OPTICA GEOMÉTRICA LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION

Transcripción

1 OPTICA GEOMÉTRICA LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION En el primer capítulo hemos visto como una perturbación electromagnética se propaga en el vacío, de acuerdo con la ecuación diferencial de la onda, con una velocidad c m/s; también sabemos que velocidad de propagación de la onda, longitud de onda y frecuencia están relacionadas entre sí a través de la ecuación: c = l n () la cual permite, obviamente, infinitos valores de ondas electromagnéticas cuyas características satisfacen la ecuación (). l y n ; de hecho hay una gran variedad de Al conunto de estas ondas se le llama espectro electromagnético; dado el enorme rango de variación de la longitud de onda el espectro electromagnético está representado en la Figura en escala logarítmica. Frecuencia, Hz Corriente Alterna Microondas Rayos gamma Visible Rayos X AM FM T.V. Radio Infraroo Ultravioleta Longitud de onda, m Figura. Diagrama del espectro e.m. en escala logarítmica. Como está señalada en la Figura una muy pequeña porción del espectro e.m. corresponde a la luz visible o sea a las ondas e.m. que pueden ser percibidas por el oo humano; son aquellas

2 cuyas longitudes de onda están comprendidas en el intervalo Å Å ( Å = angström = 0 0 m) y correspondientemente sus frecuencias son del orden de 0 4 Hz.. Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar. Narana Roo Infraroo Longitud de onda λ EN A Figura. Longitudes de onda de la porción del espectro e.m. correspondiente a la luz visible. La Figura muestra un diagrama de la luz visible y de los colores percibidos por el oo humano asociados a las diferentes longitudes de onda. En este capítulo y en el próximo nos ocuparemos de los fenómenos conexos a la porción del espectro e.m. correspondiente a la luz visible es decir desarrollaremos esa parte de la física normalmente llamada óptica. Si bien la luz sea una onda e.m. y por lo tanto sea capaz de rodear los obstáculos ( ), en nuestras observaciones cotidianas podemos ver que, en la mayoría de los casos, la luz se propaga en forma rectilínea; para tal fin basta observar las sombras bien definidas proyectadas por los obetos o la trayectoria de la luz que entra en una habitación oscura a través de un hueco en los póstigos de la ventana. La óptica geométrica analiza precisamente los fenómenos luminosos y los sistemas ópticos para los cuales pueda considerarse válido el principio de propagación rectilínea de la luz. Para estos fenómenos y estos sistemas ópticos reemplazaremos entonces las ondas luminosas con los rayos entendiendo como rayos a las direcciones de propagación de los frentes de onda. ( ) La capacidad de la luz para rodear los obstáculos fue observada por primera vez por Grimaldi, cuyos estudios fueron publicados en 665, sin embargo la experiencia común es que, normalmente, la luz se propaga en forma rectilínea; los fenómenos en los cuales la desviación de la luz (difracción) se hace evidente, deben tratarse mediante un formalismo ondulatorio y señalan el límite entre la óptica geométrica y la óptica física.

3 3 La Figura 3 muestra los frentes de onda y los correspondientes rayos para los casos de ondas luminosas que se propagan por ondas esféricas a partir de una fuente puntual o por ondas planas a partir de una fuente puntual localizada en el infinito. S λ Figura 3. Frentes de ondas y rayos luminosos para dos diferentes situaciones. PRINCIPIO DE FERMAT Como hemos dicho en repetidas ocasiones, la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas y por lo tanto de la luz es c = m/s en el vacío; observaciones experimentales realizadas a partir de los inicios del siglo XIX (Fizean, Foucault, etc...) y medidas posteriores han demostrado que en diferentes medios de propagación (agua, vidrio, plástico...) la luz tiene diferentes velocidades menores que c ; podemos entonces definir un número n que llamaremos índice de refracción del medio de propagación de manera que si v es la velocidad de propagación de la luz en el medio, sea: n v = c ó n = c / v () Así si tenemos diferentes medios en los cuales la luz se propaga con velocidades v, v... v i podremos asociar a esos medios diferentes índices de refracción de modo que: n v = n v = n v =... = n v = c (3) 3 3 i i

4 4 Consideremos ahora un haz de luz que se propaga en un medio de índice de refracción n con velocidad v = c ; después de un tiempo n t habrá recorrido una distancia AB = S dada por: AB = S = v. t (4) En el mismo tiempo t un haz de luz, en el vacío, recorrería una distancia A0 B0 = S0 > S dada por: A0 B0 = S0 = c. t (5) Teniendo en cuenta la relación (): A B = S = n. v t = n. AB = n. S (6) A la distancia n. S = D la denominamos camino óptico. El concepto de camino óptico es obviamente útil para comparar trayectorias luminosas recorridas en distintos medios que, de otra manera, no serían comparables dado que en cada medio la luz se propaga con diferente velocidad; en cambio los diferentes tramos de trayectoria pueden compararse a través de los caminos ópticos asociados, dado que éstos corresponden a trayectorias todas recorridas en el vacío. Así por eemplo, si un haz de luz recorre tramos de trayectoria de longitudes S, S, S 3... S i en medios de índices de refracción n, n, n 3... n i respectivamente (Figura 4). S S S 3 S 4 S 5 S i n n n 3 n 4 n 5 n i Figura 4. Trayectoria de un haz de luz de tramos S, S,... S i recorridos en medios de índices de refracción n, n,... n i.

