En todas las representaciones el valor de la constante a nos indica para donde abre la parábola: abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0):

Transcripción

1 COLEGIO COLOMBO BRITANICO DPTO DE MATEMATICAS TALLER DE FUNCION CUADRATICA Una función cuadrática se puede representar de tres formas diferentes, equivalentes entre si, cada una de las cuales suministra diferente información. En todas las representaciones el valor de la constante a nos indica para donde abre la parábola: abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0): f(x) = ax 2 + bx + c: Nos da el corte con el eje y (0, c) f(x) = a(x h) 2 + k: Nos da las coordenadas del vértice (h, k) f(x) = a(x p)(x q): Nos da los cortes con el eje x (p, 0) y (q, 0) Para hallar el corte con el eje y de cualquier función y = f(x) calculamos f(0), por que las coordenadas de cualquier punto del eje y es de la forma (0, y). En particular en la función cuadrática el corte con el eje y viene dado por (0, c) Para hallar el corte con el eje x de cualquier función y = f(x), resolvemos la ecuación obtenida al hacer y = 0, es decir, de resolver la ecuación f(x) = 0. Esto se debe a que las coordenadas de cualquier punto del eje x tiene la forma (x, 0). Para el caso de la función cuadrática para hallar los cortes con el eje x, y hacer f(x) = 0, obtenemos la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, que se puede resolver usando factorización o usando la formula cuadrática x = b ± b 2 4ac. 2a Las coordenadas del vértice (h, k) se hallan por factorización (completando el trinomio cuadrado perfecto) o usando la formula h = b, para luego evaluar este valor en la función y así encontrar 2a el valor de k, es decir k = f(h). Esto quiere decir que las coordenadas del vértice tiene la forma ( b b, f( )). 2a 2a La grafica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola y es simétrica con respecto a una línea vertical imaginaria, llamada eje de simetría, y que pasa por el vértice. La ecuación de este eje de simetría viene dada por x = h, donde h es la abscisa (valor de x) del vértice. La expresión b 2 4ac que aparece en la formula cuadrática x = b ± b 2 4ac 2a y que recibe el nombre de DISCRIMINANTE, nos da información acerca del número de soluciones que tiene la ecuación cuadrática o del número de cortes que tiene la función cuadrática con el eje x: Caso 1: Si b 2 4ac > 0 entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales diferentes o la función cuadrática tiene dos cortes diferentes con el eje x. Caso 2: Si b 2 4ac = 0 entonces la ecuación cuadrática tiene una sola solución real (repetida) o la función cuadrática tiene un solo corte con el eje x (es el valor de x del vértice de la parábola) Caso 3: Si b 2 4ac < 0 entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales (sus soluciones son complejas y conjugadas entre si) o la función cuadrática no corta al eje x (los valores de la función siempre serán positivos o siempre serán negativos).

2 Dos puntos de una parábola que estén a la misma altura son equidistantes del vértice. Por ejemplo la gráfica dada a continuación se puede expresar matemáticamente de las siguientes formas equivalentes entre sí, cada una de las cuales suministra diferente información: f(x) = 2x 2 + 2x -4. De aquí obtenemos que: a = 2 > 0 por lo tanto la gráfica abre hacia arriba. F(0) = -4, por lo tanto C = -4 es el corte con el eje y: es (0, -4) f(x) = 2(x + ½) 2 9/2 De aquí obtenemos que las coordenadas del vértice son (-1/2, -9/2) f(x) = 2(x 1)(x + 2) De aquí obtenemos los cortes con el eje x: (-2, 0), (1, 0) TALLER 1. sea f(x) = 2x 2 + 4x 6 a) Exprese f(x) en la forma f(x) = 2(x h) 2 + k b) Escriba la ecuación del eje de simetría de la gráfica de f c) Exprese f(x) en la forma f(x) = 2(x p)(x q) 2. Sea f(x) = 5 x 2. La siguiente figura muestra una parte del grafico de f.

3 El grafico corta al eje x en los puntos A y B a) Halle la coordenada x de A y de B b) Escriba las coordenadas del corte con el eje y c) Escriba la ecuación f(x) en la forma f(x) = ax 2 + bx + c d) Halle las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría 3. Sea f(x) = 3x 2. La grafica de f es trasladada una unidad a la derecha y dos unidades hacia abajo. La grafica de g es la imagen de la gráfica de f después de esta traslación. a) Escribir las coordenadas del vértice de la gráfica de g. b) Expresar g en la forma g(x) = 3(x p) 2 + q La grafica de h es la reflexión de la gráfica de g en el eje x c) Escribir las coordenadas del vértice de la gráfica de h 4. La siguiente figura muestra una parte de la gráfica de una función cuadrática f Los puntos de intersección con el eje x son (-4, 0) y (6, 0), y el punto de intersección con el eje y es (0, 240). a) Escriba f(x) de la forma f(x) = -10(x p)(x q) b) Halle otra expresión para f(x), de la forma f(x) = -10(x h) 2 + k c) Compruebe que f(x) también se puede escribir de la forma f(x) = x 10x 2 Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, de forma que su velocidad v ms -1, en el instante t segundos, viene dada por la expresión v = t 10t 2, para 0 t 6. d) (i) Halle el valor de t en el cual la velocidad de la partícula es máxima (ii) Si la aceleración de la partícula viene dada por a = 20 20t, Halle la aceleración de la partícula cuando su velocidad es igual a cero. 5. Sea f(x) = p(x q)(x r). A continuación se muestra una parte de la gráfica de f.

4 La grafica pasa por los puntos (-2, 0), (0, -4) y (4, 0) a) Escriba el valor de q y de r b) Escriba la ecuación del eje de simetría c) Halle el valor de p 6. Sea la función y = d(x-m) 2 +p, cuyos x intercepto son (1, 0) y (5, 0) y cuyo vértice es V(m, 2). Hallar los valores de m, p y d. 7. Sea f(x) = 3x 2 6x + p. La ecuación f(x) = 0 tiene dos raíces guales. a) (i) Escriba el valor del discriminante (ii) A partir de lo anterior, muestra que p = 3 El vértice del grafico de f está situado sobre el eje x. b) Halle las coordenadas del vértice del grafico de f c) Escriba la solución de f(x) = 0 d) La función se puede escribir de la forma f(x) = a(x h) 2 + k. Escriba el valor de (i) a (ii) h (iii) k e) El grafico de la función g se obtiene a partir del grafico de f, mediante una simetría de f respecto al eje x, seguida de una traslación por el vector ( 0 6 ). Halle g, de la forma g(x) = Ax2 + Bx + C. 8. La siguiente figura muestra la gráfica de una función cuadrática f, para 0 x 4. La gráfica pasa por el punto P(0, 13), y el vértice es el punto V(2, 1). a) La función se puede escribir de la forma f(x) = a(x -h) 2 + k (i) Escriba el valor de h y el de k (ii) Compruebe que a = 3 b) Halle f(x); exp`rese la respuesta en la forma Ax 2 + Bx + C 9. La función tiene f(x) = x 2 2kx +1 tiene dos cortes con el eje x. Encontrar el conjunto de todos los posibles valores de k. 10. La función cuadrática f(x) = kx 2 + (k 3)x + 1 tiene dos raíces reales iguales (un solo corte con el eje x) a) Encontrar los posibles valore de k b) Escribir los valores de k para los cuales la función f(x) = x 2 + (k-3)x +k tiene dos raíces reales iguales.

5 11. Considere dos funciones cuadráticas distintas, ambas de la forma f(x) = 4x 2 qx El gráfico de cada función tiene su vértice sobre el eje x. a) Halle los valores de q b) Para el mayor valor de q, resuelva f(x) = 0 c) Halle las coordenadas del punto de intersección entre las dos gráficas. 12. Considerar f(x) = 2kx 2 4kx + 1, para k 0. La ecuación f(x) = 0 tiene dos raíces iguales. a) Encontrar el valor de k b) La línea y = p intersecta la gráfica de f. Encontrar todos los posibles valores de p. 13. Considere la ecuación x 2 + (k 1)x + 1 = 0, donde k es un número real. Halle los valores de k para los cuales la ecuación tiene dos soluciones reales iguales. PROBLEMAS 1. Un negocio vende n sillas, n 50, a un precio de (50 0.1n) dólares cada uno. Cuántas sillas deben venderse para obtener un ingreso de $660 dólares? Nota: Ingreso = # artículos vendidos x Valor de cada articulo 2. El doble del cuadrado de un numero positivo aumentado en tres veces el numero original es igual a 27, Determine el número. 3. El largo de un jardín rectangular es 1 metro menor que el triple de su ancho. Si el área del jardín es de 24 metros cuadrados, determine el largo y el ancho. 4. Jhon, un fotógrafo profesional, tiene una fotografía de 6 por 8 pulgadas, y desea reducir la misma cantidad de cada lado, de modo que la fotografía resultante tenga la mitad del área de la fotografía original. En cuánto debe reducir cada lado? 5. Simón tiene un jardín de 12 por 9 metros, y quiere construir un camino de grava de ancho uniforme por la parte interior del jardín y a lo largo de cada lado, de modo que el espacio resultante tendrá la mitad del área del jardín original. Qué ancho tendrá el camino de grava? 6. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares, es una función del precio de alquiler de las cintas t. La ecuación de utilidad es P = 0.2t t 1.2, 0 t 5. a) Si la tienda cobre $3 dólares por cinta, Cuál es la utilidad semanal de la tienda? b) Si cobra $5 por cinta, Cuál es la utilidad semanal? c) Cuál debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semana nl seda de $1600? d) Haga un gráfico de la función.

6 7. LA longitud de una pieza rectangular de cartón es 2 pulgadas mayor que su ancho. Se forma una caja abierta como se ve en la figura, cortando cuadrados de 4 pulgadas en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. El volumen de la caja debe ser 672 pulgadas cubicas. Calcule las dimensiones del cartón original. 8. Supongamos que se dispone de 60 metros de cerca para rodear un huerto rectangular, uno de cuyos lados será la pared de una casa. Con qué dimensiones el huerto tendrá área máxima?. 9. El departamento de ventas de la empresa TENRAQ ha determinado que, en promedio, se venden 60 raquetas de tenis mensualmente a un precio unitario de $ 100 dólares. También ha determinado que por cada reducción de $5 dólares en el precio se venden 50 raquetas más al mes. Con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? 9. Cada punto Q entre los extremos del segmento OT determina un rectángulo PQRS, como m nuestra la figura. Si x = OP, escriba el área de ese rectángulo como A(x), una función de x. Determine las coordenadas de Q que producen el rectángulo con área máxima. 10. Se calcula que asistirán espectadores a un juego de básquet si la entrada cuesta $ 7 dólares. Por cada 25 centavos más sobre ese precio la concurrencia bajará en 280 personas. Qué precio de admisión producirá los ingresos máximos?. 11. Cada punto P del segmento de recta entre los extremos (0, 4) y (2, 0) determina un rectángulo cuyas dimensiones son x por y, como se ilustra en la figura. Determine las coordenadas de P que produzcan el rectángulo de área máxima.

7 12. Cada punto P(x, y) del segmento de recta entre (0, 0) y (5, 7) determina un rectángulo. Exprese el área del rectángulo en función de x. Determine las coordenadas de P que produzcan el área máxima. Cuál es el área máxima? RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES 1. P 4 + 2P 2 = (2W + 1) 2 16(2W + 1) + 15 = 0 3. X 2/5 + X 1/5 6 = P - P 10 = 0 5. (X 2 + 2X 2) 2-7(X 2 + 2X -2) + 6 = 0 PROBLEMAS DE PROFUNDIZACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones. a) Halle las condiciones que debe cumplir α y β para que: (i) El sistema no tenga ninguna solución (ii) El sistema tenga solo una solución (iii) El sistema tenga un número infinito de soluciones. Halle la solución general del sistema en forma cartesiana. 2) En los siguientes sistemas determinar para que valores del parámetro a, el sistema es (i) inconsistente, (ii) consistente con solución única, (iii) consistente con infinitas soluciones: a) x + y z = 2 b) ax 2y + z = 1 c) 2x - y - az = 0 x + 2y + z = 3 x + ay + 2z = a x y 2z = 1 2 x + y + ( a -5) z = a x + z = 1 -x + 2y = a 3) Use sustitución para hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones: a) y = x 2-2y b) x 2 + y 2 = 25 c) x 2 - y 2 = 1 d) x y = 4 x 2 + 5y = 29 y = 2x 2x 2 y 2 = x + 3 x y = 12