((X A Y ) = A ) si y solo si X = Y, A = B, A X = X, (X A Y ) = X Y, (X A Y ) = X Y

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "((X A Y ) = A ) si y solo si X = Y, A = B, A X = X, (X A Y ) = X Y, (X A Y ) = X Y"

Transcripción

1 El examen de Lógica y fundamentos del resuelto por cortesía de Alberto Castellón 1) Sea A = P(B) el conjunto de los subconjuntos de un conjunto B. a) Pruébese que A es un modelo de la teoría de las álgebras de Boole con las siguientes interpretaciones de los símbolos primitivos de operación A =, (X A Y ) = X Y, donde la operación binaria A se ha denotado en forma infija y X designa al complementario B X del subconjunto X (1 punto). b) Una forma de introducir el concepto de espacio topológico es a través de operadores de clausura. Un operador de clausura en un conjunto B es una aplicación que asocia a cada subconjunto X de B otro subconjunto X c de B que satisface las siguientes propiedades, denominadas axiomas de Kuratowski: i) c =, ii) X X c, iii) X c c = X y iv) (X Y ) c = X c Y c, para cualesquiera subconjuntos X, Y B. Enriquézcase la teoría algebraica de las álgebras de Boole para obtener la teoría algebraica de los espacios topológicos (1 punto). c) Escríbase la teoría algebraica de los espacios topológicos discretos y la teoría de primer orden de los espacios topológicos groseros (0.5 puntos). Solución: Un cálculo directo lleva a las siguientes interpretaciones de las operaciones derivadas,,, y : y A = B, A X = X, (X A Y ) = X Y, (X A Y ) = X Y (X A Y ) = (X Y ) (X Y ). Obsérvese que cabe interpretar la inclusión de conjuntos, en vez de como una relación binaria, como una operación de orden 2 para la cual X Y si y solo si ((X A Y ) = A ). Del mismo modo, ((X A Y ) = A ) si y solo si X = Y, 1

2 lo cual no es sino otra forma de escribir el conocido método de la doble inclusión. Hasta ahora solo se ha visto que A es una (, ) estructura. Para comprobar que es un álgebra de Boole, hay que verificar que en A se verifica cualquier identidad satisfecha por el álgebra de Boole fundamental 2. Aquí es donde somos un poco rehenes de la definición dada en teoría para las álgebras de Boole. En lugar de proporcionar una lista de axiomas, se afirmó que una (, ) estructura era un álgebra de Boole si en ella se daba cualquier identidad válida en el álgebra 2. Un enunciado muy elegante, sí, y que colma las necesidades del cálculo de proposiciones, pero que se aparta de la caracterización usual de los modelos de una teoría algebraica. Cómo pasar de subconjuntos de B a ceros y unos? Subcobjuntos de un conjunto?, ceros y unos?: esto debería sonar a función característica. Desde luego, dos subconjuntos son iguales si y solo si tienen la misma función característica. Pues bien, veamos cómo se relacionan las funciones características de los subconjuntos de B con las operaciones primitivas A y A. Por un lado, la función característica de A es la aplicación constante de valor 0. Y si X, Y B, entonces χ (X A Y )(x) vale 0 si y solo si χ X (x) = 1 y χ Y (x) = 0, dicho de otra forma, χ A (x) = 2, y χ (X A Y )(x) = (χ X (x) 2 χ Y (x)), para cada x B. Así, por inducción en la estructura de los términos, resulta que para cada (, ) término s en n variables y cualesquiera subconjuntos X 1,..., X n de B, la función característica del conjunto s A (X 1,..., X n ) coincide con la función x s 2 (χ X1 (x),..., χ Xn (x)). Sea entonces (s = t) una identidad válida en el álgebra de Boole fundamental 2 con x 1,..., x n las variables que ocurren en los términos s y t. Ahora, para cada x B y cualesquiera subconjuntos X 1,..., X n de B se tiene que s 2 (χ X1 (x),..., χ Xn (x)) = t 2 (χ X1 (x),..., χ Xn (x)). Esto implica, por lo razonado más arriba, que s A (X 1,..., X n ) y t A (X 1,..., X n ) son dos conjuntos con la misma función característica, por lo que ambos conjuntos son iguales y A satisface la identidad (s = t). De ahí que A sea un álgebra de Boole. 2

