Teorema de Redes. M en C Alejandro Pérez López. México D.F. 27 de enero de 2009
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- Paula Méndez Maidana
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1 Teorema de Redes M en C Alejandro Pérez López México D.F. 27 de enero de 2009 Resumen La existencia de modelos matemáticos que describen los circuitos equivalente de sistema eléctricos complejos, para facilitar su análisis y de los comportamientos de los elementos pasivos y activos que componen un circuito bajo el estudio de la frecuencia compleja. 1
2 Índice 1. Introducción 3 2. Teorema de Thevenin Voltaje de Thevenin Impedancia de Thevenin Circuito equivalente Thevenin Teorema de Norton Corriente de Norton Impedancia de Norton Circuito equivalente Norton Conclusiones 11 2
3 1. Introducción Nos interesa aclarar con detalle aquellas referencias que pueden confundir el análisis eléctrico substrayendo el interés por su conocimiento. Estas realidades del análisis de circuitos abundan en nuestras explicaciones y forman parte prominente del curso impartido en la academia de circuitos de ICE, convirtiendo lo que debería ser una motivación para el aprendizaje de la teoremas eléctricos. Para calcular la Z o Y de una estructura activa la deberemos pacificar retirando las fuentes de voltaje y en su lugar se colcoara un corto circuito. de igual manera para las fuentes de corriente se retira y se deja en su lugar circuito abierto de ahí la estructura se analiza en el estado que queda siendo el calculo de Z y Y como las estructuas pasivas. Cuando la esctructiura se encuentra contenida dentro de una caja negra y a su vez contiene fuentes de voltaje y/o de corriente se le denomina estructura activa. Para calcularle la impedancia o admitanciainterna total se aplica el teorema de Thevenin para calcular la Z y el teorema de Norton para calcular la Y. 3
4 2. Teorema de Thevenin El teorema establece que cualquier red lineal activa de dos terminales de las cuales esta conectada una impedancia de carga que simbolizamos Z L se puede remplazar por un circuito equivalente que consiste en una fuente de voltaje y una impeancia en serie, como se muestra, de tal manera que por la Z L circulara la misma corriente o voltaje si fuese en circuito original o el circuito equivalente de Thevenin 1 : Figura 1: Teorema de Thevenin Para ello será necesario calcular o encontrar la impedancia de Thevenin y de igual manera el Voltaje de Thevenin, que es precisamente la caída de voltaje que presenta en circuito cuando es retirada la impedancia de carga del circuito original Voltaje de Thevenin Se retira la impedancia de carga Z L y se calcula el voltaje que se presente en las terminales a y b donde se encontraba conectada dicha impedancia de carga. A este voltaje lo conoceremos como el voltaje V ab o bien el voltaje de Thevenin V th. Figura 2: Voltaje de Thevenin V T h = 3000j j 2 Sistema de Ecuaciones Calculando las resistencias propias y mutuas 1 Circuitos electricos II, Benitez Serrano Ismael 4
5 R 11 J 1 + R 12 J 2 = 25 R 21 J 1 + R 22 J 2 = 0 R 11 = 4800[Ω] R 22 = 8600[Ω] R 12 = R 21 = 1800[Ω] Sustituyendo en el sistema de ecuaciones: 4800J 1 + ( 1800)J 2 = J J 2 = 0 calculando J 1 = CofR 11 [ J 1 = [ ] ] = 25(8600) = J 2 = CofR 22 [ J 2 = ] = 25(1800) V T h = 3000J J 2 V T h = 3000(5,65x10 3 ) (1,18x10 3 ) V T h = 19,07 [V olts] 2.2. Impedancia de Thevenin Para calcular la impedancia de Thévenin, deberemos pacificar el circuito (fuente de corriente por un circuito abierto y fuente de voltaje por un corto circuito). Esto es con el fin de dejar una estructura con solo elementos pasivos: Como podemos observar la resistencia de 1,8[KΩ] se encuentra en paralelo con 3[KΩ], que a su vez este paralelo se encuentra en serie con la de 1,8[KΩ] y finalmente en paralelo con 5[KΩ]. R P 1 = R P 1 = 1,125[KΩ] 5
6 Figura 3: Impedancia de Thevenin R S1 = R P = R S1 = 2,925[KΩ] R P 2 = R S R S = R eq = R P 2 = Z T h Z T h = 1,845[KΩ] 2.3. Circuito equivalente Thevenin Al circuito equivalente de Thevenin, le conectamos la Z L. Para el calculo final. Figura 4: Circuito equivalente de Thevenin J 3 = J 3 = J 3 = I L V T h R ab +R L 19,07[V ] [(1845,74)+(480)] = 8,202x10 3 6
