SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21

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1 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin. Actividd personl, por ejemplo:,...,...,...,9...,8.... ) No, pues un deciml puede tener un número limitdo de cifrs o ser periódico. Por ejemplo,, tiene un número limitdo de cifrs, es periódico, por lo tnto, son números decimles no irrcionles. Sí, culquier número no deciml tiene un número limitdo de cifrs.. ) Entero; Irrcionl; Rcionl; Nturl; Rcionl. Culquier frcción puede epresrse como un número deciml clculndo el cociente entre el numerdor el denomindor, por ejemplo /,. En cmio, no todos los números decimles pueden epresrse como frcciones. De hecho, por definición, los números irrcionles no pueden epresrse como frcciones.. Construimos un tl: Por eceso Por defecto Décims,, Centésims,, Milésims,,. ) Por eceso: >, >, >, >, >... Por defecto: <, <, <, <, <... Por eceso: >,8 >, >,9 >,8 >... Por defecto: <, <, <,8 <,8 <... Por eceso: >, >, >,9 >,8 >... Por defecto: <, <, <,8 <,8 <..., Rcionles,... Rcionles,... Rcionles 8. ) Culquier negtivo. Un frcción irreducile con denomindor diferente de. Dee tener un número ilimitdo de cifrs no ser periódico. Es un número irrcionl. e) Culquier deciml periódico o ecto. 9. L representción es l siguiente: -,, /8. ) Por eceso: >, >, >, >, >... Por defecto: <, <, <, <, <... Por eceso: >,8 >, >,9 >,8 >... Por defecto: <, <, <,8 <,8 <... Por eceso: >, >, >,9 >,8 >... Por defecto: <, <, <,8 <,8 <... e. En el Liro de Teto hemos representdo. Con ellos tendremos suficiente pr representr los números ddos: ) ( ) ( ),, Págin. / Rcionles Enteros Págin 8. ) Por defecto:,;,;,;,;,;,,;,;,;,;,;, -9

2 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.,8;,8;,88;,88;,888;,8888 Por eceso:,;,;,;,;,;,8,;,;,;,8;,;, ;,89;,88;,889;,888 Por lo tnto:,888 Por defecto: π,;,;,;,;,9,;,;,;,;, π,;,;,9;,9;,9 Por eceso: π,;,;,;,;,,8;,;,;,;, π,;,;,9;,9;,9 Por lo tnto: π,9 π,;,;,;,;,9;,9 Por defecto: π,;,8;,8;,8;,88;,88 Por eceso: π,;,;,8;,8;,8;,88 Por lo tnto: π,88 Ahor, por defecto:,,;,;,;,;, π,,8;,9;,98;,99;,998;,998 Por eceso:,,;,;,;,;, π, 8,;,9;,9;,999;,998;,998 Por lo tnto: π,,998 Por eceso: π ;,;,;,;,;, e ;,8;,;,9;,8;,89 π e ; ;,8;,8;,899;,8989 π e ;,;,;,;,;, Por lo tnto, π e, ls proimciones son,8;,8;,89 por defecto,9;,8,8 por eceso. Por otr prte π e,... ls proimciones son,;,;, por defecto,;,;, por eceso.. Por defecto: π ;,;,;,;,;,9;,9; π 9; 9,; 9,89; 9,888; 9,89; 9,8988; 9,899 φ ;,;,;,8;,8;,8;,8; φ ;,;,9;,9;,9;,88;,889 π φ ;,;,;,88;,89;,888 π φ 9;,;,9;,88;,88;,8888;,889 Por eceso: π ;,;,;,;,;,;,9; π ;,; 9,9; 9,8; 9,89; 9,89; 9,898 φ ;,;,;,9;,8;,8;,8; φ ;,89;,;,;,8;,8;,8 π φ ;,;,9;,9;,8898;,8 π φ ; 9,9;,9;,8;,88899;,89;,8898 Por lo tnto, π φ,8... ls proimciones son,;,8;,8 por defecto,;,9,88 por eceso; mientrs que π φ, ls proimciones son,8;,8;,88 por defecto,9;,8;,89 por eceso.. Por defecto: π ;,;,;,;,;,9 e ;,;,;,8;,8;,88 π e ;,8;,8;,89;,89;,898 π e ;,;,;,;,;,. ),,.,9. ) / /,8 -

3 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. / /,, 9 e), -. ) : : 8 9 Págin No podemos segurr que > pues l ser todos los cudrdos positivos, el orden depende de los vlores solutos de e. Por ejemplo: > pero < ( ) L función f() sí que es creciente, por lo tnto, si > >. 9. No, el ejemplo de l ctividd nterior nos sirve pues ( ) > pero <.. < (, ) > si > > ( ) > si < > si > > si > > si < < si < (, ) (, ).), Como (, ) < Solución: (, ) /, / Como ( /, / ) < Solución: (, / ) ( /, ) 8, Como (, ) < 8 Solución: (, ) e) f) g) h) (,,,) (,,,),,,99,,. centro, rdio,, Págin. ) / / ( / ) / ( / ) / ( / ) /. ) / ( ) 9 Págin. ). ) ( c 9 / -

