INFERENCIA ESTADÍSTICA. TEST DE HIPÓTESIS. TIPOS DE ERRORES

Transcripción

1 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. TEST DE HIPÓTESIS. TIPOS DE ERRORES 001. PAU SELECTIVIDAD Uiversidad de Oviedo Juio 1996 La empresa de trasportes urgetes El Rápido asegura que etrega el 80% de sus evíos ates de las 12 de la mañaa. Para cotrastar la calidad de este servicio, la asociació de cosumidores seleccioa aleatoriamete 100 evíos e diversos días. (a) Establecer la hipótesis ula y la alterativa. (b) Describir e este caso e qué cosistiría los errores tipo I y tipo II. Cómo se deomia la probabilidad de cofudiros de modo que la asociació acuse ijustamete a la empresa de o cumplir sus compromisos publicitarios? (c) A partir de los datos de la muestra, el iforme ecargado por la asociació afirma que el valor obteido es sigificativo. Cómo debe ser iterpretado el resultado? Supoemos que la empresa, cuado mecioa que etrega el 80% de los evíos, os está diciedo que etrega al meos el 80% de los evíos. H l : Hipótesis alterativa, complemeta la hipótesis ula. H 0 : p 80 El porcetaje de etregas SÍ es de, al meos, el 80%. H 1 : p < 80 El porcetaje de etregas NO es de, al meos, el 80%. Siedo p la proporció de etregas de sus evíos ates de las 12:00 de la mañaa. Cotraste de hipótesis uilateral. P(I) = P[Rechazar H 0 / cierta H 0 ] = α P(I) = P[No rechazar H 1 / cierta H 0 ] = α E uestro caso, se trata de rechazar la publicidad realizada por la empresa, siedo cierta. P(II) = P[No rechazar H 0 / cierta H 1 ] E uestro caso o rechazar la publicidad de la empresa cuado e realidad o es cierta. Después de que la asociació de cosumidores realice u estudio, si acusa ijustamete a la empresa de o cumplir sus compromisos publicitarios (se rechaza H 0 ) y realmete SÍ hace la etrega e los tiempos asegurados (es cierto H 0 ) estaríamos cometiedo u error de tipo I. Si el valor obteido e la prueba es sigificativo quiere decir que el valor obteido del estadístico cae detro de la regió de rechazo para u cierto valor de sigificació α, por lo que os llevaría a rechazar la hipótesis ula, es decir, se cree que el porcetaje de etregas NO es de, al meos, el 80%, auque sería iteresate coocer (y exigir) el ivel de sigificació co el que se está trabajado e la prueba.

2 2 Del aula a la PAU 002. PAU Uiversidad de Oviedo SEPTIEMBRE 1996 La empresa empaquetadora de mariscos El cetollu afirma que el peso medio de sus productos supera los 400 gramos. U restaurate cosumidor habitual desea cotrastar esta Iformació. (a) Euciar la hipótesis ula y alterativa. (b) Describir los errores tipo I y II e este caso. (c) Sobre ua muestra de 10 evases se ha observado u peso medio de 300 gramos. Es posible co esta iformació rechazar el supuesto de la empresa El cetollu? Sería ecesaria algua iformació adicioal para resolver el cotraste? H 0 : µ El peso medio del marisco empaquetado SÍ supera los 400 gramos. H 1 : µ 0 < 400 El peso medio del marisco empaquetado NO supera los 400 gramos. Siedo µ el peso medio de los productos de la empresa empaquetadora de mariscos El cetollu. Cotraste de hipótesis uilateral. P(I) = P[Rechazar H 0 / cierta H 0 ] = α P(I) = P[No rechazar H 1 / cierta H 0 ] = α Se rechaza la afirmació de la empresa de que el peso medio del marisco supera los 400 gramos (rechaza H 0 ) siedo cierto (es cierto H 0 ). P(II) = P[No rechazar H 0 / cierta H 1 ] Podríamos decirlo de varias formas: (a) El error de tipo II cosistiría e rechazar que o ha superado los 400 gramos (rechazar H 1 ), cuado e realidad o los supera (es cierta H 1 ). (b) Cosiderar la veracidad de los datos proporcioados por la empresa, cuado e realidad so falsos. Los datos proporcioados por el problema so, cosiderado la distribució ormal: Població N(400, S) Muestra N(300, S) ; = 10 La distribució que sigue la media muestral es la ormal de parámetros: R N µ, Ŝ Y el valor del estadístico del cotraste lo obteemos tipificado la variable:

