Página 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo

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1 44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 + = ( ) Por tanto, el triángulo es rectángulo. Área = AB BC = =, u 4 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(, ), Q(4, 7), R(7, 0). PR = (7 + ) + (0 ) = 6 = 7 (Base del triángulo) Ecuación de PR: 0 m = = y = 0 (x 7) y = x + 7 x + 4y 7 = Altura: d (Q, PR) = = Área = 7 = u 7 P(, ) O Q(4, 7) R(7, 0) Página 09 PARA RESOLVER 46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p. Y 0 t s X t Y 0 p s r p 0 a b 0 b X r 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

2 UNIDAD p: Pasa por los puntos (, ) y (, 4). Así, su pendiente es: Por tanto: 4 ( ) m = = ( ) 7 p: y = + (x 4) 7x 4y + 9 = 0 4 r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto ( 0, ). Por tanto: r : y = s: Su vector dirección es (0, ) y pasa por (, 0). 7 4 Por tanto: s: x = y = t t: Pasa por los puntos (, 0) y (, ). Así, su pendiente es: 0 m = = = 4 Por tanto: t: y = (x ) x + y = 0 47 Dada la recta: x = + t r: y = + kt halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. La bisectriz del segundo cuadrante es x = y x = t y = t Su vector dirección es d = (, ). (en paramétricas). El vector dirección de r es r = (, k). Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores dirección deben ser proporcionales: = k = k Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

3 4 En el triángulo de vértices A(, ), B(, ), C(, 4), halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b)la mediana que parte de B. c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, h B, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: h B AC (, 7) el vector dirección de h B es h B (7, ) B (, ) é h B x t = x = + 7t 7 x y h B : = h B : x 7y = 0 y = + t y 7 t = b) m B (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC: + 4 m (, ) = (, ) é m B B (, ) é m B m B (, + ) = (, ) es vector dirección de m B. Luego: 9 x 0 x = + t x = 0 + 9t t = 9 m B : y t = y y = + t t = 4 + x 0 y = m B : 6x y = 0 9 c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: CA = (, 7) z vector dirección de z: z(7, ) m' (, ) = (, ) é z x x = + 7t t = 4 x y + z: = y y = + t t = 0 z: 0x y 4 = 0 z: x 7y 6 = 0 9 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

4 UNIDAD 49 La recta x + y 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, el segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB. Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación. Y A B X x + y 6 = 0 A = r» eje Y: y 6 = 0 y = A (0, ) x = 0 x + y 6 = 0 B = r» eje X: x 6 = 0 x = B (, 0) y = 0 AB = (, ) m AB (mediatriz de AB) m AB = (, ) M AB (, ) = (, ) (punto medio de AB) é mediatriz y = ( x ) y = x m AB : 6x 4y = 0 0 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(, ), B(, 4), en tres partes iguales. Si P y Q son esos puntos, AP = AB. Escribe las coordenadas de AP y de AB, y obtén P. Q es el punto medio de PB. B 4 A P Q AP = AB (x +, y ) = (7, ) 7 7 x + = x = = P (, ) y = y = + = Q es el punto medio de PB Q ( / + + 4, ) Q (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

5 Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que PQ QR = 0, siendo Q(, ) y R(, )? PQ = QR ( x, y) = ( 4, ) 9 x = x = 7 P (, 6 y = 6 0) Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices: A S D P R A(, ) B(, ) C(, 0) D(, 6) B 7 y = 0 Q C + + P (, ) = (4, ) Q (, ); R (0, ); S (, 7) PQ = ( 4, ) = (, 4) SR = (0, 7) = (, 4) SP = (4, 7) = (, ) RQ = ( 0, ) = (, ) Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(, ) a la recta: r: x y + 4 = 0 Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r. PQ SP = = SR RQ P (, ) r : x y + 4 = 0 P' (x, y) Sea s la recta perpendicular a r desde P y r = (, ) vector director de r. s Así, PP' r ò el vector dirección de s, s, también es perpendicular a r( s r), luego podemos tomar s(, ). Como P (, ) é s: x = + t t = x y + s: y + x = x + = y + y = t t = s: x + y = 0 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

