Una Generalización del Teorema Fundamental del Homomor smo: El Caso de los Grupos y los Anillos

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1 Una Generalización del Teorema Fundamental del Homomor smo: El Caso de los Grupos y los Anillos Daniel Buitrago danielbuitrago1@yahoo.com Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemático Directora: Jenny Carvajal Caminos Matemática Universidad Nacional de Colombia Fundación Universitaria Konrad Lorenz Facultad de Matemáticas e Ingenierías Bogotá, 1 de diciembre de 2010

2 Agradecimientos Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que contribuyeron a mi formación a nivel de pregrado en Matemáticas y que muy generosamente compartieron una parte de su vasto conocimiento conmigo. Agradezco especialmente al profesor Antonio Velasco, a la profesora Jenny Carvajal y al profesor Oscar Gómez por su constante apoyo y admirable trabajo como docentes. 2

3 Índice 1. Orígenes Históricos del Álgebra Universal A Treatise On Universal Algebra. Alfred Whitehead, On the Structure Of Abstract Algebras. Garret Birkho, Universal Algebra. George Grätzer, Alfred North Whitehead ( ) Garret Birkho ( ) Introducción 9 3. Nociones de Teoría de Grupos Nociones de Teoría de Anillos Nociones de Álgebra Universal Álgebras Isomorfas Teorema de Homomor smo Los Grupos y los Anillos como Álgebras Universales Los Grupos como Álgebras Las Subálgebras y los Subgrupos Las Congruencias y los Subgrupos Normales El kernel del álgebra y el kernel del grupo Teorema Fundamental del Homomor smo en Grupos desde el Álgebra Universal Los Anillos como Álgebras Los Homomor smos en álgebras y en anillos Las Subálgebras y los Subanillos Las Congruencias y los Ideales El kernel del álgebra y el kernel del anillo El Teorema Fundamental del Homomor smo en Anillos desde el Álgebra Universal Conclusiones Bibliografía 53 3

4 1. Orígenes Históricos del Álgebra Universal De acuerdo con [1] el término Álgebra Universal puede rastrearse hasta la obra de Alfred North Whitehead A Treatise On Universal Algebra publicado en 1898, aunque la misma fuente a rma que Whitehead le atribuye el nombre a James Joseph Sylvester. Sin embargo, la idea del tema surgió de William Hamilton y Augustus DeMorgan. Dicha idea era buscar la manera de formalizar una estructura en la que se pudieran comparar las estructuras algebraicas que se estaban estudiando en la época: Los cuaterniones de Hamilton, la lógica simbólica de Boole, los espacios vectoriales y los grupos entre otros. Todas estas estructuras eran relativamente recientes (los cuaterniones fueron tratados por Hamilton en 1843, las Leyes del Pensamiento de Boole se publicó en 1854 y Evariste Galois acuñó el término de grupo hacia 1830) y la manera de generalizar las propiedades de ciertos objetos matemáticos como vectores y matrices a través de estructuras algebraicas como los cuaterniones o los grupos era algo completamente innovador. A continuación se presenta una breve descripción de las obras por orden cronológico que proporcionaron los principales aportes a la teoría del Álgebra Universal y evidencian su evolución hasta la de nición que se maneja actualmente A Treatise On Universal Algebra. Alfred Whitehead, 1898 La obra escrita por Alfred North Whitehead [6] es un monumental tratado de 7 volúmenes en los cuales trata temas de Lógica Simbólica, cuanti cadores, proposiciones, Álgebra de Proposiciones, interpretaciones de proposiciones, representación de rectas y planos, construcciones de Geometría Analítica, Teoría de la Medida, Geometría Elíptica e Hiperbólica, Geometría Diferencial y nalmente Espacios Vectoriales. El objetivo era recopilar todas las abstracciones en las diferentes áreas que se conocían en la época y describirlas en términos de operaciones que él llamó cálculos. En el primer libro, capítulo 3, página 18 establece por primera vez el término de álgebra universal de la siguiente forma: "Álgebra Universal es el nombre empleado para aquellos cálculos que simbolizan operaciones generales, que se de nirán después, llamadas Adición y Multiplicación." La intención de la búsqueda del carácter abstracto del contenido del tratado se pone de mani esto cuando más adelante agrega "...Existen ciertas de niciones generales que se cumplen para cualquier proceso de adición y otros que se cumplen para cualquier proceso de multiplicación. Estos son los principios generales de cualquier rama del Álgebra Universal". 4

5 Con la aparición de los cuaterniones de Hamilton, los matemáticos empezaron a tratar con conjuntos cuyas operaciones de suma y multiplicación diferían de las utilizadas en los números reales. A éste tipo de conjuntos con sumas especiales y multiplicaciones especiales se re ere también Whitehead: "...Existen otras de niciones especiales que describen tipos especiales de adición o multiplicación. El desarrollo y comparación de estos tipos especiales de adición o multiplicación hacen parte de las ramas especiales del Álgebra Universal." Lo que muestra la forma en que Whitehead quiere clasi car las estructuras del Álgebra Universal. Cabe resaltar que para entonces ya se tenía un gran avance en el planteamiento de la idea de grupo y anillo como puede evidenciarse en las páginas 19 y subsiguientes al describir las leyes conmutativa y asociativa para la de nición de adición, así como el elemento neutro (que lo denomina nulo) y sus propiedades, enunciando además la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, entre otras. Sin embargo, el trabajo de Whitehead tiene un aporte más ilustrativo que teórico, ya que la mayor parte consiste en presentar y describir su propuesta de álgebra universal junto con algunas de las propiedades elementales que se deducen de los axiomas y sus posibles aplicaciones a los distintos campos de la Matemática On the Structure Of Abstract Algebras. Garret Birkho, 1935 Garret Birkho en 1935 publica un artículo [7] en el Proceedings of the Cambridge Philosophical Society en el que se puede observar el inmenso avance en las de niciones y notaciones de las estructuras algebraicas. Como él mismo menciona en el primer párrafo de la introducción, a falta de vocabulario para representar su estudio de estructuras algebraicas, se ve forzado a crear uno. En esta ocasión, en vez del término álgebra universal, utiliza uno que me parece más apropiado, el de álgebra asbtracta. Aún así, la idea detrás de este concepto no está lo su cientemente formada y, al igual que Whitehead, es pobremente formulada: "...Un álgebra abstracta es, vagamente, cualquier sistema de elementos y operaciones como un anillo, un campo, un grupo o un álgebra de Boole." Por otro lado, empiezan a aparecer las semillas de los componentes para formalizar la idea, al hablar más adelante de un álgebra abstracta como una pareja hc; F i donde C es cualquier clase de elementos y F una clase de operadores f 1 ; f 2 ; : : :. 5

