Presentación Axiomática de los Números Reales

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1 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos llmremos números reles, provisto de dos operciones binris interns + y que stisfcen los siguientes xioms: C1. 8; b 2 R : + b = b + (propiedd conmuttiv de +) C2. 8; b:c 2 R : ( + b) + c = + (b + c) (propiedd socitiv de +) C R tl que 8 2 R : + 0 = (existenci de elemento neutro pr +) C R : 9 u 2 R tl que + u = 0 (existenci de inversos ditivos) C5. 8; b 2 R : b = b (propiedd conmuttiv de ) C6. 8; b; c 2 R : ( b) c = (b c) (propiedd socitiv de ) C R ; 1 6= 0; tl que 8 2 R : 1 = (existenci de elemento neutro pr ) C8. 8 6= 0 : 9 v 2 R; tl que v = 1 (existenci de recíprocos) C9. 8; b; c 2 R : (b + c) = b + c (distributividd izquierd de con respecto +). Observciones: Se puede demostrr ( háglo!) que los elementos 0 y 1 de C3 y C7 son únicos, tmbién los son los elementos u y v de C4 y C5, u se denot por (opuesto de ) y v se denot por x 1 o por 1 (inverso o recíproco de x). x En generl, un operción binri intern de nid sobre un conjunto A es un función F : A A! A; (; b) 7! F (; b) (es binri porque ctú sobre dos elementos del conjunto A y es intern porque cd imgen continú estndo en el conjunto A)

2 2 Consecuencis de los Axioms de Cuerpo A prtir de los xioms de cuerpo y de ls propieddes de l iguldd, se pueden deducir tods ls regls lgebrics básics de l opertori con números reles. Algun de ests propieddes son: 1. 8; b; c 2 R : + c = b + c () = b 2. 8; b; c 2 R : c 6= 0 ^ c = bc ) = b R : ( 1) = ; ( ) = 4. 8; b 2 R : ( )b = ( b) = (b) ; ( )( b) = b 5. Si 6= 0, entonces ( 1 ) 1 = 6. Si 6= 0, l ecución x + b = c; tiene solución únic en R: 7. 8; b 2 R : ( + b) = ( ) + ( b) 8. Si ; b 6= 0; entonces (b) 1 = 1 b ; b 2 R : b = 0 () = 0 o b = 0 Desrrollremos ls demostrciones de lguns de ests propieddes: 1.- L implicción de derech izquierd es inmedit ( explique!). Por tnto se demostrrá l otr implicción: Si + c = b + c; entonces ( + c) + ( c) = (b + c) + ( c), luego socindo: + (c + ( c)) = b + (c + ( c)) lo que implic que + 0 = b + 0; de donde se obtiene = b: Est propiedd se denomin ley de cncelciónpr +: (c b) es solución de l ecución puesto que ( 1 (c b)) + b = ( 1 )(c b) + b = (c b) + b = c: Vemos hor que es únic: si u y v son soluciones de l ecución x + b = c; se obtiene que u + b = v + b de donde u = v y como 6= 0; se tiene que u = v: (observe que se plicn ls dos leyes de cncelción 1 y 2) 7.- ( + b) + (( ) + ( b)) = ( + b) + (( b) + ( )) = + ((b + ( b)) + ( )) = + (0 + ( )) = + ( ) = 0: l conclusión se obtiene por l unicidd de los opuestos. Pr los números reles y b; l diferenci b se de ne por b := + ( b)

3 3 Si demás b 6= 0, el cuociente ; se de ne medinte l relción b b := b 1 Resultn de inmedito ls propieddes (culesquier sen ; b; c; d números reles): 1. b = c () = b + c 2. = c () = bc; siempre que b 6= 0 b 3. ( b) = b Continundo con l list de propieddes que se deducen de los xioms de cuerpo: b = b = b ; b = 1 b ; b = b b c d = c bd b c d = b d c c + b c = + b c 8. b + c d + bc = d bd 9. c bc = ; siempre que c 6= 0 b 10. b = c () d = bc d 11. b = c d () b = d c () c = d b () b d = c donde en culquier frcción el denomindor no se puede nulr.

