Métodos Avanzados para Análisis y Representación de Imágenes

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1 Morfología Matemática p. 1/44 Métodos Avanzados para Análisis y Representación de Imágenes Morfología Matemática Departamento de Informática - FICH Universidad Nacional del Litoral Agosto de 2012

2 Morfología Matemática p. 2/44 Generalidades Usos de la morfología matemática realce de imágenes análisis de formas segmentación de imágenes compresión de imágenes restauración de imágenes análisis de componentes detección de ejes espesamiento de curvas análisis de texturas adelgazamiento general análisis de partículas detección de características generación de características reducción de ruido obtención de esqueletos filtrado espacio-tiempo

3 Morfología Matemática p. 3/44 Contenido 1. Conceptos preliminares Operaciones matématicas, lógicas y relacionales con imágenes Definiciones, propiedades y operaciones con conjuntos Imágenes como conjuntos 2. Morfología matemática binaria Elemento estructurante Operaciones básicas: dilatación, erosión, apertura, cierre y Hit-or-Miss 3. Algoritmos y aplicaciones Extracción de contornos Relleno de agujeros Extracción de componentes conectadas Envoltura convexa Adelgazamiento...

4 Morfología Matemática p. 4/44 Operaciones entre varias imágenes Operaciones aritméticas: Suma Resta c x,y = (a x,y +...+k x,y ) N c x,y = k(a x,y b x,y ),, conn : número de imágenes conk: función de escala Multiplicación c x,y = αk(a x,y b x,y ), conk: función de escala yα: escalar Operaciones lógicas y relacionales: Las operaciones lógicas trabajan sobre imágenes binarias, siendo posible implementar: NOT, OR, AND, XOR y combinaciones de éstas. Las operaciones relacionales (<, >,, ) trabajan sobre imágenes en escala de grises, y dan como resultado imágenes binarias.

5 Morfología Matemática p. 5/44 Operaciones entre varias imágenes Ejemplos de operaciones lógicas:

6 Morfología Matemática p. 6/44 Conjuntos Algunas definiciones El conjunto UniversoU es el que contiene a todos los elementos para un dominio dado Sia = (a 1,a 2 ) es un elemento dea, entoncesa A Sia = (a 1,a 2 ) no es un elemento dea, entoncesa / A SiAes un conjunto sin elementos (conjunto vacío), entoncesa = Al conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A : A c = {a a U,a / A} se lo denomina conjunto complementario dea:a c

7 Morfología Matemática p. 7/44 Conjuntos Propiedades y Operaciones básicas Subconjunto A B, si todos los elementos deason elementos deb Unión Intersección C = A B, D = A B, C contiene todos los elementos dea, deb o de ambos. D contiene los elementos que pertenecen aayab Conjuntos disjuntos A B =, los conjuntosayb no tienen elementos en común

8 Morfología Matemática p. 8/44 Conjuntos Propiedades y Operaciones básicas Traslación A x = A+x = {a+x a A} Reflexión  = A = { a a A} Diferencia de conjuntos A B = {a a A,a / B} = A B c Ley de dualidad (Ley de DeMorgan) (A B) c = A c B c y (A B) c = A c B c

9 Morfología Matemática p. 9/44 Conjuntos Imágenes binarias como conjuntos A es un conjunto de pares ordenados de números reales: A U R 2 SiAes una imagen binaria, los elementos son coordenadas de pixels ya Z 2. Para imágenes binarias se puede ver que:

10 Morfología Matemática p. 10/44 Reflexión del objeto B ˆB = B = {(b 1,b 2) (b 1,b 2) = ( b 1, b 2 ),b B} Traslación del objeto B por un punto z = (z 1,z 2 ): (B) x = B +z = {(b 1,b 2) (b 1,b 2) = (b 1 +z 1,b 2 +z 2 ),b B}

11 Morfología Matemática p. 11/44 Elemento estructurante (EE) Son pequeños conjuntos o sub-imágenes Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudia Debe tener especificado un origen Se deben definir las condiciones de borde