6 Es de resaltar además que para la época ya se manejaba la de nición de grupo tal cual como se conoce hoy en día, de manera axiomática y con la noción de elemento neutro y elementos inversos. Las leyes que mencionaba Whitehead las de ne Birkho como ecuaciones que se cumplen en las álgebras. Acto seguido pasa a desarrollar gran parte de la teoría de retículos. En escritos posteriores, especí camente en Universal Algebra [2] y Survey of Modern Algebra [3] se disipan todas las posibles dudas sobre el concepto de álgebra y se presenta una forma mucho más concreta como un conjunto donde se de nen operaciones sobre él. La aridad de las operaciones, así como la cardinalidad de los conjuntos que se manejan es otro aporte importante. Los otros elementos a utilizar como la de nición de homomor smo e isomor smo y congruencias han madurado plenamente y se presentan de la forma en que se conocen hoy en día. A partir de aquí, de ne las subálgebras y el homomor smo entre álgebras, al igual que el teorema fundamental del homomor smo entre álgebras entre otros resultados Universal Algebra. George Grätzer, 1968 Grätzer [1], además de recopilar los resultados y de niciones conocidos hasta la época sobre el Álgebra Universal, es responsable de mayores avances en la teoría como el teorema de caracterización para retículos congruentes de álgebras o las estructuras sigma-libres. En su manual incluye una descripción completa de toda la teoría, así como sus aplicaciones a otras áreas contemporáneas de la Matemática como la teoría de modelos o la lógica ecuacional. Es la principal fuente de referencia actual del Álgebra Universal. Se mostrará ahora una reseña sobre los principales matemáticos involucrados en el desarrollo de la teoría Alfred North Whitehead ( ) Nació en Kent, Inglaterra el 15 de febrero. Se matriculó en el famoso Trinity College de Cambridge donde obtuvo su Bachelor en Permaneció dando clases y publicando en el mismo, obras como [6] y Principia Mathematica en colaboración con Bertrand Russell. Desposa a Evelyn Wade 6

7 en 1890 con quien tuvo tres hijos. Aunque siempre estuvo interesado en la Teología, nunca se le conoció pertenencia a alguna religión en particular y se declaraba a sí mismo agnóstico. También le interesaba la Física al punto de que a partir de 1910 y los años siguientes escribió documentos sobre temas de ésta en el Imperial College. Además de las ciencias exactas disfrutaba estudiando la losofía y publicando ensayos y críticas sobre paradigmas de la ciencia y la enseñanza de las Matemáticas. Perteneció a prestigiosas sociedades cientí cas como la Royal Society, la British Academy y Aristotelian Society. De ésta última fue presidente. En 1924 viajó a Harvard en Estados Unidos para dictar una cátedra de losofía y ahí pasó los últimos años de su vida junto a su familia Garret Birkho ( ) Nace el 19 de enero en Princeton, New Jersey en Estados Unidos. Hijo del también matemático George Birkho, fue educado en casa hasta los 8 años de edad, a partir de los cuales ingresó a la escuela pública y cuatro años después a la escuela privada Browne and Nichols, donde fue alumno de Harry Gaylord y antes de lo previsto, estaba preparado para presentar los examenes de admisión a la Universidad de Harvard, donde fue admitido en Por sugerencia de su padre, tomó los primeros cursos en Física Matemática. Sin embargo, al leer por accidente un documento en la biblioteca sobre la teoría de grupos nitos, se interesó de inmediato en el tema. Tanto así, que al graduarse de Harvard en 1932 y obtener una beca para estudiar en la University of Cambridge, cambió su elección de supervisor de Física Matemática por uno de Álgebra Abstracta (Phillip Hall). En 1933 viajó a Munich donde conoció a Carathéodory, quien le sugirió la lectura del texto de Álgebra de Van der Warden. Con estos fundamentos, Birkho empezó a trabajar por su cuenta en Álgebra y a publicar los primeros documentos sobre el tema. Volvió a Harvard y fue encargado del curso de Álgebra en 1936, al tiempo que se centró en la redacción de las que serían sus obras más representativas: Lattice Theory [9] y Survey of Modern Algebra [3] en coautoría con Saunders MacLane. Durante la Primera Guerra Mundial, Birkho se interesó por la matemática aplicada a problemas militares como el cálculo de la distancia de un objeto por medio de un radar, o los torpedos y sus ondas expansivas, lo que lo llevó a publicar trabajos como Hydrodinamics en

8 Su estrecha relación con otros grandes matemáticos de la época como Harold Morse y John Von Neumann permitió que aplicara su talento a los campos más diversos como la computación y la criptografía. Pasa los últimos años como catedrático George Putnam de Matemática Pura y aplicada en Harvard. Muere el 22 de noviembre en New York. 8

9 2. Introducción De acuerdo con [1], la idea del Álgebra Universal empezó a gestarse cuando los matemáticos centran sus estudios en las operaciones sobre conjuntos distintos a los números reales, como los cuaterniones de Hamilton o la lógica simbólica de Boole, que diferían en mucho a las tradicionales. Esto abrió el campo para la investigación sobre objetos más generales que se centraran en las propiedades que cumplían dichos conjuntos independientemente de sus elementos y de cómo estuvieran de nidas las operaciones sobre ellos. Alfred North Whitehead llamó esta área de estudio Álgebra Universal en su libro [6] Sin embargo, según a rma [1] las nociones que Whitehead se proponía generalizar aún no estaban lo su cientemente desarrolladas en la época, por lo que no se lograron importantes resultados. No fue sino hasta los años 30 que Garret Birkho y Øystein Ore publicaron los primeros resultados de carácter general en sus obras On the Structure of Abstract Algebras [7] y Les Corps Algébriques et la Théorie des Idéaux [8]. A partir de ahí, las investigaciones sucesivas siguieron las directrices de estos matemáticos, centrándose principalmente en álgebras libres, teoremas de homomor smo e isomor smo y teoría de retículos algebraicos. Los resultados alcanzados en estos temas se compendian en la obra Lattice Theory [9] de Birkho. Aún así, los avances en lógica y teoría de conjuntos permitieron una presentación mucho más moderna de lo que hoy se conoce como Álgebra Universal, que se plasma en la obra de referencia mundial para este tema: Universal Algebra de George Grätzer [1]. Bajo esta nueva área de estudio, se prueban entre otras cosas, un teorema fundamental de homomor smo entre álgebras. De acuerdo con fuentes como Stanley Burris [10] dicho teorema puede verse como una generalización de los teoremas fundamentales de homomor smo que existen para otras estructuras algebraicas como grupos y anillos. La razón principal del trabajo es investigar la verdadera relación entre el teorema fundamental del homomor smo entre álgebras y los teoremas fundamentales de homomor smo para grupos y para anillos. De encontrarse que en efecto es una generalización, establecerla y demostrarla. Esto proporcionaría un fundamento matemático a las a rmaciones hechas en las fuentes citadas y daría respuesta a la meta propuesta por Whitehead de (si se logró o no) generalizar ciertas propiedades de las más importantes estructuras algebraicas 9