3 Para la parte b) bastará con enunciar los axiomas de Kuratowski en términos de identidades. Por consiguiente, la teoría algebraica de los espacios topológicos constará del tipo operacional {,, c}, con α( ) = 0, α( ) = 2 y α(c) = 1, y su conjunto de identidades se obtendrá del de la teoría de las álgebras de Boole añadiéndole las cuatro siguientes: (c = ), ((x c x) = ), (c c x = x) y (c (x y) = (c x c y)). En un espacio topológico discreto, todo conjunto es cerrado, luego la teoría algebraica de los espacios topológicos discretos no es más que la de los espacios topológicos con la identidad adicional (c x = x). Esta teoría es equivalente a la de las álgebras de Boole en el sentido habitual de poseer los mismos modelos. Por el contrario, para introducir a los espacios topológicos groseros, que no tienen más cerrados que el vacío y el total, se necesita predicar una propiedad con el auxilio de cuantificadores. De ahí que el enunciado del ejercicio pida definir la teoría de primer orden de los espacios topológicos groseros. Aquí el lenguaje constará de los mismos símbolos primitivos de operación que la de los espacios topológicos, no habrá símbolos primitivos de relación, y como axiomas se tomará al conjunto de las clausuras universales de las identidades que definen a los espacios topológicos más la sentencia ( x)( (x = ) (c x = )), la cual viene a decir que, salvo el vacío, la clausura de cualquier subconjunto es el total. 2) De una proposición s (primitiva o compuesta) se dirá que es un absurdo si s es un teorema. Pruébese que s es un absurdo si y solo si {s} t cualquiera que sea la proposición t, por cada uno de los siguientes métodos: a) Recurriendo al teorema de complitud, esto es, comprobando que = s si y solo si {s} = t para cada t (1 punto). 3

4 b) Sin usar el teorema de complitud (1.5 puntos). Solución: Supóngase que = s. Esto significa que no existe ninguna valoración v tal que v(s) = 1. Sea t una proposición cualquiera. La implicación semántica {s} = t se satisface si para cada valoración v tal que v(s) = 1 se tiene v(t) = 1. Pero no existen tales valoraciones, luego {s} = t. Recíprocamente, si {s} = t para cada proposición t, tómese t = para concluir con que no hay valoraciones v con v(s) = 1, de donde = s. Esto finaliza la parte a). La parte b) es consecuencia del teorema de deducción. En efecto, el hecho de que s equivale a {s} pues s es la abreviatura de (s ). En teoría se comprobó que ( t) es un teorema del cálculo de proposiciones cualquiera que sea t. Combinando ambos resultados se obtiene que s implica {s} t para cada t. Recíprocamente, si {s} t para cada t, entonces {s}, por lo que s. 3) Sea T una teoría de primer orden completa que admite un modelo de cardinal finito n. Pruébese que cualquier otro T modelo ha de constar también de n elementos (2.5 puntos). Solución: Denótese por A al modelo de T de n elementos. Aprovechando que T es completa, se trata de escribir una sentencia que obligue a todos los modelos a poseer exactamente n elementos. Una tal sentencia p será la siguiente: ( x 1,..., x n )(( (x 1 = x 2 ) (x 1 = x 3 )... (x n 1 = x n )) ( y)((y = x 1 ) (y = x 2 )... (y = x n ))). Como T es completa, bien p bien p son teoremas de T. Pero hay un T modelo, luego T es consistente y no pueden darse a la vez T p y T p. Por otro lado, es obvio que A = p, luego T p y cualquier otro modelo deberá satisfacer la fórmula p, es decir, habrá de contar con exactamente n elementos. Esto resuelve el ejercicio. De hecho, aunque no lo pida el enunciado, es factible, usando técnicas semejantes a las expuestas, demostrar que T es categórica. Por ejemplo, si se escribe el T modelo A en la forma A = {a 1,..., a n } y ω es un símbolo primitivo del lenguaje con α(ω) = k, para cada i 1,..., i k, j {1,..., n}, considérense las fórmulas q(i 1,..., i k, j) = { (ωxi1... x ik = x j ) si ω A (a i1,..., a ik ) = a j (ωx i1... x ik = x j ) si ω A (a i1,..., a ik ) a j, 4

