Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa 1.

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1 Guía de estudio Métodos de demostración Unidad A: Clase 3 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa 1.. Inferencias y métodos de demostración.1 Inferencias Un argumento válido está compuesto de un número finito de proposiciones donde una de ellas, llamada conclusión, se obtiene necesariamente de las otras, llamadas premisas, mediante reglas de inferencia válidas. Ejemplo 1 Si 7 es primo entonces es impar (premisa) 7 es impar (premisa) Luego 7 es primo (Conclusión) Ejemplo Si sacas,4 entonces apruebas Si apruebas no tienes que habilitar Luego Si sacas,4 no tienes que habilitar (Premisa) (Premisa) (Conclusión) En el ejemplo 1: Las premisas y conclusiones son verdaderas pero el argumento no es válido porque la conclusión no se deduce de las premisas. En el ejemplo : La premisa 1 es falsa, la premisa es verdadera y la conclusión es falsa. El argumento es válido. La validez de un argumento implica que no pueden darse conclusiones falsas a partir de premisas verdaderas. Una inferencia o argumento es válido si y sólo si la conjunción de las premisas implica la conclusión, es decir, ( P1 P... Pn ) C es tautología. 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Félix Ruiz de Villalba. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: feruvi@yahoo.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 1

2 . Reglas de inferencia Dentro de las reglas de inferencia se destacan: Modus ponendo ponens p q p Luego q Modus tollendo tollens p q q Luego p Silogismo hipotético p q q r Luego p r Simplificación ( p q) p ( p q) q Adición p ( p q) q ( p q) Ejemplo3 Concluir s de las 4 premisas siguientes 1. p. p q 3. q r 4. r s Solución 5. p r Por la regla del silogismo hipotético entre y 3 6. r s Definición alterna del condicional en 4 7. p s Silogismo entre 5 y 6 8. s Modus tollendo tollens en 1 y 7 Así, finalmente se concluye s. 13

3 .3 Métodos de demostración Las matemáticas se encuentran constituidas por conceptos, proposiciones y relaciones, así como de un conjunto de postulados que se admiten sin demostración y se conocen como axiomas. Un teorema es una proposición que se puede demostrar utilizando axiomas, definiciones u otros teoremas ya demostrados utilizando las reglas de inferencia. Una demostración de una proposición q es una cadena finita de transformaciones que se realizan mediante reglas de inferencia válidas a partir de proposiciones verdaderas o supuestamente verdaderas (Hipótesis). En matemáticas hay dos métodos de demostración: el deductivo y el inductivo. Método deductivo En el método de razonamiento deductivo partimos de las hipótesis (axiomas, definiciones, teoremas ya demostrados); luego, con un adecuado manejo de las leyes lógicas y reglas de inferencia encadenamos dichas hipótesis para llegar a la conclusión. Método directo Todo teorema matemático puede escribirse como una implicación H T donde H representa una o varias proposiciones que se llaman premisas y T una o varias proposiciones que se llaman conclusiones. Pasos para demostrar un teorema por el método directo: 1. Empezamos con la hipótesis p. Escribimos axiomas, definiciones u otros teoremas ya demostrados que se relacionen con el teorema a probar 3. Encadenamos a H y a esta lista de proposiciones por reglas de inferencia del modus ponens y regla de la cadena. Ejemplo 4 Teorema: Si a y b son enteros impares entonces a + b es entero par. Demostración: 1. Sean a y b enteros impares hipótesis. a = n + 1, b = m 1; n, m Z definición de impar a + b = n + m Propiedad uniforme de la igualdad 4. a b ( n m) + = + Postulado de distributividad

4 5. a + b es número par Definición de n par. Método indirecto, contraposición o del contrarrecíproco. Para probar H T partimos de T y por medio del método directo se llega a H. El fundamento de este método es el modus tollendo tollens y la ley del Contrarrecíproco. Ejemplo 5 Teorema: Si x es impar entonces x es impar. Demostración Por el método indirecto supongamos que x es par y veamos que x es par. 1. Supongamos que x es par Negación de la tesis. x = n, n Z Definición de par x x = 4n Propiedad uniforme de la igualdad = n 4 = x es par Definición de par Reducción al absurdo o por contradicción Se basa en un principio lógico fundamental: es imposible que una cadena de inferencias válidas vaya de una proposición verdadera a una falsa. Para demostrar H T basta deducir una contradicción a partir de su negación. Es decir partimos de H T y si encontramos una contradicción es debido a que esa proposición es falsa, luego su negación que es H T es verdadera. Ejemplo 6 Demuestre que es irracional Demostración 1. Supongamos que es racional Negación del teorema. = a, a, b Z irreductible b Definición de n racional 3. b b = a Multiplicación por b = a Prop. uniforme de la igualdad a es par Definición de par 6. a es par Teorema demostrado 15

5 7. a = c, c entero Definición de par a = 4c Prop. uniforme de la igualdad b = 4c De 4 y 6 transit. de la igualdad b = c Simplificando por b es par Definición de par 1. b es par Teorema demostrado 13. Contradicción en,6 y 1, a b es irreductible y simplificable Luego la hipótesis inicial es falsa, por lo tanto su negación es verdadera. Método de refutación La refutación es un tipo de demostración que prueba la falsedad de una proposición. El método que vamos a utilizar es el del contraejemplo. Para mostrar que una proposición es falsa basta mostrar un ejemplo donde la proposición no se cumpla. Ejemplo 7 Refutaciones a) Todo número primo es impar: Solución: El es primo y no es impar. b) a + b = a + b Solución Si a = 3 y b = 4, su raíz es Método de inducción Los tres tipos de demostración hasta ahora vistos pertenecen al método deductivo. Veamos un método que va de lo particular a lo general es el método de inducción que será muy importante para probar fórmulas sobre números reales. Pasos para demostrar una fórmula matemática P ( n ) por el método de inducción. 1. Verifica que la proposición se cumple para n = 1, n =.. Se supone que se cumple para n. 16

6 3. Demuestra que se cumple para ( n + 1). Ejemplo 8 Demuestre por inducción que la suma de los n primeros impares es n Solución n 1 = n Se debe mostrar que: ( ) Paso 1. Si n = 1, tenemos que 1 = 1. Si n =, tenemos 1+ 3 = lo cumple n = k; k 1 = k Paso. Suponemos que es cierto para ( ) Paso 3. Partiendo del paso anterior demostremos que se cumple para ( k + 1) k 1 + k + 1 = k + 1 Debemos demostrar que: ( ) ( ) ( ) k 1 = k Por el paso : ( ) ( k ) ( k ) k ( k ) ( k ) = = + 1 Que era lo que se quería demostrar. Referencias Uribe Calad, Julio A. Matemáticas básicas y operativas. Susaeta. Primera edición Sobel, Max A. y Lerner, Norbert. Precálculo. Pearson. Sexta edición México. ISBN Páginas