5 5 La longitud total de la trayectoria será: L = S + S + S Si = i Si (7) pero el camino óptico total estará dado por: D = n S + n S + n3s ni Si = ni Si (8) i El camino óptico D corresponde a la longitud de la trayectoria que la luz recorre, en el vacío, en el mismo tiempo que emplea para recorrer la trayectoria de longitud L en los medios de índices de refracción n, n,... n i. Volvamos ahora a considerar un haz de luz (ver Figura 3.4) que se propaga desde A hasta B atravesando varios medios de diferentes índices de refracción; es evidente que es posible imaginar muchas o más bien infinitas trayectorias que unen los puntos A y B ; el principio de Fermat nos permite establecer cuál de todas las trayectorias imaginables es la que efectivamente recorre el haz de luz. El principio de Fermat afirma que: La trayectoria real de un haz de luz es la que se asocia al camino óptico máximo, mínimo o estacionario. Con relación al caso ilustrado en la Figura 4 este principio nos dice que de todas las trayectorias que pueden trazarse entre los puntos A y B la que realmente recorre la perturbación luminosa es la que cumple con la relación: D D = D n i S i = 0 (9) i LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION Las leyes de reflexión y refracción de la luz tienen indudables fundamentos experimentales, sin embargo es posible obtenerlas por vía analítica utilizando el principio de Fermat.

6 6 Consideremos, por eemplo, un haz de luz que se propaga desde el punto A hacia el punto B refleándose sobre un espeo plano. A h θ θ θ θ B h M X P l N Figura 5. APB es una de las posibles trayectorias para un haz de luz que se propaga desde A hacia B refleándose sobre el espeo. Evidentemente podemos imaginar infinitas trayectorias para el haz de luz y es claro que éstas dependen del punto del espeo en el cual pensemos vaya a reflearse el haz; de manera que si determinamos la posición del punto P habremos determinado la trayectoria real. Con relación a la Figura 5, si trazamos las perpendiculares al espeo desde los puntos A, B e indicamos con M, N los pies de esas perpendiculares, podemos identificar la posición del punto P a través de su distancia x con respecto al punto M. Si ponemos AM = h, BN = h, MN = l entonces MP = x y PN = l x de manera que la longitud de la trayectoria del haz de luz será: ( l ) L = AP + PB = h + x + h + x mientras el camino óptico asociado a la trayectoria será: ( l ) D = n L = n h + x + n h + x. siendo n el índice de refracción del medio en el cual este sumergido el espeo.

7 7 Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea del valor de x, podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, es decir imponiendo la condición: d D nx = dx h + ( l x) + ( l x) n + x h = 0 de donde obtenemos: x l x = h x h + + ( l x) relación que es equivalente a la siguiente: MP AP PN = y entonces: senq = senq PB relación ésta que solamente puede cumplirse cuando q incidencia y de reflexión son iguales. = q o sea cuando los ángulos de Lo anterior implica entonces que la trayectoria real del haz de luz es la que se asocia a la condición d D = 0 (principio de Fermat) y que esta condición se satisface cuando q = q dx (ley de reflexión). De la misma forma podemos obtener la ley de SNELL para la refracción. Consideremos, por eemplo, el caso de un haz de luz que se propaga desde el punto A situado en un medio de índice de refracción n hacia un punto B situado en un medio de índice de refracción n ; en este caso tambié n podemos imaginar infinitas trayectorias las cuales difieren por la posición del punto P sobre la interfase en la cual incide la luz (Figura 6).