10 actuales. Se pretende entonces mostrar que las principales propiedades de la teoría de grupos y la teoría de anillos se unen bajo un sólo lenguaje: el del Álgebra Universal. Existen diversas versiones del teorema fundamental del homomor smo. En el presente documento se trabaja aquella que a rma la existencia de un isomor smo entre la estructura cociente (llámese grupo cociente o anillo cociente) y la imágen de un homomor smo sobreyectivo. La razón es que esta forma del teorema involucra al kernel, que he considerado aspecto importante a estudiar bajo este contexto. La estructura del trabajo es la siguiente. En primer lugar se recordarán algunas de niciones de la teoría de grupos tales como subgrupo, subgrupo normal, kernel, grupo cociente y homomor smo entre grupos, que permitirán establecer y demostrar el teorema fundamental del homomor smo en grupos. De manera similar, recordar de niciones como ideal, anillo cociente y homomor smo entre anillos permitirán hacer lo propio para el teorema fundamental del homomor smo entre anillos. Por otra parte se presentan las de niciones de universo, operación n-aria, subuniverso, congruencia, álgebra universal, álgebra cociente y homomor smo para así poder comprender el planteamiento y la demostración del teorema fundamental del homomor smo entre álgebras universales. A continuación se procederá a encontrar una demostración de que los grupos y los anillos son álgebras universales acorde con la de nición para después probar que los homomor smos entre grupos y entre anillos se generalizan por medio del homomor smo entre álgebras, y de aquí, probar que nalmente el teorema fundamental del homomor smo entre álgebras es una generalización del propio para grupos y para anillos. 10

11 3. Nociones de Teoría de Grupos Empezaremos por describir la versión del teorema fundamental del homomor smo para grupos: Recordemos algunas de niciones básicas: De nición 3.1 (Grupo) Un grupo es una pareja ordenada (G; ) conformada por un conjunto no vacío G y una función : GG! G llamada operación binaria que cumplen con las siguientes propiedades: G1: g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 Para cualesquiera g 1 ; g 2 ; g 3 2 G. G2: Existe e 2 G tal que para todo g 2 G se cumple que g e = g = g e. G3: Para todo g 2 G existe g 1 2 G tal que g g 1 = e = g 1 g. De nición 3.2 (Subgrupo) Sea (G; ) un grupo. Si la pareja ordenada (G 0 ; ) conformada por un subconjunto G 0 de G no vacío y la misma operación binaria : G 0 G 0! G 0 es un grupo, se denomina entonces subgrupo de (G; ). Proposición 3.1 (Criterio del subgrupo) Sea (G; ) un grupo. La pareja ordenada (G 0 ; ) conformada por un subconjunto G 0 de G y la misma operación binaria : G 0 G 0! G 0 es subgrupo de (G; ) si y sólo si cumple los siguientes requisitos: (i) G 0 6=? (ii) Para todo g 0 1; g G 0 se tiene que g 0 1 (g 0 2) 1 2 G 0 Demostración. Parte directa: Supongamos que (G 0 ; ) es un subgrupo de (G; ). Luego por de- nición 3.2 se cumple (i). Además, por ser (G 0 ; ) un grupo, dado g2 0 2 G 0 existe (g2) G 0 (de nición 3.1, G3). Finalmente la operación en G 0 se de ne como : G 0 G 0! G 0 por lo que cumple también con (ii). 11

12 Parte recíproca: Supongamos que la pareja ordenada (G 0 ; ) cumple con (i) y (ii). Sea g 0 2 G 0 (que existe por (i)) luego por (ii), g 0 (g 0 ) 1 = e 2 G 0 (1) Ahora, dados e; g 0 2 G 0 por (ii), e (g 0 ) 1 = (g 0 ) 1 2 G 0 (2) Ahora, debido a que todos los elementos de G 0 son también elementos de G se veri ca G1. De los resultados (1) y (2) se veri can respectivamente G2 y G3. Luego (G 0 ; ) es grupo y por tanto, subgrupo de (G; ). De nición 3.3 (Clase) Sea (H; ) un subgrupo de (G; ) y sea g 2 G. Los conjuntos gh = fg h j h 2 Hg y Hg = fh g j h 2 Hg se denominan clase a izquierda y clase a derecha respectivamente. De nición 3.4 (Subgrupo normal) Un subgrupo H de un grupo G se denomina normal si las clases a derecha y a izquierda coinciden. Esto es, gh = Hg Para todo g 2 G. Proposición 3.2 Sea H subgrupo normal de (G; ) y G=H el conjunto de todas las clases de H (a derecha y a izquierda) y la operación binaria entre clases de nida por : G=H G=H! G=H : (ah; bh)! (a b) H Entonces (G=H; ) es un grupo. 12

13 Demostración. Sean a; b; c 2 G. Luego, (ah bh) ch = ((a b) H) ch = ((a b) c) H = (a (b c)) H = ah (b c) H = ah (bh ch) que comprueba G1. Veamos que la clase eh 2 G=H hace el papel de elemento neutro: ah eh = (a e) H = ah = (e a) H = eh ah Lo que comprueba G2. Ahora para cada ah 2 G=H se veri cará que a 1 H 2 G=H cumple con G3: ah a 1 H = a a 1 H = eh = a 1 a H = a 1 H ah Lo que concluye la prueba. De nición 3.5 (Grupo factor) El grupo (G=H; ) de la proposición anterior se denomina grupo factor o cociente. De nición 3.6 (Homomor smo entre grupos) Sean (G; ) y (G 0 ; ) grupos y h : G! G 0 un mapeo tal que h (a b) = h (a) h (b) Entonces h se denomina homomor smo entre G y G. 13

14 De nición 3.7 (Kernel) Sea h : G! G 0 un homomor smo. Se denomina kernel de h y se denota por ker (h) al conjunto fg 2 G : h (g) = eg Donde e es el elemento neutro en G 0. Lema 3.1 Sea h : G! H un homomor smo. Entonces h (e G ) = e H neutro en G y e H el respectivo en H. donde e G es el elemento Demostración. Se tiene que Debido a que h es homomor smo, Luego h (e G ) = h (e G e G ) = h (e G ) h (e G ) h (e G ) = h (e G ) h (e G ) Pero ya que h (e G ) 2 H y H es un grupo, existe su inverso (h (e G )) 1 2 H. Operando este inverso a ambos lados de la linea anterior: (h (e G )) 1 h (e G ) = (h (e G )) 1 h (e G ) h (e G ) Los elementos del miembro derecho pueden asociarse por pertenecer a H, por lo que! e H =! e H = e H h (e G )! e H = h (e G ) (h (e G )) 1 h (e G ) h (e G ) Lo que concluye la prueba. Lema 3.2 Sea h : G! H un homomor smo. Entonces h g 1 = (h (g)) 1 para todo g 2 G. Demostración. Se tiene que h (e G ) = h gg 1 14

15 Aplicando la hipótesis de homomor smo de h, = h (g) h g 1 Luego h (e G ) = h (g) h g 1 Aplicando el lema 3.1 al miembro izquierdo,! e H = h (g) h g 1 Operando por (h (g)) 1 a ambos lados de la igualdad, se tiene! (h (g)) 1 e H = (h (g)) 1 h (g) h g 1 Asociando en el miembro izquierdo se llega a Lo que concluye la prueba.! (h (g)) 1 =! (h (g)) 1 = e H h g 1! (h (g)) 1 = h g 1 (h (g)) 1 h (g) h g 1 Proposición 3.3 Sea h : G! H un homomor smo. Entonces ker (h) es subgrupo de G. Demostración. Por el lema 3.1 se tiene que e G 2 ker (h), luego ker (h) 6=?. Sean a; b 2 ker (h). Debido a que ker (h) G, existe b 1 2 G. Luego, h ab 1 = h (a) h b 1 Aplicando el lema 3.2 a h b 1 se tiene que = h (a) (h (b)) 1 Pero observemos que debido a que tanto a como b pertenecen al kernel de h, = e H (e H ) 1 = e H e H = e H 15

