TRANSPORTE Y TRANSBORDO

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Cristián Villanueva Soto
hace 7 años
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1 TRANSPORTE Y TRANSBORDO En ésta semana estudiaremos un modelo particular de problema de programación lineal, uno en el cual su resolución a través del método simplex es dispendioso, pero que debido a sus características especiales ha permitido desarrollar un método más práctico de solución. El modelo de transporte se define como una técnica que determina un programa de transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al menor costo posible. 1

2 Modelo General del Problema del Transporte Es un caso especial de problema de programación Lineal, en el que todos los coeficientes de las variables en las restricciones tienen coeficiente uno (1), esto es: ai,j = 1 ; para todo i, para todo j Gráficamente: Xij= Unidades a enviar desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n). Ci,j= Costo de enviar una unidad desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n). ai = Disponibilidad (oferta) en unidades, de la fuente i-ésima (i=1,...,m). bj = Requerimiento (demanda) en unidades, del destino j-ésimo (j=1,...,n). 2

3 Otra manera de formularlo 3

MÉTODO VOGEL Este método tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al óptimo. Algoritmo 1.

4 MÉTODO VOGEL Este método tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al óptimo. Algoritmo 1. Construir una tabla de disponibilidades (ofertas), requerimientos (demanda) y costos. 2. Calcular la diferencia entre el costo más pequeño y el segundo costo más pequeño, para cada fila y para cada columna. 3. Escoger entre las filas y columnas, la que tenga la mayor diferencia (en caso de empate, decida arbitrariamente). 4. Asigne lo máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna escogida en el punto Asigne cero (0) a las otras casillas de la fila o columna donde la disponibilidad ó el requerimiento quede satisfecho. 6. Repita los pasos del 2 al 5, sin tener en cuenta la(s) fila(s) y/o columna(s) satisfechas, hasta que todas las casillas queden asignadas. Ejemplo Tres (3) fábricas envían su producto a cinco (5) distribuidores. Las disponibilidades, los requerimientos y costos unitarios de transporte, se dan en la siguiente tabla. 4

5 Qué cantidad del producto se debe enviar desde cada fábrica a cada distribuidor para minimizar los costos del transporte? NOTA: La X significa que desde la fábrica 3 es imposible enviar unidades al distribuidor 5 Solución Observe que el modelo no es perfecto: La oferta es diferente a la demanda. Se adiciona una fábrica de relleno con costos de transporte igual a cero (0) y que ofrezca justo lo que le hace falta a la oferta para ser igual a la demanda. Formulación 5

6 Solución Básica Factible Como cada variable figura dos (2) veces en el sistema de ecuaciones, entonces tiene m+n-1 grados de libertad y el número de variables básicas debe ser igual al número de grados de libertad del sistema. Lo anterior nos asegura una solución básica factible no degenerada. Por lo tanto, aplicando el método vogel: 6

7 Fíjese que la mayor diferencia la tiene la columna 4 con un valor de 19, escogido entre 2,2,3,0,15,13,19 y 16. El menor costo de la columna 4 es cero (0), se asigna lo máximo posible entre 50 y 40, que es 40, se satisface la columna y se actualiza la oferta y la demanda. Ahora recalculamos las diferencias, sin tener en cuenta la columna 4, que está satisfecha. Una vez ejecutado todo el algoritmo hasta asignar todas las casillas, obtenemos la siguiente asignación básica y factible inicial. Fíjese que el número de variables básicas es: m+n-1=8 7

Solución básica factible no degenerada: X 15 =40 ; X 21 =30 ; X 23 =20 ; X 25 =10 ; X 32 =40 ; X 33 =30 ; X 44 =40 ; X 45 =10 Z = 16(40)+15(30)+13(20)+16(10)+15(40)+18(30)+0(40)+ 0(10) = 2.

8 Solución básica factible no degenerada: X 15 =40 ; X 21 =30 ; X 23 =20 ; X 25 =10 ; X 32 =40 ; X 33 =30 ; X 44 =40 ; X 45 =10 Z = 16(40)+15(30)+13(20)+16(10)+15(40)+18(30)+0(40)+ 0(10) = El problema del transbordo Una empresa fabrica monitores de alta resolución en dos plantas de producción P 1 y P 2. Las capacidades de producción por semana son de 80 y 60 unidades, respectivamente. Los monitores se llevan a cuatro centros de ventas Vi, i = 1, 2, 3 Y 4 que solicitan para la próxima semana 30 unidades para V 1, 20 para V 2 y 40 para V 4. V 3 no ha cuantificado su demanda indicando que va a ser muy alta y aceptaría toda la producción. La legislación vigente obliga a la empresa a transportar los monitores de las plantas a los puntos de venta a través de alguno de los dos centros de control de calidad existentes C 1 y C 2 en los que se controlan los monitores y cuya capacidad es muy grande. El costo de control por unidad en C 1 es de $4.000 y en C 2 es de $ Los costos en miles de pesos del transporte unitario de las plantas a los centros de control y de estos a los puntos de venta, aparecen en la tabla siguiente: La empresa desea distribuir toda la producción para la semana entrante, sin mostrar preferencia por la utilización de un determinado centro de control o punto de venta, pues su interés reside en minimizar el costo global de transporte. Cuál debe ser la distribución de las plantas a los puntos de venta? 8

Formulación Otra manera de formularlo es, convirtiéndolo en un problema clásico de transporte, así: Construimos una tabla de costos mínimos, desde cada origen Pi a cada destino Vj señalando el centro

9 Formulación Otra manera de formularlo es, convirtiéndolo en un problema clásico de transporte, así: Construimos una tabla de costos mínimos, desde cada origen Pi a cada destino Vj señalando el centro de control de calidad Ck, usado en dicha ruta de mínimo costo. Ejemplo: Para enviar monitores desde la planta P 1 al centro de ventas V 1 existen dos alternativas: 1) P 1 => C 1 => V 1 con costos por unidad de: $12 + $4 + $22 = $38 2) P 1 => C 2 => V 1 con costos por unidad de: $11 + $6 + $20 = $37* Inscribimos el menor costo de estas dos alternativas en la tabla, especificando que se hace a través del centro de investigación C 2. Por lo tanto, el planteo del modelo lleva a la siguiente tabla: 9

10 Igualamos la oferta y la demanda mediante la creación de una planta de producción ficticia. Aplicando el método vogel: 10

11 Desde la planta de producción P 1, enviar 20 monitores de alta resolución al centro de ventas V 2, a través del centro de control de calidad C 1. Desde la planta de producción P 1, enviar 60 unidades al centro de ventas V 3, a través del centro de control de calidad C 2. Desde la planta de producción P 2, enviar 60 unidades al centro de ventas V 3, a través del centro de control de calidad C 2. Gráficamente: 11

12 Costos Totales: 20(12) + 20( 4) + 20(20) = (11) + 60( 6) + 60(19) = ( 9) + 60( 6) + 60(19) = $

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