Matemáticas Dicretas LÓGICA MATEMÁTICA

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Consuelo Juárez Luna
hace 7 años
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1 Matemáticas Dicretas LÓGICA MATEMÁTICA Esta pagina fue diseñada como un auxiliar y herramienta para aquellos que esten interesados en reforzar y tener mas conocimientos sobre las matematicas discretas. De antemano esperamos que el material que se presenta sea util sin olvidar que el fin que percibe es meramente educativo y esperamos que sirva para comprender los puntos escenciales de esta materia. Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no ambas. Las proposiciones serán expresadas como P, Q,... y algunas veces son llamadas átomos o fórmulas atómicas. Una proposición compuesta se forma por una proposición modificada por la palabra no o por conectar sentencias con las palabras y, o, si... entonces, si y solo si. Los conectivos lógicos se simbolizan por: Negación. Conjunción. Disyunción. Implicación. Equivalencia. Si Juan es estudiante entonces no ha presentado su examen de titulación.( ) A las proposiciones compuestas se les llama formulas bien formadas. (wffs). Definición I El alfabeto proposicional consiste de lo siguiente: 1. Un conjunto de variables denominadas átomos: P, Q, R, Un conjunto de conectivos lógicos (Negación, Conjunción, Disyunción, Implicación y Equivalencia). 3. Los símbolos de paréntesis. Definición II

2 Una fórmula bien formada se define como: i. Una fórmula atómica es una fórmula. ii. es una fórmula también lo será. iii. Si y son fórmulas entonces la la conjunción, disyunción,implicación y iv. equivalencia de y también lo será. Una expresiónes una fórmula si y únicamente si se puede demostrar por las anteriores condiciones. La implicación recibe el nombre de fórmula condicional y la equivalencia el de fórmula bicondicional. La jerarquía de los conectivos lógicos se aplica de la siguiente forma: Negación,Conjunción, Disyunción, Condicional y bicondicional. EJEMPLO 1 Definición III Una condición de verdad (T) o falsedad (F) asignada a una fórmula la definimos como valor de verdad. TABLAS DE VERDAD Al resultado de aplicar valores de verdad (T) o falso(f) en cada expresión atómica se le denomina tablas de la verdad. MOSTRAR TABLA Definición IV Cualquier renglón en una tabla de verdad para una fórmula dada P se le llama interpretación de P. Definición V Una fórmula P es una tautología (y se escribe = P si su valor es T bajo toda posible interpretación de P. Definición VI

3 Una fórmula P es una contradicción o inconsistencia si su valor es F bajo cualquier posible interpretación de P. Ejercicio 1: Pruebe mediante tablas de la verdad que la expresión siguiente es una contradicción: MOSTRAR DEMOSTRACION Definición VII Si una fórmula P es verdadera bajo una interpretación I, entonces se dice que I satisface a P o que P es satisfecha por I y así a I se le denomina un modelo de P. Definición VIII Dos fórmulas P y Q se dice que son equivalentes, escribiendo cumple que, si y sólo si se = Ejercicio 2: Mediante tablas de la verdad probar la siguiente expresión: a) La siguiente equivalencia expresa la propiedad conmutativa para la conjunción: De manera similar existe la ley conmutativa para la disyunción. La siguiente equivalencia expresa la propiedad asociativa para la disyunción: La propiedad distributiva para la disyunción sobre la conjunción es:

4 Y la propiedad distributiva para la conjunción sobre la disyunción: Ley de la doble negación: Leyes de De Morgan: Ley de la negación sobre la implicación: Ley de consolidación de antecedentes: Leyes de idempotencia Leyes inversas: I. Leyes de dominación: I. Leyes del neutro: Definición IX Una literal es un átomo o la negación de un átomo.

5 Ejercicio 3: Pruebe la siguiente equivalencia: La ley de la negación sobre la implicación afirma que: Negando ambos lados de la equivalencia: Aplicando ley de doble negación y De Morgan: Ejercicio 4: Pruebe la siguiente equivalencia: entonces tenemos: Aplicando la misma equivalencia para tenemos: Por ley asociativa de la disyunción: Por ley de De Morgan: luego o bien Forma Normal conjuntiva y disyuntiva Una fórmula P está en forma normal conjuntiva si tiene la forma siendo y cada es una disyunción de literales. Por otro lado la fórmula P se encuentra en forma normal disyuntiva si tiene la forma y cada es una conjunción de literales. Una fórmula se puede transformar a forma normal conjuntiva o disyuntiva mediante el siguiente algoritmo: a) Eliminar las fórmulas condicionales mediante la equivalencia: y las fórmulas bicondicionales mediante la equivalencia:.

6 b) Repetidamente usar las leyes de De Morgan y la ley de la doble negación para acercar lo más posible las negaciones a los átomos. c) Repetidamente usar alguna de las propiedades distributivas con la finalidad de obtener la forma normal deseada. Ejercicio 5: Cambiar la siguiente expresión a su forma normal conjuntiva (comprobar por tablas) Solución: por (a) por (a) por (a) por propiedad asociativa: por propiedad conmutativa: por (c ) Debido a que = por propiedad asociativa: Las interpretaciones para esta tabla son:

7 LA SIGUIENTE TABLA MUESTRA LO ANTERIOR DICHO T T T T T T T F F F T F T F F T F F T T F T T T T F T F T T F F T T T F F F T T Ejercicio 6 Encontrar la disyuntiva normal para la siguiente expresión y verificar la FND por tablas de la verdad. Solución: por paso (a) por paso (a) por paso (b) por paso (b) propiedad asociativa: propiedad asociativa:

8 por paso ( c ) Ley inversa: Ley de dominación: Ley inversa Ley de dominación Ley del silogismo hipotético.

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