7 I L = 8,202x10 3 [A] ó 8,202[mA] Calculando V RL para la misma resistencia. V 480 = I L Z L V 480 = (8,202x10 3 )(480) V L = V 480 V L = 3,94 [V olts] 7
8 3. Teorema de Norton El teorema establece que cualquier red lineal activa de dos terminales de las cuales esta conectada una impedancia de carga que simbolizamos Z L se puede remplazar por un circuito equivalente que consiste en una fuente de corriente y una impedancia en paralelo, como se muestra la figura, de tal manera que por la Z L circulara la misma corriente o voltaje si fuese en circuito original o el circuito equivalente de Norton 2 : Figura 5: Teorema de Norton Para ello será necesario calcular o encontrar la impedancia de Norton y de igual manera la corriente de Norton, que es precisamente la corriente que circula atravez del corto circuito que presenta en circuito cuando es retirada la impedancia de carga y es sustituida por un conductor en el circuito original Corriente de Norton Se retira la carga Z L y se calcula la corriente en las terminales a y b y ese será la I ab. Calculando las resistencias propias y mutuas del circuito, tenemos. Figura 6: Corriente de Norton 2 Ibide 8
9 R 11 = 4,8[KΩ] R 22 = 8,6[KΩ] R 33 = 4,8[KΩ] R 12 = R 21 = 1,8[KΩ] R 13 = R 31 = 3[KΩ] R 32 = R 23 = 1,8[KΩ] R 11 J 1 + R 12 J 2 + R 13 J 3 = 25 R 21 J 1 + R 22 J 2 + R 23 J 3 = 0 R 31 J 1 + R 32 J 2 + R 33 J 3 = 0 J 3 = = J 3 = 25 29,04x106 7,02x10 10 = 726x106 7,02x10 10 I N = J 3 I N = 10,3x10 3 [A] ó 10,3[mA] 3.2. Impedancia de Norton Para calcular la impedancia de Norton al igual que la de Thevenin deberemos pacificar el circuito (fuente de corriente por un circuito abierto y fuente de voltaje por un corto circuito). Esto es con el fin de dejar una estructura con solo elementos pasivos y separando la Z L de la estructura original: Figura 7: Impedancia de Norton Como podemos observar la resistencia de 1,8[KΩ] se encuentra en paralelo con 3[KΩ], que a su vez este paralelo se encuentra en serie con la de 1,8[KΩ] y finalmente en paralelo con 5[KΩ]. 9
10 R P 1 = R P 1 = 1,125[KΩ] R S1 = R P = R S1 = 2,925[KΩ] R P 2 = R S R S = R eq = R P 2 = Z T h Z N = 1,845[KΩ] Se realiza de igual manera que la Impedancia de Thevenin. En otras palabras Las impedancias de norton y Thevenin son iguales. Z N = Z T h 3.3. Circuito equivalente Norton Al circuito equivalente de Norton reconectamos la Resistencia de carga. Figura 8: Circuito equivalente de Norton G N = I N V T h = 10,6x ,57 Por divisor de corriente, tenemos: I L(500) = (10,3x10 3 )(1845,43) 1845, I L(500) = 8,1x10 3 ó 8,1[mA] V L(500) = (8,1x10 3 )(500) V (500) = 4,05[V olts] 10
11 4. Conclusiones Todo circuito lineal activo, puede ser reducido por un circuito equivalente serie (Thevenin) o paralelo (Norton) Para Thevenin 1. Retirar la impedancia de carga Z L. 2. Medir el voltaje (V ab ) en las terminales donde se encontraba la Z L 3. V [ ab] = V T h 4. Pacificar la red retirando las fuentes. Las fuentes de voltaje se sustituyen con un corto circuito. Las fuentes de corriente se sustityen con un circuito abierto. 5. Medir la impedancia equivalente (Z T h ) en las terminales donde se encontraba la Z L 6. El circuito equivalente Thevenin será, colocando V T h en serie con la Z T h. Para Norton 1. Retirar la impedancia de carga Z L. 2. Colocar un corto circuito en donde se encontraba la Z L. 3. Calcular la corriente (I ab ) que circula por el corto. 4. I [ ab] = I N 5. Pacificar la red retirando las fuentes. Las fuentes de voltaje se sustituyen con un corto circuito. Las fuentes de corriente se sustityen con un circuito abierto. 6. Medir la impedancia equivalente (Z T h ) en las terminales donde se encontraba la Z L 7. El circuito equivalente de Norton será, colocando I N en paralelo con la Z N. 11
12 Índice de figuras 1. Teorema de Thevenin Voltaje de Thevenin Impedancia de Thevenin Circuito equivalente de Thevenin Teorema de Norton Corriente de Norton Impedancia de Norton Circuito equivalente de Norton
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