La mecánica de Newton

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1 8 La mecánca de Newton Contendos del módulo 8.1 Espaco y tempo 8.2 Ley de la nerca 8.3 Momentum 8.4 Centro de masa de un sstema de partículas 8.5 Momentum de un sstema de partículas 8.6 Teorema de conservacón de la cantdad de movmento 8.7 La segunda ley de Newton 8.8 El sgnfcado físco del concepto de masa 8.9 La tercera ley de Newton 8.10 La medcón de la masa Isaac Newton ( ). La formulacón de la ley de la gravtacón unversal fue deducda por Newton a partr de sus tres leyes sobre el movmento. Objetvos del módulo 1. Presentar las leyes de Newton para el movmento de los cuerpos. 2. Dscutr el sgnfcado de los conceptos fundamentales de la mecánca. 3. Introducr el concepto de defncones operatvas para la medcón de las magntudes físcas. Preguntas báscas 1. Qué relacón exste entre el concepto de nerca y las característcas del espaco y del tempo absolutos? 2. Qué dferenca hay entre la dea de que el movmento es el estado de un sstema físco y la dea de que el movmento es el resultado de la accón de una fuerza? 3. Qué relacón exste entre el concepto de sstema aslado y el estado de movmento del sstema? 4. Cómo se puede expresar la segunda ley de Newton cuando la masa de un cuerpo varía durante la accón de la fuerza? Dé un ejemplo de este caso. 5. Qué utldad puede tener el hecho de que la descrpcón mecánca de un sstema de partículas sea equvalente a la de una partícula en el centro de masa? 6. Explque por qué no es lo msmo medr la masa que el peso de un cuerpo. 7. Un burro medanamente lustrado se nega a arrastrar su carreta argumentando que la fuerza que él ejerce sobre la carreta es anulada por la fuerza que la carreta ejerce sobre él, de modo que no se podrán mover. S la hay, encuentre la falaca en el argumento del burro. Vea el módulo 8 del programa de televsón Físca Conceptual Físca Conceptual 87

2 Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánca Introduccón En 1687 aparecó en Londres la publcacón de la obra que habría de constturse en la pedra angular y punto de partda de la físca y de toda la cenca moderna: se trataba de Los prncpos matemátcos de la flosofía natural, escrta por sr Isaac Newton. La obra de Newton contene la solucón matemátca del problema del movmento astronómco y en ella se plantea la extensón de las leyes naturales a todo el unverso, dejando atrás la supuesta dvsón entre el mundo celeste y el mundo sublunar. Newton se decdó a publcar su obra, alentado por los astrónomos Edmund Halley y Chstopher Wren, quenes habían solctado su ayuda para encontrar la trayectora que debería segur un cuerpo sobre el cual actuaran fuerzas centrales, tal como suponían que pasaba con los planetas debdo a la atraccón del Sol, y, específcamente, con el cometa que hoy lleva el nombre de uno de ellos. Portada de la obra máxma de Newton: Los prncpos matemátcos de la flosofía natural. Es mportante destacar que cuando Newton aparecó en la escena centífca ya no se dscutía s la Terra rotaba sobre su eje y graba alrededor del Sol; esto se tomaba como un hecho, excepto en los países donde tenía nfluenca la Santa Inquscón, de modo que el trabajo que asumó Newton, que había nacdo el 25 de dcembre de 1642, año de la muerte de Galleo, consstó en plantear y encontrar solucón a un problema de físca matemátca, cosa que realzó con precsón y eleganca nunca antes vsta en la hstora de la cenca. Ya en 1666, el año fatídco de la peste y del ncendo de Londres, mentras se refugaba en su casa en el campo, Newton había concebdo una solucón al problema del movmento planetaro al suponer que la msma fuerza que hace caer a una manzana es la responsable de que la Luna sea un satélte de la Terra; sn embargo, cuando algunos cálculos que realzó para verfcar su suposcón no deron los valores que esperaba, abandonó el tema, hasta que Halley y Wren volveron a llamar su atencón sobre él. Al rehacer los cálculos en los que comparaba la relacón entre la aceleracón de caída de un cuerpo sobre la superfce de la Terra y la aceleracón centrípeta de la Luna, con el cuadrado de la relacón entre la dstanca Terra-Luna con el rado de la Terra, descubró que sus suposcones habían sdo acertadas. El problema estaba en que el valor que había utlzado ncalmente para el rado de la Terra era ncorrecto, pero por aquel entonces una nueva expedcón geográfca había determnado el rado terrestre con mayor precsón y Newton pudo conclur su trabajo. Para expresar sus conceptos sobre la mecánca y poder plantear y encontrar una solucón a los problemas del movmento de los cuerpos, Newton desarrolló una nueva área de las matemátcas que denomnaba cálculo de fluxones y que hoy en día conocemos como cálculo nfntesmal, aunque en los Prncpa, nombre con el que se conoce su obra, las demostracones están presentadas en térmnos geométrcos. De manera ndependente el flósofo alemán Wlhelm Lebnz tambén desarrolló una teoría matemátca equvalente al cálculo nfntesmal el cálculo dferencal lo que susctó una fuerte polémca con Newton por cuestones de orgnaldad. 88

