75 Sea Σ = {a, b} la gramática para el lenguaje (a b) puede ser obtenida a través del autómata finito que reconoce el lenguaje. Podemos construir la gramática con base en las transiciones del AFD: S as bs ε la producción S as se define a través de la transición δ(s, a) = S, ahora cada producción se hace con base en cada transición: 84

86 S bs proviene de la transición δ(s, b) = S y la producción S ε se da por que S es estado terminal. Ejemplo 76 Sea el lenguaje a b el autómata es el siguiente: Entonces podemos defnir la transición del autómata con su respectiva regla: (S, a) = S (S, b) = A (A, b) = A S as S ba A ba como S y A son estados finales entonces se definen las reglas: S ɛ A ɛ 85

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