4 Axioms de Orden Con el n de disponer de un criterio que nos permit comprr números reles, se de ne en R, un relción de orden comptible con ls operciones de dición y multiplicción (comptible con l estructur de cuerpo). Esto nos permite hblr de R como un cuerpo ordendo. O. Existe un subconjunto P de R que veri c ls siguientes propieddes: O1. 8; b 2 R : ; b 2 P =) + b 2 P O2. 8; b 2 R : ; b 2 P =) b 2 P O3. Ddo 2 R; un y sólo un de ls siguientes condiciones se veri c: 2 P ; = 0 ; 2 P Notr que el conjunto P es no vcío puesto que 1 2 R; 1 6= 0;entonces por O3 se tiene 1 2 P o bien 1 2 P: Est últim opción no puede drse ( por qué?). Sen y b números reles, diremos que es menor que b, lo que escribimos < b, si b 2 P: Esto es 8; b 2 R : < b () b 2 P A prtir de quí se de nen (sucesivmente) 8; b 2 R : b () < b _ = b 8; b 2 R : > b () b < 8; b 2 R : b () > b _ = b El conjunto P recibe el nombre de conjunto de los números reles positivos y se suele denotr por R + Note que > 0 () 0 < () = 0 2 P O se > 0, 2 R + Consecuencis de los Axioms de Orden. 1. Ley de Tricotomí: Si y b son dos números reles, un y sólo un de ls siguientes condiciones se veri c: < b, = b; b < : 2. 8; b 2 R : b ^ b ) = b R : 2 0: En prticulr 1 2 P 4. 8; b; c 2 R : < b ^ b < c =) < c (trnsitividd)

5 5 5. 8; b; c 2 R : < b =) + c < b + c 6. 8; b; c; d 2 R : < b; c < d =) + c < b + d 7. 8; b; c 2 R : < b; c > 0 =) c < bc 8. 8; b; c 2 R : < b; c < 0 =) c > bc R : > 0 () 1 > 0 ; 8 2 R : < 0 () 1 < ; b 2 R : b > 0 () ( > 0 y b > 0) o ( < 0 y b < 0) 11. 8; b 2 R : b < 0 () ( > 0 y b < 0) o ( < 0 y b > 0) 12. 8; b 2 R : < b =) < +b 2 < b Demostrción:(de lgun de ls proposiciones) 3. Se 2 R; 6= 0; entonces hy dos csos posibles: 2 P o bien 2 P: Si 2 P; entonces por O2, = 2 2 P: Por otro ldo, si 2 P; tmbién por O2, ( ) ( ) 2 P; pero ( ) ( ) = = 2 : 4. < b; b < c =) b 2 P; c b 2 P, luego por O1, c = (b ) + (c b) 2 P: Esto último muestr que < c 9. Si > 0; 1 existe pues 6= 0: Si suponemos que 1 < 0; tendrímos que 1 = 1 < 0; lo que es un condrdicción, por lo tnto 1 > 0: 12.- Ddo que 1 > 0; = 2 > 0; luego 1 > 0: Entonces, como por hipótesis 2 b > 0; se sigue que b+ = 1 +b (b ) > 0; con lo cul <. Por otro ldo b b = 1 +b (b ) > 0; con lo cul < b: L propiedd 12 nos segur que no existe un número rel positivo que se menor o igul que culquier otro número rel positivo. Esto es, no existe un primer número rel positivo. En est construcción xiomátic sumimos que el conjunto de los números reles R se encuentr en correspondenci biunívoc con los puntos de un rect, dndo origen su representción geométric conocid como rect rel. En est representción, l desiguldd < b qued re ejd en el hecho que el punto de l rect que represent l número se encuntr l izquierd del punto que reprersent l número b. Sen y b números reles, b: Los siguientes conjuntos reciben el nombre de intervlos (; b) = fx 2 R : < x < bg; [; b] = fx 2 R : x bg