3 8.1 Espaco y tempo En el nco de su obra Newton establece con toda clardad los térmnos y conceptos que va a utlzar, y aunque los supone amplamente conocdos hace algunas precsones que consdera de mportanca sobre los conceptos de espaco y tempo, después de haber establecdo lo que él consdera son las reglas del correcto flosofar en cuestones de flosofía natural, que era el térmno genérco que albergaba entonces a lo que ahora llamamos cenca. Es mportante destacar dos de sus reglas: prmero, la que hace alusón a la no prolferacón de las causas: no se debe atrbur a muchas causas lo que se puede explcar con una sola ; y en segundo térmno: s no se tene certeza sobre algo es mejor no hacer hpótess. A contnuacón Newton aclara lo que entende por espaco absoluto y establece la dstncón con lo que se suele entender como espaco relatvo. Según él, el espaco absoluto es nfnto, exste por sempre y es ndependente de su contendo, y desde el punto de vsta geométrco tene todas las característcas de la geometría de Eucldes, por tanto no tene lugares n dreccones preferdas y podemos decr que es homogéneo e sotrópco. El espaco relatvo, nos dce Newton, son las meddas sensbles que hacemos para establecer la dstanca entre dos puntos. Respecto al tempo absoluto, Newton afrma que fluye de manera unforme, ndependentemente de los fenómenos, tal como lo ha hecho desde sempre y lo hará por sempre. El tempo relatvo, que tambén se llama duracón, son las meddas sensbles de tempo que hacemos entre dos fenómenos. Los conceptos de espaco y tempo que Newton establece son necesaros para el establecmento de las leyes del movmento que se plantearán a contnuacón, aparte de tener un profundo sgnfcado flosófco y teológco para su autor. 8.2 Ley de la nerca Módulo 8: La mecánca de Newton Escuche Bccleta, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca. Escuche Cuna de Newton, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca. Todo cuerpo permanece en su estado de movmento unforme y rectlíneo en tanto no actúe una fuerza sobre él. Ley de la nerca - Newton (Nota: Adoptamos la notacón de representar las magntudes vectorales por letras en tálca y negrlla, y las magntudes escalares en tálca sn negrlla.) Todo cuerpo permanece en su estado de movmento unforme y rectlíneo en tanto no actúe una fuerza sobre él. En esta proposcón Newton adopta una ley para el movmento de los cuerpos smlar a la que había propuesto Descartes. Se dstngue claramente de la que había propuesto Galleo por el carácter rectlíneo del movmento y la posbldad de que éste se prolongue de una manera ndefnda. La ley de nerca adopta el concepto de estado de movmento, que dferenca esta concepcón de otras para las que el movmento es un efecto producdo por causas naturales o volentas. Escuche El mantel, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca 8.3 Momentum Del contendo de la ley de nerca se concluye que la fuerza es aquello que camba el estado del movmento, por tanto se necesta hacer una defncón matemátca y operatva del concepto y defnr una magntud físca que descrba el estado de movmento. A dcha magntud se le dará el nombre de momentum, o momento lneal, y se desgnará por la letra p. Escuche Corols, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca. El momentum de un cuerpo o de un sstema físco es proporconal a la velocdad v Físca Conceptual 89