16 Luego, h ab 1 = e H Y por tanto dados a; b 2 ker (h) se cumple que ab 1 2 ker (h) y por la proposición 3.1, ker (h) es subgrupo de G. Teorema 3.1 Sea H un subgrupo normal de G. Entonces el mapeo : G! G=H de nido por (g) = gh es un homomor smo con kernel H. Demostración. Sean g 1 ; g 2 2 G. Entonces, por de nición: (g 1 g 2 ) = (g 1 g 2 ) H Debido a que H es subgrupo normal, = (g 1 H) (g 2 H) = (g 1 ) (g 2 ) Luego es un homomor smo. Veamos ahora que H es el kernel del homomor smo: Sea h 2 H un elemento cualquiera. Luego, (h) = (h) H = H Por la clausura sobre el grupo H, pero precisamente la clase H es el elemento neutro del grupo G=H, luego en efecto H es el kernel de. De nición 3.8 (homomor smo canónico) El homomor smo del teorema anterior se denomina natural o canónico. A continuación se establece el teorema fundamental del homomor smo para grupos: Teorema 3.2 (Fundamental del homomor smo en grupos) Sean G, G 0 grupos y : G! G 0 un homomor smo sobreyectivo. Entonces existe un isomor smo : G= ker ()! G 0 tal que = donde es el homomor smo canónico : G! G= ker (). 16

17 Demostración. Sea K = ker (). Se de ne (gk) = (g) para todo g 2 G. Luego dados g 1 ; g 2 2 G, ((g 1 K) (g 2 K)) = ((g 1 g 2 ) K) = (g 1 g 2 ) Pero es un homomor smo por hipótesis, luego = (g 1 ) (g 2 ) = (g 1 K) (g 2 K) Luego es un homomor smo. Veamos ahora que es sobreyectivo. Por hipótesis, dado a 2 G 0 existe g 2 G tal que a = (g) Y por de nición, = (gk) Luego es sobreyectivo. Comprobemos la inyectividad: Observemos que el kernel de es el conjunto de elementos de la forma gk tales que (gk) = e G 0 = (k) Para k 2 K. Luego Lo que implica que (gk) = (k) g = k Recordemos que el homomor smo canónico en grupos está dado por (g) = gk. luego dado (g) 2 (G) se tiene que (g) = (gk) = ( (g)) Lo que concluye la prueba. 17

18 4. Nociones de Teoría de Anillos De nición 4.1 (Anillo) Un anillo es un conjunto R con dos operaciones binarias cerradas y que satisfacen los siguientes axiomas: (i) (R; ) es un grupo abeliano. (ii) (a b) c = a (b c) para cualesquiera a; b; c 2 R. (iii) (a b) c = (a c) (b c) y a (b c) = (a b) (a c) para cualesquiera a; b; c 2 R. Notación 4.1 Dado un anillo R, el elemento neutro del grupo (R; ) se denota por 0. De nición 4.2 (Subanillo) Sea (R; ; ) un anillo. Un subconjunto S de R que es subgrupo de (R; ) y es cerrado bajo la operación restringida a S se denomina subanillo de R. De nición 4.3 (Homomor smo entre anillos) Sean (R; ; ) y (S; +; ) anillos. Se le denomina homomor smo entre anillos al mapeo ' : R! S que satisface las siguientes condiciones para cualesquiera a; b 2 R: (i) ' (a b) = ' (a) + ' (b) (ii) ' (a b) = ' (a) ' (b) De nición 4.4 (Kernel de un homomor smo) Sea ' : R! S un homomor smo. Se denomina kernel de ' y se denota por ker (') al conjunto fr 2 R : ' (r) = 0g Donde 0 es el elemento neutro en S. Proposición 4.1 Sea (R; ; ) un anillo con elemento neutro aditivo 0. Entonces r0 = 0r = 0 para todo r 2 R. 18

19 Demostración. Observemos que por la propiedad (iii) de los anillos, (r 0) (r 0) = r (0 0) = r (0) = (r 0) 0 Luego, (r 0) (r 0) = (r 0) 0 Y debido a que (r 0) pertenece a R (por ser la multiplicación operación binaria cerrada) existirá su inverso (r 0) 1. Sumando dicho inverso a ambos lados de la igualdad:! (r 0) 1 (r 0) (r 0) = (r 0) 1 (r 0) 0! r 0 = 0 El razonamiento es simétrico para comprobar que 0 r = 0. Esto concluye la prueba. Notación 4.2 Sea (R; ; ) un anillo e I un subconjunto de R. Supongamos que r 2 R. Los conjuntos fr a j a 2 Ig y fa r j a 2 Ig se denotan ri y Ir respectivamente. De nición 4.5 (Ideal izquierdo, ideal derecho) Sea R un anillo e I un subconjunto de R. Al subconjunto I se le denomina ideal izquierdo si cumple con: (i) I es un subanillo de R. (ii) ri I para todo r 2 R. Similarmente, se le denomina ideal derecho si cumple con: (i) I es un subanillo de R. (ii) Ir I para todo r 2 R. De nición 4.6 (Ideal) Sea R un anillo e I un subconjunto de R. Al subconjunto I se le denomina ideal si es tanto ideal izquierdo como derecho. 19

20 Teorema 4.1 Sea (R; +; ) un anillo e I un ideal de R. Entonces el grupo cociente R=I es un anillo bajo las operaciones: : (r + I) (s + I) = (r + s) + I : (r + I) (s + I) = (r s) + I. Demostración. Primero se comprobará que (R=I; ) es un grupo abeliano. Sean r; s; t 2 R elementos cualesquiera. Entonces, (r + I) (s + I) = (r + s) + I Debido a que (R; +) es un grupo abeliano, = (s + r) + I = (s + I) (r + I) Luego (R=I; ) es un grupo abeliano. Ahora se comprobará la asociatividad de basados en la asociatividad de : ((r + I) (s + I)) (t + I) = ((r s) + I) (t + I) = (r s) t + I = r (s t) + I = (r + I) ((s + I) (t + I)) Por tanto, es asociativa. Finalmente se veri cará que es asociativa con respecto a : (t + I) ((r + I) (s + I)) = (t + I) ((r + s) + I) = (t (r + s)) + I = (t r + t s) + I = ((t r) + I) ((t s) + I) = ((t + I) (r + I)) ((t + I) (s + I)) Que ocurre de igual manera cuando (t + I) multiplica por derecha. Luego es distributiva. Esto nos permite concluír que (R=I; ; ) es un anillo. 20

21 Teorema 4.2 Sea I un ideal de un anillo R. Entonces el mapeo : R! R=I de nido por (r) = r + I es un homomor smo entre anillos. Demostración. Sean r; s 2 R elementos cualesquiera. Se veri cará primero que (r + s) = (r) (s). Se tiene que (r + s) = (r + s) + I = (r + I) (s + I) = (r) (s) Ahora se comprobará que (r s) = (r) (s). Se tiene que (r s) = (r s) + I = (r + I) (s + I) = (r) (s) Lo que nos permite concluír que es un homomor smo entre anillos. Proposición 4.2 Sean (R; ; ), (R 0 ; +; ) anillos, 0 0 el elemento neutro aditivo en R 0 y : R! R 0 un homomor smo entre anillos. Entonces K = ker () es un ideal de R. Demostración. Primero se veri cará que K es un subanillo de R. Por la proposición (3.3) se tiene que K es subgrupo de (R; ). Veamos ahora que K es cerrado bajo : Sean k 1 ; k 2 2 K. Luego, (k 1 k 2 ) = (k 1 ) (k 2 ) = Y por la proposición (4.1), = 0 0 Por lo que k 1 k 2 2 K. Se concluye entonces que K es un subanillo de R. 21

