Una operación interna: Suma Una operación externa: Multiplicación por un escalar

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1 El conjunto R n Es el conjunto de las n-adas formadas por el producto cartesiano RRR.R, donde R es el conjunto de los números reales. Así pues, dos elementos X y Y de R n serán iguales si y solo si tienen idénticas componentes respectivamente. Sean X=( 1, 2, 3,, n ), y Y= (y 1, y 2, y 3,, y n ), R n : X = Y 1 =y 1, 2 =y 2, 3 =y 3,, n =y n. Operaciones que se definen en el conjunto R n : Una operación interna: Suma Una operación eterna: Multiplicación por un escalar SUMA Llamaremos suma de X y Y R n a: X + Y ( 1 +y 1, 2 +y 2, 3 +y 3,, n +y n ) Es una operación interna dado que opera sobre dos elementos de R n. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea X R n y R, entonces: X ( 1, 2, 3,, n ) Es una operación eterna dado que el escalar no pertenece a R n. El escalar pertenece al cuerpo de los números reales.

2 Espacio vectorial Dado un conjunto V en el cual se han definido dos operaciones, una interna (+) y otra eterna (.) con operadores en el cuerpo R. Se dice que la terna (V, +,.) es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, si solo si, se cumplen las siguientes propiedades: Para la operación interna Suma 1 Propiedad Asociativa, y, z V ( y) z ( y z) 2 Eistencia de Elemento Neutro V V, 3 Eistencia de Elemento Simétrico V, ' V ' ' 4 Propiedad Conmutativa, y V y y (Estas cuatro propiedades le confieren a R n la estructura de grupo conmutativo o abeliano: (R n, +) es un grupo abeliano.)

3 Para el Producto por Escalares 5 Propiedad Distributiva1 6 Propiedad Distributiva2 7 Propiedad Asociativa 8 Elemento Neutro, y V R.( y).. y V, R ( ).. V, R.(. ) (. ). V V,. Estas ocho propiedades le confieren a R n la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R. Los elementos de V se llaman entonces vectores. El elemento = (0, 0,, 0), es el neutro con respecto a la suma, y se denomina vector nulo.

4 Espacio euclídeo Un espacio euclídeo es un espacio vectorial en donde se ha definido una operación denominada producto escalar de dos vectores. También denominada producto interno o producto punto. Sean X=( 1, 2, 3,, n ), y Y= (y 1, y 2, y 3,, y n ) R n, se define producto interno X.Y al número real ( 1 y y n y n ), epresado mediante la siguiente epresión: X.Y = i=1 A la pareja (V, ) se le llama un espacio euclídeo. La notación < X, Y > también representa al producto escalar de dos vectores. n i y i Propiedades del producto escalar Positividad: X. X 0, X. X = 0 X = Θ (vector nulo). Propiedad Asociativa mita X.Y = ( X.Y) y X.Y = ( X.Y) Propiedad distributiva respecto de la suma. X. (Y+Z) = X.Y + X. Z y (X + Y). Z = X. Z + Y. Z Propiedad conmutativa: X.Y = Y. X

5 NORMA EN R n En un espacio vectorial euclidiano se define la función norma en R n de la siguiente manera: Sea X un vector de R n se denomina norma de X al número real (X.X) 1/2 Lo que se epresa así, X = (X.X) 1/2 Propiedades fundamentales de la norma Positividad X 0, ( X = 0 X = Θ) Propiedad escalar X X, ( R) Propiedad triangular X + Y X + Y

6 Espacio métrico Un conjunto A se convierte en un espacio métrico cuando en él se define una función distancia en R n con las propiedades de separación, simetría y triangular. Distancia en R n Dados dos vectores X, Y R n real positivo: d: A A R d(x, Y) = X-Y llamaremos distancia de X a Y al número 2 X Y X Y y y 2 2 n y n Propiedades fundamentales de la distancia Separación: d(x, Y) = 0 X = Y Simetría: d(x, Y) = d(y, X) Triangular: d(x, Z) d(x, Y) + d(y, Z)

7 Definición de función vectorial Dado un conjunto A subconjunto de R n, y el espacio vectorial R m denominado conjunto de llegada. Se denomina función o aplicación de A en R m a la correspondencia matemática denotada por: Que cumple con las siguientes dos condiciones: 1. Condición de eistencia: Todos los elementos de A están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada, es decir, X A, Y R m \ Y f(x) 2. Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un único elemento del conjunto de llegada, es decir, si Y 1 f(x1) y Y2 f(x1) Y1 Y2 Dominio de f El dominio de f es el conjunto de eistencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Se denota por D f y está definido por: D f X R n \ Y f(x) R m

8 Componentes de una función vectorial La representación indica una función f cuyo dominio está en R n y que toma valores en R m. Si m = 1 Función de valor real o simplemente Función real f(x) = Y f ( 1, 2,, n ) = (y 1, y 2,, y m ) 1 2 f = y 1 y 2 n y m A R n se le denomina espacio del dominio y a R m espacio de valores de la función. Se denomina Rango de f al conjunto formado por las imágenes f(x), esto es: R f = {f(x)} Cada componente y i de la imagen viene dada por una función real de las variables 1, 2,, n. 1 2 f = n y 1 y 2 y m y 1 = f 1 ( 1, 2,, n ) : y i = f i ( 1, 2,, n ) : y m = f m ( 1, 2,, n ) Para cada componente y i Hay una Función real f i.

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