5 y r = ( x 1,..., x n )( (x 1 = x 2 ) (x 1 = x 3 )... (x n 1 = x n ) q(1, 1,..., 1, 1) q(1, 1..., 1, 2)... q(n,..., n)). Un razonamiento como el dado más arriba demuestra que r es un teorema de la teoría T. Por consiguiente, si B fuera otro T modelo, entonces B = r, con lo que hay una sustitución x i b i de variables por elementos de B, la cual proporciona una biyección f : A B que es un morfismo para la operación ω. 4) (El problema del castor afanoso) Considérese la función h : N N tal que h(n) es el mayor valor que contiene el registro R 1 cuando se ejecutan, con datos de entrada (0, 0, 0,...), programas de las siguientes características: i) Los programas constan exactamente de n instrucciones asociadas a los estados S 1,..., S n. ii) Los programas no afectan a más registros que los R 1,... R n. iii) Los programas finalizan (alcanzan eventualmente el estado S 0 ). La función h está globalmente definida pues, para cada n, solo hay un número finito de programas que satisfacen i)-iii) y, de entre ellos, alguno devolverá un valor máximo. En este ejercicio se trata de concluir con que h (la función castor afanoso) no puede ser recursiva. Para ello síganse los siguientes pasos: a) Demuéstrese que h(n + 1) > h(n) para cada número n (0.5 puntos). b) Pruébese que si f es una función global de orden 1 computada por un programa de longitud k, entonces h(n + k) f(n) para cada n (1 punto). c) De suponer que h es recursiva, llégese a una contradicción considerando la función compuesta g(n) = h(2n) (1 punto). Solución: En principio, da la impresión de que h (la función castor afanoso) es computable pues, para cada n, el conjunto de programas con las condiciones i)-iii) es finito. Así, podría escribirse un cierto algoritmo que genere todos esos programas para, con la ayuda de un programa universal, calcular todas las posibles salidas y escoger, de entre ellas, la mayor. Sin embargo, no está en nuestra mano determinar cuáles de esos programas finalizan debido a que el problema de la parada es recursivamente insoluble. De hecho, no es difícil demostrar que el carcácter no recursivo de la función castor afanoso equivale a la irresolubilidad del problema de la parada. 5

6 Para la parte a), supóngase que P es el programa de n estados que computa el valor h(n). En P modifíquese el salto al estado S 0 para que apunte al S n+1 y asóciese a este último la instrucción (1, +, 0). De esta forma hemos escrito un programa de n + 1 instrucciones que devuelve como resultado h(n) + 1. Puede que haya programas de n + 1 estados que den resultados mayores, luego h(n + 1) h(n) + 1 > h(n). Sea ahora f : N N una función global computada por el programa P de longitud k. Esta última característica de P implica que el número de registros modificados por el programa no es superior a k, por lo que puede reescribirse P para que dichos registros se encuentren en el rango R 1,..., R k. Para un n dado, se escribirá un programa Q cuyas n primeras líneas sean S 1 (1, +, 2) S 2 (1, +, 3). S n (1, +, n + 1), y que prosiga con P, cambiando las alusiones a los estados por un offset conveniente. El programa Q, al alcanzar al estado S n, deja a la máquina con los registros (n, 0, 0,...) y luego ejecuta una clónico del programa que computa a f, luego devolverá f(n) como resultado. Este programa posee n+k líneas y satisface las condiciones i)-iii), de donde h(n + k) f(n). Para finalizar, si h fuera recursiva, entonces g : n h(2n) también lo sería pues es composición de funciones recursivas. Y como g está globalmente definida, puede aplicarse la parte b) para deducir que h(n + k) h(2n), para cada n N, con k la longitud del programa que computa a g. Tomando n = k + 1 se obtiene h(2k + 1) h(2k + 2), lo cual contradice a la parte a). La función castor afanoso no puede ser entonces recursiva. 6

