Límites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.

Transcripción

1 y continuidad. Teoremas sobre continuidad. Juan Ruiz 1 Marcos Marvá 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos Introducción 1 Introducción 2 3 4

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4 Introducción Podemos saber qué ocurrió en la que imagen que falta?

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6 Recordatorio sobre ĺımites Definición informal: El ĺımite de f (x) cuando x tiende a c, es igual a L, significa que f (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempre que x esté suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Esto se indica como: ĺım x c f (x) = L o f (x) L cuando x c. Si ĺım x c f (x) = L y L es un número finito, se dice que el ĺımite existe y que f (x) converge a L. Si el ĺımite no existe, se dice que f (x) diverge cuando x c.

7 Recordatorio sobre ĺımites Conviene aclarar que x siempre será cercano a c pero nunca igual. Por lo tanto, no vale únicamente con sustituir x por c. De hecho el valor de f (c) es irrelevante para calcular ĺım x c f (x). Veremos ejemplos en los que f (c) no está definida. x puede aproximarse a c por la derecha o por la izquierda. Utilizaremos la notación: Límite por la derecha: ĺım x c + f (x) cuando x se acerca a c por la derecha. Límite por la izquierda: ĺım x c f (x) cuando x se acerca a c por la izquierda.

8 Ejemplos de ĺımites que existen ĺım x 2 x 2 ĺım x 3 x 2 9 x 3

9 Ejemplos de ĺımites que no existen x ĺım x 0 x 1 ĺım x 0 x 2 ĺım x 0 sin ( ) π x

10 Propiedades sobre ĺımites Sea a una constante y supongamos que ĺım x c f (x) y ĺım x c g(x) existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas: ĺım x c af (x) = a ĺım x c f (x). ĺım x c [f (x) + g(x)] = ĺım x c f (x) + ĺım x c g(x). ĺım x c [f (x) g(x)] = ĺım x c f (x) ĺım x c g(x). f (x) ĺımx c f (x) ĺım x c g(x) = ĺım x c g(x), suponiendo que ĺım x c g(x) 0.

11 Propiedades sobre ĺımites Si f (x) es un polinomio, entonces ĺım f (x) = f (c) x c Si f (x) es una función racional, es decir: f (x) = p(x) q(x) siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 0, entonces p(x) ĺım f (x) = ĺım x c x c q(x) = p(c) q(c) = f (c)

12 infinitos Introducción infinitos en un punto Estos ĺımites están relacionados con la presencia de una asíntota vertical en x = a. ĺım x a f (x) = ± ĺım x a f (x) = ± ĺım x a + f (x) = ± infinitos en el infinito ĺım x ± f (x) = ±

13 finitos Introducción finitos en un punto ĺım x a f (x) = L ĺım x a f (x) = L ĺım x a + f (x) = L finitos en el infinito Estos ĺımites están relacionados con la presencia de una asíntota horizontal: ĺım x ± f (x) = b

14 Ejemplos de cálculo de ĺımites x ĺım 2 4x+3 x 3 x 2 +x 12 x ĺım 2 x+5 x 2 x 2 ĺım x π 2 tg(x) sec(x) ĺım x 4 x 2 x 4 ĺım x 1 ( 1 x 1 2 x 2 1 ĺım x 3x 4 7x+9 7x 4 4 ĺım x 3x 3 7x+9 7x 4 4 ĺım x 3x 8 7x+9 7x 3 4 ĺım x x 3 ĺım x x 3 (Nota: hacer ĺımites laterales.) )

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16 Defnición de continuidad Definición: Se dice que una función es continua en x = c si ĺım f (x) = f (c). x c Para comprobar si una función es continua en x = c, es necesario comprobar las tres condiciones siguientes: f (x) está definida en x = c. Existe el ĺımite ĺım x c f (x). ĺım x c f (x) es igual a f (c). Si falla alguna de las tres condiciones, la función es discontinua en x = c.

17 por la derecha y por la izquierda Definición: Se dice que una función es continua por la derecha en x = c si ĺım f (x) = f (c). x c + y continua por la izquierda en x = c si ĺım f (x) = f (c). x c

18 Combinación de funciones continuas Propiedades Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c. Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c: a f f + g f g. f g con tal de que g(c) 0.

19 Combinación de funciones continuas Teorema Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f (x) es continua en x = L, entonces la función (f g)(c) es continua en x = c. En particular, ĺım (f g)(x) = ĺım f [g(x)] = f [g(c)] = f (L) x 0 x c

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21 Teorema del valor intermedio Teorema Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es un número real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe al menos un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L.

22 Teorema de Bolzano Teorema Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] con f (a) y f (b) no nulos y de signos opuestos. Entonces f (x) tiene algún cero en (a,b).

23 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.