Sec FUNCIONES POLINOMICAS
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- Lorenzo Sandoval Castilla
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1 Sec..1-. FUNCIONES POLINOMICAS
2 Función Polinómica Un polinomio o una función polinómica es una epresión algebraica de la forma n n1 n P( ) a a a... a a, n n1 n 1 0 donde los coeficientes a n, a n - 1,, a 1, a 0 son números reales y los eponentes de las variables son enteros positivos.
3 Función Polinómica P( ) a a a... a a, n n1 n n n1 n 1 0 a n, a n a 1, a o son números, llamados coeficientes. a n es el coeficiente principal a o es el término constante. Para cualquier polinomio, (0, a o ) es el intercepto en y. Para cualquier polinomio, f(h)=k es el punto (h, k ) de la gráfica de f().
4 Función Polinómica Para cada polinomio, identificar: el grado el coeficiente principal el término constante el intercepto en y f(-1) f() = ( )( + 6)( 4 1)
5 Interceptos: polinomio de grado 0 Polinomio de grado cero (función constante) P() = Para cualquier valor de, el valor de y correspondiente es siempre. P(1) = P(10) = P(-15) = P(.0001) = El intercepto en y es P(0) =, es el punto (0,). El intercepto en lo hallamos resolviendo P() = 0. En este caso y = siempre, así que y NUNCA será igual a 0. NO HAY INTERCEPTO EN X.
6 Gráfica de un polinomio de grado 0 Polinomio de grado cero (función constante) P() = Les recuerdo que la gráfica de una función constante es una recta horizontal que pasa por (0,).
7 Polinomio de grado 1 repaso Polinomio de grado uno (función lineal) P() = 1 (modelo: f() = m+b) El intercepto en y es P(0) = 1, es el punto (0,1). El intercepto en lo hallamos resolviendo P() = 0. 1 = 0 = ½ La gráfica toca el eje de en el punto (½, 0). La gráfica de una función lineal es una recta, la pendiente es - intercepto en y es y=1 ó (0,1).
8 Gráfica de un polinomio de grado 1 Polinomio de grado uno (función lineal) Trazar la gráfica de P() = 1
9 Polinomios de grado : repaso Polinomio de grado dos (función cuadrática) P() = 1 + (modelo: f() = a +b+c) El intercepto en y es P(0) = 1, es el punto (0,1). El intercepto en 1 + = 0 (resolvemos mediante FACTORIZACION o la FORMULA CUADRATICA) P() factoriza : (1 )(1 + ) = 0 Fórmula cuadrática: = ± 4( )(1) ( )
10 Polinomios de grado : repaso = 4 El vértice es el punto 1, 4. Como el coeficiente principal es negativo, la gráfica es una parábola invertida y P() tiene un máimo.
11 Polinomios de grado > Las gráficas de polinomios de grados mayores que son más complicadas que las gráficas que hemos visto hasta ahora. Se caracterizan por ser curvas suaves y contínuas (no tienen picos punteagudos, huecos, ni brincos) El dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los reales,,.
12 Ejemplos de Funciones Polinómicas
13 Ejemplos de Funciones No-Polinómicas
14 Gráficas de polinomios de grado > P( ) a a a... a a, n n1 n n n1 n 1 0 Los polinomios tienen un comportamiento igual que el monomio Q()=a n n en los etremos, o sea se comportan como su término principal. El comportamiento en los etremos de un polinomio es determinado por el grado del polinomio, n y el signo del coeficiente principal a n
15 Características de polinomios de grado impar comportamiento en los etremos: En los etremos, la gráfica de un polinomio de grado IMPAR, apunta en direcciones opuestas dependiendo del signo de a. a > 0 a < 0 puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; eisten A LO MAS (n 1) puntos de retorno, donde n es el grado del polinomio. ceros de la función: eisten A LO MAS n ceros, donde n es el grado del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int- de la gráfica.
16 comportamiento en los etremos: En los etremos, la gráfica de un polinomio de grado PAR, apunta en la misma dirección, ambos hacia arriba o ambos hacia abajo dependiendo del signo de a. Características de polinomios de grado par puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; eisten A LO MAS (n 1) puntos de retorno, donde n es el grado del polinomio. ceros de la función: eisten A LO MAS n ceros, donde n es el grado del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int- de la gráfica.
17 Práctica Determine si cada función es de grado PAR o IMPAR. Identifique los puntos de retorno y los ceros de la función. Diga el grado mínimo posible.