7 El problema del castor afanoso, equivalente al de la parada, ha dado lugar a numerosos tópicos, e incluso a la convocatoria de un concurso. Enunciado para máquinas de Turing, en vez de para máquinas de registros, se conoce el número máximo de unos que la máquina puede escribir sobre la cinta para 1, 2, 3 y 4 estados. Tales valores máximos son, respectivamente, 1, 4, 6 y 13. El premio se convocó en Se trataba de redactar un castor afanoso para máquinas de Turing que escribiese en cinco estados el máximo número de unos antes de detenerse. Celebrado el certamen, en enero de 1983, se declaró vencedor a Uwe Schult quien presentó un castor afanoso pentaestado capaz de imprimir 501 unos y finalizar. Sin embargo, en diciembre de 1984 George Uhing descubrió un castor afanoso que escribía unos antes de detenerse. Por supuesto que Schult quedó desposeído del título. Pero la naturaleza irresoluble del problema provoca que tampoco el nuevo campeón tenga la seguridad de ostentar ese mérito por toda la eternidad. Quizás aparezca el día menos pensado un castor más afanoso que el de Uhing. 7

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I 1. Un grupo es una tipo particular de Ω estructura cuando Ω es el tipo Ω = { } siendo una operación de aridad dos. Pero un grupo también es una Ω -estructura siendo Ω = {e, i,

Más detalles

Problemas indecidibles

Problemas indecidibles Capítulo 7 Problemas indecidibles 71 Codificación de máquinas de Turing Toda MT se puede codificar como una secuencia finita de ceros y unos En esta sección presentaremos una codificación válida para todas

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS 1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH 1-1. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R.

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS 1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH 1-1. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH - . INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS. ÁLGEBRA DE BOOLE. ÁLGEBRA DE BOOLE El álgebra de Boole

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido

Más detalles

Álgebras de Boole. Juan Medina Molina. 25 de noviembre de 2003

Álgebras de Boole. Juan Medina Molina. 25 de noviembre de 2003 Álgebras de Boole Juan Medina Molina 25 de noviembre de 2003 Introducción Abordamos en este tema el estudio de las álgebras de Boole. Este tema tiene una aplicación directa a la electrónica digital ya

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

personal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12

personal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12 Teoría de conjuntos. Teoría de Conjuntos. personal.us.es/elisacamol Curso 2011/12 Teoría de Conjuntos. Teoría de conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Propiedades. Un conjunto es la reunión en un todo

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

1. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos).

1. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos). 1. ÁLGEBRA DE BOOLE. El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada también álgebra de la lógica, permite prescindir

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos

Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos Apuntes de Matemática Discreta 14. Grafos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 14 Grafos Contenido 14.1 Generalidades.....................................

Más detalles

Aplicaciones lineales continuas

Aplicaciones lineales continuas Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas

Más detalles

EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS

EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS J. CLIMENT VIDAL Resumen. Una vez definidas las nociones y establecidas las proposiciones necesarias de la teoría de

Más detalles

Introducción. Lógica de proposiciones: introducción. Lógica de proposiciones. P (a) x. Conceptos

Introducción. Lógica de proposiciones: introducción. Lógica de proposiciones. P (a) x. Conceptos Introducción César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 1 La lógica ha sido históricamente uno de los primeros lenguajes utilizados para representar el conocimiento. Además es frecuente

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie

Más detalles

9.1 Primeras definiciones

9.1 Primeras definiciones Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación

Más detalles

UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL

UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN CARRERAS: LICENCIATURA Y PROFESORADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICA

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1.1. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Definición 1.1.1. Sea E un conjunto, se llama ley de composición interna en E si y sólo si a b = c E, a, b E. Observación 1.1.1. 1. también se llama

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones.

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. En este tema expondremos nociones y notaciones fundamentales que se emplearán cotidianamente en cualquier desarrollo matemático.

