Formulario. Estadística Administrativa. Módulo 1. Introducción al análisis estadístico

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1 Formulario. Estadística Administrativa Módulo 1. Introducción al análisis estadístico Histogramas El número de intervalos de clase, k, se elige de tal forma que el valor 2 k sea menor (pero el valor más aproximado) al número de observaciones. Criterio de Sturges: k= 1+3.3log(n) Ancho de clase = Media aritmética (media muestral) Media aritmética (muestral) para datos agrupados fi = frecuencia absoluta de la clase i mi= es el punto medio de la clase i k = # Intervalos de clase Mediana (muestral) Si n es impar, Si n es par, es la observación ordenada es el promedio las observaciones ordenadas Moda (muestral) Es el valor que más se repite Varianza muestral Varianza muestral para datos agrupados Desviación estándar muestral Coeficiente de variación muestral fi = frecuencia absoluta de la clase i mi= es el punto medio de la clase i k = # Intervalos de clase Es la media muestral agrupada

2 Percentil P 0< P < 100 Es la observación ordenada Diagrama de caja 1. Observación mínima no considerada extrema = Q1-1.5*fs 2. Primer cuartil (Percentil 25, Q1) 3. Mediana (Percentil 50, Q2) 4. Tercer cuartil (Percentil 75, Q3) 5. Observación máxima no considerada extrema = Q *fs Rango intercuartílico = fs= Q3 Q1 Puntos extremos del lado izquierdo < Q1-1.5*fs Puntos extremos del lado derecho > Q *fs Módulo 2. Teoría de Probabilidad Probabilidad marginal P(A) Regla del complemento P(A c ) = 1 P(A) Probabilidad conjunta P(A B) Regla de la adición para eventos mutuamente excluentes P(A B)= P(A) + P(B) Regla de la adición para eventos con elementos en común P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Regla de la multiplicación para eventos P(A B) = P(A)P(B) independientes Regla de la multiplicación para eventos P(A B) = P(A/B)P(B) ; dependientes P(A B) = P(B/A)P(A) Probabilidad condicional para eventos independientes P(A/B) = P(A) ; P(B/A) = P(B) Probabilidad condicional para eventos dependientes P(A/B) = ; P(B/A) = Regla de producto para pares ordenados T = n 1 *n 2 Regla de producto para arreglos ordenados de k elementos T k = n 1 *n 2* *n k Permutaciones En la selección: Importa el orden la selección es sin reemplazo. Combinaciones En la selección: No importa el orden la selección es sin reemplazo. ncx

3 Módulo 3. Modelación de mediciones aleatorias Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta Valor esperado de una variable aleatoria discreta para todos los valores de X para todos los valores de X Varianza de una variables aleatoria discreta donde, Distribución de probabilidad Binomial X = # de éxitos en n pruebas idénticas Valor esperado varianza de una variable aleatoria Binomial Distribución de probabilidad Poisson X = # de éxitos en un intervalo de tiempo Valor esperado varianza de una variable aleatoria Poisson Función de densidad de probabilidad Distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria continua Valores esperados para variables aleatorias continuas P(X = x) = ncx Para x = 0,1,2,3,...,n µ = E(X) = np σ 2 = V(X) = np(1-p) P(X = x) = x = 0,1,2,3, E(X) = µ V(X) = µ f(x) para variables aleatorias continuas Varianza de una variable aleatoria continua donde, Propiedades del valor esperado E(aX + b) = ae(x) + b Propiedad de la varianza V(aX + b) = a 2 V(X) Función de densidad de probabilidad normal Si X ~ Normal con E(X) = µ V(X) = σ 2 Entonces Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria exponencial Función de distribución acumulada de una variable aleatoria exponencial ~ Normal Estándar con E(Z) = 0 V(Z) = 1 para

4 Módulo 4. Distribuciones de muestreo estimación de parámetros Distribuciones de muestreo Escenario Estadístico Distribución Parámetros Población normal Normal Población desconocida Aproximadamente Normal Aproximadamente normal Intervalos de confianza estimados de 100*(1-α)% Escenario Intervalo Caso 1. Intervalo para µ σ Distribución poblacional de X normal x ± z α Varianza conocida, σ 2 2 Caso 2. Intervalo para µ con muestras pequeñas Distribución poblacional de X normal Varianza desconocida n Caso 3. Intervalo para σ 2 Distribución poblacional de X normal LIC Caso 4. Intervalo para p ; ; (Nivel de confianza aproximado) LSC Tamaños de muestra Para estimar un intervalo para µ para el Caso 1 (Población infinita) Para estimar un intervalo para µ para el Caso 1 (Población finita) E = Error máximo permisible N= Tamaño de la población D=

5 Para estimar un intervalo para P para el Caso 5 E = Error máximo permisible Módulo 5. Pruebas de hipótesis paramétricas no paramétricas Pruebas de hipótesis con un nivel de significancia de α para una población Escenario Hipótesis Estadístico Regiones de rechazo Caso 1. Prueba para µ Distribución de X normal H 0 : µ = µ 0 H a : µ > µ 0 z z α H a : µ < µ 0 z - z α Varianza conocida, σ 2 H a : µ µ 0 Z - z α/2 ó z z α/2 Caso 2. Prueba para µ Distribución de X normal Varianza desconocida H 0 : µ = µ 0 H a : µ > µ 0 t t α,n-1 H a : µ < µ 0 t - t α, n-1 H a : µ µ 0 t - t α/2, n-1 ó t t α/2, n-1 Caso 3. Prueba para σ 2 Distribución de X normal H 0 : σ 2 = σ 2 0 H a : σ 2 > σ 2 0 χ 2 χ 2 α, n-1 H a : σ 2 < σ 2 0 χ 2 χ 2 1- α, n-1 H a : σ 2 σ 2 0 χ 2 χ 2 1- α/2, n-1 ó χ 2 >= χ 2 α/2, n-1 Caso 4. Prueba para p (nivel de significancia aproximado) ; ; H 0 : p = p 0 H a : p > p 0 z z α H a : p < p 0 z - z α H a : p p 0 z - z α/2 ó z z α/2 Pruebas de hipótesis con un nivel de significancia de α para dos poblaciones

