La frecuencia relativa acumulada se suele expresar en forma de % y nos indica el % de datos que hay menores o iguales al valor xi correspondiente.

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Estadística : Es la ciecia que estudia cojutos de datos obteidos de la realidad. Estos datos so iterpretados mediate tablas, gráficas y otros parámetros como la media, la moda, la mediaa, la desviació típica, etc Població : Es el cojuto formado por todos los elemetos que queremos estudiar. Por ejemplo, si vamos a estudiar el peso de los jóvees de 7 años acidos e España, la població sería precisamete el cojuto formado dichos jóvees Muestra : Es ua parte de la població que elegimos para estudiarla. Se tomará ua muestra cuado la població sea muy umerosa. La muestra debe ser represetativa de la població. El úmero de elemetos de la muestra se llama tamaño de la muestra y cada elemeto se llama idividuo. El proceso de elecció de la muestra se llama muestreo. E el ejemplo del peso de los jóvees mecioado ateriormete, elegiríamos ua muestra formada por sólo alguos jóvees, por ejemplo, jóvees (tamaño ). Para que la muestra fuese represetativa de la població habría que tomar hombres y mujeres y de todas las comuidades autóomas. Si queremos estudiar el peso de los alumos de esta clase o es ecesario tomar ua muestra: tomaríamos toda la població pues hay pocos alumos. Variable estadística: Es la característica que queremos estudiar de la població. E el ejemplo aterior, la variable estadística es el peso Tipos de variables estadísticas: Las variables estadísticas se clasifica e: Cualitativas: Si los valores que toma so cualidades. Por ejemplo, programa de TV favorito, color del pelo, etc. Cuatitativas: Si los valores que toma so uméricos. Por ejemplo, º de hermaos, estatura, peso, edad, etc. Las variables estadísticas cuatitativas se clasifica e: - Cuatitativas discretas: Cuado sólo puede tomar valores aislados. Por ejemplo, º de hermaos, edad, etc. - Cuatitativas cotiuas: Cuado etre dos valores, auque esté muy próximos etre sí, siempre se puede tomar otro valor. Por ejemplo, la temperatura, el peso, etc. TABLAS DE FRECUENCIAS: Sirve para orgaizar y aalizar los datos. Ejemplo: Estas so las edades de u grupo de alumos:,,,, xi fi 7 8 Suma total = Fi,, 8,, hi Hi % % % % 8 % 9% 9 % 9% % % - %,,,,,,,, Valores de la variable (xi): So los valores que aparece e los datos. Se escribe ordeados de meor a mayor. Frecuecia absoluta (fi) : Es el úmero de veces que se repite cada valor e los datos. La suma de las frecuecias absolutas es igual al º total de datos Frecuecia absoluta acumulada (Fi) : Se calcula sumado uo a uo los valores de la columa f i. Fi represeta el úmero de datos que hay meores o iguales al valor x i correspodiete. Frecuecia relativa (hi) : Se calcula dividiedo cada valor fi etre el º total de datos,. hi = fi La frecuecia relativa se suele expresar e forma de % y os idica el % de datos que hay iguales al valor x i correspodiete. La suma de las frecuecias relativas es siempre igual al % Frecuecia relativa acumulada (Hi) : Se calcula sumado uo a uo los valores de la columa h i. La frecuecia relativa acumulada se suele expresar e forma de % y os idica el % de datos que hay meores o iguales al valor xi correspodiete. Aálisis de los datos: Por ejemplo, co años hay 7 alumos; co años o meos, hay alumos; co años, hay u % ; co años o meos hay u 9%. --