8 8 A θ h θ P n M θ θ N h n X l B Figura 6. APB es una de las posibles trayectorias para un haz de luz que se propaga desde A hacia B atravesando la interfase entre dos diferentes medios de propagación. La longitud de la trayectoria calculada con base en la Figura.6 será: ( l ) L = AP + PB = x + h + x + h y correspondientemente el camino óptico: ( l ) D = n x + h + n x + h Para determinar la trayectoria real introduzcamos la condición impuesta por el principio de Fermat:

9 9 d D = dx n x x + h + n ( l x) ( l x) + h = 0 de donde obtenemos: n x x + h = n l x ( l x) + h o sea : n senq = n senq (Ley se Snell) (0) Otra consecuencia importante del principio de Fermat es el principio de reversibilidad; con relación a la Figura 7, dicho principio establece que si T es la trayectoria que, de acuerdo con el principio de Fermat, recorre un haz de luz que se propaga desde A hacia B, esa misma trayectoria T es la que recorre la luz que se propaga desde B hacia A. n n n n n S S S 3 S 4 S 5 Figura 7. La trayectoria real de un haz de luz es independiente del sentido de propagación. 3 Reflexión total Consideremos dos medios de índices de refracción n, n (con n > n ), y supongamos que una fuente de luz esté localizada en el medio de mayor índice de refracción; nos proponemos analizar qué ocurre cuando la luz incide sobre la interfase entre los dos medios. De acuerdo con la ley de Snell, n senq = n senq y dada la condición n > n, el ángulo de refracción q resulta siempre mayor que el ángulo de incidencia q ; esto implica que existe un valor

10 0 q lim para el ángulo de incidencia para el cual resulta q refractado es paralelo a la interfase. = p o sea para el cual el rayo Rayos refractados θ El rayo refractado roza la superficie No hay rayo refractado n θ θ Reflexión Interna total θ lim n Figura 8. Reflexión total. Los rayos que inciden sobre la interfase con ángulos mayores que q lim se reflean en el medio de índice de refracción n > n. Es fácil ver que para ángulos de incidencia mayores de q lim, la ley de Snell daría para el senq valores mayores de, lo cual naturalmente es imposible. Qué ocurre entonces con los rayos que inciden bao ángulos θ > θ lim? Experimentalmente se observa que estos rayos se reflean completamente en el medio de índice de refracción n, o sea que la interfase (para esos rayos) se convierte en un espeo perfecto, en el sentido que la luz no puede transmitirse al medio de índice de refracción n.

11 Es obvio que el valor del ángulo límite para la reflexión interna total (así se llama este fenómeno!) puede calcularse fácilmente con la condición que si q = q lim entonces q = p ; esta condición reemplazada en la ley de Snell para la interfase considerada nos da: n sen () q lim = n Por eemplo si la fuente luminosa está localizada en el vidrio ( n =. 5), solamente saldrán al aire ( n ) aquellos rayos que inciden sobre la superficie de separación con ángulos inferiores a: q lim = sen = Los rayos que inciden con ángulos superiores a 48. se reflearán en el vidrio. 4. PRISMAS El prisma es un sistema óptico formado por dos superficies planas que se cortan formando un ángulo a y que separan medios de diferentes índices de refracción. α n n n 3 Figura 9. Esquema de un prisma. El prisma es, después de los lentes, el sistema de más amplia utilización en los aparatos ópticos dado que puede funcionar como dispersor o reflector.

12 4. Dispersión de la luz. En la sección observamos que la velocidad de la luz en los diversos medios de propagación tiene diferentes valores siempre inferiores a c m/s, que es la velocidad de la luz en el vacío. Teniendo en cuenta este hecho experimental definimos el índice de refracción n asociado a cada medio de propagación de manera que: c n = () v Siendo v la velocidad de la luz en el medio de propagación considerado. Sin embargo si se analiza con más precisión la propagación de la luz en los diferentes medios se llega a la conclusión que mientras la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las frecuencias que componen el espectro de la luz visible, la velocidad en una sustancia material es distinta para las diferentes frecuencias. De acuerdo con la relación (), lo anterior implica que el índice de refracción de una sustancia depende de la frecuencia de la radiación incidente. n = n( n ) (3) siendo menor para las frecuencias más baas y mayor para las frecuencias más altas. Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de la luz visible) sobre un prisma, de conformidad con la ley de Snell, las diferentes frecuencias componentes sufrirán diferentes desviaciones, siendo la luz violeta la más desviada y la luz roa la menos desviada, de manera que, a la salida del mismo, la luz se abre en forma de abanico de colores o, como se dice, forma un espectro de dispersión en el cual es posible identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferentes colores) presentes en el haz incidente.

13 3 α n n n n < n Figura 0. Dispersión de un prisma. 4. Desviación producida por un prisma. Consideremos un rayo de luz que incide bao un ángulo sobre la cara de un prisma; sea n el índice de refracción del prisma, a su ángulo en el vértice y supongamos que el prisma esté sumergido en el aire. Se define como desviación del prisma al ángulo entre la dirección del rayo incidente y la dirección del rayo emergente por la segunda cara. Las observaciones experimentales muestran que variando el ángulo de incidencia varía la desviación producida por el prisma y que hay un valor de para el cual ocurre la mínima desviación entre los rayos incidente y emergente; con relación a la Figura, en la cual el prisma tiene forma de triángulo isósceles, la desviación mínima ocurre cuando el rayo al interior del prisma es paralelo a la base o sea cuando = y =. 4 3 Cuando se logra esta situación se dice que el prisma está en condiciones de desviación mínima. Esta situación es muy ventaosa porque puede utilizarse el sistema para determinar, con gran precisión, el índice de refracción de cualquier material con el cual se construya o se rellene el prisma; veamos como esto sea posible.

