Modelado cinemático directo de un robot humanoide Universidad Politécnica de Sinaloa 1. Antecedentes 2. Marco teórico Espacio de articulaciones

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1 Modelado cinemático directo de un robot humanoide Dr. José Víctor Núñez Nalda M. C. Dora Rodríguez M. C. Víctor Rodríguez Velázquez Universidad Politécnica de Sinaloa jnunez, drodriguez, 1. Antecedentes El proceso de modelización o modelado para un robot humanoide retoma conceptos del modelado clásico de robots manipuladores como la asignación de marcos ortonormales, su localización por medio de matrices homogeneas, la cinemática directa inversa así como el modelado dinámico que establece la relación entre el movimiento del robot y los pares de los motores de cada una de sus articulaciones [1], [2], [3]. Para los robots humanoides se tienen al menos cuatro extremidades y la cabeza, que representan cinco cadenas cinemáticas articuladas conectadas en un solo robots con estructura arborescente. Desde un punto de vista cinemático se tratara la modelización de estas cadenas cinemáticas de forma independiente, es decir que se modelan los brazos del robot considerando el torso como marco de base y las piernas considerando la pelvis como base. Para este trabajo consideramos que la pelvis y el tronco pertenecen al mismo cuerpo rígido y que sus marcos están fijos el uno con respecto al otro. La principal diferencia de la modelización de los robots humanoides con respecto a los manipuladores es que el marco de base del robot esta móvil, aun mas, considerando el caminado, existe (bajo ciertas condiciones) un marco fijo del robot localizado en el pie de apoyo pero este marco que es fijo durante la duración de un paso, es móvil durante el siguiente paso. Esto implica que se deben plantar y resolver varios modelos tipo manipulador y switchear entre ellos durante un proceso de marcha. En lo subsecuente se presenta el modelado cinemático drecto e inverso para robots humanoides considerando el robot Bioloid como ejemplo e ilustrando algunos conceptos también con el robot HRP-2. Parte de este desarrollo esta basado en [4]. 2. Marco teórico 1) Espacio de articulaciones. Consideremos el vector de variables articulares que contiene los angulos de cada articulación del robot distinguiendo las articulaciones de unen cada extremidad, es decir pies y manos, con el cuerpo: Brazo Derecho (RH) y Brazo Izquierdo (LH), Pierna Derecha (RF), Pierna Izquierda (LF),. [ ] Donde es el numero de grados de libertad actuados o accionados del robot. En analogía con los robots manipuladores, las manos y los pies representan los elementos terminales y cada extremidad una cadena cinemática tipo manipulador. Se dice que el vector es un punto del espacio de articulaciones (joint space) del robot. La Fig. 1 a) muestra las variables de las articulaciones de cada extremidad con el robot HRP-2 ( no es considerado ya que el tronco y cuello del robot son rigidos) mientras que en Fig. 4 b) la localización y asignación real variables articulaciones es mostrada para el robot Bioloid. Cabe mencionar que para el caso del robot bioloid se tiene que: [ ] [ ] [ ] [ ] por lo que.

2 Fig. 1. Variables articulares 2) Espacio de tareas. Para especificar la localización de un cuerpo rígido en el espacio, se utilizan marcos ortonormales asociados (atached). Los robots humanoides son robots móviles, esto significa que es necesario conocer además de la configuración interna (variables articulares) su localización en el espacio de trabajo. Para ello se utiliza un marco fijo en alguno de los cuerpos rigidos del robot. Lo mas usual es localizar la pelvis o el torso del robot, aunque matematicamente es posible intercambiar de forma sencilla el llamado marco base del robot; esto con el fin de enfocarnos en la parte de interés según sea conveniente en cada caso: localizar la cabeza de un robot con sistema de visión o localizar el pie de apoyo en trabajos de caminado bípedo. Las variables de localización, en posición y orientación, del marco son: [ ] [ ] (1) Donde especifica la posición cartesiana del origen del marco mientras que son los angulos de Pitch (Cabeceo), Roll (Alabeo), y Yaw (Guiñada) que representan una convención de los angulos de Euler para especificar la orientación de un marco ortogonal por medio de tres rotaciones sucesivas con respecto a un marco inercial o marco del laboratorio. En este trabajo consideramos que la matriz de rotación correspondiente a estos tres ángulos esta dada por: = =( ) (2) Considerando que el eje es la dirección vertical, como se muestra en la Fig. 2, La Ec. (2) indica que la orientación se obtiene por rotaciones sucesivas a través de los ejes, y. Además de la localización de un marco base del robot humanoide, la modelización cinemática sirve para localizar las extremidades del robot, que fungen, en analogía con los robots manipuladores, como elemento terminal. Esta parte del robot debe ser posicionada y orientada, es decir, localizado por medio de las 6 variables indicadas en la Ec. (1).

