RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Transcripción

1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos. SENO, COSENO Y TANGENTE Recordarás que eisten diferentes clases de triángulos, en este caso analizarás el triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90 grados), en él sus lados reciben nombres especiales: catetos e hipotenusa. Los catetos se pueden distinguir de acuerdo a un ángulo de referencia. Cateto opuesto es aquel que se opone al ángulo; o sea que no forma parte del ángulo. Y el cateto adyacente es aquel que constituye uno de los lados del ángulo. Para el ángulo β Cateto opuesto = b Cateto adyacente = a Para el ángulo α Cateto opuesto = a Cateto adyacente = b Seno. En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno. En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa. Tangente. En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente. Unidad de Informática Educativa 5

2 COSECANTE, SECANTE Y COTANGENTE Cosecante. La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica inversa del seno, o también su inverso multiplicativo. Secante. El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica inversa del coseno, o también su inverso multiplicativo. Cotangente. La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo. Ejemplo Encuentra las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente respecto al ángulo β en el triángulo presentado. Solución: En primer lugar, tienes que conocer la medida de los tres lados, en este caso sólo se conocen dos, para esto utilizas el teorema de Pitágoras: El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c = a + b c = a + b Sustituyes los valores de a y b y obtienes: c = 4 + c = c = 5 c = 5 Resolviendo: senβ = 5 cscβ = 5 cosβ = 4 5 secβ = 5 4 tanβ = 4 cotβ = 4 Unidad de Informática Educativa 6

3 Encuentra las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente respecto al ángulo α en el triángulo presentado. Resolviendo: senβ = 4 5 cscβ = 5 4 cosβ = 5 secβ = 5 tanβ = 4 cotβ = 4 Actividad Utiliza los siguientes triángulos rectángulos y encuentra las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente para el ángulo dado. senβ = cscβ = cosβ = secβ = tanβ = cotβ = Utiliza los siguientes triángulos rectángulos y encuentra las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente para el ángulo dado. senβ = cscβ = cosβ = secβ = tanβ = cotβ = Unidad de Informática Educativa 7

4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIALES PARA UN ÁNGULO DE 45º Observa las siguientes situaciones:. Los miembros de una cooperativa tienen un terreno cuadrado, cuya longitud es de km por lado, quieren trazar un cerco en forma diagonal. Cuál será la longitud del cerco? = + = = Cuánto mide cada uno de los ángulos agudos del triángulo ABC? Como verás, en dicho triángulo los catetos miden lo mismo. Por lo tanto, cada ángulo agudo también tendrá igual valor. Cuáles son las razones trigonométricas y sus inversas del ángulo de 45º? Aplica tus conocimientos sobre las razones trigonométricas y obtenlas. sen45 = = cos45 = = tan45 = = csc45 = = sec45 = = cot45 = = Al racionalizar el denominador se tiene: = Unidad de Informática Educativa 8

5 . Se quiere medir la altura de un árbol. En determinado momento del día medimos la longitud de su sombra es 8.5 m y medimos el ángulo que forma la recta, que une el etremo superior del árbol con el etremo de su sombra (recta imaginaria), y da como resultado 45º. Solución: Observa la figura y te darás cuenta que lo que necesitas encontrar es el otro cateto del triángulo rectángulo formado. Por lo tanto utilizas la tangente: tan45 = 8.5 La altura del árbol es 8.5 m. despejando = tan45 (8.5) = (8.5) = 8.5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 0º Y 60º Después de repartir un terreno en predios rectangulares, quedó una parte de forma triangular, formando un triángulo equilátero. El que a su vez se tiene que dividir en dos partes iguales. Observa la figura. Cómo se llama la línea que divide en dos partes iguales al triángulo equilátero? Por ser perpendicular al lado AC, se llama Altura y Mediana porque divide al segmento AC en dos partes iguales, es decir; CM = MA = Bisectriz, porque divide al ángulo en dos partes iguales: 60 = 0 La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Unidad de Informática Educativa 9

6 Ahora, cómo encuentras la longitud de la altura? Utilizas el Teorema de Pitágoras y tienes que la altura es: c = a + h Sustituyendo = + h = 4 + h Despejando 4 = h Operando h = Simplificando h = h = El valor de la altura del ángulo de 60 es: h = 4 h = 4 A partir de estos datos, Puedes obtener las razones y sus inversas para 0º y 60º? Trabajar con el triángulo BCM y deduce las razones para el ángulo de 60º. Racionalizar el denominador: = = sen60 = cos60 = tan60 = csc60 = cot60 = = sec60 = = Ahora, ubicar el ángulo de 0º, sigue el mismo proceso de simplificación y racionalización, y procede a la obtención de las razones trigonométricas y sus correspondientes inversas. Unidad de Informática Educativa 0

7 Racionalizar el denominador: = = ángulos de 0º, 45º y 60º, porque facilitará resolver algunas situaciones que se presentan en la vida y que se epresan en lenguaje natural. Ejemplo de aplicación sen0 = cos0 = Observa el siguiente dibujo, cuál es la altura del muro? Qué datos te proporciona el dibujo? El ángulo = 0º Hipotenusa = 5 Lado = Qué razón puedes utilizar para calcular el valor de la altura del muro? Se puede trabajar con el seno de 0º. sen0 = 5 Entonces se tiene que: csc0 = = sec0 = tan0 = = cot0 = IMPORTANTE: Es importante tener presentes los valores de las razones para los sen0 = 5 = 5 Despejando = 5 5 =.5 Entonces la altura del muro es.5 m. Ejercicios: Resuelve la siguiente operación:. 5 sen 0º + 8 sec 60º 5 cot 45º.. Encuentra la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4.5 m y se sabe que los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 60º.. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 8 cm y uno de sus ángulos 0º, cuánto miden sus catetos? Unidad de Informática Educativa