3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA 3.2 DEFINICIÓN

Transcripción

1 Cap. La derivada. INTERPRETACION GEOMETRICA. DEFINICIÓN. NOTACIÓN. FORMA ALTERNATIVA.5 DIFERENCIABILIDAD.6 DERIVACIÓN.6. FORMULAS DE DERIVACIÓN..6. REGLAS DE DERIVACIÓN.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.6. DERIVACIÓN IMPLÍCITA.6.5 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Deina derivada. Determine si una unción es dierenciable o no. Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva Calcule derivadas.

2 Cap. La derivada Desde la antigüedad (épocas de los griegos eistía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII ue resuelto con los estudios de ISAAC NEWTON (6-77 GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (66-76, preocupados también por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una traectoria. Empecemos primero estudiando el problema geométrico posteriormente el problema mecánico.. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráica de una unción, en un punto. ( La ecuación de la recta tangente estaría dada por: ( m ( tg Aora, abría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la gráica:

3 Cap. La derivada ( ( ( ( ( La pendiente de la recta secante entre los puntos (, ( (, ( sería m sec ( ( La pendiente de la recta tangente se obtendría aciendo que se aga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, resolveríamos nuestro problema; es decir: m tg lím ( ( A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de.. DEFINICIÓN Sea una unción de variable real. Sea un punto del dominio de. La derivada, denotada como, es otra unción, cuo valor en " " está dado por: ( ( lím (

4 Cap. La derivada Siempre que este límite eista. En este caso, se dice que es dierenciable en ". ". NOTACIÓN Las notaciones que se emplean para la derivada son:,, d d, En cualquier caso, la derivada en " " sería: ( lím D. ( (. FORMA ALTERNATIVA Presentaremos aora una orma dierente para la derivada, que para algunos casos resultaría mu útil. Observe el gráico: ( ( ( ( (

5 Cap. La derivada sería: La pendiente de la recta secante entre los puntos (, ( (, ( ( ( msec. Entonces la pendiente de la recta tangente, que es la derivada de, sería en este caso: ( ( mtg ( lím Ejemplo Empleando la deinición, allar la derivada ( ( ( ( lím lím lím lím lím ( ( [ ] Empleando la orma alternativa: ( ( ( lím ( ( lím lím lím lím lím ( ( ( 5

6 Cap. La derivada Ejemplo. Empleando la deinición, allar la derivada ( lím lím ( ( ( ( lím ( lím lím ( Empleando la orma alternativa: ( ( ( lím lím ( ( ( lím lím ( ( Ejercicios propuestos... Sea ( (.5 ( a Calcule el valor de.5 (. ( b Calcule el valor de. (. ( c Calcule el valor de. d Calcule el valor de (. Eplique por qué los valores anteriores son aproimados a este resultado. 6

7 Cap. La derivada. Hallar (, considerando la gráica: (. Empleando la deinición, determine la derivada de: a ( b ( ( c d e ( ( (.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará aora de especiicar las condiciones para que la derivada de una unción en un punto eista, lo cual dará paso a decir que la unción será derivable o dierenciable en ese punto. La dierenciabilidad es equivalente a derivabilidad para unciones de una variable real..5. TEOREMA DE DERIVABILIDAD. Si es dierenciable en " ", es decir ( eiste, entonces es continua en " " Demostración. Epresemos lo siguiente: ( ( ( ( Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo multiplicandolo por ( tenemos: 7

8 Cap. La derivada ( ( ( ( ( Aora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta: ( ( lím lím lím La epresión ( lím ( ( ( ( lím es igual ( [] ( ( lím ( (, debido a que de ipótesis se dice que es derivable en. Entonces: cons tan te ( ( lím ( lím lím ( lím ( ( ( Por tanto, la última epresión indica que es continua en " ". L.Q.Q.D. ( Analizando el teorema, se conclue que si una unción es discontinua en " " entonces no es dierenciable en " ". También debe entenderse que no toda unción continua es dierenciable. Ejemplo Hallar ( para ( Empleando la orma alternativa de la derivada: ( ( ( lím lím lím El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:. lím lím (. lím lím ( Como los límites laterales son dierentes, entonces ( lím no eiste. 8

