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Josefina Aranda Olivares
hace 7 años
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1 Instituto Tecnológico de Saltillo CÁLCULO INTEGRAL Enero-Junio 2012

2 Programa de Unidades I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). II. La integral Indefinida. III.Técnicas de Integración Indefinida. IV. La Integral Definida. V. Integrales Impropias. VI. Aplicaciones de la Integral.

3 Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). 1.1 Definición de Integral 1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales. 1.3 Diferenciación de funciones elementales. 1.4 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen x n. 1.5 Diferenciación de funciones que contienen u. 1.6 Diferenciación de productos y cocientes de funciones. 1.7 Incrementos, diferenciales y aproximaciones.

4 Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). 1.1 Definición de Integral. Qué es una integral? Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. Es decir, la segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas.

5 Qué es una integral? Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: Por ejemplo. 1) Suma y Resta. 2) Multiplicación y División. 3) Elevación a potencias y extracción de raíces. 4) Los logaritmos y los antilogaritmos o exponenciales. Hemos estado estudiando la derivación; su proceso inverso es la antiderivación.

6 En la materia de Cálculo Diferencial, se hizo referencia únicamente al siguiente proceso: Dada una función f( x ) encontrar su derivada f ( x) En esta clase se verá que un problema igualmente importante es: Dada una función f( x ), encontrar una función Fx ( ) cuya derivada sea la dada.

7 Definición 1. Se dice que una función Fx ( ) es una antiderivada de una función si F ( x) f ( x) en algún intervalo. Ejemplo: Una antiderivada de f ( x) 2x 2 es: F( x) x puesto que F ( x) 2x Siempre hay más de una antiderivada de una función, en el ejemplo anterior, F ( x) x 2 1 y F ( x) x 2 10 son también 1 2 antiderivadas de f ( x) 2x, puesto que F ( x) F ( x) f ( x) Fx ( ) 1 2 En efecto, si es una antiderivada de una función, entonces G( x) F( x) C; esto es, dos o más antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando mucho en una constante.

8 1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales Cálculo Integral f ( x x) Q L sec L tan y f ( x x) f ( x) S P R dy x x ( xx) Si x 0 Entonces Q P; m m Lsec gira hacia L y tan L sec L tan y f ( x x) f ( x) ml tan lim f ( x) x 0 x x

9 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? f ( x x) Q L sec L tan y f ( x x) f ( x) S P R dy x x ( xx) Cálculo Integral y f ( x x) f ( x) ml tan lim f ( x) x 0 x x

10 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Supongamos que tenemos una función cualquiera

11 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Sabemos que la derivada de f(x) esta dada por la pendiente de la recta Tangente en cierto punto P. L tan P x

12 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Como la recta tangente toca un solo punto en f(x) y sabemos que calcular la pendiente m requiere dos puntos, tal como lo muestra su fórmula, entonces, L tan P y y m x x x

13 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Nos auxiliamos de otra recta que si toca dos puntos a f(x), esta recta es una recta Secante, que corta a P y Q en f(x). L sec f ( x x) Q P x ( xx)

14 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Como lo que nos interesa calcular en realidad es la pendiente m de la recta tangente, entonces, lo que hacemos es buscar aproximar la recta secante hacía la recta tangente, L sec f ( x x) Q L tan P x ( xx)

15 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante, dados los puntos P( x, f ( x )) y Q(( x x), f ( x x)) tenemos que, L sec f ( x x) Q y f ( x x) f ( x) m Lsec y y y x x x P x ( xx) x

16 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante, dados los puntos P( x, f ( x )) y Q(( x x), f ( x x)) tenemos que, L sec f ( x x) Q y f ( x x) f ( x) Lsec m y f ( x x) f ( x) x ( x x) x P Cálculo Integral x ( xx) x ( x x) x

17 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante, dados los puntos P( x, f ( x )) y Q(( x x), f ( x x)) tenemos que, L sec f ( x x) Q y f ( x x) f ( x) P m Lsec f ( x x) f ( x) x x ( xx) x

18 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Ahora, como hacer para que la recta secante se aproxime a la recta tangente?

19 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Si x 0 Entonces Q P; m m Lsec gira hacia L y tan L sec L tan f ( x x) Q L sec L tan y f ( x x) f ( x) P x x ( xx)

20 Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso? Y la forma de lograr esto es mediante el uso de límites. f ( x x) Q L sec L tan y f ( x x) f ( x) P x x ( xx) y f ( x x) f ( x) ml tan lim f ( x) x 0 x x

21 Hasta ahora hemos aprendido la definición de derivada por incrementos, mejor conocido como Teorema fundamental del cálculo, tal como se estudió en la materia de Cálculo Diferencial. Pero para el Cálculo Integral que ya sabemos que es el proceso inverso de la derivada, se requiere de una herramienta que proviene precisamente de este teorema. Llamada DIFERENCIALES.

22 y f ( x) Diferenciales Si, donde es una función diferenciable, entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, podemos dar a cualquier número real y como, dx dy m f ( x) Ltan dx dy Entonces la diferencial se define en términos de por medio de la siguiente ecuación: dy f ( x) dx dx

23 Interpretación Geométrica de Diferenciales Vemos que se incluyeron dos nuevos puntos en la gráfica, R y S, donde R tiene coordenadas R ( x x), f ( x) y S el punto donde se interseca ( xx) dy con la recta tangente, por tanto es la distancia de R a S. f ( x x) Q L sec L tan S y P R dy x dx x ( xx) dy representa la cantidad que se eleva o cae la tangente (cambio en la linealización).

24 Interpretación Geométrica de Diferenciales Mientras que y representa la cantidad que se eleva o cae la gráfica y f ( x), cuando cambia en una cantidad. x dx f ( x x) Q L sec L tan S y P R dy x dx x ( xx)

25 Clasificación de funciones Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior para facilitar el aprendizaje. La primera clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera: 1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas.

26 1) Funciones elementales. Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante o bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable x. Ejemplos: y 4; y 1 ; y sen x; yln x x

27 2) Funciones básicas. Las funciones básicas las definiremos como las funciones que n contienen en su estructura un binomio de la forma: y ax b Ejemplos: y 2 3x 2 y ln(2x 1) ycos(1 2 x)

28 3) Funciones metabásicas. Y por último las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que tienen la estructura: y a x a x... a x a n n m1 m

29 La segunda clasificación de interés presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo al siguiente orden: 1) Funciones algebraicas. 2) Funciones exponenciales. 3) Funciones logarítmicas. 4) Funciones trigonométricas. 5) Funciones trigonométricas inversas. 6) Funciones hiperbólicas. 7) Funciones hiperbólicas inversas.

30 Introducción a las diferenciales por fórmulas. Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que se multiplican ambos lados por " dx" (se dice de equis o diferencial de equis ).

31 1.3 Diferenciación de funciones elementales. Diferenciación de funciones elementales algebraicas. Funciones elementales algebraicas: 1) y k 2)y x 3) y x 4)y x 5)y 1 x Fórmulas de diferenciales de funciones elementales algebraicas : 1) dk ( ) 0 2) d( x) dx x 3) d( x ) x dx 1 4) d( x) dx 2 x 1 1 5)d dx 2 x x

32 Realizado por: Enero de

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