2 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E el caso de que haya muchos valores distitos, los agrupamos e itervalos, llamados clases Ejemplo: Las otas e la asigatura de iglés de u grupo de alumos ha sido:, ; 7 ; ;, ;, 7, ;,7 ;, ; 7, ; Nota máxima = 7,8, Nota míima = Clases [,) [,) [,) [,) [,7) [7,8) Total,8 ;,9 ;, ;,9 ; 7,8, ;, ;, ;, ;,. Tomamos, por ejemplo, itervalos de amplitud, empezado por fi = Fi 8 - hi, = %, = %, = %, = %, = %, = % = % Hi, = %, = %, = %, = %,8 = 8% = % GRÁFICOS ESTADÍSTICOS: Los datos obteidos e u estudio estadístico los podemos represetar co diferetes gráficos. Los gráficos os ayuda a aalizar los datos a simple vista. Podemos hacer gráficos para cualquiera de las frecuecias. Diagrama de barras: Se represeta los valores xi e u eje horizotal y para cada valor xi se dibuja ua barra cuya altura sea la frecuecia de xi que se quiera represetar. Las barras debe ser de la misma achura y debemos dibujarlas separadas. Uiedo los extremos superiores de las barras por su puto medio, se obtiee ua líea quebrada llamada polígoo de frecuecias El diagrama de barras se suele utilizar para variables discretas co pocos valores o para variables cualitativas Ejemplo: Vamos a represetar el diagrama de barras para las frecuecias absolutas de los datos correspodietes al úmero de hijos de matrimoios xi 7 Total fi 9 8 = Histograma: Es similar al diagrama de barras, sólo que la base de cada barra es el itervalo de la tabla de frecuecias y por tato o hay espacios etre las barras. Uiedo los extremos superiores de las barras por su puto medio, se obtiee la líea quebrada llamada polígoo de frecuecias. Los histogramas se utiliza cuado los datos los agrupamos e itervalos. Ejemplo: Notas de alumos e u exame: 7, ;, ; ;, ; ;, ; 7,7 ; ;,7 ;, ;, ;, ;,8 ; 7, ;, ;,8 ; 7 ; ;, ;,8 --

3 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Diagrama de sectores: Para dibujar el diagrama de sectores se dibuja u círculo y se divide e tatos sectores (quesitos) como valores haya e los datos. El águlo de cada sector debe ser proporcioal a la frecuecia relativa de cada valor. El diagrama de sectores se suele utilizar para variables discretas co pocos valores o para variables cualitativas Ejemplo: E ua clase de alumos, juega a balocesto, practica la atació, 9 juega al fútbol y el resto o practica igú deporte Deporte fi Balocesto Natació Fútbol 9 Niguo Total hi (e %) % Águlo del sector % de º = º % de º = º % de º = 8º % de º = 7º º ACTIVIDADES E u pueblo de habitates hay persoas de pelo egro, rubio o castaño. Averigua cuátas persoas hay de pelo egro, rubio y castaño sabiedo que se ha tomado ua muestra eligiedo proporcioalmete 8 de pelo egro, de pelo rubio y de pelo castaño. Nº de pares vedidos La siguiete grafica da la catidad de pares de zapatos de mujer vedidos e ua tieda a lo largo del día Nº de zapato Pasa esta iformació a ua tabla de frecuecias y a u diagrama de sectores Actividades del libro obligatorias (uidad ) --

4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- MEDIDAS ESTADÍSTICAS LA MEDIA ARITMÉTICA ( x ): Es la suma de todos los datos dividida etre el úmero total de datos,. Se calcula por la fórmula x xi.fi ( sigifica suma) Si los datos está agrupados e itervalos, se toma como x i el puto medio del itervalo, llamado marca de clase. xi fi xifi Ejemplos: Notas e u exame de u grupo de amigos 7 Total = Gasto mesual e teléfoo móvil de u grupo de jóvees 9 x xi Clases [,), [,), [,), [,), Total 9,9 fi xifi 7 = 9 87,, 9 x 9,9 La media poderada: Se calcula cuado los datos tiee distito peso o importacia. Se puede hallar co la fórmula: M.P. xi pi pi, dode pi represeta el peso de cada valor xi Ejemplo: Tres exámees tiee distito peso, el primero vale, el segudo, y el tercero. U alumo obtiee calificacioes de 9, y 8, respectivamete. Qué ota le debe poer el profesor? La ota debe ser ua media poderada. Se multiplica cada ota por su peso y se divide etre la suma de los pesos. Media poderada: ,8. Luego le debe poer u,8 LA MODA (MO): Es el valor que más se repite e los datos. Se calcula tomado el valor que tiee mayor frecuecia absoluta. Si los datos está agrupados e itervalos se toma el itervalo de mayor frecuecia (itervalo o clase modal). Puede haber más de ua moda o puede que o haya moda porque todos los valores tega la misma frecuecia absoluta. Ejemplos: Temperaturas Número de días ) Temperaturas míimas, e ºC, e ua ciudad La moda es ºC -- 9