6 6 (; b] = fx 2 R : < x bg; (; +1) = fx 2 R : x > g; [; b) = fx 2 R : x < bg [; +1) = fx 2 R : x g ( 1; ) = fx 2 R : x < g; ( 1; ] = fx 2 R : x g Los cutro primeros son intervlos cotdos y los custro últimos son intervlos no cotdos. Tmbién se consider como intervlo no cotdo el conjunto R = ( 1; +1) : De nición.- Si es un número rel, se de ne el vlor bsoluto de medinte: si 0 jj = si < 0 Propieddes del vlor bsoluto 1. Se 2 R; entonces: jj 0; jj = 0 () = 0; jj jj : 2. Se c 2 R; c > 0: Entonces pr cd x 2 R; 3. Sen ; b 2 R; entonces: jxj = c () x = c o x = c jxj < c () c < x < c jxj > c () x > c _ x < c jbj = jj jbj j bj jj + jbj jjj jbjj j bj Considerndo l rect rel y ls propieddes del vlor bsoluto, el vlor bsoluto permite de nir l distnci entre dos puntos medinte: d(; b) = jb j Veremos en el siguiente cpítulo cómo est distnci determin l topologí de l rect rel Axioms de los Números Nturles Existe un único subconjunto N de R; llmdo conjunto de los Números Nturles, que posee ls siguientes propieddes: N N N2.- 8x 2 R : x < 1 =) x =2 N

7 7 N3.- n 2 N =) n N N4.- Si el conjunto S N es tl que: 1 2 S; y 8n : n 2 S =) (n + 1) 2 S: Entonces, S = N (Axiom de Inducción). El Axiom de Inducción, tmbién puede explicrse de l siguiente mner: Se P(n) un propiedd que pueden veri cr o no los números nturles. L propiedd P es válid pr todos los números nturles si se cumplen ls siguientes condiciones: 1. P (1) es verddero. 2. Si P (n) es verddero, entonces P (n + 1) es tmbién verddero Consecuencis del Axiom de los Números Nturles 1. k 2 N =) k 1 2. Se n 2 N: Entonces no existe número nturl k tl que n < k < n Si E N; E 6= ; entonces E posee un primer elemento, esto es, existe k 2 E tl que k n; 8n 2 E: Est propiedd es conocid como el principio de buen ordención de N: Qued de tre elborr ests demostrciones. El Conjunto N [ f0g [ fx 2 R : x 2 Ng se llm conjunto de los números enteros y se denot por Z: De nición (potenci con exponente entero).- Si es un número rel y n es un número entero, l n-ésim potenci de se de ne por: 0 = 1 1 = 8n 2 N : n+1 = n 8n 2 N : n = ( 1 ) n El número se llm l bse y n es llmdo el exponente. Leyes de los exponentes: Ls siguientes propieddes pueden ser demostrds pr exponentes enteros utilizndo l de nición nterior y el xiom de inducción. 1. m n = m+n 2. m n = m n 3. ( m ) n = mn 4. (b) n = n b n

8 8 5. ( b )n = n b n n = 6. b 7. n b m = bm n b n 1.4. Axiom de Arquímedes Aceptremos hor un xiom, que grntiz l existenci de números nturles rbitrrimente grndes. A. Se 2 R + ; entonces existe n 2 N, tl que < n: Consecuencis del Axiom de Arquímedes 1. Sen ; b 2 R + ; entonces existe n 2 N tl que n > b 2. Se 2 R + ; entonces existe n 2 N tl que 1 n < 3. Se 2 R + ;entonces existe n 2 N tl que n 1 < n Demostrciones: 1. El número b 2 R+ ; por el Axiom de Arquímedes, existe n 2 N tl que n > b y sí n > b: 2. Se sigue de 1.- considerndo b = 1 3. Se 2 R, y se E = fn 2 N : n > g N:. Por el xiom de Arquímedes E 6= y por el principio de buen ordención de N, E tiene un primer elemento, se n este primer elemento. Si n = 1, entonces n 1 < < n. Si n > 1, entonces n 1 2 N y luego n 1 =2 E y de est mner se tiene n 1 < n 1.5. Números Rcionles Diremos que 2 R es un número rcionl si existen enteros k y n tles que = k : Se denot por Q l conjunto de los números rcionles. Si 2 R Q, diremos n que es un número irrcionl. Un de ls propieddes más importntes del conjunto Q es l de ser denso en R, esto quiere decir que culquier número rel puede ser proximdo tnto como se quier por un número rcionl. Est propiedd se enunci sí: Teorem: 8; b 2 R; 9q 2 Q tl que < q < b