6 UNIDAD El punto P' (x, y) es tal que: Sustituyendo en la segunda ecuación: 4 Luego: P' (, ) s: x + y = 0 y = x P' = s» r r: x y + 4 = 0 x ( x) + 4 = 0 x + 4x + 4 = x = y = ( ) = 4 Halla el área del cuadrilátero de vértices: A( 4, ) B(0, ) C(4, ) D(, ) Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base. A ( 4, ) B (0, ) D (, ) C (4, ) La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: AC = (, ) = 9 Sean h B y h D las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: h B = dist (B, r) y h D = dist (D, r) donde r es la recta que contiene el segmento AC. AC, la ecuación de dicha rec- Tomando como vector dirección de r el vector ta es: x + y + k = 0 Como ( 4, ) é r k = 0 ò k = 4 ò r: x + y 4 = 0 Luego: h B = dist (B, r) = = ( ) + ( ) 4 h D = dist (D, r) = = 9 9 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

7 Así: b h A ABCD = A ABC + A ADC = B b h + D b = (h B + h D ) = 9 6 = ( + ) = Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = s: x + y 6 = 0 t: x y 7 = 0 r A s C B t x = A = r» s 6 + y 6 = 0 y = 0 x + y 6 = 0 Luego: A (, 0) x = B = r» t y 7 = 0 y = 4 x y 7 = 0 Luego: B (, 4) x + y 6 = 0 C = s» t x y 7 = 0 x = y + 7 (y + 7) + y 6 = 0 y y 6 = 0 y + = 0 y = x = + 7 = 7 Luego: C (, ) 7 Consideramos el segmento AB como base: AB = (0, 4) = 6 = 4 ( /) La altura desde C es h C = dist (C, r) = = + 0 Así: AB h C 4 / Área = = = 46 6 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

8 UNIDAD 6 En el triángulo de vértices A(, ), B(, 4) y C(4, ), halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B. Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M (, 0) = (, 0 4) ( ) = BM, 4 La longitud de la mediana es: BM = /4 + 6 = Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. AC = (, ) la recta que contiene ese segmento es: x = + t x + y + r: = x y = 0 y = + t v = (, ) AC la recta s r que pasa por B: x = t x y 4 s: = x + y = 0 y = 4 + t P = r» s Multiplicamos la primera por y la segunda por, y sumamos: 4x 0y 6 = 0 x + 0y 90 = x 96 = 0 x = y = Luego: P (, ) 9 BP r: x y = 0 s: x + y = y = = y = : = Así: h B = = (, ) = =, 9 7 Halla el punto de la recta x 4y + = 0 que equidista de A( 6, 0) y B(0, 6). P r A ( 6, 0) B (0, 6) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7

9 P (x, y) debe verificar dos condiciones:. P (x, y) é r ò x 4y + = 0. dist (A, P) = dist (B, P) ò (x + 6) + y = x + (y + 6) x 4y + = 0 x + x y = x + y + y + 6 x 4y + = 0 x = y x 4x + = 0 x = = y P (, ) Determina un punto en la recta y = x que diste unidades de la recta x y + = 0. P (x, y) é r: y = x dist (P, r') =, donde r': x y + = 0 y = x x x + x + x y + = = = dos posibilidades: x + = 0 x = 0 x + = 0 x = 0 y = y = P ( 0, 6 0 6) P ( 0, 6 0 6) r' P P r 9 Halla los puntos de la recta y = x + que equidistan de las rectas x + y = 0 y 4x y + = 0. Sean r, r y r las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan: P é r ò y = x + dist (P, r ) = dist (P, r ) x + y 4x y + = 0 x + ( x + ) 4x ( x + ) + = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

10 UNIDAD 6x x =, o bien 6x x = 6x + x = x = 6x, o bien x = x = / x x = 6x + 4x = = /4 y = + = y = + = Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + y 6 = 0 y 4x + y + c = 0 sea igual a. Sea P é r donde x 0 = 0 y 0 = P (0, ) é r c Así, dist (r, r ) = dist (P, r ) = = c = P ( ), P ( ), c = c = c = c = 6 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(, ) y B(4, ). El vértice C está en la recta x y + = 0. Halla las coordenadas de C y el área del triángulo. La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección AB = (, ): x = + t x y + r: = r: x y = 0 y = + t La recta que contiene la altura tiene por vector dirección a = (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M (, ) : x = / t x y h c : = y = / + t 0 6 C = s» h c donde s: x y + = 0 h c : x + 0y 40 = 0 h c : 6x + 0y 0 = 0 x y + = 0 6x + y 6 = 0 6x + 0y 0 = 0 6x + 0y 0 = 0 6 y 6 = 0 y = = x + = 0 x + = 0 x = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