5 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA )Pulsacioes por miuto de u grupo de atletas después de ua carrera Pulsacioes Número de atletas [7,7) [7,78) [78,8) 7 [8,8) [8,9) [9,9) 8 El itervalo modal es [8,9) Equipo Número de persoas Madrid ) Equipo de fútbol preferido Hay dos modas, Madrid y Barceloa. Graada 7 Barceloa Málaga Número Número de persoas 8 ) Número de calzado de u grupo de persoas No hay moda 9 LOS CUARTILES (Qi): Cuado los datos está ordeados de meor a mayor, los cuartiles so tres valores Q, Q, Q que divide los datos e partes iguales - El primer cuartil, Q, es el primer valor xi cuya Hi supera el % - El segudo cuartil o MEDIANA, Me = Q, es el primer valor xi cuya Hi supera el % - El tercer cuartil, Q, es el primer valor xi cuya Hi supera el 7% Si los datos estuviese agrupados e itervalos se toma como x i la marca de clase Rago itercuartílico: Es la diferecia etre Q y Q : RI: Q Q Ejemplo: Notas de alumos clases [,) [,) [,) [,) [,7) [7,8) xi Hi,,,,, 8 7, Q =, Q = Me =, Q =, ; RI =,, = Cuado hay pocos datos: - Si el º de datos es impar, la Mediaa Me es el dato cetral - Si el º de datos es par, la Mediaa Me es la media aritmética de los datos cetrales Ejemplos: ) Edades de 9 persoas:,, 7,,,, 7,, Ordeado los datos:,,,,,,, 7, 7 Me = ) Notas de alumos: 7,,,, 7, 7, 8,, 8,,, Ordeado los datos:,,,,,,, 7, 7, 7, 8, 8 Me =, Los cuartiles se suele represetar e u diagrama, llamado DIAGRAMA DE CAJA Para dibujar el diagrama de caja, se calcula los valores míimo y máximo de x i así como los cuartiles. Después se dibuja ua caja, cuyos extremos so Q y Q, que idica dode se cocetra el % de los datos y ua líea cetral que marca la mediaa. --

6 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Esta represetació os permite saber qué datos so atípicos y si la distribució de datos es simétrica respecto de la mediaa. Si la caja está desplazada hacía la izquierda o hacía la derecha respecto de la mediaa sigifica que la distribució de datos es asimétrica. Ejemplos: Número de hijos de matrimoios: Míimo = Máximo = 7 Q = Q = Me = Q = Notas e Iglés de alumos: Mí. = Máx. = 8 Q =, Q = Me =, Q =, Los percetiles: Cuado los datos está ordeados de meor a mayor, los percetiles so 99 valores P, P, P99 que divide a los datos e partes iguales. Por ejemplo, P es el primer valor xi cuya Hi supera el %, P es el primer valor xi cuya Hi supera el %, etc. Observa: P es el primer valor xi cuya Hi supera el %. Luego P = Q P es el primer valor xi cuya Hi supera el %. Luego P = Q = Me P7 es el primer valor xi cuya Hi supera el 7%. Luego P7 = Q Los deciles: Cuado los datos está ordeados de meor a mayor, los deciles so 9 valores D, D, D9 que divide a los datos e partes iguales. Por ejemplo, D es el primer valor xi cuya Hi supera el %, D es el primer valor xi cuya Hi supera el %, etc. Observa que D es el primer valor xi cuya Hi supera el %. Luego D = Q = Me Si los datos estuviese agrupados e itervalos se toma como x i la marca de clase Los deciles y percetiles sólo se puede calcular para variables cuatitativas RANGO O RECORRIDO : Es la diferecia etre el mayor y el meor valor de x i VARIANZA (S ) y DESVIACIÓN TÍPICA (s): La variaza se calcula por la fórmula s (xi x).fi s xi.fi x o la fórmula y la desviació típica es la raíz cuadrada de la variaza: s s Se puede demostrar que: E el itervalo ( x s, x + s) se ecuetra, aproximadamete el 8% de todos los datos E el itervalo ( x s, x + s) se ecuetra, aproximadamete el 9% de todos los datos E el itervalo ( x s, x + s) se ecuetra, aproximadamete el 99% de todos los datos Cuáto mayor es la desviació típica más dispersos está los datos respecto a la media. COEFICIENTE DE VARIACIÓN (C.V.): Se calcula por la fórmula C.V. s x Nos permite comparar la dispersió de dos o más grupos de datos. Si los datos estuviese agrupados e itervalos tomaremos como x i la marca de clase --