14 4 A α n ϕ P ϕ S ϕ δ 3 Q ϕ 4 R B C Nota: Las líneas narana son prolongaciones de los rayos incidente y emergente. Las líneas azules son las rectas normales a las superficies de entrada y salida. Figura. Desviación producida por un prisma. Analizando la Figura es fácil ver que SPQ $ = y SQP $ = ángulo de desviación d, adyacente externo al triángulo SPQ, resulta ser: 4 3, de manera que el d = (4) Por otra parte la suma de los ángulos internos del cuadrilátero APRQ debe ser igual a p, es decir: PAQ $ + AQR $ + QRP $ + RPA $ = a + p p + ( p 3 ) + = p de donde: a = + 3 (5) y reemplazando en la (4):

15 5 d = + 4 a (6) Dado que queremos encontrar el valor de para el cual d ecuación (6) de manera que: = dmin podemos diferenciar la d d = d + d 4 = 0 de donde d = d 4 (7) Por otra parte diferenciando la (5) y teniendo en cuenta que a es fio: d + d 3 = 0 de donde d = d 3 (8) La ley de Snell aplicada en el punto P se escribe (si el prisma está sumergido en aire): sen = n sen que diferenciada nos dará: cos. d = n.cos. d (9) La misma ley de Snell aplicada en Q : y diferenciando: n.sen = sen 4 n cos. d = cos. d (0) Dividiendo la (9) por la (0) y teniendo en cuenta las relaciones (7), (8): cos cos 4 = cos cos 3 o sea: sen sen 4 = sen sen 3 ()

16 6 De acuerdo con la ley de Snell sen la ecuación () puede reescribirse así: = sen n y sen 3 = sen n 4, por lo tanto sen sen 4 = n sen n sen 4 () El valor de que satisface esta última ecuación es evidentemente el que conduce a la situación d = dmin deseada; para n la ecuación () solamente puede satisfacerse si = y por consiguiente =, de manera que el prisma se encuentra en condiciones 4 3 de desviación mínima cuando el ángulo de incidencia en la primera cara es igual al ángulo de refracción en la segunda cara, o sea cuando el rayo al interior del prisma es paralelo a la base. Esta situación está ilustrada en la Figura. A α n δ δ = Min ϕ P ϕ ϕ 3 Q ϕ 4 B C Nota: Las líneas narana son prolongaciones de los rayos incidente y emergente. Las líneas azules son las rectas normales a las superficies de entrada y salida. Figura. Prisma en condiciones de desviación mínima. Esto ocurre cuando = 4 y = 3 lo que implica

17 7 PQ // BC dado que APQ $ = AQP $ p p = = 3. Cuando el prisma está en condiciones de desviación mínima las ecuaciones (5), (6) se simplifican así: a = y d = d = a min de donde obtenemos: = a (3) = d min + a (4) Recordando la aplicación de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma: n = sen sen Se obtiene: n = d min + a sen sena (5) ecuación que permite el cálculo del índice de refracción de la sustancia de la que está hecho el prisma a través de la medición precisa del ángulo al vértice y del ángulo de desviación mínima. 4.3 Prismas de reflexión total El fenómeno de reflexión interna total tiene interesantes aplicaciones para los prismas que se utilizan para reflear la luz en muchos aparatos ópticos (binoculares, cámaras fotográficas, etc...). Esta utilización de los prismas reflectores (ilustrada en dos casos simples en la Figura 3) es ventaosa con respecto a la utilización de los espeos porque un prisma utilizado en condiciones de reflexión total reflea el 00% de la luz incidente, lo que no puede lograrse con ninguna

18 8 superficie metálica; además las propiedades reflectantes son permanentes mientras la reflexión de los espeos se altera con el tiempo por deslustrado de la superficie reflectora a) (b) Figura 3. Prismas reflectores. a) Prisma de reflexión total b) Prisma de Porro. La Figura 3 muestra dos casos típicos de prismas reflectores en los cuales la luz ingresa al prisma sin sufrir desviación debido a la incidencia normal y luego se reflea totalmente una o dos veces porque incide sobre la interfase con un ángulo de 45 mayor del ángulo límite para la reflexión total cuyo valor es 48. si el prisma estuviera hecho de vidrio.