9 Cap. La derivada Observando la gráica de Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de dierentes pendientes a la dereca a la izquierda de, en este caso se dice que la gráica de la unción no es suave en. Esta unción aunque es continua en, sin embargo no es dierenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica dierenciabilidad..5. DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos deinirla unilateralmente..5.. Derivada por dereca La derivada por dereca en " " de una unción se deine como: ( ( lím alternativa: ( ( lím ( o por la orma ( 9

10 Cap. La derivada.5.. Derivada por izquierda. La derivada por izquierda en " " de una unción se deine como: ( ( ( lím ( ( lím alternativa: o por la orma ( Por tanto, para que eista, se requiere que las derivadas ( laterales eistan sean iguales. Es decir, si ( (, se dice que no es derivable en " " su gráica no será suave en ese punto. Ejemplo ; < Hallar ( para ( ; Primero veamos si que es continua en. Como lim ( lim ( entonces si es continua en - Segundo. Para allar ( debemos allar las derivadas laterales debido a que tiene dierente deinición a la izquierda la dereca de. ( ( ( ( ( lim lim lim ( ( ( ( ( lim lim lim Por tanto, Como ( ( entonces ( no eiste Sería conveniente que la GRAFIQUE para terminar de convencerse de que NO ES SUAVE en ese punto. Y es por eso que no es derivable en ese punto. Veamos aora, un ejemplo de una unción que aunque es continua suave, en un punto, sin embargo no es dierenciable en ese punto.

11 Cap. La derivada Ejemplo Sea ( allar ( Empleando la orma alternativa: ( lím ( ( lím lím ( ( no eiste Lo que ocurre es que la recta tangente, en, es vertical (pendiente ininita; observe la gráica. Por tanto, si una unción es dierenciable en un punto " " ocurren tres cosas:. Es continua en ese punto. Es suave en ese punto. La recta tangente no es vertical en ese punto

12 Cap. La derivada Ejercicios Propuestos. Elabore la gráica de las unciones dadas determine por inspección si es dierenciable en el punto indicado:... ; < ( ; ; ; < ( 6 7; ; < ( ; 7;.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una unción puede presentarse complicado si se lo ace aplicando la deinición. Para acer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas reglas..6. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas unciones deinidas de manera simple se pueden emplear las órmulas siguientes:. ( k ; k R D. ( D n n. D ( n(. D ( e e 5. D ( a a ln a D (ln D (log a ln 8. (sen cos D 9. (cos sen D. D (tg sec. D ( Co tg csc a

13 Cap. La derivada. (sec sec tg D. (csc csc cot g D Ejemplo Si ( entonces ( (FORMULA Ejemplo Si ( entonces ( (FORMULA Ejemplo Si ( ( entonces ( ( Ejemplo (FORMULA Hallar la ecuación de la recta tangente a ( en ( Recta tangente La ecuación de una recta deinida por un punto su pendiente está dada por: m El punto sería: La pendiente sería: ( ( (

14 Cap. La derivada m tg ( ( Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: ( Obviamente las reglas de correspondencia de las unciones no aparecen comúnmente en orma simple, por tanto abrá que considerar reglas para estos casos..6. REGLAS DE DERIVACIÓN Sean g unciones dierenciables k una constante, entonces: d. ( k ( d k ( d. ( ( d g( ( g ( d. ( ( d g( ( g ( d. ( ( g ( d ( g ( ( g ( d ( ( g( ( g ( 5. d g( g ( (Múltiplo constante (Suma (Resta (Producto [ ] (Cociente Con lo anterior a podemos obtener derivadas de unciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su orma. Ejemplo (derivada del múltiplo constante Si ( d entonces ( ( ( d Ejemplo (Derivada de suma resta entonces Si ( d d d ( ( ( ( d d d

15 Cap. La derivada Ejemplo (Derivada del producto e Si ( d d d d entonces ( ( e ( e e e e ( Ejemplo (Derivada del producto Si ( ( ( entonces: d d ( ( ( ( ( d d ( ( ( ( Para el caso del producto de tres unciones, la regla sería: d [ ( g ( ( ] ( g ( ( ( g ( ( ( g ( ( d Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto e sen entonces Si ( ln d d d ( e sen ln e sen ln e sen ln d d d esenln e cos ln esen Ejemplo 6 (Derivada de cociente Si ( ( entonces d d ( ( ( ( d d ( 6 6 ( ( ( ( ( ( ( 5