11 Luego: C (, ) Área = base Ò altura = AB = (, ) AB = 4 (*) 0 (*) 4 ( 0/6) = 4,7 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y forma un ángulo de 4 con la recta: x + y 6 = 0. r: x y 9 = 0 s: x = 0 x y 9 = 0 P = r» s: 9 y 9 = 0 y = 0 x = 0 Luego: P (, 0) Como la recta pedida y x + y 6 = 0 forman un ángulo de 4, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m y m, se verifica: m m tg 4 = = + m m = m = m, o bien ( m ) = m Hay dos posibles soluciones: AB CM CM (, ) CM = 6 6 m m 6 t : y 0 = (x ) t : y = x t : y 0 = (x ) t : y = x 6 ( /) m + ( /) m 4m = 6 m = 6/4 6m = 4 m = 4/ Dadas r: x y 7 = 0 y s: x ky = 0, calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60. Halla la pendiente de r. La pendiente de s es /k. Obtendrás dos soluciones. Las pendientes de r y s son, respectivamente: m r = y m s = k 40 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

12 UNIDAD Entonces: /k + /k tg 60 = = dos casos: k k + 6 (k + 6) = k (k + 6) = k 6 k + = = k + = = Las rectas r: x y + 6 = 0, s: x + y 6 = 0 y t: x y 4 = 0 son los lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos. Y X t r s m r = ; m s = ; m t = ì r, s / ( ) + / ( ) tg ( ) = = = ì Luego: ( r, s ) = 60 ',4" 7/ 7 4 ì r, t / / + / / tg ( ) = = = 6 ì Luego: ( r, t ) = 4 0' 0,7" ì ì ì Por último: ( s, t ) = 0 ( r, s ) ( r, t ) = 4' " 6 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(, ), B(, ) y C(, 4). Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso. AB = (, ); BA (, ) AC BC = (6, 6); CA ( 6, 6) = (, ); CB (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

13 cos ^A AB AC 66 + = = 0,6 AB AC 0 7 Luego: ^A = 9 44' 4,6" cos ^B BA BC 9 = = 0,69 BA BC 0 4 Luego: ^B = 46 ' 7,9" A (, ) Y C (, 4) B (, ) X Así, ^C = 0 ( ^A + ^B) = 04 ' 0," Página 0 66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, ) y forma un ángulo de 0 con x =. La recta que buscamos forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. r Y 0 x = (0, ) 60 0 X r La recta r forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. Su pendiente es: m = tg 60 =, o bien m = tg 0 = Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, ), las posibles soluciones son: r : y = x + r : y = x + 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

14 UNIDAD 67 La recta x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es,. Halla las ecuaciones de los lados del ángulo. Las pendientes de las tres rectas son: m b =, m r, m r' r ( ) V (, ) 4 4 b: x + y = 0 r' tg 4 = = m r = m r m r = + m r' = m r' m r' = / m b m r + m b m r r: y = ( x + ) y = x + m r m r r': y = ( x + ) y = x Encuentra un punto en la recta x y 6 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas. Eje X: y = 0 Eje Y: x = 0 P (x, y) é r dist (P, eje X) = dist (P, eje Y ) x y 6 = 0 y = x dos casos: x y 6 = 0 x = y x = y y y 6 = 0 y P = 6 x = 6 ( 6, 6) y y 6 = 0 y = x = P (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

15 Y r X P P 69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(, ) y forman un ángulo de 60 con x = y. b: x = y su pendiente es m b = tg 60 = = + m = m m = + m = m m = + Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): r : y = (x + ) + + r : y = (x + ) + ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE 70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A(, ) y B (, 6) y halla la ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distancia entre A y B. vector dirección AB = (, ) x = + t r: r: pasa por A (, ) y = + t x y = x y + = 0 r: x y + = 0 s // r m s = m r = y = x + c s: x y + c = 0 dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) + c = AB + ( ) + c = s : x y + 7 = 0 s : x = 0 m + m m + m + + c = 6 ò c = 6 + = 7 + c = 6 ò c = 6 + = 44 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

16 UNIDAD 7 Halla el punto simétrico de P(, ) repecto a la recta x y 4 = 0. PP ' v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector dirección de la misma. PP ' v = 0 (x, y ) (, ) = 0 (x ) + (y ) = 0 x + y = 0 Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego: x + y + M(, ) é r x + y + 4 = 0 x + y = 0 x y 9 = 0 Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: x + y = 0 x y 9 = 0 x = 9 + y (9 + y) + y = 0 + 4y + y = 0 y = = x = 9 + ( ) = 9 6 = Luego: P' = (, ) 7 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(, ) y D(, ). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo. Sea A é eje Y A = (0, y ) y sea el punto C = (x, y ). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC BD. D(, ) A C B(, ) + M (, ) = (, ) es el punto medio de BD (y de AC). Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4

