Tema 12. Funciones (II). Recta, parábola, hipérbola, exponenciales y logaritmos.

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1 Tema. Funciones (II). Recta, parábola, hipérbola, eponenciales logaritmos. Tabla de contenido. Traslados de las gráficas horizontales verticales.... Funciones lineales. La recta.... Función parabólica Introducción. Lugar geométrico La parábola como función Función parabólica del tipo a Función parabólica del tipo a c Función parabólica del tipo a bc Función eponencial Introducción Representaciones de funciones eponenciales del tipo a Funciones eponenciales desplazadas Función logarítmica Introducción al logaritmo. Significado Representación del logaritmo Problemas con logaritmos eponenciales. Ecuaciones sistemas Función proporcionalidad inversa.... 4

2 Tema.Funciones (II). Traslados de las gráficas horizontales verticales Horizontal: Sea una función f(), si trasladamos la gráfica 0 unidades en eje OX entonces la epresión analítica de la función resulta de cambiar por (- 0 ). Ejemplo: f() si lo trasladamos unidades a la izquierda ( 0 -) obtendremos la sunción g()f()() () 6 0 g() f() Vertical: Sea una función f(), si trasladamos la gráfica 0 unidades en eje OY entonces la epresión analítica de la función resulta de cambiar por (- 0 )f() 0 Ejemplo: f() si lo trasladamos 4 unidades hacia arriba ( 0 4) obtendremos la sunción g() 4 Página de 4

3 Tema.Funciones (II) Ejercicio obtener la epresión analítica de g(), h() si f()/ Solución: g()/; h()/(-). Funciones lineales. La recta La epresión analítica de una recta es f()mn. Se carateriza por tener un crecimiento o decrecimiento constante. Un ejemplo claro es la posición de un móvil en el tiempo en el movimiento rectilíneo uniforme. (ss 0 v t, ejemplo s 0 m, vm/s s(t)t). Veamos el significado de m n: ) mpendiente de la recta, nos eplica el crecimiento de la función. Si m>0 variacion crece si m<0 decrece. Se cumple que m. variacion Si por ejemplo m/la función crece de tal forma que por cada vez que aumenta unidades la la aumenta. ) nordenada en el origen, es el punto de corte de la gráfica con el eje OY (es decir corta en (0,n) ) Obtener la epresión analítica a partir de dos puntos: P (, ) P (, ): m m(- ) Obtener la epresión analítica a partir de la gráfica: podemos obtener la ordenada en el origen viendo el punto de corte con el eje OY, la pendiente a partir del crecimiento. También podemos obtenerlo a partir de identificar dos puntos en la gráfica aplicar lo visto antes. Ejemplo : obtener la epresión analítica de la recta que pasa por P (,) P (-,) dibujarla m / Página de 4

4 Tema.Funciones (II) -/(-) (decrece corta en el eje en.5) Obtener la epresión analítica de la recta con la siguiente gráfica: Podemos ver como n4 m, pues cada unidad que aumenta en aumenta en. 4 Ejercicio: sin necesidad de obtener la epresión analítica identifica las siguientes rectas: a) - b) - c) -4 d) -- Página 4 de 4

5 Tema.Funciones (II) Solución aroja bazul cverde dnegra. Función parabólica.. Introducción. Lugar geométrico. La parábola es una curva mu importante por aparecer en multitud de ocasiones en la naturaleza la técnica. Ejemplos: Lanzamientos balón de baloncesto Chorros de agua Las antenas parabólicas Geométricamente una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (directriz) de un punto (foco de la parábola). d d Página 5 de 4

6 Tema.Funciones (II). La parábola como función En este tema no nos centraremos en la parábola como lugar geométrico sino como función. La parábola es la gráfica de toda función asociada a un polinomio de segundo grado, es decir f()a bc. Veamos casos particulares:.. Función parabólica del tipo a Si tenemos la función f()a. Para entender como es la parábola en función del parámetro a veamos 4 casos distintos: Vemos que difieren si aes positiva o negativa, así tenemos: a) Si a>0, sus propiedades son las siguientes: Su vértice en origen V(0,0) que es un mínimo Cóncava Simétrica con eje OX (par) Creciente en (0, ) decreciente en (-,0) A maor valor de a más rápido crece decrece b) Si a<0, sus propiedades son las siguientes: Su vértice en origen V(0,0) que es un máimo Convea Simétrica con eje OX (par) Decreciente en (0, ) creciente en (-,0) A menor valor (más negativo) de a más rápido crece decrece Página 6 de 4

7 Tema.Funciones (II) Ejercicio: obtener la epresión analítica de las siguientes gráficas: a) V(0,0) a P(,4) 4a a4 b) V(0,0) a P(-,-) -a (-) a-.. Función parabólica del tipo a c Para entender la gráfica tendremos que pensar que es una traslación en el eje OY de c unidades. De esta forma la gráfica es igual que la de a pero c unidades desplazada, del tal forma que el vértice situado en V(0,c). Ejemplos: -; - - Puntos importantes son los de corte con el eje OX (es decir 0). Sólo cortarán con el eje las que tenga a>0 c<0 o a<0 c>0. En nuestro ejemplo: 0 - ± A(,0), B(-,0) Ejercicio: obtener la epresión analítica de las siguientes gráficas: Página 7 de 4

8 Tema.Funciones (II) a) V(,0) c. P(,4) a 4a a b) V(,0) c P(,0) a 0a a--.. Función parabólica del tipo a bc Para entender la gráfica basta con epresar la función de la siguiente forma 0 a(- 0 ), entonces será igual que el de la parábola a pero desplazada 0 en el eje OX e 0 en el eje OY. Relacionemos entonces a, b c con 0 e 0 : a (- 0 ) 0 a -a 0 a 0 0 a bc -a 0 b 0 b a a 0 0 c 0 c- a 0 En la práctica se calcula f( 0 ) b a e 0 se obtiene sustituendo en la función La gráfica como hemos dicho es igual que la de a pero desplazada 0 unidades en el eje OX e 0 en eje OY, de tal forma que el vértice V( 0, 0 ) Ejemplo: representar poner en forma a (- 0 ) 0 la función f() -4-. Calculemos el vértice 0 f() (-) -4 b a, 0 f()-4 V(,-4) Para representarla damos valores entorno del vértice X Y Puntos de corte con eje OX (0) 0 (-) -44 (-) (-) Página 8 de 4

9 Tema.Funciones (II) - ± ± (,0), (-,0) Ejercicio: obtener la epresión analítica de la siguiente gráfica: El vértice es V(,) a (-). Para calcular a sustituimos un punto, por ejemplo P(0,0) 0a 9 a: (-) Función eponencial 4.. Introducción Antes de ver la función eponencial recordemos las definición de eponente alguna de sus propiedades. a : n - Si N a n a a... a - Si Z a -n n a - Si Q a p/q q p a Página 9 de 4

10 Tema.Funciones (II) Propiedades: ) (a ) a ejemplo: 5 5 ) a b (a b) ejemplo: 6 ) a a 4) a Representaciones de funciones eponenciales del tipo a Vamos a distinguir dos casos de funciones eponenciales: a) a> X ½ - /4 - /8 a) 4 X Y ¼ - /6 - /64 Página 0 de 4

11 Tema.Funciones (II) Propiedades eponentes si a>: ) Dom(f)R ) Continua en R ) Creciente en R 4) Concava 5) Asíntota horizontal 0-6) Definida positiva (siempre positiva) 7) A maor valor de a más rápido crece b) 0<a< (/) Y ½ /4 /8 b) (/4) Y ¼ /6 /64 Página de 4

12 Tema.Funciones (II) Propiedades eponentes si 0<a<: ) Dom(f)R ) Continua en R ) Decreciente en R 4) Cóncava 5) Asíntota horizontal 0-6) Definida positiva (siempre positiva) 7) Cuanto más se acerca a cero la base más rápidamente decrece. Nota: a simétrica respecto al eje con (/a) (½) Ejercicio: Representa di cual es la base de las siguientes funciones eponenciales: a) b) Solución: la función eponencial es de la forma a, en nuestro caso tenemos que el eponente es, de esta forma tenemos que incluir el dentro de la base, veamos como: ( ) 9 9 Luego las basen son 9 /9. Veamos las gráficas Página de 4

13 Tema.Funciones (II) 9 (/9) Y Y - / /8-8 - / /9 8 /8 79 /79 Ejercicio: obtener la epresión analítica de las siguientes funciones eponenciales Página de 4

14 Tema.Funciones (II) Veamos la epresión analítica de (). Sabemos que a<0 pues es decreciente. Busquemos un punto de la gráfica que no sea el (0,). Por ejemplo en (-, ). a a - /a a/ Veamos la epresión analítica de (). Sabemos que a>0 pues es creciente. Busquemos un punto de la gráfica que no sea el (0,). Por ejemplo en (, ). a a a Ejercicio: Identifica las siguientes gráficas con la epresión analítica correspondientes. () () () (4) (a) (b) (c) (0.5) (d) (/) Solución: (a)(4), (b)(), (c)(), (d)() 4.. Funciones eponenciales desplazadas ejes: En este apartado veremos las funciones cuando desplazamos las gráficas en los Si desplazamos la gráfica en el eje OX un valor 0 tenemos que la función gráfica es a -o -o a a Si desplazamos la gráfica en el eje OY un valor 0 tenemos que la función gráfica es a 0 Ejemplos: a) Página 4 de 4

15 Tema.Funciones (II) b) 0 (la asíntota horizontal pasa a ser ) Ejercicio: representar las siguientes gráficas sin necesidad de tabla de valores, sólo a partir de la gráfica de (0.5) de a) (/) (/) - (/) (/) - 0 (desplazamos ejeox) b) (desplazamos - en eje OY) Página 5 de 4

16 Tema.Funciones (II) Solución: a) b) Identifica la epresión analítica de las siguientes funciones eponenciales: () () Página 6 de 4

17 Tema.Funciones (II) Solución: () Es decreciente luego la base menor que uno. La asíntota sigue siendo el eje OX, luego está desplazado en el eje OY. Para ver lo que se desplaza miramos a ver en qué valor de la, que en la gráfica no desplazada ocurren en. Si. Luego 0. Calculemos la base: a - pasa por el punto (0,8)8a - a /8 a/ (/) - () Es creciente luego la base es maor que uno. La asíntota horizontal es -, luego está desplazada - unidades en el eje OY 0 -. Calculemos la base: a - pasa por el punto (0,-) -a No da información, busquemos otro punto el (,-) -a - a - 5. Función logarítmica 5. Introducción al logaritmo. Significado Definición: el logaritmo es la operación inversa al eponente, así : log a a Elementos del logaritmo: - Base del logaritmo, a. - Argumento del logaritmo Ejemplos: log log 8 8 log (/9)- - /9 log 0 0, / Notación: log 0 log. Los logaritmos decimales son los que aparecen en la calculadora. Propiedades (mu importantes):. log a a; log a 0. log a log a log a ( ). Ejemplo log 8log 4log 5. log a -log a log a ( / ). Ejemplo log 8-log 4log - 4. log a () no eiste si 0. Pues a >0. Ejemplo log(-) log(0) no eisten 5. n log a log a n Ejemplo: - log(0)log(0 - ) log a (a n )n log log 9 logb 7. log a log a b Esta última propiedad mu útil para calcular logaritmos con la calculadora. log 6 0,778 Ejemplo log 6, 58. Comprobación:.58 6 log 0,0 Página 7 de 4

18 Tema.Funciones (II) Ejercicios ) Calcular los siguientes logaritmos eactos sin usar la calculadora: a) log 6 96 b) log 0,5 c) log 7 d) log 5 65 e) log /5 5 Solución: a) log b) c) 0,5 4 log 0,5-7 / log 7/ d) log e) 55 log /5 5-5 ) Utiliza la tecla de la potencia para calcular con aproimación de centésimas el siguiente logaritmo: log 7 Solución: log 7.78 ) Calcular la incógnita a) log 4 b) log 4 b c) log 4 Solución: / / 4 a) / ( 4 / ) 4 log 4 b) log b -4 b 4 b 4 / b 4 / 4 b 4 c) log 4 4 -/ 4 4) Sabiendo que log b ()0,5, log b ()0,, log b (z)0,, se cumple a, calcular z log b a luego el valor de a. Nota aplicar las propiedades de logaritmos: Solución: log b ( )log b ( )-log b (z) log b ()-(log b ()log b (z)) 0,5-(0,0,) z log b (a) ab Página 8 de 4

19 Tema.Funciones (II) 5. Representación del logaritmo La gráfica de log a es simétrica respecto a la recta ( bisectriz de los ejes). Para representarla podemos distinguir entre cuando a> 0<a<: ) a> Ejemplo: log () 0 log () Veamos cómo son las gráfica según el valor de a (siendo en las dos a maor que uno): log () log () log 5() Propiedades log a con a>: ) DomR (0, ) ) Asíntota vertical 0 tendiendo - ) Pasa por (a,) por (,0) 4) Creciente 5) Convea 6) Cuanto maor sea a menos crece Página 9 de 4

20 Tema.Funciones (II) ) a< Ejemplo: log / () (/) log /() Veamos cómo son las gráfica según el valor de a (siendo en las dos menor que uno): log /5() log /() log /() Propiedades log a con 0<a<: ) DomR (0, ) ) Asíntota vertical 0 tendiendo ) Pasa por (a,-) 4) Decreciente 5) Concava 6) Cuanto menor sea a (más cerca de cero) menos decrece Página 0 de 4

21 Tema.Funciones (II) 5. Problemas con logaritmos eponenciales. Ecuaciones sistemas Ecuaciones con logaritmos: para resolver las ecuaciones logarítmicas tendremos que agrupar los logaritmos en uno sólo o en uno por cada lado de la igualdad. Una vez que tengamos un único logaritmo o uno por cada lado de la igualdad, para quitarnos el logaritmo tomamos el eponente. Ejemplo: log (-8-4)-log ( ) log (-8-4) Tenemos que comprobar que la solución es válida, pues puede ocurrir que el logaritmo sea negativo: log log () ( ) Problema, resolver: ) log()-log()log()-log() ) log()log()log() ) log ()log (-)(/) log () Solución: ) log( ) -log()log()-log() log log ( -6)0 0, 4, Comprobación: 0 log(0)log(0) pero no eiste el logaritmo de cero, luego no es solución -4 log(-)log(-) no eiste el logaritmo de cero, luego no es solución 4 log()log() si es solución ) log( )log()log() log( ) log( ), -/. Los dos soluciones son válidas: --0 log()log() / log(/)log(/) ) ( ( ) ) log ( ) log -6 (-6) 4-660, 9/. Al elevar al cuadrado debemos comprobar si las dos soluciones son válidas: -6. No solución Página de 4

22 Tema.Funciones (II) 9/ Solución ) log 5 log 5 ( ) 0 log5 log5 ( ) log , Ecuaciones con eponente: a) si tenemos una sola potencia igualada a un número, tomamos logaritmo en la misma base en los dos lados de la ecuación(el logaritmos se va con el eponente) obteniendo la solución. b) Si tenemos varios eponente tenemos que poner todos los eponentes con misma base luego hacer un cambio de variable. Con dicho cambio se resuelve la ecuación, luego se deshace el cambio de variable. Ejemplo : a) - log - log (-) log log (-) log log / , -/: b) - 9 ( ) -/ log (-/) no solución Problemas: a) - b) c) 5 /5 d) - -9 Solución: a) - -log ( log )/ b) ±, ±. 5 log 5 5 log ( ) - 5 -log 5 (-) no eiste log 5 (-) no eiste Página de 4

23 Tema.Funciones (II) Página de 4 c) 5 /5 log 5 (/5) --- d) ( ) , 9 log 9 log 0 Sistemas: se resuelven o bien haciendo cambio de variables u obteniendo ecuaciones sin logaritmos eponentes. a) 5 ) ( log ) log( ) ( log ) log( Solución log()x, log ()Y 00 5 Y X Y X Y X b) 7 Solución u 7 X, Y Y X Y X 7 4 Y X c) 70 ) log( ) log( Solución: 0 50, 50 0, 70 0 ) ( 70 ) log( d) 8 4 Solución: 8 8 e) / 5) log( ) log( ) log(

24 Tema.Funciones (II) Página 4 de 4 Solución: ) log( log 6. Función proporcionalidad inversa.

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