9 Conjuntos Acotdos. Supremo e ín mo Se S R: diremos que u 2 R; es un cot superior de S si x u; 8x 2 S: Asimismo, v 2 R; es un cot inferior de S;si v x; 8x 2 S: Si un conjunto S tiene cots superiores, se dice que es cotdo superiormente y si tiene cots inferiores se dice que es cotdo inferiormente. Un conjunto será cotdo si lo es superior e inferiormente. Ejemplos: 1. El conjunto N de los números nturles es cotdo inferiormente pues por ejemplo, 0 y 1; son cots inferiores de N, sin embrgo N no es cotdo superiormente en virtud del Axiom de Arquímedes es cot inferior del conjunto S = f 1 n : n 2 Ng; y 1 es cot superior de S 3. 0 es cot inferior de (0; 1) y 2 es cot superior 4. Todo número rel es cot superior e inferior del conjunto : Se S R; un conjunto cotdo superiormente, diremos que u o 2 R es el supremo de S si u o es l menor de ls cots superiores de S, esto es, u o es cot superior de S; y si u 2 R es otr cot superior de S; entonces u o u: Notción u o = sup S En form similr, se S R; un conjunto cotdo inferiormente, diremos que v o 2 R es el ín mo de S si v o es l myor de ls cots inferiores de S, esto es, v o es cot inferior de S; y si v 2 R es otr cot superior de S; entonces v v o : Notción v o = nf S Si el supremo (ín mo) de un conjunto S pertenece l conjunto, este se llm máximo (mínimo) del conjunto S: Un importnte relción tener en cuent es l siguiente: Si S R; sup(s) = nff x : x 2 Sg Ejemplos: 1. sup(0; 1) = 1; nf(0; 1) = 0 2. No existen sup(); ni nf(); pues todo número rel es cot inferior y superior del conjunto : 3. nf(n) = 1; y no existe sup(n) 4. Pr el conjunto S = f 1 : n 2 Ng; se tiene: 1 = sup(s); y 0 = nf(s) n

10 Axiom del Supremo Aceptremos hor el último xiom sobre los números reles: S. Todo subconjunto no vcío y cotdo superiormente de R tiene supremo. Consecuencis del Axiom del Supremo 1. Todo subconjunto S no vcío y cotdo inferiormente de R;tiene ín mo. 2. Existen números reles que no son rcionles: Demostrción: En efecto, se E = fx 2 R : x 0; x 2 2g: Clrmente E es no vcío y cotdo inferiormente por construcción. Se = nf (E): Se puede probr que 2 = 2 y que =2 Q: Sólo probremos est últim rmción. Supongmos, por el contrrio que 2 Q: Sen pues p y q enteros tles que = p ; sin perder generlidd los considerremos sin divisores comunes. Entonces p 2 = 2q 2 ; lo que implic que p 2 es un número pr, y en consecuenci, p q es un número pr. Ahor p = 2k ) p 2 = 4k 2 (multiplo de 4). Obtenemos sí que q 2 es un número pr y por lo tnto q es pr, lo que es un contrdicción pues p y q no tienen divisores comunes. Notción: = p 2 3. Procediendo en form nálog, se puede probr que pr cd número rel positivo y pr culquier número nturl n, existe un único número rel positivo b tl que b n = : Al número b lo llmremos l ríz n esim de y lo denotremos por 1 n o por np b: 4. Lo nterior permite extender l de nición de potencis exponentes rcionles, en l siguiente form: Si 2 R; p 2 Z; q 2 Z; q 6= 0; entonces p q = ( 1 q ) p y se denot por qp p : Se veri cn ls siguientes leyes: 1. r s = r+s 2. r s = r s 3. ( r ) s = rs 4. (b) r = r b r 5. r b r = ( b )r

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