3 3 x - µ Z = N(0, 1) Ŝ Para resolver el cotraste es ecesario coocer el valor de la variaza muestral o bie el de la variaza poblacioal, así como haber prefijado el ivel de sigificació PAU Uiversidad de Oviedo JUNIO 1998 E los últimos tiempos las vetas medias e u comercio rodaba las PTAS diarias. Si embargo, hace uos meses se abrió ua superficie comercial cerca del mismo. El establecimieto defiede que las vetas medias se matiee o icluso ha aumetado, pero que o ha dismiuido. Para cotrastar estadísticamete este supuesto se ha seleccioado ua muestra de las vetas diarias realizadas después de la apertura de la superficie comercial. (a) Establecer las hipótesis ula y alterativa. (b) Qué ombre recibe la probabilidad de que el establecimieto cocluya erróeamete que las vetas medias ha dismiuido? Explica cómo se deomia y e qué cosiste el otro error posible. (c) El establecimieto ha ecargado el estudio a u especialista, y e su iforme afirma, textualmete, que el valor obteido al realizar el cotraste es sigificativo, pero el establecimieto o etiede el sigificado de la frase. Sigifica que el establecimieto debe cocluir que sus vetas medias dismiuyero, o es lo cotrario? H 0 : µ La media de las vetas se matiee o icluso ha aumetado. H 1 : µ 0 < La media de las vetas del comercio SÍ ha dismiuido. Siedo µ las vetas medias de dicho comercio, expresadas e pesetas. Cotraste de hipótesis uilateral. P(I) = P[Rechazar H 0 / cierta H 0 ] Se rechaza la afirmació de que la media de las vetas se matiee o icluso ha aumetado (rechaza H 0 ) siedo cierto (es cierta H 0 ). Estamos pues e u caso de ERROR DE TIPO I El error de tipo II cosistiría e rechazar que las vetas e el comercio ha dismiuido (rechaza H 1 ) cuado e realidad sí ha dismiuido (cierta H 1 ). U resultado sigificativo quiere decir que el valor obteido del estadístico cae detro de la regió de rechazo para u cierto valor de sigificació α, por lo que os llevaría a rechazar la hipótesis ula, es decir, que cocluiríamos que las vetas medias SÍ ha dismiuido, auque se debería exigir al especialista el ivel de sigificació co el que se está trabajado e la prueba. Criterios de correcció y calificació especificados e la prueba oficial: (a) 0.75 putos. (b) Cada tipo de error: 0.5 putos (c) 0,75 putos.

4 4 Del aula a la PAU 004. PAU Uiversidad de Oviedo JUNIO 1999 La Cocejalía de Juvetud de u Ayutamieto maeja el dato de que la edad a la que los hijos se idepediza de sus padres es ua variable Normal co media 29 años y desviació típica 3 años. Auque la desviació típica o platea dudas, sí se sospecha que la media ha descedido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayutamieto. Así, de u estudio reciete sobre 100 jóvees que se acaba de idepedizar, se ha obteido ua media de 28.1 años de edad. (a) Co u ivel de sigificació del 1% puede defederse que la edad media o ha dismiuido, frete a que sí lo ha hecho como parece idicar los datos? Platear el cotraste o test de hipótesis y resolverlo. (b) Explicar, e el cotexto del problema, e qué cosiste cada uo de los errores del tipo I y II. (Alguos valores de la fució de distribució de la Normal de media 0 y desviació típica 1: F (100) = 1; F(3) = 0.999; F(2.33) = 0.99; F(0.01) = Los datos proporcioados por el problema so: 1º PASO Població N(29, 3) Muestra N(28.1, S) ; = 100 H 0 : µ 0 29 La edad media de los hijos idepedizados NO ha dismiuido. H 1 : µ 0 < 29 La edad media de los hijos idepedizados SÍ ha dismiuido. Siedo µ la edad media a la que los hijos se idepediza de sus padres. 2º PASO El ivel de sigificació que os determia el euciado es del 1% α = 0.01 El ivel de cofiaza es del 99% 1 - α = º PASO Cotraste de hipótesis uilateral Para α = 0.01 (1 - α = 0.99), segú vemos e el euciado [F(z α ) = 0.99], le correspode u crítico de z α = 2.33 La hipótesis alterativa os idica la direcció del cotraste, es decir, la regió de rechazo de la hipótesis ula: 4º PASO La regió de rechazo será (-, ) Recordemos que los datos proporcioados por el problema so:

5 5 Població N(29, 3) ; Muestra N(28.1, S) ; = 100 La distribució que sigue la media muestral es la ormal de parámetros: 5º PASO σ R N µ, 3 N 29, 100 N(29, 0.3) Como o se trata de ua N(0, 1), el valor del estadístico del cotraste lo obteemos tipificado la variable... 6º PASO x - µ Z = N(0, 1) σ Z = = Nuestro estadístico Z = - 3) cae detro de la regió de rechazo, por lo que rechazamos la hipótesis ula, y al ivel del 1% podremos defeder que la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayutamieto ha teido su efecto y la edad media a la que los hijos se idepediza de sus padres SÍ ha dismiuido. Explicar, e el cotexto del problema, e qué cosiste cada uo de los errores del tipo I y II P(I) = P[Rechazar H 0 / cierta H 0 ] Después de la política llevada a cabo por el Ayutamieto, se rechaza que la media de edad de idepedecia de los hijos o ha dismiuido (se rechaza H 0 ), siedo realmete cierto (es cierto H 0 ). Después de la política llevada a cabo por el Ayutamieto, se rechaza que la media de edad de emacipació de los hijos ha dismiuido (se rechaza H 1 ) y realmete SÍ ha dismiuido (es cierto H 1 ). Criterios de correcció y calificació especificados e la prueba oficial: (a) Platear el cotraste, 0.5 putos. Resolverlo, 1 puto (b) 0.5 putos cada error.