Sección 2.3. # 27. Evalúa el límite, si es que existe. lim

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1 Sección. Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas. Preparado por Dr. Eliseo Cruz Medina Mate 01. Ejercicios resueltos correspondientes al primer eamen parcial. # 7. Evalúa el límite, si es que eiste. lim Podemos ver que el numerador tiende a 0 y que el denominador también tiende a 0 a medida que 16. Qué hacemos en este caso?. Factorizamos el denominador y multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado de - que y obtenemos: ( )( ) lim = lim = = (16 )( ) (16 )( ) 16( 16) # 8 Pruebe que 0 sen( ) lim e = 0 Para resolver este ejercicio utilizamos el Teorema del Sandwich sen( ) 1 1 Tenemos que sen( ) 1 para todo valor de, luego e e e. Multiplicamos ahora dicha desigualdad por ( Para qué?). Como es un número positivo, permanece la desigualdad ( Recuerda si multiplicas por un número negativo tienes que invertir la desigualdad). Así obtenemos: sn( ) e e e. Ahora tenemos que Teorema del Sándwich tenemos que 0 lime 0, lime sen( ) lim e = 0 = =. Luego por el

2 si # 6. Sea f()= -1 si > y lim f ( ), lim f ( ) (a) Halle (b) Eiste lim f ( )? Eplique (c) Grafique f() (a) lim f ( ) = lim( ) = 0 lim f ( ) = lim ( 1) = 1 (b) Concluimos que lim f ( ) no eiste ya que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son diferentes. Sección. #8 Pruebe usando ε y δ que = lim Dado ε > 0 necesitamos encontrar δ >0 tal que si 9- δ <<9 entonces 9-0 < ε Análisis preliminar (adivinando δ

3 Si 9 9 entonces 9- pero δ < < < ε < ε < ε < < ε, añadiendo -9 obtenemos -9 <- < -9 ε, multiplicando la desigualdad por -1(recuerda que debes invertir la desigualdad) obtenemos 9 ε < < 9. Tomamos entonces δ = ε Probamos ahora que el δ encontrado funciona. δ ε ε, añadiendo 9 a 9 < < 9, 9 < > 9, multiplicando por -1 obtenemos -9<-< 9 la desigualdad obtenemos por la definición de límite. < < ε < ε < ε, luego 0 9, 9-9 lim 9 = 0 0 # 1. (a) Encuentre un número δ tal que si < δ, entonces -8 < ε, donde ε =0.1 (b) Repetir el problema cuando ε = (a) 8 = ( ) = < 0.1 <, asi δ = (b) 8 = ( ) = = 0.01 = = 0.005, asi δ =0.005 Sección.5 #. Halle lim tan Sabemos que la función 6 tan es continua (-, ) ( )( ), lim = lim = 6 ( ) Sea f() = tan, g() =. El teorema 8 página 15 nos dice: 6 Si f es continua en b y lim g( ) = b, entonces lim f [ g( )] = f [lim g( )]. Por lo dicho podemos aplicar dicho teorema y tenemos: a a a lim tan tan = 6

4 #5(a) Pruebe que la ecuación ln= tiene al menos una solucion (una raiz) (b) Use su calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0.01 que contenga la la solución. Sea f() = ln -, dicha función es continua en (0, ) f(1) = ln 1 - =-1, f() = ln El Teorema del Valor Intermedio dice: Si f es continua en [a,b] y N es un valor de f entre f(a) y f(b) entonces eiste al menos un valor c en (a,b) tal que N = f(c). En nuestro caso f es continua en [1,] ya que es continua en ( 0, ), f(1) < 0 < f(), luego de acuerdo al teorema al valor 0 de la función le corresponde un valor c en (1,). Por lo tanto Si 0 = lnc c - entonces c (1,). (b) Puedes verificar que f(1.) -0.0 <0, f(1.5) >0, así hay una raíz en (1.,1.5) 9 * Sea f() = 5 Determine donde dicha función es continua. 9 0, 9,,, asi tenemos,o -, por otro lado debemos tener ( ) 5 0, asi 5,-5 Cuál es entonces el dominio de dicha función?.el dominio será (-, 5) ( 5, ] [,5) (5, ) Recuerde toda función es continua en su dominio * Sea la función f ( ) = (a) Halle la derivada de f() (b) Determine el dominio de f() y el dominio de la derivada de f() (c) Halle la ecuación de la recta tangente a f() en = f ( h) f ( ) ( h) (a ) f '( ) = lim = lim. Para encontrar dicho límite h 0 h h 0 h debemos multiplicar por la conjugada del numerador. ( ( h) )( ( h) ) f '( ) = lim h 0 h( ( h)

5 ( ( h) ) ( ) h f '( ) = lim = lim h 0 h 0 h( ( h) ) h( ( h) ) = = (b) Dominio de f() : Debemos tener 0. Así el dominio es [, ) En el caso de la derivada el dominio es (, ), ya que el denominador no puede ser cero (d) Si =, f() =, luego el punto de la gráfica es (,) y la pendiente m = f '() = La ecuación de la recta tangente en dicho punto es y = ( ), y= 1 *Encuentre una función g que coincida con f para y sea continua en todo el eje real f ( ) = Para que sea continua en =, que es donde la función f() no esta definida, debemos tener que lim f ( ) = g(). Hallemos entonces dicho límite. ( )( ) 1 1 lim = lim = lim =. Definimos entonces g() de la siguiente ( )( ) si manera: g() = 1 si = En este caso decimos que f() tiene una discontinuidad evitable en =, pues como el límite eiste en =, redefinimos dicha función en = como su límite. Nota. Los problemas señalados con un asterisco, son problemas que no están en su libro de teto.