17 Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): BD = ( 4, 4) d = (4, 4) es vector dirección de d M (, ) é d 4 La pendiente de d es m d = = 4 M(, ) é d d : y = (x + ) y = x + 4 Así: y = x + 4 A = d» eje Y: y = 4 A (0, 4) x = 0 M es punto medio de AC (, ) = (, ) x = x = y C ( 6, ) = y = 0 + x 4 + y Área = AC = ( 6, 6) = 7 = 6 AC BD BD = ( 4, 4) = = 4 Área = = 4 u En el triángulo de vértices A(, ), B(, ) y C(4, ), halla el ortocentro y el circuncentro. El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. ORTOCENTRO: R = h A» h B» h C donde h A, h B y h C son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente). a BC = (, ) a = (, ) x = + t h A h A : A é h A y = + t x + y = h A : x y + = 0 b AC = (7, ) b = (, 7) x = + t h B h B : B é h B y = + 7t y x = h B : 7x y 4 = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

18 UNIDAD c AB = (4, ) c = (, 4) x = 4 + t h C h C : C é h C y = 4t y x 4 = h C : 4x + y 7 = 0 4 Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: h B» h C : 7x y 4 = 0 4x + y 7 = 0 Sumando: x = 0 x = y = 7x 4 = 7 4 = = NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h A. Basta con sustituir en su ecuación. CIRCUNCENTRO: S = m A» m B» m C, donde m A, m B y m C son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente). 0 a BC a = (, ) m A Punto medio de BC: M (, ) é m A 0 R (, ) y = ( x ) y = x 7 4 c AB = (4, ) c = (, 4) m C Punto medio de AB: M' (, ) é m C y = 4 (x + ) y = 4x Así: 7 y = x 4 7 S = m A» m C : x = 4x 4 y = 4x 6x 7 = 6x 6 x = x = 4 y = 4 = = 7 Así, S (, ). 7 NOTA: Se podría calcular m B y comprobar que S é m B. Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47

19 74 La recta x + y 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo. r: x + y 4 = 0 O (0, 0) A (x, y) Un vector dirección de la recta es el v = (, ). Debe verificarse que: v OA = v OA = 0 (, ) (x, y) = 0 x y = 0 x = y Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: x y M (, ) é r + 4 = 0 y y + 4 = 0 4y + y = 0 x y 6 Luego: A (, ) y = x = = 6 7 Los puntos P(, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices. b) Los ángulos del paralelogramo. P (, 4) Y S O X Q (6, 0) R 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

20 UNIDAD a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (, 4), S ( 6, 0) b) PQ = SR = (, 4) QP = RS = (, 4) PS = QR = ( 4, 4) SP = RQ = (4, 4) cos ^P PS PQ + 6 = = = 0,6 ^P = 0 6'," = ^R PS PQ 0 ^ S = 60 ( ^P + ^R) = 7 ' 4" = ^Q NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores: cos ^S SP SR 6 = = = 0,6 ^S = 7 ' 4" SP SR 0 76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y = 0 y x y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r : x + y = 0 r : x y + 4 = 0 Luego un vértice es A (0, ). y 6 = 0 y = x + = 0 x = 0 El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s //r una recta que pasa por C y s //r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre las que están los otros lados. Así, los otros vértices, B y D, serán los puntos de corte de: r» s = B r» s = D x + y = 0 x + y 4 = 0 D r A r C s B s Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49

21 x + y + a = 0 s : s : x + y 6 = 0 C é s a = 0 a = 6 x y + b = 0 s : s : x y 6 = 0 C é s b = 0 b = 6 B = r» s : Resolviendo el sistema: De la primera ecuación x = y en la segunda y y 6 = y = x = B (, ) x + y + 4 = 0 D = r» s : 6 y y + 4 = 0 x + y 6 = 0 x = 6 y 0 0 y = x = D (, ) x + y = 0 x y 6 = 0 77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + y + 6 = 0 y x + 4y 9 = 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r) = dist (P, s): 4x x = 4x + 6 = x 9 x = P (, 0), P (, 0) 4x + 6 = (x 9) x = /7 7 7 Halla el punto de la recta x 4y = 0 que con el origen de coordenadas y el punto P( 4, 0) determina un triángulo de área 6. Si tomamos como base PQ = 4, la altura del triángulo mide. El punto que buscamos está a unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones. Los vértices son O (0, 0), P ( 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: OP h 4 h Área = 6 = h = El punto Q (x, y) é r x 4y = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) =. La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección pasa por (0, 0). Luego es el eje X: y = 0. OP ( 4, 0) y 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