Más detalles

Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones

Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones Tema 13.- Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones 13.1 Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P. En lo que sigue A denotará

Más detalles

Aplicaciones abiertas y cerradas

Aplicaciones abiertas y cerradas 44 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las únicas propiedades

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

1. Teoría de Conjuntos

1. Teoría de Conjuntos 1. Teoría de Conjuntos 1.1. CONJUNTOS Considere las siguientes expresiones: 1. Los estudiantes de la Facultad de Matemática y Computación de la Universidad de La Habana del curso 2001-2002. 2. Los tomos

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 4. Permutaciones y Variaciones

Apuntes de Matemática Discreta 4. Permutaciones y Variaciones Apuntes de Matemática Discreta 4. Permutaciones y Variaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 4 Permutaciones y Variaciones

Más detalles

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 16/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Más detalles

Números Reales. MathCon c 2007-2009

Números Reales. MathCon c 2007-2009 Números Reales z x y MathCon c 2007-2009 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Propiedades básicas de los números naturales....................... 2 1.2. Propiedades básicas de los números enteros........................

Más detalles

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones: 2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

Tarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4

Tarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4 Tarea 4 Soluciones Extracto del libro Baldor. Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy,

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN En este capítulo veremos los métodos matemáticos que se disponen para las operaciones relacionadas con los circuitos digitales, así como las funciones más básicas de la

Más detalles

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO 1º) Considérese un número estrictamente positivo del sistema de números máquina F(s+1, m, M, 10). Supongamos que tal número es: z = 0.d 1 d...d s 10 e Responde

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. SISTEMAS PLANOS. TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON. La aplicación de Poincaré Recordemos que un subconjunto H de R n es una subvariedad de codimensión uno (o una

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). TEMA 5.- GRAFOS 5.1.- DEFINICIONES BÁSICAS Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). Gráficamente representaremos

Más detalles

Matemáticas Discretas

Matemáticas Discretas Matemáticas Discretas Conjuntos (11) Curso Propedéutico 2009 Maestría en Ciencias Computacionales, INAOE Conjuntos (2) Dr Luis Enrique Sucar Succar esucar@inaoep.mx Dra Angélica Muñoz Meléndez munoz@inaoep.mx

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.

Más detalles

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO EJERCICIOS 3. Escriba en notación expandida los siguientes numerales : a) 2375 b) 110111

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Funciones

Conjuntos, Relaciones y Funciones Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de

Más detalles

Una (muy) breve introducción a la teoría de la computación

Una (muy) breve introducción a la teoría de la computación Una (muy) breve introducción a la teoría de la computación Marcelo Arenas M. Arenas Una (muy) breve introducción a la teoría de la computación 1 / 48 Ciencia de la computación Cuál es el objeto de estudio

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Tipos Abstractos de Datos

Tipos Abstractos de Datos Objetivos Repasar los conceptos de abstracción de datos y (TAD) Diferenciar adecuadamente los conceptos de especificación e implementación de TAD Presentar la especificación algebraica como método formal

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

Orden y estructuras algebraicas mediante nuevas tecnologías

Orden y estructuras algebraicas mediante nuevas tecnologías Orden y estructuras algebraicas mediante nuevas tecnologías Miguel A. García-Muñoz, Carmen Ordóñez y Juan F. Ruiz Departamento de Matemáticas (Área de Álgebra). Universidad de Jaén. Campus Las Lagunillas

Más detalles

Álgebra Universal. Capítulo 1

Álgebra Universal. Capítulo 1 Capítulo 1 Álgebra Universal Problema 1 Demuestra que un conjunto G provisto de una operación asociativa (denotada por yuxtaposición) que satisface: Existe e G tal que ex = x para todo x G, y para cada

Más detalles

Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria.

Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Operación Binaria Se conoce una operación binaria

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

Universidad Católica del Maule. Fundamentos de Computación Especificación de tipos de datos ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS

Universidad Católica del Maule. Fundamentos de Computación Especificación de tipos de datos ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS Especificación algebraica ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS Un tipo abstracto de datos se determina por las operaciones asociadas, incluyendo constantes que se consideran como operaciones sin

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones

Más detalles

342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO.

342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO. 342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO. ALGUNAS APLICACIONES A LA TEORIA DE LAS FORMAS BINARIAS. Encontrar una forma cuya duplicación produce una forma dada del género principal. Puesto que los elementos

Más detalles

y los conos serán todos los diagramas (acá usamos la palabra en el sentido habitual, no en el que acabamos de definir) de la forma

y los conos serán todos los diagramas (acá usamos la palabra en el sentido habitual, no en el que acabamos de definir) de la forma (Novena clase: Límites y colímites) Las definiciones de obeto terminal, producto binario, ecualizador y pullback, son casos particulares de un concepto general, llamado límite, que presentaremos a continuación.