4 Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánca Todo cuerpo conserva su cantdad de movmento p en tanto no actúen fuerzas sobre él. del cuerpo o del sstema, puesto que se ha defndo para descrbr el estado de movmento, pero es posble asumr que dversos cuerpos puedan estar en dferentes estados de movmento a pesar de tener la msma velocdad, debdo a que poseen una característca físca que los dferenca y que vamos a denomnar con la letra m, por masa, sn que, por ahora, le podamos asgnar nngún sgnfcado específco. En consecuenca se defne el momento lneal de un cuerpo como: p mv (8.1) A partr de la defncón de momentum se puede expresar la ley de nerca en los sguentes térmnos: Todo cuerpo conserva su cantdad de movmento p en tanto no actúen fuerzas sobre él. 8.4 Centro de masa de un sstema de partículas Cuando se consdera un sstema físco consttudo por un conjunto de partículas es convenente encontrar propedades que caractercen al sstema como un todo (fgura 8.1); por esta razón vamos a defnr el concepto de centro de masa. S el sstema está consttudo por n partículas caracterzadas por la masa m y localzadas por un vector de poscón r, la poscón del centro de masa está asocada al vector R CM que se defne por: R mr m (8.2) CM y m 1 m 2 m R 1 R 2 R R 3 m 3 R 4 m4 x z Fgura 8.1. Sstemas de referenca con varas partículas Puesto que la masa total M del sstema está dada por la expresón M m (8.3) de (8.2) se llega a la ecuacón: 90

5 MRCM mr (8.4) Módulo 8: La mecánca de Newton 8.5 Momentum de un sstema de partículas S el vector r o ndca la poscón de una partícula en el momento ncal t o, y el vector r ndca la poscón de la partícula después de un tempo t (fgura 8.2), la velocdad de la partícula está dada por la expresón: v r r o t (8.5) y m1 m1 Las leyes de Newton son la pedra angular sobre la que se basan los vajes espacales. m2 R1 0 R1 m2 R2 0 R30 R2 m3 m3 R3 x z S multplcamos a ambos lados de la expresón (8.4) por m y realzamos la sumatora sobre todos los valores de desde 1 hasta n, se obtene que: Fgura 8.2. Partícula en dos poscones consecutvas o mv m r r t (8.6) El momentum total del sstema está dado por la magntud P P = mv (8.7) S tenemos en cuenta la expresón (8.4), la expresón (8.6) se puede escrbr: P M R R t (8.8) donde la cantdad V R R t (8.9) corresponde a la velocdad del centro de masa del sstema. La expresón (8.8) queda entonces: Físca Conceptual 91