7 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejemplo: Se ha agrupado los hoteles de ua regió por el úmero de habitacioes, obteiédose la siguiete tabla: Habitacioes úmero de hoteles clases xi fi xi fi [,) [,) [,) [,) [,) Total = 7 8 Rago: = s 7 9 x C.V. s 9,9 xifi ,9,8 Si la variable estadística es cualitativa, sólo se puede calcular la moda, pues x i o so úmeros. ACTIVIDADES E las pruebas de acceso a ua Uiversidad la calificació fial se obtiee haciedo la media poderada de la ota de Bachillerato y la de la prueba de Selectividad. La ota de Bachillerato tiee u peso del % y la de Selectividad u %. Estaría aprobado u alumo que tiee de ota de Bachillerato, y u, e la Selectividad? E este gráfico se muestra las calificacioes de u grupo de alumos Frecuecia Calificacioes a) Idica cuál es la moda a) Dibuja el diagrama de caja e idica si la distribució de datos es simétrica b) Calcula el percetil y el decil 8 c) Halla el coeficiete de variació d) Determia si e este caso se cumple que e el itervalo ( x s, x + s) se ecuetra el 8% de los alumos El siguiete diagrama de caja represeta las marcas obteidas por saltadores d logitud a) Idica cuál es la mediaa y el primer cuartil b) Cuátos saltadores tiee marcas por ecima de 7,8 m? c) Es simétrica la distribució de los datos? d) Cuál es el rago de la distribució de datos? -7-

8 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA El volume de vetas auales de las empresas de telefoía e u país se reparte de la siguiete maera: Detro de la telefoía móvil la media fue de, milloes de euros y la variaza de 8,. E el caso de la telefoía fija la media fue 7, milloes de euros y la variaza de 7,79. a) Usado los coeficietes de variació explica e cuál de estos dos sectores de telefoía está más dispersas las vetas b) Ua empresa tiee u volume de vetas auales de 7, milloes de euros e telefoía móvil y 8, milloes de euros e telefoía fija. E cual de los dos sectores está mejor situado comparádolo co la media del país? Actividades del libro obligatorias (uidad ) -8-

9 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Distribució bidimesioal: Cuado se quiere estudiar dos características X e Y de ua misma població, los datos que se obtiee so parejas de valores (xi, yi). El cojuto de datos (xi,yi) se llama distribució bidimesioal. Diagrama de dispersió o ube de putos: Es la represetació grafica de los putos (xi, yi) Ejemplo: Notas de alumos e Matemáticas y Física Alumo a b c d e f g h i j k Matemáticas Física 7 9 l Iterpretació del diagrama de dispersió: Si la ube de putos se cocetra e toro a ua líea se dice que hay correlació etre las dos variables. Se dice que hay correlació lieal si la ube de putos se cocetra e toro a ua recta. La correlació será positiva o directa si la líea es creciete y egativa o iversa si es decreciete y será mas fuerte cuato mayor sea la cocetració de los putos etoro a esa líea. Ejemplos: Correlació lieal directa fuerte Correlació directa débil Correlació iversa fuerte Correlació lieal iversa débil Si los putos está esparcidos si cocetrarse e toro a igua líea, se dice que o hay relació etre las variables o que la correlació es ula. Correlació ula ACTIVIDAD E los siguietes casos dibuja el diagrama de dispersió e idica el tipo de correlació que hay etre X e Y. a) Se ha realizado ua ecuesta pregutado por el úmero de persoas que habita e el hogar familiar y el úmero de dormitorios que tiee la casa. La tabla siguiete recoge la iformació obteida: X = úmero de persoas Y = úmero de dormitorios -9-

