4 MODELOS LINEALES Y NO LINEALES - REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO

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1 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS 4 MODELOS LINELES Y NO LINELES - REPRESENTCIÓN EN VRIBLES DE ESTDO Itrodcció Hemo mecioado qe lo modelo co lo qe amo a trabajar o del tipo de ecacioe matemática má epecíicamete ecacioe algebraica diereciale ordiaria o e deriada parciale Particlarmete i qeremo trabajar co modelo diámico la ecacioe diereciale icle la ariable tiempo La reolció de dica ecacioe diereciale pede realizare e el propio domiio del tiempo e el cal ormalmete plateamo etro modelo pero tambié como eremo má adelate pede realizare traormacioe de dica ecacioe para reolerla e el domiio de Laplace (er Capítlo 6) o e el domiio de la rececia (er Capítlo 7) E el domiio de Laplace la ecacioe diereciale repecto al tiempo e traorma ormalmete e ecacioe algebraica E el domiio de la rececia e pede ializar co relatia ecillez el comportamieto diámico del itema Retrigiédoo al domiio del tiempo eite importate dearrollo matemático para la reolció de modelo lieale por lo qe ormalmete e comieza por etdio; para lo modelo o lieale e platea la liealizació preia e etoro determiado de trabajo Repreetació e ariable de etado ( State - pace model ) E orma geeral modelo diámico pede ecribire como dode e el ector de ariable de etado el ector de ariable de etrada Cado la ció e lieal teemo el bcojto de lo modelo lieale E particlar la ormlació de modelo e ariable de etado para itema lieale e: B C D dode e el ector de ariable de alida B C D o matrice E particlar e la matriz jacobiaa Veamo ejemplo aclaratorio Coideremo do taqe coectado e erie tal como e metra e la Figra 4 ILM

2 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS ILM Fig 4 Do taqe de líqido coectado e erie mamo qe el ljo qe ale de cada taqe e proporcioal a la altra de líqido (eto o e rigroamete cierto pero pede er a aproimació álida e cierto rago): i = i i Realizado lo correpodiete balace de materia e cada taqe amiedo qe el área traeral orizotal ( i ) e cotate e cada taqe: Eta mima ecacioe pede ecribire e orma matricial: O bie dode d d B B

3 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS ILM 3 Si tomamo la altra como ariable de alida tambié podemo ecribir la igiete ecació co Liealizació de modelo o lieale Veamo primero ejemplo de a ció de a ariable: Llamemo a la olció de etado etacioario eto e ( ) = Realizado a epaió por Talor e toro al pto de etado etacioario: Depreciado lo térmio de maor orde Por er etado etacioario ( ) = etoce O deiiedo la ariable deiació = - Dode e la deriada de la ció ealada e el pto de etado etacioario D C C D d d d d d

4 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS ILM 4 Spogamo aora ejemplo de a ció co a ariable de etado a de alida: Realizado a epaió por Talor e toro al pto de etado etacioario ( ): Depreciado lo térmio de maor orde Por er etado etacioario ( ) = etoce O deiiedo la ariable deiació = = - Veamo ejemplo: Taqe de líqido co alida proporcioal al cadrado de la altra de líqido (Figra 4; er ejem4ce ) Fig 4 Taqe de líqido; el ljo de alida e proporcioal a la raíz cadrada de la altra de líqido d d b a d d i V

5 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS ILM 5 La ció del modelo deriada del balace de materia dode e la ariable de etado i e la ariable de etrada o lo parámetro Uado Talor El térmio etre parétei recto e cero porqe e el alor e etado etacioario Y ado la ariable deiació O bie llamado = = co E orma geeral pede ecribire d i d d b a d b a m r m m m g g r

6 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS Si e tiee el ector de ariable de etado el ector de m ariable de etrada e el ector de r ariable de alida g Para liealizar e deie la matrice de la igiete maera: ij i j B ij i j C ij g i j D ij g i j Si aotamo co la ariable deiació B C D Cabe detacar qe mca ece la ariable de alida o o ció de la de etrada etoce D = ; e iclo mca ece la ariable de alida () o la propia ariable de etado () co lo cal la matriz C e la matriz idetidad Veamo otro ejemplo: do taqe e erie ambo e el mimo iel (Figra 43) mamo qe el ljo qe ale de cada taqe e proporcioal a la raíz cadrada de la altra de líqido: Fig 43 Do taqe e erie colocado al mimo iel Realizado lo correpodiete balace de materia amiedo qe el área traeral orizotal de cada taqe ( i ) e cotate: d d ILM 6

7 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS ILM 7 mamo qe olo e mide la altra del egdo taqe; la ariable de alida e etoce = De modo qe reecribiedo el modelo e orma matricial Solció para el cao e qe o a etrada ( zero-ipt orm ) Recordemo la orma geeral para la ormlació e ariable de etado de lo modelo lieale: Pede coiderare el cao epecial e el qe la etrada e matiee cotate e el alor de etado etacioario (eetalmete e pede acer cambio de ariable): g C g C B B dode d d B

8 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS De igal orma qe para a úica ariable la olció de la ecació e at ( t) e () qe e etable (coerge a alor) i a < e orma imilar para aria ariable t qe e etable i lo alore propio ( eigeale ) de o egatio Para calclar la matriz epoecial coideremo la matriz V de ectore propio ( eigeector ): V la matriz de lo alore propio (t) e () a Etoce VV e t V e t V e t t e e t Por lo qe la olcioe del itema etá dada por (t) V e Dode () o la codicioe iiciale () Depediedo de cále ea la codicioe iiciale elegida erá la eolció e el tiempo de la ariable de etado E particlar i la codició iicial etá e la mima direcció del ector propio i etoce la elocidad de repeta erá proporcioal al alor propio i (er ejem4ce ejem43ce ) V t Solció para el cao geeral Recordemo qe la orma geeral de lo itema lieale era B De igal orma qe para úica ariable a b ILM 8

9 DINÁMIC Y CONTROL DE PROCESOS la olció e at b e at ( t) e () a cado (t) = cte = () e orma imilar para aria ariable (t) P () Q () dode t P e Q - P I B La ecació pede reolere tambié para itema qe cambia e el tiempo pao a pao: O bie ( t Δt ) P ( t ) Q (t) ( k ) P ( k ) Q ( k) ILM 9