6 Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánca P MV (8.10) A partr de esta expresón se puede conclur que un sstema de partículas se comporta como una sola partícula cuya masa es gual a la masa total del sstema localzada en el centro de masa y que se desplaza con éste. 8.6 Teorema de conservacón de la cantdad de movmento Gaspar Corols ( ). Matemátco francés, autor de mportantes trabajos relaconados con la mecánca. Al gual que para una partícula ndvdual sobre la cual no actúa nnguna fuerza, se puede establecer que el sstema en su conjunto debe cumplr la condcón de que la cantdad de movmento total debe permanecer constante, en tanto se pueda consderar como un sstema aslado, esto es, que las úncas fuerzas que actúan sobre él son las fuerzas que ejercen las partículas entre sí. 8.7 La segunda ley de Newton A partr de la prmera ley de Newton o ley de nerca se puede conclur que s en ausenca de fuerzas los cuerpos conservan su estado de movmento, la fuerza es aquello que camba el estado de movmento, de modo que es posble defnr la fuerza que actúa sobre un cuerpo como la rata de cambo en el tempo del momentum del cuerpo. De acuerdo con lo anteror, Newton establecó que el cambo en el estado de movmento de un cuerpo es proporconal a la fuerza y al tempo que actúe sobre el cuerpo y tene la msma dreccón que la fuerza. Se puede defnr que: p F t (8.11) O, de manera equvalente: F = p t (8.11a) En el caso muy generalzado, aunque no exclusvo, de que durante la accón de la fuerza la masa del cuerpo permanezca nvarante, se puede expresar (8.11a) como: F = mv t (8.12) Pero v t es la aceleracón a que expermenta el cuerpo debdo a la fuerza F, de modo que podemos escrbr la defncón de fuerza en su forma más conocda: F ma (8.13) 8.8 El sgnfcado físco del concepto de masa A partr de la expresón anteror es posble entender el sgnfcado de la magntud que hasta ahora hemos denomnado masa. Consderemos la stuacón en que dferentes cuerpos expermentan la msma fuerza; por ejemplo, cuerpos sobre un plano horzontal sn frccón expermentan la tensón de una cuerda que pasa por una 92

7 polea de la que pende un peso fjo (fgura 8.3). Puesto que la fuerza que actúa sobre cada cuerpo es la msma, dos cuerpos dferentes de masas m 1 y m 2 van expermentar dferentes aceleracones a 1 y a 2, respectvamente, y se cumple que: Módulo 8: La mecánca de Newton ma ma (8.14) m p Fgura 8.3. Cuerpo arrastrado sobre un plano horzontal por una cuerda tensa y una polea con peso Rescrbendo esta expresón así: m1 m2 a2 a 1 (8.14a) se puede ver que la aceleracón que expermenta un cuerpo sobre el que actúa una fuerza determnada es nversamente proporconal a la masa del cuerpo. Resulta evdente que el concepto de masa está drectamente relaconado con el de nerca, pues mentras mayor es la masa de un cuerpo, mayor es la fuerza que hay que aplcarle para cambar su estado de movmento. 8.9 La tercera ley de Newton Consderemos un sstema aslado de toda accón externa compuesto por dos partículas de masas m 1 y m 2, respectvamente (fgura (8.4). Supongamos que las partículas tenen velocdades ncales u 1 y u 2, de modo que el momentum total ncal del sstema está dado por la expresón: P mu mu (8.15) Escuche Colsones, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca. Físca Conceptual 93

8 Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánca m 1 m 1 u 1 v 1 v 2 u 2 m 2 m 2 Fgura 8.4. Dagrama de la colsón de dos partículas S las partículas chocan y después de la colsón se separan con velocdades fnales v 1 y v 2, el momentum total fnal del sstema será: P = m 1 v 1 + m 2 v 2 (8.16) S tenemos en cuenta que el sstema compuesto por las dos partículas es un sstema aslado el momentum total se debe conservar y las expresones (8.15) y (8.16) deben ser guales, por tanto podemos escrbr: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 (8.17) Esta expresón se puede reescrbr así: m 1 v 1 m 1 u 1 = (m 2 v 2 m 2 u 2 ) (8.18) El lado zquerdo de la expresón (8.18) corresponde al cambo de momentum de la partícula de masa m 1, que resulta ser gual al negatvo del cambo de momentum de la partícula de masa m 2. Esto nos dce que cuando dos cuerpos chocan ntercamban momentum, o, de manera equvalente, que el momentum que gana un cuerpo lo perde el otro. S dvdmos ambos membros de (8.18) por t, el tempo que duró la colsón, la ecuacón se puede escrbr como: P t P t (8.19) 1 2 O sea que: F 12 = F 21 (8.20) SF 12 es la fuerza que la partícula de masa m 1 expermenta al chocar con la partícula de masam 2, y, recíprocamente, F 21 es la fuerza que la partícula de masa m 2 expermenta al chocar con la partícula de masa m 1, podemos expresar la tercera ley de Newton en los sguentes térmnos: 94