16 Cap. La derivada Ejercicios Propuestos.. Calcular las derivadas de las unciones cuas reglas de correspondencia son: ln e a ( b ( ( ( c ( ( sen( cos d ( sen e ( e sen e ln (. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación ( punto (, 5. en el. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción con regla de correspondencia ( que sea paralela a la recta.. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la unción deinida por que son paralelas a la recta cua ecuación es Determine (, si ( ( (...( 5 ( 6. Si, g son unciones tales que g (. Determine (. ( g( (, (, g (, (, ( g( Para unciones compuestas disponemos de la regla de la cadena..6.. Regla de la Cadena Sea ( u u g(. Si g es dierenciable en " " dierenciable en " g( " entonces la unción compuesta ( g( g( es dierenciable en " " d ( ( ( g ( ( g( [ g ( ] d O lo que es lo mismo d d du d du d ( u g 6

17 Cap. La derivada Ejemplo entonces aciendo g( d 9 du u. du d d d du u 9 que al reemplazar " u " resulta d du d d 9 ( ( ( ( 9 d Si ( de donde Por tanto ( ( u tenemos ( u u El ejemplo anterior ue resuelto con un enoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo Si sen( entonces D ( senu D ( [ cos( ][ ] u u Ejemplo Si entonces u 9 D ( 6 ( ( ( ( 9 v Para el caso de unciones de la orma ( g( ( ( tenemos ( g( v u ( u ; entonces aciendo que aora aciendo que g( v d d du dv. d du dv d O más simplemente ( g( ( [ g ( ( ][ ( ] tenemos 7

18 Cap. La derivada Ejemplo Si cos ( cos( entonces: v u cos [ ( ] D [ cos( ] [ ( ] [ sen( ] D ( [ ( ] [ sen( ][ 6] cos cos Finalmente las órmulas de derivadas para unciones compuestas quedarían: Sea u u(, entonces: n n. D ( u n( u u u u. D ( e e u u u. D ( a a ( ln a u u. D (lnu u u ln a 5. D (log u u a 6. D (senu ( cosu u 7. (cosu ( sen u u D 8. D (tgu ( sec u u 9. ( Co tgu ( csc u u D. D (secu ( secu tg u u. (cscu ( cscu cot gu u D Ejercicios Propuestos.. Calcular las derivadas de las unciones cuas reglas de correspondencia son: a ( b ( c ( d ( e e e e e ( sen cos ( ln ln ( g ( ln 8

19 Cap. La derivada 9.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una unción por tanto se podría obtener también la derivada de esta unción así sucesivamente. Es decir: Sea ( una unción " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: D d d ( ( lím ( La segunda derivada es: ( D d d D ( ( lím ( La tercera derivada es: ( D d d D ( ( lím ( En in, La n ésima derivada es: D d d n n n n n n n ( ( lím ( Ejemplo Hallar D Aquí tenemos: (. Obteniendo derivadas asta poder generalizarla, resulta: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 5 5! ( ( ( (! ( (!! IV

20 Cap. La derivada Ejemplo Hallar D Aquí tenemos: ( Obteniendo derivadas: ( ( ( ( ( ( (. ( ( ( 5 5 IV ( (! ( Ejercicio Propuesto.5. Calcular las derivadas de orden superior indicadas. a. b. c. 5 5 D ; ( e ; d ( d cos ; d d. ( ( d sen π d e. ; d d. ( sen ; d. Determine d d d d

21 Cap. La derivada.6. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en orma implícita F (,. Suponga que no se pueda ponerla en orma eplícita (, que no se pueda despejar, pero que se desea allar. Entonces considerando que F (, ( tomando en cuenta la regla de la cadena lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea allar PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar, tenemos ± ± Entonces: ± SEGUNDO MÉTODO. ( ( Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ( ] D [ ( ] D ( ( ambos miembros de la igualdad: ( ( que es lo mismo que: despajando resulta: ± tomar derivada a Una diicultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación uese Sin embargo obtener sería de la misma orma que el ejemplo anterior. Aora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio Resuelto Hallar para 7 Obteniendo derivada a ambos miembros resolviendo tenemos:

22 Cap. La derivada Despejando resulta: ( 7 D ( ( D Ejercicio Resuelto Hallar para ln( Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: Despejando resulta: D ( ln( D ( [ ] Ejercicio Resuelto Hallar para cos ( Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: D cos Despejando resulta: ( ( D( ( [ ] [ ( ( ] ( sen( sen sen sen ( sen ( Ejercicio Resuelto Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cua ecuación es cos sen( en P(,. La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal m D cos D sen Aora m tg (,. Obteniendo resulta: cos ( sen cos( [ ] En la última epresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir:. tg ( ( (

23 Cap. La derivada Luego despejando resulta : cos ( sen cos( [ ] Esto quiere decir que la recta tangente es orizontal por tanto la recta normal será vertical con pendiente m normal. Y su ecuación será: ( Ejercicios Propuestos.6 d. Encontrar para: d a. b. ( ln c. e ln d. sec tan e. ( ln 5. Demuestre que la rectas tangente a las curvas deinidas por las ecuaciones en el punto (, son perpendiculares entre sí.. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación 5 en el punto (, 8. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la graica de ( en el punto (, 5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación sen π ( en el punto (, [ ] 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación que es paralela a la recta 6 7. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ( el punto (,. 8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva deinida por la ecuación ( sen( punto (,. en cos en el

24 Cap. La derivada.6.5 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto complicadas o cuando son unciones potenciales de la orma ( g (, lo mejor será aplicar logaritmo derivar implícitamente. Ejemplo d Hallar para d Primero, aplicando logaritmo, tenemos: Aora derivando implícitamente, resulta: ln ln ln ln ( ln D ( ln D (ln [ ln ] [ ln ] Ejemplo d Hallar para d Aora, a que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos: ln ln ln Luego, volvemos a aplicar logaritmo: ( ln ( ln ln( ln ln(ln ln ln(ln ln(ln ln ln(ln Y aora sí, derivamos implícitamente: ln

25 Cap. La derivada D [ ln(ln ] D [ ln ln(ln ] ( ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Eisten situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica. Ejemplo d tg Hallar para d e Primero, aplicando logaritmo, tenemos: tg ln[ ] ln e ln ln ln tg ln e ( ( ( Aora derivando implícitamente, resulta: D ln D ln ln tg ln e ( ( ( ( ( sec e tg e sec e tg e Finalmente, reemplazando resulta: ( ( ( ( ( ( tg sec e e tg e ( ( ( Ejercicios Propuestos.7 d. Calcular, para : d a. b. sec 5 csc tg cos ( 5 c. d. ( 5

26 Cap. La derivada. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación ( ln( punto (, e en el Misceláneos. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o alsas. Justiique ormalmente su respuesta. a La unción ( sen no es derivable en b La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (, es (. c La epresión sen lim π π es la derivada de ( sen cuando π. d La unción ( 6 5 no tiene rectas tangentes con pendiente. e Si ( entonces ( ln ln La unción de variable real con regla de correspondencia en todo su dominio. ; ( ; < es derivable ; < g Si es una unción de variable real tal que ; ( entonces ( eiste. ; > Si ( c g( c ( ( g( entonces ( c i Si g son unciones de en tales que g entonces g d. Encuentre para d cos. e ( cos. ( ln. ( ( sen ln cos e 5. cos 6. ln tg 7. e tg( e. e e ln tg en el punto (,.. La ecuación de la recta tangente a la curva cua ecuación es (. Hallar d d en el punto (,π donde e satisacen la ecuación sen(. 6

27 Cap. La derivada 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación cos( punto (,. 6. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva deinida por la ecuación ln ; en el punto (,. ; en el 7. Determine el valor de k de manera que la recta deinida por k sea tangente a la parábola deinida por Hallar 5 d 5 d 9. Determine la ecuación de la recta tangente a la unción cua regla de correspondencia es ( 6 6, además dica recta es paralela a la recta que contiene al origen al vértice de la parábola. 7