10 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA b) El úmero de gérmees por cm e u efermo que se está curado viee dado por la tabla X = horas Y = úmero de gérmees 8 c) El umero de libros vedidos e ua librería y la temperatura del día X = temperatura (ºC) Y = úmero de libros MEDIDAS ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES Dada (X, Y) ua variable bidimesioal co datos (x i,yi). Se defie las siguietes medidas: Medias aritméticas de X y de Y: x xi.fi Variaza y desviació típica de X y de Y: Covariaza etre X e Y : sxy y yi.fi, Cetro de gravedad de la distribució: ( x, y ) var iaza : s x xi.fi x Desviació típica : s x s x var iaza : s y yi.fi y Desviació típica : s y s y (x i x)(yi y) xi yi fi x y Tambié se puede usar la fórmula sxy Coeficiete de correlació lieal de Pearso: r sxy sx sy Propiedades del coeficiete de correlació ) El coeficiete de correlació, r, tiee el mismo sigo que la covariaza y os sirve para medir el grado de relació o depedecia etre las variables X e Y ) - r ) Si r =, la ube de putos se ajusta perfectamete a ua recta ) Si r es positivo, la correlació es positiva y si r es egativo, la correlació es egativa ) Cuato más próximo esté r al más débil es la correlació ) Cuáto más próximo esté r al, más fuerte es la correlació Iterpretació de la correlació segú el valor del coeficiete de correlació Tablas de doble etrada: Cuado las datos (xi,yi) se repite se suele utilizar ua tabla de doble etrada para evitar escribir la misma pareja varias veces. Ejemplo: A u grupo de padres se les ha pregutado por el úmero de hijos que tiee y el úmero de horas que ve diariamete la televisió. Los resultados se ha recogido e la siguiete tabla de doble etrada: X = úmero de hijos, Y = úmero de horas que ve la televisió. X Y Por ejemplo, la pareja de valores (,) aparece veces lo que sigifica que hay padres que tiee hijo y ve la televisió hora. - -

11 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ACTIVIDADES Se ha represetado el diagrama de dispersió correspodiete a la ota e u exame y las horas de estudio de u grupo de jóvees Idica cuál de estos valores es más apropiado para el coeficiete de correlació:,9;,;,9;, A u grupo de padres se le ha pregutado por el úmero de hijos que tiee y el úmero de horas que ve diariamete la televisió. Los resultados se ha recogido e la siguiete tabla de doble etrada: X = úmero de hijos, Y = úmero de horas que ve la televisió. X Y Calcula el coeficiete de correlació e iterprétalo Actividades del libro obligatorias (uidad ) - -

12 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- RECTAS DE REGRESIÓN So las rectas que mejor se ajusta a la ube de putos de forma que la ube de putos está muy cocetrada e toro a ellas Recta de regresió de Y sobre X ryx : y y sxy sx sxy sx (x x ) es la pediete de la recta y se llama coeficiete de regresió de Y sobre X Recta de regresió de X sobre Y rxy : x x sxy sy (y y ) sxy sy se llama coeficiete de regresió de X sobre Y Propiedades de las rectas de regresió - Las dos rectas se corta e el cetro de gravedad ( x, y ) - Cuáto más fuerte es la correlació meor es el águlo que forma etre sí ambas rectas. Ejemplos: Correlació débil Correlació fuerte La recta de regresió de Y sobre X se puede usar para estimar lo que vale y para u valor dado de x. La estimació es más fiable cuato más fuerte sea la correlació etre las variables y cuato más cerca esté el valor x de los valores xi de la distribució. - -

13 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ACTIVIDADES La media de las estaturas X de los habitates de ua ciudad es 7 cm y la media de sus pesos Y es kg. Las desviacioes típicas so cm y kg, respectivamete, y la covariaza de ambas variables es. a) Halla el coeficiete de correlació b) Calcula la recta de regresió de Y respecto de X y de X respecto de Y c) Estima el peso de u idividuo de 8 cm de estatura. Será buea la estimació? Razóalo d) Estima el la estatura de u idividuo de kg de peso. Será buea la estimació? Razóalo e) Si quisiéramos estimar el peso de u iño de cm mediate la recta de regresió sería buea la predicció? Se ha pregutado e seis familias por el úmero de hijos y el úmero medio de días que suele ir al cie cada mes y las rectas de regresió obteidas ha sido E vista de las rectas de regresió explica si la correlació etre las variables es fuerte o débil Actividades del libro obligatorias (uidad ) - -

14 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - -

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