12 Morfología Matemática p. 12/44 Elemento estructurante (EE) Son pequeños conjuntos o sub-imágenes Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudia Debe tener especificado un origen Se deben definir las condiciones de borde Elemento estructurante Operación morfológica Imagen Imagen Pixel de salida Fila i Fila i Columna j Columna j

13 Morfología Matemática p. 13/44 Erosión binaria Prueba: Está el EE completamente contenido en el conjunto? ConsiderandoA yb como conjuntos dez 2, la erosión se define como: A B = {z (B) z A}

14 Morfología Matemática p. 14/44 Erosión binaria Prueba: Está el EE completamente contenido en el conjunto? ConsiderandoA yb como conjuntos dez 2, la erosión se define como: A B = {z (B) z A} o A B = {z (B) z A c = }

15 Morfología Matemática p. 15/44 Erosión binaria Encoge y/o adelgaza objetos en una imagen binaria Puede considerarse una operación de filtrado morfológico

16 Morfología Matemática p. 16/44 Dilatación binaria Prueba: El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento? ConsiderandoA yb como conjuntos dez 2, la dilatación se define como: A B = {z (ˆB) z A }

17 Morfología Matemática p. 17/44 Dilatación binaria: ejemplo usando el EE reflejado Prueba: El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento?

18 Morfología Matemática p. 18/44 Dilatación binaria Hace crecer y/o ensancha objetos en una imagen binaria La manera específica y el grado de ensanchamiento está controlado por el EE

19 Morfología Matemática p. 19/44 Propiedades (A B) c = (A c ˆB) y (A B) c = (A c ˆB) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = (A C) B (A B) C = (A C) B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) (A B) (A C)

20 Morfología Matemática p. 20/44 Apertura Suaviza el contorno de un objeto, rompe los istmos estrechos y elimina salientes delgadas La apertura de un conjuntoayb se define como: AB = (A B) B Cierre Suaviza el contorno de un objeto, elimina agujeros pequeños, fusiona discontinuidades estrechas y golfos largos y finos, y rellena lagunas en el contorno El cierre de un conjuntoayb se define como: A B = (A B) B

21 Morfología Matemática p. 21/44 Apertura y Cierre

22 Morfología Matemática p. 22/44 Propiedades (A B) c = (A c ˆB) y (AB) c = (A c ˆB) Apertura SiC D, entonces(c B) (D B) A B A A B = (A B) B Cierre SiC D, entonces(c B) (D B) A AB AB = (AB)B

23 Morfología Matemática p. 23/44 Apertura y Cierre

24 Morfología Matemática p. 24/44 Transformación de localización (Hit-or-Miss) A B = (A D) [A c (W D)] A B = (A D) (A Ê) cone = (W D)

25 Morfología Matemática p. 25/44 Algoritmos: extracción de contornos (gradiente morfológico) β E (A) = A (A B) β D (A) = (A B) A β DE (A) = (A B) (A B) EE de 3x3.

26 Morfología Matemática p. 26/44 Algoritmos: extracción de contornos (gradiente morfológico) β E (A) = A (A B) β D (A) = (A B) A β DE (A) = (A B) (A B) EE de 5x5.

27 Morfología Matemática p. 27/44 Algoritmos: relleno de agujeros semi-automático (dilatación condicionada) X k = (X k 1 B) A c k = 1,2,3,...

28 Morfología Matemática p. 28/44 Algoritmos: extracción de componentes conectadas X k = (X k 1 B) A k = 1,2,3,...

29 Morfología Matemática p. 29/44 Algoritmos: extracción de componentes conectadas X k = (X k 1 B) A k = 1,2,3,...

30 Morfología Matemática p. 30/44 Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull) El conjunto convexo C(A) que contiene a A se obtiene mediante Xk i = (X k 1 B i ) A i = 1,2,3,4 y k = 1,2,3,... X0 i = A Converge cuandox i k = Xi k 1 C(A) = 4 i=1 Xi k B 1 2 B B 3 B 4

31 Morfología Matemática p. 31/44 Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull) El conjunto crece más allá de lo mínimo necesario para garantizar convexidad ( limitar)

32 Morfología Matemática p. 32/44 Algoritmos: adelgazamiento (Thinning) A B = A (A B) = A (A B) c El adelgazamiento simétrico de A, se puede definir de forma más útil basada en una secuencia de EE: {B} = {B 1,B 2,B 3,...,B n }, B i es una versión rotada deb i 1 A {B} = ((...((A B 1 ) B 2 )...) B n )

33 Morfología Matemática p. 33/44 Algoritmos: adelgazamiento (Thinning)

34 Morfología Matemática p. 34/44 Algoritmos: espesamiento (Thickening) A B = A (A B) De forma similar al adelgazamiento simétrico de A, el espesamiento se puede definir de forma más útil basada en una secuencia de EE (complementos de los previos): A {B} = ((...((A B 1 ) B 2 )...) B n )

35 Morfología Matemática p. 35/44 Algoritmos: esqueletos (Skeletons) El esqueleto S(A) de un conjunto A, puede deducirse según: Siz S(A), se define(d) z A al mayor disco posible centrado enz. El disco máximo(d) z toca el borde deaen al menos 2 puntos. Serra [1982] definió el esqueleto en términos de erosión y apertura: S(A) = K k=0 S k (A) con S k (A) = (A kb) (A kb) B K = max{k (A kb) }

36 Morfología Matemática p. 36/44 Algoritmos: esqueletos (Skeletons)

37 Morfología Matemática p. 37/44 Algoritmos: reconstrucción morfológica Dilatación geodésica (tamaño 1): D (1) G (F) = (F B) G, F G Dilatación geodésica (tamaño n): D (n) G (F) = D(1) G [D(n 1) G (F)], D (0) G (F) = F

38 Morfología Matemática p. 38/44 Algoritmos: reconstrucción morfológica Erosión geodésica (tamaño 1): E (1) G (F) = (F B) G, F G Erosión geodésica (tamaño n): E (n) G (F) = E(1) G [E(n 1) G (F)], E (0) G (F) = F

39 Morfología Matemática p. 39/44 Algoritmos: reconstrucción morfológica Reconstrucción por dilatación: R D G(F) = D (k) G (F), hasta qued(k) G (F) = D(k+1) G (F) Reconstrucción por erosión: R E G(F) = E (k) G (F), hasta quee(k) G (F) = E(k+1) G (F)

40 Morfología Matemática p. 40/44 Algoritmos: aplicaciones de reconstrucción morfológica Apertura por reconstrucción: O (n) R (F) = RD F [(F nb)], paranerosiones def yb

41 Morfología Matemática p. 41/44 Algoritmos: aplicaciones de reconstrucción morfológica Relleno de agujeros automático: F(x,y) = { 1 I(x,y) si(x,y) pertenecen al borde dei 0 para otros casos La imagen, similar a I, con los agujeros rellenos se obtiene por: H = [ R D I c(f)] c

42 Morfología Matemática p. 42/44 Algoritmos: aplicaciones de reconstrucción morfológica Relleno de agujeros automático:

43 Morfología Matemática p. 43/44 Algoritmos: aplicaciones de reconstrucción morfológica Limpieza de objetos en el borde: F(x,y) = { I(x,y) si(x,y) pertenecen al borde dei 0 para otros casos La imagen, similar ai, sin objetos que tocan el borde: X = I R D I (F)

44 Morfología Matemática p. 44/44 Fin de teoría Bibliografía J. Serra (1982): Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, London. R. Gonzales and R. Woods (2007): Digital Image Processing (3rd Edition), Prentice Hall. E. R. Davies (2005) Machine Vision: Theory, Algorithms, Practicalities (3rd Edition), Elsevier. F. Shih (2009) Image Processing and Mathematical Morphology: Fundamentals and Applications, CRC Press. W. Burger and M. J. Burge (2010) Digital Image Processing - An algorithmic Introduction Using Java, Springer. J. Goutsias, L. Vincent and D. S. Bloomberg (Editors). (2000) Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal, Springer. Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish).

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