6 Escenario Hipótesis Estadístico Regiones de rechazo H 0 : µ 1 µ 2 = Δ 0 H a : µ 1 µ 2 > Δ 0 z z α Caso 1. Prueba para µ 1 µ 2 Distribuciones normales. Varianzas conocidas (σ 1 2,σ 2 2 ) Muestras independientes. H a : µ 1 µ 2 < Δ 0 z - z α H a : µ 1 µ 2 Δ 0 z z α/2 z - z α/2 ó H a : µ 1 µ 2 > Δ 0 z z α H a : µ 1 µ 2 < Δ 0 z - z α z - z H a : µ 1 µ 2 Δ α/2 ó 0 z z α/2 Caso 2. Prueba para µ 1 µ 2 Escenario 1 Distribuciones normales. Muestras independientes. H 0 : µ 1 µ 2 = Δ 0 H a : µ 1 µ 2 > Δ 0 t t α, (n1+ n2) -2 H a : µ 1 µ 2 < Δ 0 t - t α, (n1+ n2) -2 Varianzas desconocidas, pero asumidas iguales. σ 1 2 = σ 2 2 H a : µ 1 µ 2 Δ 0 t - t α/2, (n1+ n2) -2 ó t t α/2,( n1+ n2) -2 Escenario 2 Distribuciones normales. Muestras independientes. Varianzas desconocidas, pero asumidas diferentes. σ 1 2 σ 2 2 H 0 : µ 1 µ 2 = Δ 0 H a : µ 1 µ 2 > Δ 0 T t α, ν H a : µ 1 µ 2 < Δ 0 T - t α, ν H a : µ 1 µ 2 Δ 0 t - t α/2, ν ó t t α/2, ν Caso 3. Prueba para σ 1 2 /σ 2 2 H 0 : σ 1 2 /σ 2 2 = 1 Distribuciones normales H a : σ 1 2 /σ 2 2 > 1 ν 1 =n 1-1 ν 2 =n 2-1 F F α, ν1,ν2

7 Muestras independientes H a : σ 1 2 /σ 2 2 < 1 F F 1-α, ν1,ν2 H a : σ 1 2 /σ Donde, F F F 1-α/2, ν1,ν2 ó f α/2, ν1,ν2 Caso 4. Prueba para p 1 p 2 (nivel de significancia aproximado) Escenario 1 Muestras independientes Δ 0 = 0 i = 1, 2 ; Escenario 2 Muestras independientes Δ 0 0 H 0 : p 1 p 2 = 0 H a : p 1 p 2 > 0 z z α H a : p 1 p 2 < 0 z - z α z H a : p 1 p 2 0 H 0 : p 1 p 2 = 0 - z α/2 ó z z α/2 H a : p 1 p 2 > 0 z z α ; i = 1, 2 H a : p 1 p 2 0 Valor P = 1 P(Z < z calculada ) H a : p 1 p 2 < 0 z - z α Valor P para una prueba Z para una prueba de cola superior z - z α/2 ó z z α/2 Valor P = P(Z < - z calculada) Valor P = 2*[1 - P(Z < z calculada )] Si, Valor P Valor P para una prueba de cola inferior para una prueba de dos colas Rechazar H 0 al nivel α No rechazar H 0 al nivel α Análisis de Varianza, ANOVA, de un factor Hipótesis Supuestos Región de rechazo H 0 = µ 1 = µ 2 = = µ i =... = µ k H a = al menos dos de las µ i son diferentes Las poblaciones tienen distribuciones normales Las poblaciones tienen desviaciones estándar poblacionales iguales. Las muestras se seleccionan de manera independiente Rechazar H 0 si F >= F α, k 1, n k

8 Fuente de Variación Entre tratamientos Tabla ANOVA Suma de Cuadrados G. de L. Cuadrados Medios Estadístico k - 1 Dentro de tratamientos SCE = SC(Total) - SCT n - k Total n - 1 Donde, T i n i Es la suma total de los valores x en la muestra i Es el número de observaciones en la muestra i Es la suma de los valores de x en todas las muestras Son los valores de x en todas las muestras elevados al cuadrado luego sumados N es el número total de observaciones n = n 1 + n n i + + n k K El número de niveles (poblaciones o tratamientos) del factor Pruebas de la bondad de ajuste Aplicaciones: Hipótesis Estadístico Regiones de rechazo Frecuencias esperadas iguales o diferentes Normalidad H 0 : las frecuencias observadas son iguales a las esperadas Ha: Son diferentes k = clases o celdas e i = n*p i Tablas de contingencia H 0 : las variables categóricas son independientes Ha: Son dependientes r = # renglones c = # columnas

9 Niveles de confianza más utilizados para estimar intervalos que involucran Z 1 - α α α/2 z α/ z 0.05 = z = z 0.01 = z = Regiones de rechazo más utilizadas para pruebas Z con un nivel de significancia de α Prueba de cola inferior Prueba de cola superior Prueba de dos colas α z - z α z z α z - z α ó z z α 0.1 -z 0.1 = z 0.1 = z 0.05 = ó z 0.05 = z 0.05 = z 0.05 = z = ó z = z 0.02 = z 0.02 = z 0.01 = ó z 0.01 = z 0.01 = z 0.01 = z = ó z = 2.575