3 Fig. 2. Variables articulares El espacio de tareas para un robot humanoide depende de qué extremidades y partes del robot son de interés para el enfoque desarrollado. En general se pude decir que el espacio de tareas para un humanoide es contiene las variables de localización (posiciones, orientaciones) de las cuatro extremidades, la cabeza y la pelvis. La cinemática consiste en estudiar la relación entre las variables del espacio de articulaciones y el espacio de tareas. 3) Modelado Cinemático. El modelado cinemático en robótica consiste en localizar o describir de forma geométrica la localización de las articulaciones y algunos puntos de interés del robot. Estos puntos de interés pueden ser descritos a través de marcos ortonormales para el caso de posición y orientación o por medio de puntos para el caso de posición. Cuando se trabaja en generación de trayectorias para robots es necesario realizar el modelado cinemático de posición y de velocidad. La manera que adoptaremos en este trabajo para describir la localización de marcos ortonormales es a través de matrices homogeneas. Una matriz homogenea consiste en dieciséis entradas, de las cueles nueve constituyen una matriz que describe la rotación y tres entradas describen la posición tomando en cuenta un marco referencial de referencia; los otros cuatro valores forman un vector estándar: ( ) ( ) Una manera alternativa de describir la orientación de un marco con respecto a otro es mediante los anglos de Euler mencionados en la Ec. (2). A continuación se especifica el modelo cinemático de posición para un robot humanoide, ejemplificaremos este proceso utilizando el robot Bioloid como ejemplo. Modelado Cinemático Directo. Una ventaja por la que las matrices homogéneas son la herramienta para descripción geométrica mas utilizada en robótica es que la localización de marcos ortonormales sucesivos puede encontrarse de manera simple al multiplicar las matrices homogéneas de cada uno de los marcos. Es decir Así pues el modelado cinemático directo de posición consiste en localizar cada una de las articulaciones del robot por medio de matrices homogeneas, incluir la variable

4 articular de giro en cada matriz homogenea y realizar la multiplicación correspondiente. A partir de la matriz homogenea resultante es posible extraer la posición cartesiana y la orientación del marco de la extremidad correspondiente, que dependerán de los ángulos de la extremidad correspondiente: [ ] ( ) Para el caso del robot Bioloid las matrices homogeneas que describen la geometría de su cadena cinemática (localización y variable de giro correspondiente) se presentan a continuación: Brazo derecho., La posición y orientación de la mano derecha con respecto al Torso esta dada por: Como existen solo tres grados de libertad en el brazo derecho, se considera Aun cuando es posible saber también la orientación de la mano conociendo los tres ángulos, como mencionamos en párrafos anteriores y se verá también en la cinemática inversa, es deseable considerar el espacio de tareas para la mano derecho de dimensión 3, naturalmente elegimos la posición de la mano y descartamos su orientación. Brazo izquierdo., La posición y orientación de la mano izquierda con respecto al Torso esta dada por: El modelo cinemático directo se puede expresar como Pierna Derecha.

5 ( ) La posición y orientación del tobillo derecho con respecto a la Pelvis esta dada por: Para este caso, ya que existen 6 variables articulares es posible considerar el espacio de tareas de dimensión 6, es decir que efectivamente podemos extraer tanto la posición y la orientación para el modelado cinemático directo: [ ] Como se verá en los párrafos siguientes esta elección es debido a que la cinemática inversa nos permitirá encontrar los ángulos necesarios para especificar la posición y orientación de cada uno de los pies. Pierna Izquierda. ( ) El modelo cinemático directo para el pie derecho con respecto a la pelvis es obtenido a partir de la matriz homogénea como: [ ] Para completar la descripción geométrica del robot Bioloid, es necesario especificar la localización de la Pelvis con respecto al Torso y las medidas que intervienen en las medidas que intervienen en las matrices homogeneas: ( ),,,,,,,,,.

6 Estas medidas estan dadas en milimetros. Para otros robots humanoides, el proceso de modelado es similar, la unica particularidad para el caso del robot humanoide Bioloid, es el giro de 45 (fisico en los motores) en los angulos de guiñada de las caderas. 5. Conclusiones El estudio de los robots humanoides es importante en un contexto global y cada vez más empresas que buscan la innovación dedican esfuerzos al desarrollo de este tipo de robots. Este tipo de robots (similares en morfología a los seres humanos y por ende capaces de desplazarse en espacios concebidos para y por ellos) tendrán cada vez mayor presencia en la vida de las personas. En este trabajo se presentan las bases del modelado cinemático para robots humanoide. Se utilizan las matrices homogéneas para describir la localización en posición y en orientación de los marcos ortonormales asociados a cada una de las articulaciones del robot. El procedimiento que permite calcular la posición y orientación de las extremidades del robot se comenta para cada una de las cuatro cadenas cinemáticas correspondientes a los brazos y a las piernas del robot. Esta es la base para estudiar los movimientos de un robot humanoide Bioloid. La parte complementaria, correspondiente a la cinemática inversa, fue reportada en [4]. Estos estudios están enfocados a la programación y aumento de la autonomía de los robots humanoides en el contexto de competencias de futbol, temática en la cual, la Universidad Politécnica de Sinaloa ha ido desarrollando trabajos y participando en competencias a nivel nacional e internacional. 6. Bibliografía 1. Mark W. Spong & M. Vidyasagar. Robot dynamics and control. John Wiley and Sons, Inc., C. Canudas, B. Siciliano, G. Bastin. Theory of robot control. Springer-Verlag, Berlin, R. Kelly, R. Santibanez. Control de movimiento de robots manipuladores. Pearson Education. Madrid, Víctor Nunez, A. Briceño, Dora Rodríguez y Víctor Rodríguez. Explicit analytic solution for inverse kinematics of Bioloid humanoid robot. In Proc. of the XI Latin American Robotics Symposium. Fortaleza, Brasil, 2012.