22 Veamos a continuación que K cumple con el criterio (ii) de de nición de ideal: Sea r k 2 rk con r 2 R. Se tiene entonces que (r k) = (r) (k) = (r) 0 0 = 0 0 Es decir, r k 2 K y por tanto rk K y K es un ideal izquierdo. De manera similar, sea k r 2 Kr con r 2 R. Se tiene entonces que (k r) = (k) (r) = 0 0 (r) = 0 0 Luego k r 2 K y por tanto Kr K y K es un ideal derecho. Se concluye entonces que K es un ideal. Teorema 4.3 (Fundamental del homomor smo entre anillos) Sean (R; +; ), (R 0 ; + 0 ; 0 ) anillos y : R! R 0 un homomor smo sobreyectivo entre anillos. Entonces existe un isomomor smo : (R= ker () ; ; )! (R 0 ; + 0 ; 0 ) tal que = donde y son las operaciones entre clases de nidas en el teorema 4.1 y es el homomor smo canónico : R! R= ker (). Demostración. Sea K = ker (). Se de ne (r + K) = (r) para todo r 2 R. Luego dados r 1 ; r 2 2 R, ((r 1 + K) (r 2 + K)) = ((r 1 + r 2 ) + K) = (r 1 + r 2 ) Pero es un homomor smo por hipótesis, luego = (r 1 ) + (r 2 ) = (r 1 + K) + (r 2 + K) 22

23 Para el caso del producto se de ne (rk) = (r) para todo r 2 R. De esta manera, para r 1 ; r 2 2 R se obtiene ((r 1 K) (r 2 K)) = ((r 1 r 2 ) + K) = (r 1 r 2 ) = (r 1 ) (r 2 ) = (r 1 K) (r 2 K) Luego es un homomor smo. Se veri ca ahora la inyectividad. Observemos que el kernel de es el conjunto de elementos de la forma r + K tales que (r + K) = e R 0 = (k) Para k 2 K. Luego Lo que implica que (r + K) = (k) r = k Se comprueba ahora la sobreyectividad.veamos ahora que es sobreyectivo. Por hipótesis, dado a 2 R 0 existe r 2 R tal que a = (r) Y por de nición, = (r + K) Luego es sobreyectivo. La composición de los homomor smos y es una consecuencia directa de la forma como se de nieron. Recordemos que el homomor smo canónico para anillos está dado por (r) = r + K. luego dado (r) 2 (R) se tiene que (r) = (r + K) = ( (r)) Lo que concluye la prueba. 23

24 5. Nociones de Álgebra Universal Notación 5.1 Sea A un conjunto no vacío y n un entero no negativo. Se denota A 0 = f?g y para n > 0, A n denota el conjunto de n-úplas de elementos de A. De nición 5.1 (Operación n-aria) Sea A un conjunto no vacío y n un entero no negativo. Una operación n-aria en A es cualquier función f : A n! A donde n se denomina la aridad de f. Cuando n < 1 se dice que la operación f es nitaria. De nición 5.2 (Operación nula) Una operación f en A se denomina nula o constante si su aridad es 0. De nición 5.3 (Álgebra Universal) Un álgebra universal o de manera más breve, un álgebra es una pareja ha; F i donde A es un conjunto no vacío llamado universo y F es una familia de operaciones nitarias en A. Notación 5.2 En el caso en que F sea nito, es decir F = ff 0 ; f 1 ; : : : ; f n denota por ha; f 0 ; f 1 ; : : : ; f n 1 i, con la convención de que: 1 g el álgebra ha; F i se aridad de f 0 aridad de f 1 aridad de f n 1 De nición 5.4 (Orden) Dado un conjunto A se denomina orden de A al número de elementos que contiene. De nición 5.5 (Tipo de Álgebra) Dada un álgebra ha; f 0 ; f 1 ; : : : ; f n 1 i un tipo de álgebra es una sucesión de números enteros no negativos ha 0 ; : : : ; ai donde < n en la que cada a 0i representa la aridad de la operación f i. La idea de tipo de álgebra se utiliza para distinguir la aridad de las operaciones en dos álgebras distintas. 24

25 Ejemplo 5.1 Sean ha; F i y hb; F 0 i dos álgebras, donde F = ff 0 ; f 1 g y F 0 = ff 0 0; f 0 1g. Supongamos además que tanto f 0, f 1 como f 0 0, f 0 1 son operaciones binarias, luego las álgebras ha; F i y hb; F 0 i son del mismo tipo (esto es, del tipo h2; 2i) Álgebras Isomorfas De nición 5.6 (Homomor smo entre álgebras) Sean A = ha; F i y B = hb; F 0 i dos álgebras del mismo tipo. Una función : A! B tal que para toda operación n-aria f y para toda sucesión a 1 ; : : : ; a n de elementos de A, se tiene que f A (a 1 ; : : : ; a n ) = f B ( (a 1 ) ; : : : ; (a n )) para <orden de, se denomina homomor smo entre álgebras. De nición 5.7 (Isomor smo entre álgebras) Sean A = ha; F i y B = hb; F 0 i dos álgebras del mismo tipo. Una función : A! B biyectiva tal que para toda operación n-aria f y para toda sucesión a 1 ; : : : ; a n de elementos de A, f A (a 1 ; : : : ; a n ) = f B ( (a 1 ) ; : : : ; (a n )) para <orden de, se denomina isomor smo entre A y B. Cuando dicha función existe decimos que A es isomorfo a B y se denota A = B. De nición 5.8 (Subálgebra) Sean A = ha; F i y B = hb; F 0 i dos álgebras del mismo tipo. Si B A y para toda f B 2 F 0 se tiene que para la correspondiente operación f A 2 F, f B = f A restringida a B Entonces se dice que B es subálgebra de A y se denota B A. De nición 5.9 (Subuniverso) Sea A= ha; F i un álgebra y sea B A. Si B es cerrado bajo las operaciones sobre A, esto es, si f 2 F y a 1 ; : : : ; a n 2 B implica f (a 1 ; : : : ; a n ) 2 B, entonces el conjunto B se denomina subuniverso de A. 25