9 Cuando dos cuerpos chocan las fuerzas que expermentan son guales y de sentdo contraro. Módulo 8: La mecánca de Newton Esta ley tambén es conocda como ley de accón y reaccón, porque de ella se deduce que a toda accón de un cuerpo sobre otro corresponde una reaccón gual y de sentdo contraro. Independentemente de la forma como se exprese la ley, no es más que una consecuenca del teorema de conservacón de la cantdad de movmento de un sstema aslado, en el cual, para cumplr la condcón de que fuerza neta sobre el sstema sea nula, es decr que la suma de fuerzas sobre el sstema sea cero, se debe cumplr que la suma de las fuerzas nternas del sstema se cancelen mutuamente La medcón de la masa Es muy mportante al defnr una magntud físca, especfcar el procedmento utlzado para medrla. En el caso de la masa se puede proponer un procedmento de medcón a partr de la tercera ley de Newton. Consderemos la nteraccón de dos cuerpos de masas m y m s. Supongamos que ncalmente los dos cuerpos se encuentran en reposo, que comprmen un resorte y que están atados por una cuerda. S la cuerda se rompe, cada uno de los cuerpos expermenta una fuerza que le produce una aceleracón, de tal modo que se cumple la relacón Escuche Avones, un programa de la sere radal Hstoras de la Cenca. ma m s a s (8.21) En la relacón anteror sólo nos nteresa la magntud de las fuerzas y las aceleracones, de modo que podemos prescndr del sgno menos que ndca que las fuerzas y las aceleracones tenen sentdos opuestos. S decdmos, de manera arbtrara y convenente, que la masa m s sea el patrón de referenca para la medcón de la masa, entonces la masa m que consderamos ncalmente desconocda queda especfcada en térmnos de las aceleracones que se mdan durante la nteraccón de la masa m con la masa patrón m s, así: m m s a s a (8.22) La proporconaldad nversa entre la masa y la aceleracón para una fuerza determnada destaca, nuevamente, el carácter de la masa como medda de la nerca de los cuerpos. Resumen La mecánca de Newton se construye a partr del concepto de nerca. Una vez establecda la nerca como la ley fundamental del movmento, se ntroduce la defncón de fuerza a partr de la cual es posble defnr procedmentos de medcón de las magntudes físcas nvolucradas en la mecánca. Aparece el concepto de conservacón de la cantdad de movmento y se defnen los crteros para establecer cuándo un sstema físco se puede consderar aslado. El concepto de masa adquere pleno sgnfcado físco como medda de la nerca de los cuerpos a partr del concepto de fuerza y de la tercera ley de Newton. Cuando dos cuerpos chocan las fuerzas que expermentan son guales y de sentdo contraro. Ley de accón y reaccón Físca Conceptual 95

10 Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánca Bblografía 1. Arons A La evolucón de los conceptos de la físca. Méxco: Edtoral Trllas. 2. Ballf J, Dbble W Conceptual physcs. New York: Wley. 3. Damper WC Hstora de la cenca. Londres: Cambrdge Unversty Press. 4. Das de Deus J, Pmenta M, Noroña A, Peña T, Broguera P Introduccón a la físca. Madrd: McGraw-Hll. 5. Sepúlveda A Los conceptos de la físca. Evolucón hstórca. Medellín: Edtoral Unversdad de Antoqua. 96

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