18 Ejemplo Utilizando la prueba del coeficiente principal, paree cada ecuación con su gráfica. a) b) c) d) f 4 ( ) f ( ) 5 4 f ( ) f ( ) 4 6 5
19 Soluciones Coeficiente principal Grado del término principal Signo del coeficiente principal Gráfica a) 4 4, par Positivo ambos etremos apuntan hacia arriba, D b) 5 c) 5 d) 6, impar 5, impar 6, par Negativo Positivo Negativo los etremos apuntan en direcciones opuestas, izquierda hacia abajo, B los etremos apuntan en direcciones opuestas, izquierda hacia arriba, A ambos etremos apuntan hacia abajo, C
20 Ecuaciones de polinomios Dado la gráfica de un polinomio si podemos determinar los interceptos en de la gráfica y un punto adicional podemos determinar una ecuación para el polinomio Como los interceptos en coinciden con los ceros reales de la función, podemos epresar la ecuación en forma factorizada. Con el punto adicional, podemos determinar el coeficiente principal.
21 Ej 1: Determinar una posible ecuación para la gráfica que se muestra De la gráfica de un polinomio, tratamos de identificar los interceptos en ya que coinciden con los los ceros reales de la función. En este caso: = -4, = -1, = De los ceros llegamos a los factores: g = a( + 4)( + 1)( ) Determinamos a con algún otro punto. int-y es (0, -1) Reemplazamos en g() -1= a(0 + 4)(0 + 1)(0 ) -1= 1a a = 1 1 =1 g = 1 ( + 4)( + 1)( ) g = ( + 4)( + 1)( ) g =
22 Ej : Determinar una ecuación para f() De la gráfica de un polinomio, tratamos de identificar los interceptos en ya que coinciden con los los ceros reales de la función. En este caso: = -, = 1 De los ceros llegamos a los factores: f() = a( 1)( + ) Sabemos que el polinomio es de grado par y que su grado es mayor que. Por la forma de la gráfica en =1, tenemos f() = a( 1) ( + ) Usamos el int-y (0,-10) para determinar a. -10 = a(0 1) (0 + ) -10 = -a a = 5 un cero repetido. f() = 5( 1) ( + ) f() =
23 Gráficas de polinomios (cont.) Uno de los primeros esfuerzos que se hacen para trazar gráficas de polinomios, es determinar los ceros reales de la función ya que coinciden con los interceptos en. Es posible determinar los interceptos en con un esfuerzo mínimo en algunos casos.
24 Hallar los interceptos en del siguiente polinomio f ( ) 7 10 Este es un polinomio de grado que tiene términos Todos los términos tienen un factor de en común.
25 Se comienza la factorización de f ( ) 7 10 removiendo el máimo común divisor, o sea un factor de. f ( ) ( 7 10)
26 f ( ) ( 7 10) Luego, se factoriza la cuadrática que queda dentro de los paréntesis Para factorizar la cuadrática, debemos encontrar (si eisten) factores de 10 que sumen -7.
27 f ( ) ( 7 10) Usaremos los factores -5 y -. f ( ) ( 5)( ) Esta es la factorización final del polinomio.
28 Los ceros de la función se consiguen igualando cada factor a 0. f ( ) ( 5)( ) cuando 5 0 cuando
29 Los interceptos en de la gráfica de f ( ) ( 5)( ) son: (0,0) (5,0) y (,0)
30 Trazar la gráfica de f ( ) 7 10 Sabemos que los interceptos en son: (0,0) (5,0) y (,0) Sabemos que es de grado impar Sabemos que apunta en direcciones opuestas en las esquinas Sabemos que a=1 y a>0 Sabemos que la gráfica apunta hacia abajo en el etremo izquierdo y hacia arriba en el etremo derecho
31 Práctica 1 El método presentado anteriormente se puede aplicar para hallar los interceptos en de la gráficas de las siguientes funciones: f 6 5 ) ( a) g ) ( b) p 9 6 ) ( c)
32 Un ejemplo adicional De hecho, el método practicado anteriormente se puede aplicar a algunos polinomios de grado mayor que. Por ejemplo, consideremos f 5 ( )
33 f 5 ( ) Este es un polinomio de grado 5 y tiene términos Todos los términos tienen un factor de en común. Todos los términos tienen un factor de en común.
34 ) ( f Se comienza la factorización removiendo el máimo común divisor, o sea el factor. 7 ) ( f
35 f ( ) 7 Luego, se factoriza la cuadrática que queda dentro de los paréntesis. Para factorizar la cuadrática, debemos encontrar (si eisten) factores de 6 que sumen 7.
36 6 ) ( f Usaremos los factores 1 y 6. 7 ) ( f 1 1 ) ( f 1 ) ( f
37 La factorización completa de f() es: - cuando cuando cuando 0 1 ) ( f Los ceros de la función se consiguen igualando cada factor a 0.
38 Los interceptos en de la gráfica de f ( ) 1 son: 1 ( 0,0) -,0 y (,0)
39 Práctica El método presentado anteriormente se puede aplicar para hallar los interceptos en de la gráficas de las siguientes funciones: a) g( ) b) h( ) 5 c) q( )
40 Soluciones Práctica 1 a) ( )( ) b) ( + 1)( 1) c) ( 1)( + ) Práctica a) ( 5)( + ) b) ( + 1) ( 1) c) ( + )( + 4)
Sec FUNCIONES POLINOMICAS
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