26 De nición 5.10 (Relación) Sea A un conjunto. Una relación r en A es un subconjunto de AA. Si (a; b) 2 r, se escribe arb. De nición 5.11 (Relación de Equivalencia) Sea A un conjunto. Una relación r es de equivalencia en A si cumple con: (i) ara (ii) arb implica bra (iii) arb y brc implican arc. El conjunto de todas las relaciones de equivalencia en A se denota por Eq (A). De nición 5.12 (Congruencia) Sea A un álgebra de tipo y sea 2 Eq (A) tal que para toda operación n-aria f 2 F y a i ; b i 2 A, a i b i (para 1 i n) implica f (a 1 ; : : : ; a n ) f (b 1 ; : : : ; b n ) Entonces se denomina congruencia sobre A. El conjunto de todas las congruencias sobre un álgebra A se denota Con A. De nición 5.13 (Clase de equivalencia) Sea 2 Eq (A) y a 2 A. La clase de equivalencia de a módulo es el conjunto a= = fb 2 A : (b; a) 2 g. El conjunto fa= : a 2 Ag se denota por A=. De nición 5.14 (Algebra Cociente) Sea A un álgebra y 2Con A. Se denomina álgebra cociente de A por y se denota por A= al álgebra cuyo universo es A= y cuyas operaciones satisfacen f A= (a 1 =; : : : ; a n =) = f A (a 1 ; : : : ; a n ) = Donde a 1 ; : : : ; a n 2 A. De nición 5.15 (Kernel) Sea ' : A! B un homomor smo. El kernel de ' se denota ker (') y se de ne como el conjunto ker (') = (a 1 ; a 2 ) 2 A 2 : ' (a 1 ) = ' (a 2 ) 26

27 5.2. Teorema de Homomor smo De nición 5.16 (Mapa natural) Sea A un álgebra y sea 2 Con (A). La función v : A! A= de nida por v (a) = a= para todo a 2 A se denomina mapa natural o canónico. Teorema 5.1 El mapa natural es un homomor smo sobreyectivo. Demostración. Sea 2 Con (A) y v el mapa natural. Sea f una operación n-aria en A y a 1 ; : : : a n 2 A. Entonces, por de nición de v, v f A (a 1 ; : : : a n ) = f A (a 1 ; : : : a n ) = Y por de nición de algebra cociente, = f A= (a 1 =; : : : a n =) = f A= (v (a 1 ) ; : : : v (a n )) Luego v es un homomor smo. Observemos ahora que es sobreyectivo. Sea b 2 A=. Esto es, b 2 fa= : a 2 Ag. Luego b = a= para algún a 2 A. Esto quiere decir que existe a 2 A tal que b = a= = v (a). Luego v es sobreyectivo. De nición 5.17 El homomor smo del teorema anterior se denomina homomor smo natural o canónico. Teorema 5.2 (Fundamental del homomor smo) Supongamos que ' : A! B es un homomor smo sobreyectivo. Entonces existe un isomor smo : A= ker (')! B tal que v = ' donde v es el homomor smo canónico. Demostración. Sea de nido por (a=) = ' (a) 27

28 Sea f una operación n-aria cualquiera y a 1 ; : : : ; a n 2 A. Entonces por de nición de álgebra cociente f A= (a 1 =; : : : ; a n =) = f A (a 1 ; : : : ; a n ) = Y por de nición de, = ' f A (a 1 ; : : : ; a n ) Pero debido a que ' es un homomor smo por hipótesis, se tiene que = f B (' (a 1 ) ; : : : ; ' (a n )) Nuevamente por de nición de se llega a = f B ( (a 1 =) ; : : : ; (a n =)) Luego es un homomor smo. Por otro lado, observemos que para cualquier a 2 A, ( v) (a) = (v (a)) = (a=) = ' (a) Comprobemos la inyectividad. Sean ' (a) ; ' (b) 2 ' (B) tales que ' (a) = ' (b) y (a=) = (b=) Lo que quiere decir que (a; b) 2 ker ('), por lo que necesariamente a= = b= Comprobemos la sobreyectividad. Sea b 2 B. Debido a que ' es sobreyectivo, existe a 2 A tal que ' (a) = b por la sobreyectividad de v, existe a= 2 A= ker (') tal que v (a) = a= 28

29 luego (v (a)) = (a=) = ' (a) = b Lo que concluye la prueba. 29

30 6. Los Grupos y los Anillos como Álgebras Universales Esta sección está dedicada a mostrar cómo los conceptos y resultados descritos en las secciones 3 y 4 sobre teoría de grupos y de anillos respectivamente, pueden deducirse de manera más simple como casos especí cos de un marco más general como es el del Álgebra Universal. Mi aporte a esta intención (que está por completo en la presente sección) ha sido investigar y detallar la justi cación de cómo sucede dicha deducción tanto para el caso de los grupos como para el de los anillos, y de paso, mostrar las interesantes conexiones que existen entre los conceptos y resultados elementales de estas dos teorías que aparentan ser tan distintas. Para empezar en esta tarea, en cada caso es necesario hacer una traducción del concepto de grupo y anillo al Álgebra Universal para así poder trabajar los grupos y los anillos desde dicha área y nalmente mostrar cómo se cumplen los resultados de cada teoría desde el Álgebra Universal. En particular, el teorema fundamental del homomor smo (tanto en grupos como en anillos). La presente sección se divide en dos subsecciones. Una dedicada a mostrar cómo se deducen los resultados elementales de la teoría de grupos desde el Álgebra Universal y la otra a mostrar lo propio para la teoría de anillos. En cada subsección se iniciará explicando la traducción o la de nición a la que se acude para ver la estructura bajo estudio desde el Álgebra Universal. Luego, se describe la forma en que el concepto de subálgebra conserva la subestructura bajo estudio para después pasar a mostrar la relación que guarda el concepto de congruencia con los subgrupos normales (en el caso de la teoría de grupos) y con los ideales (en el caso de la teoría de anillos), para luego evidenciar cómo se concibe la idea del kernel en cada caso y nalmente se expone lo concerniente a la prueba del teorema fundamental del homomor smo en cada teoría utilizando únicamente particularizaciones y resultados del Álgebra Universal Los Grupos como Álgebras De nición 6.1 (Grupo-como-álgebra) Sea (G; ) un grupo. La cuaterna G = G; ; 1 ; e conformada por un conjunto no vacío G, una operación binaria : G G! G, una operación unitaria 1 : G! G de nida por 1 : g! g 1 para todo g 2 G 30

31 y una operación nula e : f?g! G de nida por se denomina grupo-como-álgebra. e :?! e Nota 6.1 Observemos que G en la de nición anterior es un álgebra universal, ya que puede verse como la pareja G = hg; F G i donde G es el universo y F G la familia de operaciones nitarias en G, F G = ; 1 ; e. Ahora se pueden veri car algunas propiedades de los homomor smos en grupos desde el Álgebra Universal: Sean G = G; ; 1 G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H dos grupos-como-álgebras y ' : G! H un homomor smo entre álgebras. Entonces dados g 1 ; g 2 2 G se tiene que ' (g 1 g 2 ) = ' (g 1 ) ' (g 2 ) (3) ' g 1 G 1 = (' (g1 )) 1 H (4) ' (e G ) = e H (5) Donde las líneas (4) y (5) son exactamente los resultados demostrados en los lemas 3.2 y 3.1 respectivamente en la sección sobre teoría de grupos. Proposición 6.1 Sean G = G; ; 1 G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H dos grupos-como-álgebras y ' : G! H un homomor smo entre álgebras. Entonces ' : (G; )! (H; ) es un homomor smo entre grupos. Demostración. Del resultado (3) se tiene que ' (g 1 g 2 ) = ' (g 1 ) ' (g 2 ) luego por la de nición 3.6, ' es un homomor smo entre grupos. Corolario 6.1 Con las mismas hipótesis de la proposición anterior, si además ' : G! H es sobreyectivo, entonces ' : (G; )! (H; ) es sobreyectivo. 31