Más detalles

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes

Más detalles

INTRODUCCION A LA LÓGICA DE ENUNCIADOS

INTRODUCCION A LA LÓGICA DE ENUNCIADOS INTRODUCCION A LA LÓGICA DE ENUNCIADOS Carlos S. Chinea 0. Enunciados: Lo fundamental en el lenguaje ordinario, la herramienta para manifestar las ideas, sentimientos, descripción de situaciones diversas,

Más detalles

Inducción y recursión

Inducción y recursión Capítulo 11 Inducción y recursión Índice del Capítulo 11.1. Introducción.................................. 229 11.2. Inducción matemática............................. 230 11.3. Ayudas para pruebas por

Más detalles

{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por.

{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por. 2. Nociones sobre Teoría de Conjuntos y Lógica Para llevar a cabo nuestro propósito de especificar formalmente los problemas y demostrar rigurosamente la correctitud de nuestro programas, introduciremos

Más detalles

Un problema sobre repetidas apuestas al azar

Un problema sobre repetidas apuestas al azar Un problema sobre repetidas apuestas al azar Eleonora Catsigeras 1 10 de marzo de 2003. Resumen En estas notas se da el enunciado y una demostración de un conocido resultado sobre la probabilidad de éxito

Más detalles

ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos

ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos Renato Lewin Pontificia Universidad Católica de Chile Julio de 1998 1 Conjuntos Ordenados 1.1 Definición y Ejemplos Un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Sucesiones y convergencia

Sucesiones y convergencia Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción

Más detalles

Lógica, conjuntos, relaciones y funciones

Lógica, conjuntos, relaciones y funciones Lógica, conjuntos, relaciones y funciones Álvaro Pérez Raposo Universidad Autónoma de San Luis Potosí Universidad Politécnica de Madrid Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana A la memoria

Más detalles

I. ALGEBRA DE BOOLE. c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a. ( b + c) = a. b + a. c a + ( b. c ) = ( a + b ).

I. ALGEBRA DE BOOLE. c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a. ( b + c) = a. b + a. c a + ( b. c ) = ( a + b ). I. I.1 DEFINICION. El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones

Más detalles

Haydee Jiménez Tafur Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Estudiante de maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.

Haydee Jiménez Tafur Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Estudiante de maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. "Otras Alternativas Para La Definición De Relación En Teoría De Conjuntos" Carlos Julio Luque Arias Profesor Universidad Pedagógica Nacional Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Haydee Jiménez

Más detalles

CAPÍTULO I 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

CAPÍTULO I 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO I 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Un sistema de numeración se caracteriza

Más detalles

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Víctor Hernández Eduardo Ramos Ildefonso Yáñez c Víctor Hernández, Eduardo Ramos, Ildefonso Yánez EDICIONES CDÉMICS Probabilidad y sus aplicaciones

Más detalles

El examen de Geometría afín y proyectiva del 3 de julio del 2007 resuelto por cortesía de Alberto Castellón

El examen de Geometría afín y proyectiva del 3 de julio del 2007 resuelto por cortesía de Alberto Castellón El examen de Geometría afín y proyectiva del 3 de julio del 2007 resuelto por cortesía de Alberto Castellón 1) Considérese la proyectividad σ del plano proyectivo real en sí mismo que, en relación al sistema

Más detalles

INDICE. XVII Prólogo a la edición en español. XXI 1. Calculo proporcional 1.1. Argumentos y proporciones lógicas

INDICE. XVII Prólogo a la edición en español. XXI 1. Calculo proporcional 1.1. Argumentos y proporciones lógicas INDICE Prologo XVII Prólogo a la edición en español XXI 1. Calculo proporcional 1.1. Argumentos y proporciones lógicas 1 1.1.1. Introducción 1.1.2. Algunos argumentos lógicos importantes 2 1.1.3. Proposiciones

Más detalles