TODO ECONOMETRIA. Bondad del ajuste Contraste de hipótesis

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1 TODO ECONOMETRIA Bondad del ajuste Contraste de hipótesis

2 Índice Bondad del ajuste: Coeficiente de determinación, R R ajustado Contraste de hipótesis Contrastes de hipótesis de significación individual: el contraste t e intervalos de confianza Contraste de hipótesis de significación conjunta de un subconjunto de regresores Contraste de hipótesis de significación global de la regresión: el contraste F

3 Bondad de ajuste

4 Una vez estimado el modelo de regresión: Cómo es el ajuste de la estimación? Cuánto puedo explicar con el modelo? Recordemos que: varianza muestral de Y = varianza muestral del valor ajustado + varianza muestral de los residuos el ajuste de la estimación será mejor cuanto mayor sea la proporción de la variación muestral de Y que viene explicada por el modelo

5 Sabiendo que siempre que hay término constante: SST = SSE + SSR Suma de Cuadrados Totales= Suma de Cuadrados Explicada+Suma de Cuadrados de los Residuos n n n y y y y u i i i i i Si dividimos por SST, podemos definir el coeficiente de determinación o R-cuadrado como: i R n i n i SSR SST yi y ui i n y y y y i SSE SST i n i

6 Consideraciones sobre R-cuadrado 0 R Cuanto mayor sea R mejor será el ajuste del modelo R = coeficiente de correlación muestral entre e y y Si no hay término constante en el modelo R R sirve para comparar el grado de poder explicativo de dos o más modelos siempre que tengan el mismo número de variables independientes Siempre que añadamos nuevas variables independientes, sean o no relevantes, el valor de R aumentará porque no aumenta la SSR

7 R-cuadrado corregido de grados de libertad R no nos sirve como seleccionador entre: Modelos con término constante y sin término constante Modelos anidados Modelos no anidados Utilizaremos el R ajustado, SSR n k R SST n Se puede demostrar que: R R n n R n k Por qué no demuestro? n k SSR SST FACTOR DE CORRECIÓN

8 Contraste de hipótesis

9 Contraste de hipótesis Contrastar hipótesis sobre los β β son características desconocidas de la población y no los conoceremos con certeza Una vez estimados, podemos contrastar hipótesis sobre los auténticos valores de β Para realizar contrastes es necesario que se cumplan dos hipótesis del modelo: u i ~ N (0, σ ) u i indentica e independientemente distribuidos (iid)

10 Siendo la FRP: y x x... i 0 i i k ki i i... n x u Contrastaremos hipótesis sobre β j Significación individual: H 0 : β j = a j Significación conjunta de un conjunto de regresores (combinación lineal de parámetros) H 0 : β + β = Significación global de todos los parámetros H 0 : β = β = = β k = 0

11 Contrastes de significación individual: contraste de la t H 0 : β j = a j H : β j a j Envuelven un solo parámetro (β j ) Tenemos una sola restricción: m = porque β j = a j Si se cumplen las hipótesis: u i ~ N (0, σ ) y u i iid t j SE a j * t ( ) n k Calculamos el valor de t, si: t < t* n-k- => Acepto H 0 t > t* n-k- => Rechazo H 0

12 El valor de t* dependerá de los grados de libertad y del nivel de significatividad determinado = 0,0 = 0,05 = 0, Generalmente: contrastaremos: H 0 : β j = 0 H : β j 0 Estableceremos un = 0,05 => significatividad del 5% Si n y los grados de libertad son suficientemente grandes => t* n-k- =,96

13 Si t < => Acepto H 0 Si t > => Rechazo H 0 Región aceptación H 0 Región rechazo H 0 Región rechazo H 0 -t* / = - 0 t* / =

14 Si t < => acepto H 0 => β j = 0 variable x j no es estadísticamente significativa al 5% x j no influye en y X Y Si t > => rechazo la H 0 => β j 0 variable x j es estadísticamente significativa al 5% x j influye en y X Y

15 El p-valor en los contrastes t Lo utilizaremos para establecer el nivel de significatividad a posteriori Obtenido t cuál es el nivel de significatividad más pequeño al que se rechazaría la H 0? Este nivel de significatividad es el p-valor p-valor = P( t > t* n-k- ) Compararemos con p-valor < => Rechazamos H 0 p-valor > => Aceptamos H 0

16 Significatividad del % = 0,0 0,005 p-valor < 0,0 Rechazo H 0 al % 0,005 Significatividad del 5% = 0,05 0,05 0,05 p-valor < 0,05 Rechazo H 0 al 5% Significatividad del 0% = 0, 0,05 0,05 p-valor < 0, Rechazo H 0 al 0%

17 Contrastes de significación individual: intervalos de confianza Construimos IC para el parámetro poblacional β j Zona en la que con una probabilidad determinada estará el auténtico valor de β j Límite inferior β Límite superior j j SE( ) t * n k, a / j ˆ * j tn k SE( ˆ, / j La amplitud del intervalo de confianza dependerá del SE )

18 Contrastes de significación conjunta de un conjunto de regresores Ejemplo: F. producción Cobb-Douglas presenta rendimientos constantes? H 0 : β + β = Envuelven más de un parámetro (β j ) Tenemos una sola restricción: m = Para hacer estos contrastes: H 0 : β + β - = 0 t SE( ) * t n k, a /

19 t SE( ) * t n k Y si H 0 : β = β? t SE( ) SE( ) cov(, ) * t n k t var( ) var( ) cov(, ) * t n k

20 Contraste de significación global y x x... i 0 i i H 0 : β = β = = β k = 0 H : β j 0 Envuelven todos los parámetros excepto el término constante Tenemos k restricciones: m = k k x ki u i β = 0, β = 0. β k = 0 H 0 : A β = Ejemplo: a H : A β a yi 0 xi xi u i A ; 0 ; a 0 0

21 Cómo realizamos estos contrastes? Tenemos el modelo bajo la hipótesis nula yi 0 ui donde u i es el error del modelo restringido Considerando que la SSR del modelo siempre aumenta al eliminar variables podremos calcular: F SSRR SSR n k SSR k- F * k-, n-k- Si: F < F* m,n-k- (valor crítico) => Acepto H 0 F > F* m,n-k- (valor crítico) => Rechazo H 0

22 Podremos usar el p-valor en los contrastes F p-valor = P( F > F* m,n-k- ) p-valor < => Rechazamos H 0 p-valor > => Aceptamos H 0 - Región aceptación H 0 F* m, n-k-

23 Consideraciones sobre el estadístico F Relación con el estadístico t F en función del R-cuadrado F R n k * F R k- k-,n-k-