22 UNIDAD Así: x 4y = 0 y = 0 + y = y = x 4 = 0 x = x 4( ) = 0 x = Luego hay dos triángulos, OPQ y OPQ, donde: Q (, ) y Q (, ) 79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x y + = 0 y x y = 0 con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles y halla su área. A Y D B C X A (, 0) B (0, ) C (, 0) D (0, ) Mira el problema resuelto número. x y + = 0 Sean: A = r» eje OX: x = ò A (, 0) y = 0 x y + = 0 B = r» eje OY: y = ò B (0, ) x = 0 x y = 0 C = s» eje OX: x = ò C (, 0) y = 0 x y = 0 D = s» eje OY: y = ò D (0, ) x = 0 Calculamos los vectores dirección de los lados: AB = (, ) BC = (, )] CD = (, ) DA = (, ) DA = BC BC // DA AB = = CD Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como AD (, ) y = x AD: x + y + = 0 D (0, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

23 0 + + h = dist (B, AD) = = = Así: BC + DA + 9 Área = = = = La recta x + y = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, ) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla su área. s//r: x + y = 0 ò x + y + k = 0 P (0, ) é s Luego s: x + y = k = 0 k = x + y = 0 Sean: A = r» eje X: x = ò A (, 0) y = 0 x + y = 0 B = r» eje Y: x = 0 y = ò B (0, ) x + y = 0 C = s» eje X: y = 0 x = ò C (, 0) x + y = 0 D = s» eje Y: x = 0 y = ò D (0, ) AB = (, ); CD = (, ) AB + CD AB + CD Área = h = dist (A, s) = = = = = + Un punto P, que es equidistante de los puntos A(, 4) y B(, 6), dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. Cuáles son las coordenadas de P? d (P, OX ) = d (P, OY ) y = x AP = PB (x ) + (y 4) = ( x) + (6 y) x + 9 6x + y + 6 y = x + + 0x + y + 6 y 6x y + = 0x y + 6 6x 4y + 6 = 0 4x y + 9 = 0 y = x y = x Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

24 UNIDAD Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y = x 9 P : 4x x + 9 = 0 x = 4x y + 9 = 0 y = 9 Luego: P ( 9, 9) y = x 9 P : 4x + x + 9 = 0 x = = y = 4x y + 9 = 0 6 Luego: P (, ) De todas las rectas que pasan por el punto A(, ), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es. La ecuación y = + m(x ) representa a todas esas rectas. Pásala a forma general y aplica la condición d(o, r) =. Esas rectas tienen por ecuación: y = + m (x ) mx y + ( m) = 0 m m = m d (0, r) = = + m + m = m + ( m) = m m 4m = m + 4 4m = m = 4 Dado el triángulo de vértices A( 4, ), B(, ) y C(, ), halla las ecuaciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo al triángulo en tres triángulos de igual área. B Y A r s C X La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: OP OA + OC = = ( ) (, ; = OC + OC = OQ, 0) La recta r es la que pasa por B y por P: 6 m = = = ( /) ( ) (/) y = (x + ) r: x + y + = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

25 La recta s es la que pasa por B y por Q: 0 m = = = ( ) (/) ( /) y = (x + ) y = x s: x + y 40 = 0 4 Dada la recta r: x y + = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r respecto al eje de abscisas. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (, ) y B (, ). Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A'(, ) y B'(, ). La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': ( ) + m = = = La recta r' es: y = (x ) y = 9 x + 4 x + y + = 0 De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: x ( y) + = 0 x + y + = 0 Página CUESTIONES TEÓRICAS Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendiculares, se verifica que aa' + bb' = 0. El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0. El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0. Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0. 6 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector v = (a, b) es ortogonal a cualquier vector determinado por dos puntos de la recta. Llama A(x, y ) y B(x, y ) y haz v AB. Ten en cuenta que los puntos A y B verifican la ecuación de la recta. Si A(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Si B(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Restando las dos igualdades: a(x x ) + b(y y ) = 0 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos