Temas teóricos. Lino Spagnolo

Transcripción

1 1 Temas teóicos Electomagnetismo Teoema de Helmholtz. Lino Spagnolo La teoía electomagnética de Maxwell, e incluso las modenas elaboaciones como la electodinámica cuántica y la como dinámica, utilizan la teoía del campo paa defini la estuctua de las aiables físicas electomagnéticas. De ahí que se utilicen más los conceptos de campo electomagnético, densidades de coientes y densidades de caga eléctica en luga de los paámetos de la teoía de cicuitos, como coiente, tensión, potencia, esistencia, inductancia, etc. Los campos se clasifican en escalaes, ectoiales y tensoiales. Son funciones espaciales, y pueden o no se también funciones del tiempo. Su utilización pimodial es paa descibi las popiedades físicas de las entidades como campo eléctico o magnético de modo tal que esulten independientes de las tansfomaciones de coodenadas. Esta última caacteística es esencial paa adopta la teoía de campos y al mismo tiempo estinge la foma en que se tansfoman bajo una taslación y/o una otación. Sin necesidad de pofundiza estas nociones, desciptas en los textos de Análisis Vectoial, pueden enumease algunas caacteísticas: La caga eléctica Q es un campo escala popio definido po una única cantidad, (nota que la expesión impopio, como opuesto a popio, significa seudo escala, o sea una magnitud escala que cambia de signo ante una inesión de coodenadas). El campo eléctico tidimensional E es una magnitud ectoial popia definida po tes componentes espaciales y eentualmente po una tempoal adicional. El campo magnético tidimensional B es una magnitud ectoial impopia definida po tes componentes espaciales y eentualmente po una tempoal adicional. Esto significa que el campo B es seudo ectoial. Se ha isto que las ecuaciones de Maxwell definidas paa campos estáticos o cuasiestáticos, se educen a: ρ E = B 0 E ε = o B B = µ oj E 0 = Estas ecuaciones sugieen que si se conocen las fuentes de campos, o sea, la diegencia y el oto de un campo ectoial, se podá conoce todo especto a dicho campo. En efecto, el Teoema de Helmholtz sostiene pecisamente que un campo (01) ectoial F, con la condición de se finito, unifome y continuo y que además se anule en el infinito, puede se expesado como la suma del gadiente de una función potencial Ψ y el oto de un campo de potencial ectoial K de diegencia nula. (Fómula 04).

2 2 En el desaollo de la teoía se suponen conocidas aquellas aiables físicas que de foma causal dan luga a la existencia de dichos campos, que se denominan pecisamente fuentes de campo y J, tal como se e en la fómula (01). Campos escalaes. ρ Las ecuaciones de campo son genealmente difeenciales: ellas nos infoman de las difeencias infinitesimales ente el alo del campo en un punto especto a su alo en los puntos ecinos. Paa ello debemos sabe qué ecuación difeencial especifica a un campo escala., entonces su gadiente nos define Si la función escala de punto la llamaos φ ( ) un campo ectoial tal que A( ) = φ( ) con la popiedad de cumpli su auto consistencia : A = 0. De esta foma, si se conoce el campo escala φ ( ) en un punto P, paa oto punto Q genéico peteneciente al mismo espacio, queda definido su alo a taés de la ecuación Q integal: φ( Q) = φ( P) + A dl (02) P Y dado que A = 0 gaantiza que A es un campo conseatio po lo cual la ecuación integal define de foma uníoca el alo del campo en cualquie punto Q. Campos ectoiales. Paa los campos ectoiales hacen falta más condiciones paa su completa definición. Tal como demostaá el teoema de Helmholtz, hacen falta 2 ecuaciones difeenciales paa su definición. El teoema de Helmholtz dice concetamente que: Cuando se conocen las fuentes escalaes (densidad de caga eléctica, po ejemplo) y las fuentes ectoiales (densidad de coiente, como ejemplo), coespondiente a la diegencia del campo ectoial F y a su oto, espectiamente (según fómulas 03), dicho campo queda deteminado a menos de un gadiente de de una función escala f ( ) tal que: f ( ) = 0, y que no afecta al alo del campo F. Imponiendo la condición de que las dos fuentes se anulen en el infinito y que el campo ectoial F decezca de foma de anulase cuando, se define: suma de: F = λ( ) fuente escala (03) F = k ( ) fuente ectoial Entonces el teoema de Helholtz demostaá que el campo ectoial F es la F( ) = Ψ ( ) + K( ) (04)

3 3 En la cual los potenciales escalaes Ψ ( ) y ectoiales K( ) teoía electomagnética. son los definidos en la 1 λ( ) 1 k ( ) Ψ ( ) = d ; K( ) d = (05) Entonces la función ectoial F satisfaá las ecuaciones (03). Demostación del teoema de Helmholtz. De acuedo con la hipótesis que F siguientes cálculos: = Ψ + K efectuaemos los Se calculaá la diegencia: Tene en cuenta que siempe: K F = Ψ = Ψ Ψ ( ) = λ( ) Y dado que su diegencia es uno de los datos del poblema, la pimea pate queda demostada a taés de la ecuación difeencial escala de Poisson cuya solución es la función potencial: (06) 1 λ( ) Ψ ( ) = d (07) Que seá finalmente el potencial escala φ ( ) = V ( ). El cual fomaá pate del ecto F( ) como su elemento gadiente Ψ ( ). Luego se calculaá su oto: Tene en cuenta que siempe: Ψ ( ) = 0 O sea: F( ) = Ψ ( ) + ( K( )) 2 F( ) = ( K( )) = ( K) K (08) Esta ecuación difeencial es bastante complicada, una simplificación consiste en anula la diegencia K = 0, esta condición se conoce como condición de Gauge dento del electomagnetismo, o también como condición de Coulomb. Quedando en consecuencia: F = k ( ) = K K = k ( ) = ( k eˆ + k eˆ + k eˆ ) 1 x 2 y 3 z (09)

4 4 Que constituye la ota ecuación difeencial ectoial de Poisson cuya solución es el potencial ectoial magnético: 1 k ( ) K( ) = d (10) Que también seá el potencial ectoial magnético del cual se obtiene la inducción magnética B ( ) = A ( ) y la caga seá el campo ectoial k ( ) = J ( ). La cual foma pate del ecto F( ) como su elemento oto K ( ). Con lo cual queda pobada la ecuación F( ) = Ψ ( ) + K( ) puesto que ambos aloes Ψ ( ) y K( ) se obtienen de las ecuaciones (07) y (10) y además se F como el demostó que tanto Quedando pendiente la siguiente demostación: F conducen a los datos de patida. Demostación que los potenciales Ψ ( ) y K( ) son solución de la ecuación F( ) = Ψ ( ) + K( ), y a su ez esos potenciales son solución de la ecuación de Poisson. 1 λ( ) Comenzaemos po demosta que el potencial Ψ ( ) = d es solución de la ecuación (07).. Paa ello se calcula la Diegencia de F( ) : 1 2 λ( ) F( ) = Ψ ( ) = d (11) Dado que la caga λ( ) es un escala constante paa el entono espacial de, educimos la integal anteio a: 2 λ( ) 2 Ψ ( ) = d 4 π (12) 2 d (13) En la cual sólo debemos ealua la integal en todo el espacio. La esolución de esta integal en cualquie luga del espacio da un esultado nulo. Sin embago, como sabemos po la Ley de Maxwell, al ealua la diegencia en el luga

5 5 ρ físico en que se encuenta la caga q, o su densidad olumética ρ, su alo es. εo Esta apaente contadicción se debe a que en el entono de = el alo de la 1 función ( ) tiende a infinito. Existen diesas técnicas paa eita esa indefinición, peo desde un aspecto matemáticamente afín al concepto de caga puntual, nos paece que la heamienta conocida como delta de Diac, o función impulso de la electónica aplicada, sea la apoximación más adecuada a la solución. Recodemos que la definición del opeado, o delta de Diac, ea una función δ ( x x) tal que su integal daba: + ϕ( x). δ ( x x ). dx = ϕ( x) (14) Esta integal asigna a la función ϕ ( x) el alo de ϕ ( x). De tal foma que, si po ejemplo, ϕ ( x) = 1 entonces δ ( x x). dx = 1 (15) + Una definición más infomal del opeado o símbolo δ ( x x) se da a taés de las popiedades: = 0 paa todo x x δ ( x x ) = paa x = x (16) Es impotante, en el uso de la delta, que deba se tomada siempe como un opeado, paticulamente siempe bajo el signo integal, y no como una función analítica. Pemite se utilizada con expesiones ectoiales y en integales oluméticas, de supeficie y lineales, siempe que se incluya en la integal el punto x = x o =. Paa una integal de olumen se tiene: ϕ( ). δ ( ) d = ϕ( ) Existen muchas funciones con las popiedades de la delta de Diac, peo paa el electomagnetismo es impotante considea la función con tales popiedades. 2 1 (17) ( ) d (13)

6 6 Aplicando el teoema de la diegencia a la expesión (13): 1 1 ˆ ˆ = =. ( ) d ( ) ( ) ds ds S S (18) 2 Peo obseando que ( ˆ ˆ ) ds = ds, es el poducto escala de los esoes que señalan la diección adial junto al elemento nomal de la supeficie esféica que enuele todo el olumen, el esultado es un poducto simple que puede combinase con la expesión del esteaían: Con lo cual, eemplazando: ds ds dω = = ˆ ˆ ( ) 4 S ds = dω = π 2 (19) S O sea, con esto se demuesta la equialencia con la función de delta de Diac: 2 1 ( ) = 4 π δ ( ) (20) Y po lo tanto el alo de la integal, tomada en en un punto que incluye la caga puntual q ρ, equiale a utiliza la ecuación (17): 1 2 λ( ) F( ) = Ψ ( ) = λ( ) d = 4π Y seá equialente a utiliza la delta de Diac ϕ( ). δ ( ) d = ϕ( ) o el funcional 1 2 ϕ( ) d ϕ( ) =. (20 ) De aplica estos esultados al campo electostático pondemos el campo ρ F = E = ectoial F E cuyas espectias fuentes son: εo (21) F = E = 0

7 7 Po lo cual, según la ecuación (06) esto equiale a: F = Ψ = Ψ Ψ ( ) = λ( ) 2 ρ( ) (22) E( ) = φ( ) E( ) = φ( ) = ε Reemplazando en (07): 1 ρ( ) 1 ρ( ) φ( ) = d E( ) d 4 πε = 4 o πε (23) o O sea: 1 ρ( ) 2 ρ( ) ρ( ) E = d. δ ( ) d ε = = o (24) εo εo Con lo cual queda demostada la pimea fómula de (12). o De igual foma se pueden aplica los esultados (20) o (20 ) paa 1 k ( ) demosta que el potencial K( ) = d es solución de la ecuación de la ecuación F( ) = Ψ ( ) + K( ). ( ) ( ). Paa ello bastaá toma el oto de F = ( K ) Y aplicalo paa el caso del magnetismo donde K( ) magnético que coesponde a la ecuación de Poisson: Ahoa el campo ectoial F Peo como según se despende de 0 (25) equiale al potencial ectoial 2 A = µ J o (26) B equiale al campo magnético cuyas fuentes son: F = B = 0 (27) F = B = µ oj B = B ( ) = A ( ) po lo tanto: 2 B( ) = ( A) = ( A) A = µ oj Paa simplifica la ecuación difeencial se adopta la condición de Gauge: A = 0 (28)

8 8 Y po lo tanto se obtiene la ecuación de Poisson, cuya solución es la fómula (05): O la fómula del potencial ectoial magnético: 1 k ( ) K( ) = d 2 µ o J ( ) A = µ oj; A( ) = d (29) Nueamente la densidad ectoial J ( ) es constante paa el entono del punto, po lo que puede ponese: F( ) = ( K( )) = ( K) K = A( ) 2 µ oj ( ) 2 A( ) = A( ) = d 4 π Llegando a la misma expesión que paa el potencial escala. λ( ) 2 F( ) = d 4 π De lo cual deducimos que también la ecuación (05), y su consecuencia, la ecuación (30), es solución de la ecuación de Poisson. (30)