SEGMENTACIÓN MORFOLÓGICA WATERSHED EN IMÁGENES MÉDICAS: MÉTODOS DE SELECCIÓN DE MARCADORES

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1 Doctor en Ingeniería con orientación Electrónica SEGMENTACIÓN MORFOLÓGICA WATERSHED EN IMÁGENES MÉDICAS: MÉTODOS DE SELECCIÓN DE MARCADORES Ing. Mariela Azul Gonzalez Director: Dra. Virginia Laura Ballarin Co-Director: Dra. Teresita Raquel Cuadrado. FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA CONICET

2 ÍNDICE GENERAL Resumen 1 Capitulo 1. Introducción Segmentación de imágenes médicas Métodos de segmentación y su aplicación a imágenes médicas Método de segmentación propuesto 1-8 Capitulo 2. Morfología Matemática Principios de la Morfología Matemática Operaciones Morfológicas aplicadas a imágenes binarias Erosión y dilatación Gradiente Morfológico Apertura y cerramiento Reconstrucción binaria Esqueleto y zonas de influencia Rellenado de Regiones Operaciones Morfológicas aplicadas a imágenes en niveles de gris Erosión y dilatación Gradiente Morfológico Apertura y cerramiento Filtros secuenciales Transformada Watershed Principios de la Transformada Watershed Formulación matemática de la Transformada Watershed Implementación de los algoritmos de inundación Segmentación de imágenes mediante la Transformada Watershed Watershed Iterativa 2-35

3 Capitulo 3. Materiales y métodos Materiales Obtención de una imagen gradiente adecuada para la Transformada Watershed Problemática en la obtención del gradiente Filtros Digitales Adaptivos Determinación manual de marcadores mediante morfología matemática Fundamentación Algoritmo propuesto Determinación semi-automática de marcadores mediante lógica difusa Sistemas de Inferencia Difusos Fundamentación Algoritmo propuesto Determinación automática de marcadores mediante clustering Clustering Fundamentación Algoritmo propuesto 3-23 Capitulo 4. Resultados Determinación de un gradiente basado en filtrado adaptivo Determinación manual de marcadores mediante morfología matemática Determinación semi-automática de marcadores mediante lógica difusa Determinación automática de marcadores mediante clustering Determinación del error y el costo computacional 4-20 Capitulo 5. Discusión 5-1 Capitulo 6. Conclusión 6-1 Capitulo 7. Referencias Bibliográficas 7-1

4 Resumen Las imágenes médicas poseen un alto contenido de textura y sus componentes presentan una gran variabilidad de formas y tamaños. Estas características evitan su correcto y eficiente procesamiento mediante métodos convencionales. Además los algoritmos específicos, desarrollados para su procesamiento en cada uno de los distintos campos de aplicación, son complejos y requieren una importante intervención del usuario para obtener los resultados esperados por el técnico especialista. La segmentación consiste en la partición de una imagen en sus regiones constitutivas. Este procedimiento se realiza para obtener la información que busca el observador experimentado. La Transformada Watershed es una herramienta morfológica que permite segmentar imágenes. Esta transformada se adapta a los diferentes tipos de imágenes siendo capaz de distinguir objetos sumamente complejos que no pueden ser procesados correctamente mediante algoritmos convencionales. El éxito de la Transformada Watershed depende fundamentalmente de la existencia de marcadores unívocos para cada uno de los objetos de interés y de un gradiente que permita la adecuada aplicación de los algoritmos de inundación. Los métodos estándar de obtención de marcadores son altamente específicos y determinan marcadores de manera efectiva pero no automática al procesar imágenes con alto contenido de textura. Por otro lado el gradiente de imágenes médicas posee en la mayoría de los casos bajo contraste y alto contenido de ruido resultando en imágenes gradiente con contornos difusos 1

5 que reducen la precisión de su procesamiento y favorecen la sobresegmentación. Esta tesis propone la utilización de técnicas de morfología matemática y reconocimiento de patrones para el desarrollo de algoritmos que permitan la eficiente aplicación de la Transformada Watershed para la segmentación imágenes médicas. Se desarrollaron tres algoritmos para la definición de marcadores de la TW basados en morfología matemática, lógica difusa y clustering. Como imágenes de prueba se utilizaron imágenes adquiridas mediante un microscopio debido a que presentan la mayor dificultad al segmentarlas. Para comprobar la validez de los métodos se analizaron muestras de arroz, polen, bacterias, microorganismos, nódulos linfáticos, materiales de corrosión y biopsias de médula ósea donde se requiere segmentar las trabéculas con fines de diagnóstico. Para el algoritmo basado en clustering, el error medido utilizando como referencia la segmentación del observador experimentado, resultó menor en comparación con los otros algoritmos propuestos. Los tiempos de procesamiento también resultaron significativamente menores. Del análisis de los resultados se concluye que el algoritmo basado en clustering puede ser aplicado de manera automática, simple y robusta. Los resultados de la segmentación fueron ampliamente satisfactorios tanto en imágenes de fácil procesamiento como en imágenes que no pueden ser procesadas mediante métodos convencionales. 2

6 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN Las imágenes médicas están compuestas por objetos con una amplia variabilidad de formas, tamaños, intensidades y textura. En general poseen una baja relación señal a ruido y bajo contraste. Estas propiedades tampoco son uniformes dentro del interior de los objetos dificultando aún más su correcta distinción. La adquisición de imágenes médicas se caracteriza también por requerir del ajuste de una gran cantidad de parámetros que deben ser establecidos por el especialista en cada tipo de estudio. La iluminación, la resolución y el contraste de las imágenes adquiridas mediante un microscopio son establecidos por el microscopista durante cada adquisición para obtener la mejor visualización posible. Aún para el observador experimentado la ubicación de los contornos de los diferentes tipos de muestras es compleja y posee una imprecisión inherente al corte histológico bajo estudio (Glasbey et al., 1994; Rodríguez, 2005). El objetivo de analizar este tipo de imágenes es diagnosticar enfermedades, prevenirlas y realizar el seguimiento de sus estadios y su respuesta a drogas específicas. Un patólogo necesita varios años de entrenamiento para reconocer células sanas y enfermas en cada uno de los distintos tipos y estadios de patologías y en cada diferente morfología de los diversos pacientes. Dado que cada especialista posee distintos criterios para clasificar las muestras, las decisiones finales poseen un alto contenido de vaguedad e incerteza. Por otro lado, en los métodos de diagnóstico por imágenes las intensidades de gris se corresponden con la detección directa o indirecta de diversos tipos 1-1

7 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN de ondas electromagnéticas que atraviesan los tejidos y son captadas por medio de sensores específicos. Por ejemplo, en las imágenes Radiográficas y de Tomografía Axial Computada (TAC) las intensidades representan la absorción de los Rayos X; en las imágenes de Resonancia Magnética Nuclear (RMN) las intensidades representan la variación del campo magnético de los átomos de hidrógeno, y por último, en las imágenes de Cámara Gamma y Tomografía por Emisión de Positrones (PET), las intensidades representan la radiación emitida por los órganos y tejidos durante el decaimiento de materiales radiactivos (Marshall et al., 2006). La variabilidad de estas imágenes se debe a los diferentes parámetros de adquisición, el alto contenido de ruido y textura que poseen, los diversos campos de estudio y los diversos tipos de patologías que se presentan (Krestel, 1990; Gonzalez et al., 2007). El reconocimiento automático y la cuantificación de los objetos biológicos dependen de la adaptación de los algoritmos de procesamiento digital a estas variaciones e incertezas. En consecuencia puede afirmarse que la tarea de analizar imágenes médicas es compleja y dificultosa tanto para los especialistas como para los métodos de análisis de Procesamiento Digital de Imágenes (PDI). Es por ello que los esfuerzos avocados al procesamiento y posterior cuantificación de estas imágenes surgen de una amplia variedad de aplicaciones Segmentación de imágenes médicas El Procesamiento Digital de Imágenes (PDI) se aplica con el fin de evitar la ambigüedad de los diferentes criterios utilizados por los especialistas y disminuir los tiempos de las evaluaciones. 1-2

8 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN En el PDI se pueden diferenciar cuatro etapas (González et al., 1996; Catleman et al., 1979; Facón, 1996). La primera es la adquisición de la imagen y su digitalización. Los valores de resolución espacial y niveles de gris establecidos en esta etapa son un compromiso entre la calidad de la imagen y el espacio de memoria que ocupa. Si bien algunas de las imágenes médicas procesadas en esta tesis son imágenes a color, éste no aporta información para distinguir los objetos de interés. Por ejemplo, las tinciones realizadas a las biopsias de médula ósea se realizan para aumentar el contraste entre los objetos de interés y los demás componentes de la imagen. El color depende de la sustancia utilizada para lograr este objetivo pero no aporta información al momento de la segmentación. Por lo tanto, en el desarrollo de esta tesis las imágenes a color se convierten a niveles de gris. La segunda etapa involucra la restauración y/o mejora de la imagen para aumentar la eficiencia de los algoritmos aplicados en los pasos posteriores. La tercera etapa (comúnmente denominada segmentación) consiste en la partición de la imagen en sus regiones constitutivas. Finalmente, la cuarta etapa consiste en la cuantificación y medición de parámetros de los objetos de interés. La segmentación es una de las tareas más complejas del PDI. La precisión de la segmentación condiciona la posterior cuantificación de los objetos de interés. En particular los resultados de la segmentación deben cumplir con ciertas condiciones: a) brindar resultados similares a los producidos por un observador experimentado al reconocer los objetos de interés, b) las regiones constitutivas deben formar la imagen completa y no deben superponerse entre si, c) a cada objeto le debe corresponder una y sólo una región, d) las regiones deben ser simples y sin huecos, e) las regiones adyacentes deben tener 1-3

9 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN valores significativamente diferentes respecto a las características sobre los cuales ellas son uniformes, f) los contornos de cada segmento deben ser simples, no discontinuos (curva cerrada), g) los algoritmos deben ser automáticos requiriendo una mínima intervención del usuario y h) deben poseer un bajo costo computacional (Dougherty et al., 1994; Glasbey et al., 1994). Debido a la complejidad de las imágenes médicas estas características son difíciles de lograr obteniendo sólo buenas aproximaciones en la mayoría de los casos. En general, para lograr una segmentación satisfactoria se recurre a la intervención minuciosa de un observador experimentado, requiriendo gran tiempo y esfuerzo por parte del mismo. Este tipo de procedimiento es denominado comúnmente segmentación manual. En este caso el observador debe establecer un gran número de parámetros y opciones, dificultando la utilización del algoritmo por parte del usuario inexperto. Por este motivo el desarrollo de métodos de segmentación que sean independientes de la intervención del usuario contribuye sustancialmente al mejoramiento del procesamiento de imágenes médicas. Estos métodos se denominan automáticos y el objetivo fundamental es facilitar el uso rutinario por parte del usuario entrenado y no entrenado, evitando disparidad de criterios. Sin embargo la presencia de ruido, los cambios graduales de intensidad o la similitud de intensidades entre diferentes estructuras anatómicas provoca que esta tarea no resulte sencilla, siendo muchas veces imposible. Por lo tanto, la alternativa más utilizada es la segmentación semi-automática donde se requiere una intervención mínima por parte del experto. Usualmente, en este caso se le presenta al usuario experimentado en forma automática una primera 1-4

10 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN segmentación y se le permite mejorar la exactitud de la misma modificando los parámetros del algoritmo si la segmentación presentada no es la esperada Métodos de segmentación y su aplicación a imágenes médicas Los algoritmos de segmentación se basan generalmente en la similitud y discontinuidad de las intensidades de los píxeles. Uno de los algoritmos basados en similitud más utilizados es el umbralado a partir de los niveles de gris (Gonzalez et al., 1996). Este algoritmo es de simple programación y rápida ejecución. El umbral se puede aplicar a la intensidad de gris ó a otra propiedad del píxel. Los métodos globales de umbralado fallan en imágenes médicas debido a que en la mayoría de los casos éstas poseen una iluminación que varia espacialmente. Los métodos automáticos de umbralado global como por ejemplo el método del triángulo o de isodata sólo son efectivos en la medida que los espectros de las intensidades de gris determinados a partir del histograma se puedan distinguir y discriminar fácilmente existiendo poca superposición entre ellos, es decir que sean bimodales (Castleman et al., 1979). En consecuencia, el umbralado global de la imagen sólo es de utilidad en la segmentación de objetos homogéneos en un fondo de intensidad constante. El umbralado local busca evitar estos impedimentos pudiendo ser aplicado en imágenes con histogramas unimodales. En este caso se genera una superficie de umbralado donde cada píxel tiene asignado un umbral propio basado en características de las intensidades del píxel y de su entorno. La baja relación señal a ruido y el bajo contraste de las imágenes médicas hace que la aplicación de métodos automáticos de umbralado local no resulte en segmentaciones satisfactorias 1-5

11 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN (Gonzalez et al., 1996; Otsu, 1979). Los métodos manuales de umbralado requieren la obtención del umbral de manera heurística. Cuando se desea umbralar un conjunto de imágenes adquiridas de diferente manera generalmente se debe elegir un umbral diferente para cada una de las mismas, lo que sucede comúnmente con las imágenes adquiridas mediante un microscopio. En consecuencia, si el número de imágenes es significativo no se puede aplicar esta técnica de segmentación. Otra técnica basada en la similitud de los píxeles es el crecimiento de regiones por agregación de píxeles. Este algoritmo comienza con puntos denominados semillas o marcadores y a ellos se les unen sus vecinos si comparten ciertas propiedades (nivel de gris, textura, color, etc.). Las propiedades que se eligen para caracterizar la imagen deben poder discriminar los objetos de interés; no deben tener correlación entre si para evitar redundancias y deben ser robustas, es decir, identificar los objetos frente a una amplia variación en sus características o por lo menos en el rango de variación propio de los mismos. Es aconsejable elegir un número pequeño de propiedades para evitar incrementar la complejidad de los algoritmos y aumentar su tiempo de ejecución. La gran variabilidad de las imágenes médicas impide encontrar propiedades uniformes de los píxeles pertenecientes a un mismo objeto evitando la aplicación de este tipo de algoritmos (González et al., 1996; Catleman et al., 1979). También existen otros algoritmos basados en la similitud de los píxeles. Por ejemplo, los modelos deformables de crecimiento de regiones y contornos activos. Estos algoritmos, además de requerir una compleja implementación y ajuste de parámetros, poseen un alto costo computacional. Las imágenes 1-6

12 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN médicas poseen una alta resolución espacial evitando la aplicación de estos métodos (Dougherty et al., 1994; Facón, 1996). Otros métodos ampliamente utilizados son los algoritmos de agrupamiento de regiones (region merginig). Los mismos solo son efectivos si las regiones poseen indicadores de valores similares (intensidad, parámetros estadísticos, forma, tamaño, etc.) (Facón, 1996). El alto contenido de textura de las imágenes médicas impide obtener indicadores con dichas características, por lo que estos métodos no producen resultados satisfactorios. Los métodos de detección de bordes forman parte de los algoritmos de segmentación basados en la discontinuidad de los píxeles. Estos algoritmos utilizan imágenes gradiente para reconocer los contornos de los objetos de interés y usualmente no producen resultados similares a los que genera el observador experimentado. El ruido y la textura producen contornos de mayor intensidad que los contornos reales de los objetos, evitando la correcta umbralación del gradiente para segmentar los contornos buscados. Su detección mediante métodos automáticos de seguimiento de contornos depende de que los mismos posean características similares. Como se mencionó anteriormente, esto no sucede en las imágenes médicas. En la segmentación de imágenes médicas, la utilización de algoritmos basados en similitud o basados en discontinuidad, producen contornos discontinuos en el fondo y también dentro los objetos (Dougherty et al., 1994). En el Capítulo 3 se analizan en profundidad estos algoritmos a fin de justificar porque se los desestimó para esta tesis. Según lo expresado anteriormente puede afirmarse que los métodos lineales convencionales que son precisos en imágenes con alto contenido de 1-7

13 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN textura tienen la desventaja de ser complejos, poco automáticos y poseer un alto costo computacional. Por otro lado, desde hace ya varios años se estudia la aplicación de una teoría basada en el álgebra de conjuntos denominada morfología matemática con muy buenos resultados y un costo computacional mínimo convirtiéndose en una herramienta de gran ayuda en imágenes médicas (Serra, 1992). De esta teoría surge un poderoso detector de contornos denominado Transformada Watershed con numerosas aplicaciones exitosas en problemas hasta ahora no resueltos (Vincent et al., 1991). La eficiencia de la TW reside en que, a diferencia de los métodos convencionales, la agrupación de píxeles se hace en base a su similitud y discontinuidad simultáneamente. Esta herramienta es fácilmente adaptable a diferentes tipos de imágenes siendo capaz de distinguir objetos sumamente complejos que no pueden ser procesados correctamente mediante algoritmos convencionales. Las características mencionadas hacen pensar que su aplicación en imágenes médicas sería exitosa. En consecuencia esta tesis propone la utilización de esta herramienta con el objeto de lograr una correcta segmentación Método de segmentación propuesto El éxito de la TW depende fundamentalmente de la existencia de marcadores unívocos para cada uno de los objetos de interés y de un gradiente que permita la adecuada aplicación de los algoritmos de inundación. Los métodos estándar de obtención de marcadores son altamente específicos, poseen un elevado costo computacional y determinan marcadores de manera efectiva pero no automática al procesar imágenes con alto contenido de textura (Fenandiere et al., 1997; Katz, 2003; Hai et al., 2004; Grau 1-8

14 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN et al., 2004; Nagaraja, 2006). Por otro lado el gradiente de imágenes médicas posee bajo contraste y alto contenido de ruido resultando en imágenes gradiente con contornos difusos que reducen la precisión de la segmentación y favorecen la sobresegmentación (Hansen et al., 1999; Van Dr Ville et al., 2003). La textura de las imágenes médicas debe ser analizada con el objeto de caracterizar los objetos de una manera que permita su correcta distinción. La textura depende tanto del nivel de gris como de la distribución espacial de estos niveles. Las matrices de co-ocurrencia son de uso común en el análisis de dicha distribución (Gonzalez et al., 1996; Dougherty et al., 1994). También son ampliamente utilizados los métodos basados en la granulometría en niveles de gris. Sin embargo, aunque estos últimos caracterizan la textura de los objetos, disminuyen la precisión en la ubicación espacial de los objetos. Esta tesis también propone desarrollar algoritmos que utilicen las matrices de co-ocurrencia para determinar indicadores de textura que permitan distinguir los objetos de interés. En resumen, el objetivo de esta tesis es la utilización de técnicas de morfología matemática y reconocimiento de patrones para el desarrollo de algoritmos que permitan la eficiente aplicación de la TW para la segmentación imágenes médicas. 1-9

15 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA CAPITULO 2 MORFOLOGÍA MATEMÁTICA En este capitulo se presentan los fundamentos, los operadores y las aplicación de la morfología matemática. La sección 1 inicia el capitulo con los principios generales de la morfología matemática. Las secciones 2 y 3 definen formalmente los operadores morfológicos básicos y además muestran las aplicaciones de los mismos. Finalmente la sección 4 detalla la herramienta morfológica Transformada Watershed, la cual es ampliamente estudiada y aplicada en la presente tesis Principios de la Morfología Matemática El cerebro es capaz de reconocer fácilmente los diferentes objetos que componen una imagen. Sin embargo, debido las características complejas de las imágenes médicas, esta tarea resulta laboriosa y muchas veces imposible para los algoritmos clásicos del PDI. La Morfología Matemática presenta un enfoque no convencional que permite obtener resultados satisfactorios desde la Teoría de Conjuntos. La morfología matemática permite responder a dos grandes interrogantes: Cómo se describe una imagen a partir de la geometría de las formas de los objetos que la componen? Qué ayuda puede brindar la morfología matemática para automatizar la cuantificación manual que realiza el experto? 2-1

16 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La palabra morfología tiene su origen a partir de dos palabras griegas: morphe (forma) y logos (ciencia). La morfología trata acerca de las formas que la materia puede tomar. En particular, la morfología matemática estudia las estructuras geométricas de los componentes de las imágenes. Mediante operaciones no lineales se extraen características relativas a la geometría y a la topología de los componentes de las imágenes. Esta teoría permite analizar la forma, tamaño, orientación y superposición de los objetos que componen las imágenes. Las diversas anatomías presentes en las imágenes médicas hacen que el análisis de estructuras inherentes, que posibilita la morfología matemática, sea de gran utilidad. Existe una gran diversidad de aplicaciones médicas donde la morfología matemática resultó una técnica exitosa. Entre ellas pueden mencionarse: la corrosión de metales (Peijun et al., 2004; Shuanhu et al., 2003; Gonzalez et al., 2006), fallas de materiales (Gonzalez et al., 2006), procesos inflamatorios y desgaste presentes en imágenes de huesos y prótesis médicas (Pastore et al., 2005; Pastore et al., 2007), el estudio de cortes histológicos pertenecientes a biopsias de medula ósea (Pastore et al., 2005; Gonzalez et al., 2006), músculos y otros órganos con fines de diagnóstico y seguimiento de diversas patologías (Pastore et al., 2004), detección de células cancerosas (Mancas et al., 2003) y segmentación de imágenes de microarreglos de ADN (Shuanhu Wu et al., 2003) y de geles resultado de electroforesis (Garcia et al., 2005). La morfología matemática permite procesar imágenes con objetivos de realce, segmentación, detección de bordes, esqueletización, afinamiento, rellenado de regiones, engrosamiento, análisis de formas, etc. 2-2

17 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La morfología matemática se fundamenta en las operaciones de la teoría de conjuntos. Las bases teóricas de la morfología matemática se deben al científico alemán nacido en Rusia, Hermann Minkowski ( ). Minkowski propuso sumar conjuntos que representan diversas formas (Serra, 1992). La suma de Minkowski apareció en el año de 1903 de la siguiente manera: siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, sobre cuyos elementos esté bien definida la operación binaria suma (+), el conjunto de la suma de las dos formas A y B, contiene todos los elementos que resultan de sumar cada uno de los elementos del conjunto A con todos y cada uno de los elementos del conjunto B. A+B = {x=a+b, con a elemento de A y b elemento de B} La resta de Minkowski se define como la operación dual de la suma de Minkowski. A-B = {el conjunto de todas las x tales que x+b es elemento de A, para todo elemento de B} La aplicación de la morfología matemática a imágenes ha sido ampliamente desarrollada por Georges Matheron y Jean Serra a mediados de los 60 (Serra, 1992). Estos autores definieron operaciones morfológicas basadas en la suma y resta de Minkowski. Las operaciones morfológicas se aplican tanto a imágenes binarias como a imágenes en niveles de gris. El elemento estructurante se define como un conjunto que se caracteriza por su forma y tamaño. Este elemento recorre la imagen y a través de operaciones basadas en el álgebra de conjuntos compara si está contenido o no dentro de la imagen. La potencialidad de la morfología matemática reside en 2-3

18 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA la elección de la forma y tamaño del elemento estructurante según la información que se desee obtener de la imagen (Facon, 1996), ya que posibilitan evaluar y cuantificar en que medida se encuentra contenido (o no) dentro de la imagen, es decir, las operaciones algebraicas aplicadas cuantifican el parecido de los componentes de la imagen con el elemento estructurante elegido. En base a este elemento se definen diversas operaciones de conjuntos según sea el tipo de imagen que se desea procesar (binaria o en niveles de gris). La morfología matemática aplicada a imágenes en niveles de gris es la extensión de la morfología binaria (Facon, 1996). Se diferencia con ésta última por los elementos estructurantes que utiliza, en el caso de la morfológica en niveles de gris estos pueden ser planos o en tres dimensiones Operaciones morfológicas aplicadas a imágenes binarias Erosión y dilatación La morfología binaria se define a partir de dos operaciones básicas denominadas erosión y dilatación. Estas operaciones comparan los subconjuntos dentro de la imagen binaria con el elemento estructurante. Este elemento es bidimensional y puede tener distintas formas, como por ejemplo, forma de disco, cuadrado, rectángulo, lineal, etc. La forma y tamaño del elemento estructurante son elegidos dependiendo del tipo de análisis que se desee realizar y de la forma de los objetos que componen las imágenes. El elemento estructurante es trasladado recorriendo de esta manera la imagen completa. El resultado es una nueva imagen binaria que contiene el resultado de dicha comparación. 2-4

19 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La erosión del conjunto A por el elemento estructurante Bx () Rn se define como: { : ( ) } AΘ B = x B x A siendo B( x) = { b + x : b B} (2.1) El resultado de la erosión es uno si el elemento estructurante queda incluido dentro del subconjunto de la imagen binaria analizado y es cero cuando no esta incluido en el subconjunto. La figura 2.1 muestra la erosión de un conjunto con forma de T utilizando un elemento estructurante lineal con orientación horizontal de tamaño 1x2 (Filas x Columnas). Cada cuadrado en la figura representa un píxel. Como se puede observar los subconjuntos con la misma forma y dirección que el elemento estructurante se conservan mientras que los subconjuntos de menor tamaño que el elemento estructurante desaparecen. A manera de presentar un ejemplo de aplicación más real se realiza una erosión (Fig. 2.3 b) con un elemento estructurante cuadrado de 3x3 a una imagen binaria de una muestra de polen (Fig. 2.3 a). Al erosionar la imagen los componentes pequeños desaparecen permaneciendo los componentes de igual forma y mayor tamaño que el elemento estructurante. Además al erosionar la imagen binaria los huecos dentro de los subconjuntos de la imagen binaria se agrandan. Fig Erosión morfológica de una imagen binaria 2-5

20 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Asimismo, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, se define la dilatación (Ec. 2) de A por B(x) como: { ( ) } A B = x B x A (2.2) En la dilatación se asigna un valor igual a uno si existe al menos un píxel de intersección entre el subconjunto de la imagen original y el elemento estructurante desplazado y un valor igual a cero cuando la intersección es vacía. La figura 2.2 muestra el resultado de dilatar una imagen con un elemento estructurante lineal con orientación horizontal de tamaño 1x2. El resultado es el engrosamiento de la imagen debido a que, con un solo píxel de coincidencia entre el subconjunto binario y el elemento estructurante desplazado, el resultado de la dilatación es igual a uno. En la figura 2.3-c se muestra el resultado de dilatar una imagen binaria de polen con un objeto estructurante cuadrado de tamaño 3x3. En esta figura se puede observar como al dilatar la imagen los objetos aumentan de tamaño, los objetos adyacentes se unen si se encuentran cercanos e incluidos por el elemento estructurante aplicado y los huecos dentro de los objetos se cierran, desapareciendo. A partir de combinaciones de estas dos operaciones básicas pueden definirse las otras operaciones morfológicas. Fig Dilatación morfológica de una imagen binaria 2-6

21 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Gradiente Morfológico Formalmente, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, el gradiente morfológico interno de A por B(x) está dado por: Gradiente Morfológico Interno = A ( AΘB ) (2.3) Mediante esta operación morfológica se obtiene el borde interior de los objetos. La figura 2.4 muestra la detección de los bordes internos del conjunto A mediante el elemento estructurante B resultando en el gradiente externo F(A). a) b) c) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Imagen erosionada con un elemento estructurante cuadrado, c) Imagen dilatada con un elemento estructurante cuadrado Fig Detección de bordes internos 2-7

22 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA De manera análoga, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, se define el gradiente morfológico externo de A por B(x) como: Gradiente Morfológico Externo = ( A B) A (2.4) A través del gradiente morfológico externo se obtiene el borde exterior de los subconjuntos binarios de la imagen original (Ec. 2.4). También se define el gradiente morfológico generalizado el cuál es ampliamente utilizado. Se obtiene como la resta entre el resultado de la dilatación y de la erosión. Formalmente, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, se define el gradiente morfológico generalizado de A por B(x) como: Gradiente Morfológico = ( A B) ( AΘB ) (2.5) En comparación con los gradientes en externos e internos, el gradiente morfológico generalizado tiene la ventaja de dar como resultado contornos más anchos y siempre continuos. La figura 2.5 muestra la imagen resultado de obtener el gradiente morfológico de la imagen binaria de polen. Estos tres gradientes morfológicos brindan resultados similares. En comparación con los gradientes lineales convencionales, los gradientes morfológicos son significativamente menos sensibles al ruido y permiten su aplicación a imágenes complejas obteniendo resultados sumamente satisfactorios. Los gradientes morfológicos analizan todas las direcciones de variación del gradiente en una misma operación facilitando su obtención. Otra ventaja importante es su bajo costo computacional debido a que su determinación consiste en sencillas operaciones lógicas. 2-8

23 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA a) b) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Gradiente morfológico generalizado de la imagen original Apertura y cerramiento La apertura consiste en la dilatación de la erosión de la imagen original (Ec. 6) (Gonzalez et al., 1996). Esta operación suaviza los contornos de los objetos eliminando pequeñas protuberancias y conexiones entre objetos de menor tamaño que el elemento estructurante. Además mantiene en gran medida el tamaño original de los objetos debido a la erosión final. Formalmente, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, se define la apertura de A por B(x) como: Apertura = A B = ( AΘB ) B (2.6) En la figura 2.6 se muestra la apertura del conjunto A por un elemento estructurante cuadrado B de tamaño 3x3. En dicha imagen se pueden apreciar las propiedades de la apertura. La. 2.8-b) muestra la aplicación de la apertura a la imagen de polen binaria. De manera análoga, dados dos conjuntos A, Bx () Rn, se define el cerramiento de A por B(x) como: Cerramiento = A B = ( A B) ΘB (2.7) 2-9

24 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Fig Aplicación de la operación de apertura El cerramiento consiste en la erosión de la dilatación de la imagen original (Gonzalez et al., 1996). Esta operación une objetos adyacentes cercanos cuya distancia sea menor que el tamaño del elemento estructurante, rellena pequeños espacios dentro de los objetos, elimina ruido mediante la erosión y recompone el tamaño original de los objetos mediante la dilatación. Al igual que la apertura el resultado es una imagen binaria con contornos más suaves. En la figura 2.7 se pueden apreciar las propiedades del cerramiento del conjunto A por el elemento estructurante B. La figura 2.8-c muestra la aplicación del cerramiento a la imagen de polen binaria. Fig Aplicación de la operación cerramiento 2-10

25 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA a) b) c) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Apertura de la imagen original c) Cerramiento de la imagen original. Ambas operaciones aplicadas utilizando un elemento estructurante de tres por tres cuadrado Reconstrucción Binaria La reconstrucción binaria dilata conjuntos pequeños incluidos en los componentes de la imagen original denominados marcadores. La reconstrucción binaria permite seleccionar de la imagen original que actúa como máscara los objetos marcados por los conjuntos incluidos en ellos y mostrarlos en una nueva imagen binaria con su tamaño y forma original. Dado un conjunto A que actúa como máscara, un elemento estructurante B y un conjunto marcador M, la reconstrucción binaria (Ec. 9) se define a partir de la dilatación condicional (Ec. 8) como: A B ( c M ) = ( M B ) A (2.8) ρa( M) = lim( A Bc( A Bc( A Bc...( M)))) n nveces (2.9) La dilatación condicional, A B ( M ), consiste en dilatar los subconjuntos c de la imagen marcador, M, siempre y cuando el resu ltado de la dilatación este contenida en la imagen que actúa como máscara, A. La dilatación condicional 2-11

26 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA cumple con la propiedad de idempotencia 1 debido a que esta operación se aplica sucesivamente hasta que no se observen cambios en la imagen. Una vez que la imagen no presenta cambios se obtiene la reconstrucción de la imagen, ρ ( M A ). En la figura 2.9 se muestra el resultado de la aplicación de la reconstrucción binaria a partir una imagen con marcadores obtenida erosiona ndo la imagen binaria original. En el resultado de la reconstrucción aparecen sólo los objetos marcados conservando su forma y tamaño original Esqueleto y zonas de influencia El esqueleto de una imagen binaria está compuesto por todos los píxeles de los objetos que tienen una distancia máxima con la frontera (Gonzalez et al., 1996). Si suponemos que la frontera del objeto se prende fuego, el esqueleto está formado por los puntos del objeto que más tardarán en apagarse. El esqueleto de un cuadrado está formado por sus diagonales y en el caso de un círculo el esqueleto es solamente el píxel central. a) b) c) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Marcadores, c) Reconstrucción de los elementos de la imagen binari a a partir de los marcadores elegidos 1 Se define una operación F(X) como idempotente cuando F(F(x)) = F(x). 2-12

27 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La figura 2.10 muestra el esqueleto de la imagen de una letra Y. Como se puede apreciar el esqueleto posee una distancia máxima con el contorno del objeto. El mismo esta compuesto por los ejes centrales de la figura y por las diagonales de los cuadrados que se encuentran al final de los ejes. El esqueleto de un conjunto A se define en términos de erosiones y aperturas (Gonzalez et al., 1996). La formulación matemática que permite determinar el esqueleto S(A) del conjunto A es: K SA ( ) = SK( A) k= 0 (2.10) donde S K se define de la siguiente manera: K {( ) ( k=0 ) B } SK ( A) = AΘkB AΘkB (2.11) siendo B el elemento estructurante y ( AΘ kb) = ((...( AΘB) ΘB) Θ...) ΘB { ( ) } K = Max k AΘkB (2.12) (2.13) Fig Esqueleto de la letra Y 2-13

28 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA El esqueleto de A, S(A)(Ec. 2.10), se puede obtener mediante la unión de subconjuntos con esqueletos parciales, S k (A)(Ec. 2.11). Estos esqueletos parciales (Ec. 2.11) se obtienen mediante la unión de las restas en cada iteración k (Ec. 2.12), con k=0,1,,k, donde K es el tamaño del mayor elemento estructurante para el cual la erosión no es un conjunto vacío (Ec. 2.13). Estos esqueletos parciales resultan de restar el resultado de erosionar A a la apertura de esta erosión (Ec. 2.11). Es decir, para un tamaño máximo de elemento estructurante K+1 el resultado de la erosión es un conjunto vacío. Se puede demostrar que la imagen original se puede reconstruir a partir de estos subconjuntos formados por esqueletos parciales. La figura 2.11 muestra los esqueletos parciales determinados en cada iteración. S 0 es el esqueleto parcial en la iteración inicial y se corresponde con la imagen original. El esqueleto parcial para k=1, S 1, esta formado por la unión de una sola resta (AΘB)- ((AΘB) B). El esqueleto parcial para k=2, S 2, esta formado por la unión de dos restas, (AΘB)- ((AΘB) B) U ((AΘB)ΘB- ((AΘB)ΘB B)). Una vez obtenidos los esqueletos parciales se realiza la unión de ellos para obtener el esqueleto completo. Si se calcula el esqueleto de la imagen binaria invertida se obtienen las zonas de influencia de los componentes de las imágenes, es decir el esqueleto del fondo. Las zonas de influencia de un objeto binario, SKIZ, son los píxeles del fondo que se encuentran más cerca de ese objeto en comparación con los otros componentes de la imagen. Este esqueleto se denomina esqueleto por zonas de influencia. La determinación del esqueleto y las zonas de influencia para la imagen binaria de la muestra de polen se observan en la figura

29 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Fig Determinación del esqueleto. Visualización de los resultados de cada iteración a) b) c) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Imagen original en conjunto con su esqueleto morfológico, c) Imagen original en conjunto con su esqueleto por zonas de influencia 2-15

30 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Rellenado de regiones El rellenado de regiones consiste en completar el interior de los objetos de las imágenes (Gonzalez et al., 1996). Para realizar esta operación se utilizan operadores morfológicos ( dilataciones) y operaciones de conjuntos (complementos e intersecciones). El rellenado de regiones se define de la siguiente manera: Sea A un conjunto que contiene objetos con un contorno continuo, se comienza a partir de un punto p dentro de cada objeto y se procede a rellenar el interior del objeto mediante dilataciones condicionales hasta que la imagen no presente cambios. X =p 0 (2.14) X k = ( X B) A k 1 c (2.15) En la iteración k=0, el nuevo conjunto X es X o =p (Ec. 2.14), luego se dilata condicionalmente este conjunto de manera sucesiva para k=1,2,3 obteniendo en cada paso un conjunto de mayor tamaño, X k (Ec. 2.15). La dilatación condicionada en la iteración k, X, se realiza mediante la intersección del conjunto X k-1 k con el conjunto original A complementado, A c (Ec. 2.15). De esta manera la dilatación nunca excede el borde del objeto original. Cuando el resultado de las dilataciones condicionadas no cambia, es decir alcanzó la idempotencia, el objeto ya esta completo en su interior. La figura 2.13 muestra el rellenado de regiones de la imagen binaria A utilizando un elemento estructurante B de tipo cruz de 3x3. El rellenado de huecos en los objetos de la imagen binaria de la muestra de polen se la puede apreciar en la figura

31 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Fig Visualización del rellenado de regiones para cada iteración k a) b) Fig a) Imagen binaria original de una muestra de polen, b) Rellenado de regiones de la imagen original 2-3. Operaciones morfológicas aplicadas a imágenes en niveles de gris Erosión y dilatación Al igual que la morfología matemática para imágenes binarias, las operaciones morfológicas para niveles de gris se definen a partir las operaciones de erosión y dilatación. 2-17

32 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Cuando se aplican las operaciones morfológicas a imágenes en niveles de gris el elemento estructurante; además de poder adquirir diferentes tamaños y formas bidimensionales como en el caso de las imágenes binarias; puede ser tridimensional, es decir, se caracteriza por un volumen que representa una figura. El cono, los discos, las esferas, los cubos y los cilindros son algunos elementos estructurales tridimensionales utilizados comúnmente. Cuando el elemento estructurante es bidimensional se comparan los niveles de gris de la imagen original que quedan comprendidos en el entorno delimitado por la forma y tamaño del elemento estructurante. En cambio, cuando el elemento estructurante es tridimensional se compara píxel a píxel la relación entre los niveles de gris correspondientes en la imagen original y los niveles de gris correspondientes al elemento estructurante tridimensional. En este caso las operaciones se determinan basándose en ambos conjuntos de niveles de gris y no solamente en las intensidades de la imagen original como en el caso de la utilización de objetos estructurantes bidimensionales. El elemento estructurante es desplazado por toda la imagen obteniendo de esta manera una nueva imagen en niveles de gris. Dados una imagen f (x,y) con un dominio D f y un elemento estructurante B(x,y) con un dominio D B se define la erosión de f por B como: { f B} fθ B(,) s t = Min f( s+ x, t + y) B(,)( x y s+ x),( t + y) D;(,) x y D (2.16) Para cada píxel de la imagen, la operación erosión se define como la diferencia mínima entre las intensidades del elemento estructurante desplazado y las intensidades correspondientes de la imagen original (Ec. 2.16). 2-18

33 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La figura 2.15 muestra la operación erosión aplicada a una sola dimensión de la imagen. Se muestra las intensidades correspondientes a una fila de la imagen en niveles de gris, f(x). El elemento estructurante B(X) recorre las intensidades de la imagen para determinar la mínima diferencia entre las intensidades de la fila y las del intensidades correspondientes del elemento estructurante desplazado. La erosión (Fig b) acentúa pequeñas zonas oscuras, debido a que toma la mínima diferencia obtenida comparando la imagen original con el elemento estructurante. Dadas una imagen f (x,y) con un dominio D f y un elemento estructurante B(x,y) con un dominio D B se define la dilatación de f por B como: { f B} f B( s, t) = Max f( s x, t y) + B( x, y)( s x) D;( x, y) D (2.17) La dilatación de cada píxel de la imagen se define como la suma máxima encontrada sumando las intensidades del subconjunto de la imagen original con las intensidades correspondientes del elemento estructurante (Ec. 2.17). Fig Aplicac ión de la erosión a un perfil de intensidades de una imagen en niveles de gris 2-19

34 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA La dilatación acentúa las zonas pequeñas y claras, debido a que toma la suma máxima obtenida comparando la imagen original con el elemento estructurante. La figura 2.16 muestra la dilatación utilizando un elemento estructurante circular en un perfil de intensidades correspondiente a una imagen en niveles de gris. La figura 2.17 muestra la dilatación utilizando un elemento estructurante bidimensional con forma de disco de radio igual a 3. Fig Aplicación dilatación al perfil de intensidades de una imagen en niveles de gris b) a) c) Fig a) Imagen original de una muestra de polen en niveles de gris, b) Erosión de la imagen original con un elemento estructurante con forma de disco y tamaño 3x3, c) Dilatación de la imagen original con un elemento estructurante con forma de disco y tamaño 3x3 2-20

35 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Gradiente Morfológico El gradiente morfológico en niveles de gris se define a partir de la erosión y de la dilatación al igual que para las imágenes binarias (Ecs. 2.3, 2.4 y 2.5). Tiene el objetivo de extraer los bordes de los objetos. En la figura 2.18 b se muestra el gradiente morfológico aplicado a una imagen de polen en niveles de gris Apertura y cerramiento La apertura y el cerramiento también tienen comportamientos similares a las operaciones correspondientes en la morfología binaria (Ecs. 2.6 y 2.7) (Gonzalez et al., 1996). La figura 2.19 muestra la apertura y cerramiento de intensidades correspondientes a la fila de una imagen en niveles de gris, f. La apertura elimina objetos claros de menor tamaño que el objeto estructurante y el cerramiento elimina objetos oscuros de menor tamaño que el objetos estructurante (figura 2.20-b y 2.20-c). a) b) Fig a) Imagen original de una muestra de polen en niveles de gris, b) Gradiente morfológico de la imagen original 2-21

36 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Fig Apertura y cerramiento de las intensidades de gris de las filas de una imagen utilizando un elemento estructurante circular. a) la imagen original, b) el elemento estructurante, c) apertura resultado, d) el elemento estructurante y e) cerramiento resultado a) b) c) Fig a) Imagen original de una muestra de polen en niveles de gris, b) Apertura de la imagen original, c) Cerramiento de la imagen original 2-22

37 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA Filtros Secuenciales La aplicación de filtros secuenciales es de gran utilidad. Los filtros secuenciales tienen la potencialidad de filtrar componentes irrelevantes de pequeño tamaño sin afectar en gran medida la forma y tamaño original de los demás objetos. La Ec muestra la definición matemática de estos filtros basándose en la apertura y el cerramiento. Filtros Secuenciales = ( A B ) B i i i (2.18) donde B son elementos estructurantes crecientes i Esta operación consiste en la aplicación de la apertura y el cerramiento de manera secuencial con elementos estructurantes de tamaño creciente y se denomina comúnmente filtros secuenciales. En la figura 2.21 se puede observar el resultado de aplicar la secuencia apertura-cerramiento tres veces con un elemento estructurante de 3x3 tipo cruz. Se puede apreciar en ella el suavizado de la imagen mediante la eliminación de ruido sin afectar significativamente los componentes relevantes de la imagen. a) b) Fig a) Imagen original de una muestra de polen en niveles de gris, b) Filtros secuenciales aplicados a la imagen original 2-23

38 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA 2-4. Transformada Watershed Principios de la Transformada Watershed La Transformada Watershed es una herramienta morfológica sumamente poderosa que permite descubrir contornos complejos pertenecientes a los componentes de las imágenes. A diferencia de los métodos convencionales de segmentación, la TW se basa tanto en la similitud como en la discontinuidad de los niveles de gris para distinguir los objetos de interés. La TW es un método de PDI basado en regiones. Este método clasifica los píxeles según su proximidad espacial, el gradiente de sus niveles de gris y la homogeneidad de sus texturas. Estas características de la transformada permiten obtener resultados exitosos similares a los esperados por el experto en cada tipo de imágenes. Las técnicas convencionales de segmentación se basan solamente en la similitud o en la discontinuidad de los niveles de gris. Sin embargo las imágenes difusas y de gran variabilidad de formas y texturas como son las imágenes médicas requieren un análisis simultaneo de la similitud y discontinuidad de los niveles de gris. Es por ello que la efectividad de la TW reside en que es un algoritmo de detección de contornos y de crecimiento de regiones al mismo tiempo (Li, Xiao et al., 2004; Soille, 2002). Para comprender esta transformada se realiza una analogía que resulta de gran utilidad, considérese una imagen en escala de gris que representa la imagen topográfica de un relieve terrestre. Las intensidades de gris de mayor amplitud se corresponden con llanuras o montañas mientras que las intensidades de menor valor se corresponden con valles y ríos. En base a estas características de las imágenes se define la técnica denominada Watershed que, mediante la inundación de los valles y ríos, es capaz de 2-24

39 Capítulo 2 MOROFLOGÍA MATEMÁTICA reconocer los contornos de zonas topográficas similares, rodeadas por cadenas montañosas. Los huecos del relieve topográfico comúnmente se denominan vasijas de retención o basins debido a que son los sectores que acumularán el agua para sumergir la topografía y reconocer los contornos de interés. La TW se implementa utilizando como punto de partida dos tipos de algoritmos: Los Waterfall y los basados en la inundación de la topografía. Los algoritmos denominados Waterfall consisten en suponer que cae agua desde arriba proveniente desde la posición cada píxel de la imagen (Facon, 1996). El agua de lluvia o proveniente del deshielo recorre la montaña pendiente abajo hasta llegar a los ríos inundando los valles. Esta es la situación que se desea mimificar para llenar las basins, que serán inicialmente los mínimos regionales de la topografía. En estos puntos el agua no tiene dirección posible hacia abajo quedando estancada. El camino tridimensional descendiente más corto es el que tomaría el agua naturalmente. Por lo que el algoritmo Waterfall cada píxel llena la basin (mínimo regional) hacia la cual el camino a realizar por el agua pendiente a bajo es el más corto. Al finalizar el algoritmo cada píxel tiene asignada una basin (mínimo regional) a la cual pertenece. Este etiquetado permite diferenciar los diferentes componentes de las imágenes. Las líneas Watershed están formadas por los contornos de las regiones etiquetadas. Este procedimiento se realiza una sola vez, convirtiendo a este algoritmo en no iterativo. Sin embargo, para cada píxel es necesario determinar todos los caminos posibles hacia los mínimos regionales dentro del relieve tridimensional, lo que incrementa significativamente el costo computacional de la TW. Como se mencionó, los conjuntos de imágenes médicas poseen una 2-25