32 Demostración. Sea h 2 H, luego por hipótesis existe g 2 G tal que bajo el homomor smo entre álgebras, ' (g) = h Pero de acuerdo con la proposición anterior, dicho homomor smo es el mismo para los grupos (G; ) y (H; ) con los mismos conjuntos de llegada y salida, luego ' : (G; )! (H; ) es sobreyectivo. Corolario 6.2 Con las mismas hipotesis de la proposicion 6.1, si además ' : G! H es inyectivo, entonces ' : (G; )! (H; ) es inyectivo. Demostración. Sea ' el homomor smo entre álgebras inyectivo. Debido a que ' es el mismo homomor smo entre grupos con los mismos conjuntos de llegada y salida, se concluye que éste es inyectivo. Corolario 6.3 Con las mismas hipotesis de la proposicion 6.1, si además ' : G! H es isomor- smo, entonces ' : (G; )! (H; ) es un isomor smo. Demostración. De los corolarios 6.1 y 6.2 se concluye que ' : (G; )! (H; ) es un isomor smo Las Subálgebras y los Subgrupos Aquí surge un interrogante y es por qué el grupo como álgebra se de ne como la cuaterna G; ; 1 ; e y no simplemente como el grupo mismo (G; ). La respuesta tiene que ver con la de nición de subálgebra, y es que, debido al propósito de generalidad del álgebra universal, se quiere que al tener una estructura como álgebra, las subálgebras sean también subestructuras. Para el caso de los grupos, al tener un grupo como álgebra, se quiere que las subálgebras sean subgrupos, que, como se mostrará más adelante, sería imposible si se de ne el grupo como álgebra al mismo grupo (G; ). Proposición 6.2 Sea G = G; G ; 1 G ; e G un grupo-como-álgebra y H = H; H ; 1 H ; e H una subálgebra de G. Entonces (H; H ) es un subgrupo de (G; G ). 32

33 Demostración. Debido a que H es un álgebra.se tiene que H 6=? (6) Ahora, por de nición 5.8, la operación 1 H se de ne como la operación 1 G restringido a H. Esto es, 1 H : H! H : h! (h) 1 G (7) luego dado h 2 H, se tiene que (h) 1 2 H. De la misma forma, la operación H se de ne como la operación G restringido a H. Esto es, H : H H! H : (h 1 ; h 2 )! h 1 G h 2 (8) luego de (7) y (8) se deduce que dados h 1 ; h 2 2 H se cumple que h 1 H (h 2 ) 1 H 2 H (9) Ahora, los resultados (6) y (9) corresponden a los requisitos (i) y (ii) respectivamente de la proposición 3.1, que al aplicarla resulta que (H; H ) es un subgrupo de (G; G ). Veamos ahora un contraejemplo que ilustra que, si se hubiera de nido al grupo como álgebra únicamente por el grupo (G; ), la anterior proposición no sería cierta. Ejemplo 6.1 Sea (Z; +) el grupo conformado por los números enteros y la operación de suma usual. El conjunto (Z + ; +) conformado por los números enteros positivos con la operación de suma usual es una subálgebra de (Z; +). Sin embargo, NO es subgrupo de (Z; +), ya que incumple con las condiciones G2 y G3 de la de nición Las Congruencias y los Subgrupos Normales Estructuras que aparentemente son muy propias de la teoría de grupos como los subgrupos normales también pueden encontrarse desde el Álgebra Universal a través del concepto de congruencia. 33

34 Se comprobará que en efecto, los subgrupos normales pueden expresarse como una clase de equivalencia especí ca de una cierta relación de equivalencia. Sea G = G; ; 1 ; e un grupo-como-álgebra y una congruencia sobre G. Debido a que es una relación de equivalencia, para g 2 G existen las clases de equivalencia [g] = g= = fx 2 G j xgg Se puede obtener entonces el siguiente resultado. Proposición 6.3 Sea G = G; ; 1 ; e un anillo-como-álgebra y una congruencia sobre G. Entonces la clase de equivalencia del elemento neutro e es un subgrupo normal N del grupo (G; ). En símbolos, e= = fx 2 G j xeg = N Demostración. De acuerdo con la de nición 3.4, debe veri carse que (i) (e=; ) es subgrupo de (G; ) y (ii) para todo g 2 G, g (e=) = (e=) g. Para veri car (i) observemos que dada la re exividad de, se tiene que ee, por lo que (ee) 2 e= y por tanto e= 6=?. Ahora sean g 1 ; g 2 2 e=. Se tiene que g 1 e (10) y g 2 e (11) Aplicando la de nición 5.12 de congruencia, se puede usar la operación obtener 1 a la linea (11) para g 1 2 e 1! g2 1 e (12) Usando nuevamente la de nición 5.12, se aplica la operación teniendo en cuenta las lineas (10) y (12), con lo que se obtiene g 1 g2 1 (e e)! g 1 g2 1 e 34

35 luego g 1 g2 1 2 e= y la proposición 3.1 permite concluír que (e=; ), es subgrupo de (G; ). Para veri car (ii) sea a 2 g (e=) luego a = g x para g 2 G y algún x 2 e=. Por la re exividad de se tiene que gg (13) g 1 g 1 (14) y por otro lado, xe (15) Aplicando la operación a las lineas (13) y (15) se obtiene (g x) (g e)! (g x) g (16) Aplicando nuevamente la operación a las lineas (14) y (16) se llega a g x g 1 g g 1! g x g 1 e (17) luego g x g 1 2 e=. Por otro lado, a = g x = g x e = g x g 1 g = g x g 1 g Y debido al resultado (17) se deduce entonces que a 2 (e=) g. Por lo tanto, g (e=) (e=) g. Siguiendo un procedimiento simétrico al anterior se llega a que (e=) g g (e=). Se conlcuye entonces que g (e=) = (e=) g y e= es un subgrupo normal de (G; ). 35

36 6.4. El kernel del álgebra y el kernel del grupo Notación 6.1 Con el propósito de distinguirlos, el kernel de un homomor smo entre grupos se escribirá ker G y el kernel de un homomor smo entre álgebras se escribirá ker A. Sea ' : A! B un homomor smo entre álgebras y a; b elementos del universo A de A. Observemos la relación de nida por arb si y sólo si ' (a) = ' (b) (18) Se puede veri car que es de equivalencia (ya que la igualdad es una relación de equivalencia) y por tanto se pueden construir sus respectivas clases de equivalencia: [a] = fb 2 A j ' (b) = ' (a)g Veamos ahora que dichas clases de equivalencia no son más que las clases a izquierda y a derecha del kernel del grupo. Proposición 6.4 Sea ' : G! H un homomor smo entre los grupos-como-álgebras G = G; ; 1 G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H y g; x elementos del universo G de G. Entonces fx 2 G j ' (x) = ' (g)g = Kg = gk donde K es el kernel del homomor smo entre grupos ' : (G; )! (H; ). Demostración. Sea x 2 fx 2 G j ' (x) = ' (g)g luego se tiene entonces que ' (x) (' (g)) 1 H = e H (19) utilizando el resultado de la ecuación (4) de la sección 6.1 sobre homomor smos entre gruposcomo-álgebras, ' (x) ' g 1 G = e H y por el resultado (3) de la misma sección, ' x g 1 G = e H Por lo tanto, x g 1 G Esto es, pertenece al kernel del homomor smo entre los grupos (G; ) y (H; ). x g 1 G = k para algún k 2 K 36