4 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8. ). ) 9 9. ) mcm (,, ) ( ( ) 8 8 ( c c. ) mcm (,, 9) 8 8 ( ) ( ) 8 mcm (,, ) ( ). ) ( z) z z mcm (,, ). Actividd personl. ( ) ( z) z z ( z) z z. ) ( ) ( ) ( ) Págin. ) mcm (, ) 9 9 ( ) ( ) mcm (,, ) ( m ) ( m ) ( ) m 9 9 m m m 8.m Págin. ) ( )( ) -

5 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin 9. Nturles N Enteros Z Rcionles Q Irrcionles I Reles R Y finlmente: N Z Q R I R. Sí, por ejemplo, es un entero, rcionl rel.. Teniendo en cuent ( ), l representción es l siguiente: ) (, ) [, ] (, ] [, ) 8. Es un intervlo ierto en el que dicho punto ocup el centro. 9. es l ríz enésim de cundo n. n m m / n. Pr sumr rdicles se intent escriirlos de form que sen todos semejntes pr sumr los coeficientes. Pr multiplicrlos se reducen índice común se multiplicn los rdicndos. Pr dividirlos se reducen índice común se dividen los rdicndos.. Rcionlizr un frcción con rdicles en el denomindor consiste en hllr un frcción equivlente sin rdicles en el denomindor. Actividd personl.. Por ejemplo, proimndo por eceso por defecto:, >, >, >..., <, <, <... Tmién podemos epresr el número en form frccionri, en este cso / 9, representr dich frcción.. m n m n m : n m n ( m ) n mn ( n n n ( : n n : n Ests propieddes tmién son válids pr ls potencis de números irrcionles, por lo tnto, son válids pr todos los números reles.. Vlor soluto de un número rel es l distnci entre dicho número el. L distnci entre dos puntos e de l rect rel se define como el vlor soluto de.. Actividd personl.. Z N / 8 Q, Q I π I, Q,8 Q, Q, Q.L representción es l siguiente: - -,, 8., < < /, <, < < -, - /,,.L sum de dos números irrcionles opuestos es que no es un número irrcionl. L multiplicción de dos irrcionles puede no ser irrcionl..el resultdo es siempre un número irrcionl pues si fuer rcionl siendo rcionl irrcionl, eistirín dos enteros primos entre sí, c d, tles que: c / d -

6 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Pero entonces c / d deerí ser un número rcionl con lo que llegmos contrdicción. El cso de l rest es nálogo. Actividd personl..actividd personl. Por ejemplo:, ) No eiste en (, ) ( /, ). 8 < < 8 No eiste en (, 8)., No eiste en (, ). < < No eiste en (, ). -. ) ( ) e) f) g) h) i) Tod l rect. 9. (,,,,,) (,8, ). ) /, Págin.) 8.).) 9 /.) 8 8 / / -

7 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs..) z 9 8..) z 8.) 8 ().) ) e) f) 9.) 98 e) f) 8 8.) mcm (,, ) mcm (,, ) ( ) ( ) / ) mcm (,, ) mcm (,, ) 9 mcm (,, ) mcm (,, ).) 9 9 ( 9 ) 8.) ) 8 mcm (,, ) mcm (,, ).) mn m n z mn 9 m n n 8 n -

8 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. z z z K ( ) ( ( ) ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) K ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) K ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) K ( ) ( ).) ( ).) ( ) 8 9.) ( ) ( ) ( ) 8 9 -

9 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs n Pero entonces, es múltiplo de, por lo tnto, n será múltiplo de. 8 9 ( ( ) ( ) 9 Págin. g 8., kg 9. dí hors. seg 8. seg L luz recorre km,9 km en un dí.., 9 g.si lo fuer, eistirín, enteros primos entre sí tles que : / ; / ; ; Por lo tnto, serí múltiplo de, número primo,, en consecuenci, tmién lo serí. Es decir, eistirí c tl que: ( ; Y, por lo tnto, c, lo que signific que serí múltiplo de que tmién lo serí, cos que se contrdice con el hecho de que ern primos entre sí..,89, m.si es divisor de n n es un cuo perfecto, eisten enteros tles que: Autoevlución. L representción es l siguiente:. ) A [, ) B (, ) -/,9,8 C [, ) -. Centro ( ) / Rdio B E (). ) Verdder Fls Verdder -

10 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.. ) ( ) ( 8 ). ) ( ). ) 8 c 8 c 8 8 c c c ) 8 9. Por lo tnto, deemos clculr: -8

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