37 operando a derecha por g se obtiene Esto es, x = k g x 2 Kg Similarmente usando la propiedad G3 de la de nición 3.1 de grupos en la linea (19) se obtiene (' (g)) 1 H ' (x) = e H $ ' g 1 G ' (x) = e H $ ' g 1 G x = e H Luego g 1 G x = k para algún k 2 K y operando a izquierda por g se obtiene x = g k $ x 2 gk Observemos ahora que la relación establecida en (18) es exactamente la de nición de kernel de un homomor smo entre álgebras, y la proposición anterior nos indica que sus clases de equivalencia son sencillamente "traslaciones"del kernel del homomor smo entre grupos. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de esta relación resulta ser precisamente el grupo cociente G= ker G ('). Para obtener el kernel del homomor smo entre grupos a partir del kernel del homomor smo entre álgebras basta con observar la clase de equivalencia del elemento neutro de G. Es decir, [e G ] = fx 2 G j ' (x) = ' (e G )g Aplicando la linea (5) de la sección 6.1 se sigue que [e G ] = fx 2 G j ' (x) = e H g que es tal cual la de nición 3.7 de kernel de un homomor smo entre grupos. Cabe resaltar que la manera de de nir el kernel de un homomor smo entre álgebras tiene entre otras ventajas, abarcar el concepto de kernel de un monoide que se de ne como el conjunto (a; b) 2 M 2 j ' (a) = ' (b) donde M es un conjunto no vacío y ' un homomor smo entre 37

38 monoides. Esto muestra de paso la interesante conexión que existe entre el kernel de un homomor- smo entre grupos y el kernel de un homomor smo entre monoides. Así, la de nición de kernel de un homomor smo entre álgebras gana generalidad Teorema Fundamental del Homomor smo en Grupos desde el Álgebra Universal Ahora se cuenta con las herramientas necesarias para adaptar el teorema fundamental del homomor smo en álgebras a la teoría de grupos, desembocando en el teorema fundamental del homomor smo en grupos. Proposición 6.5 Sea ' : A! B un homomor smo entre álgebras. Entonces ker A (') es una congruencia sobre A. Demostración. Sean a 1 ; : : : ; a n ; b 1 ; : : : ; b n tales que (a i ; b i ) 2 ker A (') para 1 i n. Luego se tiene que ' (a i ) = ' (b i ) para 1 i n Sea f B una operación cualquiera del álgebra B. Se deduce entonces que f B (' (a 1 ) ; : : : ; ' (a n )) = f B (' (b 1 ) ; : : : ; ' (b n )) y por la de nición 5.6, ' f A (a 1 ; : : : ; a n ) = ' f A (b 1 ; : : : ; b n ) Luego A. f A (a 1 ; : : : ; a n ) ; f A (b 1 ; : : : ; b n ) 2 ker A (') y por tanto ker A (') es una congruencia sobre Nota 6.2 Veamos que el conjunto G= ker A (') (de nición 5.13) esta conformado por todos los conjuntos de la forma g= ker A (') = fx 2 G j ' (x) = ' (g)g que, como se demostró en la proposición 6.4 son las clases a derecha y a izquierda del kernel del homomor smo entre los grupos (G; ) y (H; ). Luego, G= ker A (') = G= ker G (') 38

39 Proposición 6.6 Sean G = 1 G; ; G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H dos grupos-como-álgebras y ' : G! H un homomor smo entre álgebras con kernel ker A ('). Además, sea K = ker G (') y sea G= ker A (') = 1 G= ker A (') ; ; G= ker ; eg= ker la cuaterna conformada por el conjunto G= ker A ('), la operación binaria entre clases de la de nición 3.5, la operación unitaria 1 G= ker de nida por 1 G= ker : G= ker A (')! G= ker A (') : gk! g 1 G K y la operación nula e G= ker de nida por e G= ker : f?g! G= ker A (') :?! e G K Entonces G= ker A (') es un álgebra cociente. Demostración. Hay que veri car para cada operación f y g 1 ; : : : ; g n 2 G se cumple que 1. Operaciones binarias: f G= ker A (g 1 = ker A ; : : : ; g n = ker A ) = f A (g 1 ; : : : ; g n ) = ker A Sean g 1 ; g 2 2 G. Luego g 1 K g 2 K = (g 1 g 2 ) K 2. Operaciones unitarias: Sea g 2 G. Luego (gk) 1 G= ker = g 1 G K 3. Operaciones nulas: Se tiene que e G 2 G. Luego, e G= ker = e G K Debido a que al menos e G= ker 2 G= ker A ('), G= ker A (') es no vacío y por tanto G= ker A (') es un álgebra, lo que concluye la prueba. 39

40 Lema 6.1 Sean G = G; ; 1 G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H dos grupos-como-álgebras y ' : G! H un homomor smo entre álgebras con kernel ker A ('). Entonces el mapa : (G; )! (G= ker G (') ; ) de nido por (g) = gk donde K = ker G (') es un homomor smo sobreyectivo. Demostración. Por la proposición 6.5, ker A (') es una congruencia sobre G. Sea A : G! G= ker A (') el mapa natural de nido por A (g) = gk. (recordar nota 6.2) Luego por el teorema 5.1, A es un homomor smo sobreyectivo. Aplicando ahora la proposición 6.1 y el corolario 6.1 se tiene que : (G; )! (G= ker G (') ; ) es también un homomor smo sobreyectivo. 1 Teorema 6.1 Sean G = G; ; G ; e G y H = H; ; 1 H ; e H dos grupos-como-álgebras y ' : G! H un homomor smo entre álgebras sobreyectivo. Entonces existe un isomor smo entre grupos : (G= ker G () ; )! (H; ) tal que = ' donde es el homomor smo canónico : (G; )! (G= ker G () ; ). De los grupos-como-álgebras se pueden deducir los grupos (G; ) y (H; ) y del homomor smo entre álgebras ', por la proposición 6.1 se deduce el homomor smo sobreyectivo entre grupos ' : (G; )! (H; ). Por lo que nos encontramos exactamente en las mismas hipótesis del teorema 3.2 fundamental del homomor smo para grupos que sin embargo, se demostrará desde el álgebra universal. Demostración. Por el teorema 5.2, existe un isomor smo A : G= ker A (')! H tal que A A = ' donde A es el homomor smo canónico y es el que está dado por A (gk) = ' (g). Por la proposición 6.1 y 6.3, : (G= ker G () ; )! (H; ) es un isomor smo entre grupos. Sea x = ' (g) para algún g 2 G. Debido a que es sobreyectivo, existe gk 2 G= ker G () tal que ' (g) = (gk) Nuevamente, por la sobreyectividad de, existe g 2 G tal que (g) = gk, luego (gk) = ( (g)) Esto es, ' (g) = ( (g)) Lo que concluye la prueba. 40