CAPITULO 2 CONTROLADORES PID

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1 CAPITULO CONTROLADORES PID. INTRODUCCIÓN El ontrol automátio de un roeo requiere de un itema que ajute automátiamente una variable del roeo ara mantener otra dentro de límite etableido. Una de la forma má omune de ontrolar un roeo e utilizar un itema de ontrol or retroalimentaión, o de lazo errado. En ete e mide, la variable que e quiere ontrolar; eta mediión va retroalimentada al ontrolador ara omararla on el valor deeado, y determinar la orreión neearia, en ao de que exita alguna diferenia entre u valor atual y el valor deeado. El omortamiento del itema de ontrol e evaluado on bae en la araterítia de la reueta en el tiemo de la variable ontrolada. Ete omortamiento deende del tio de roeo, del tio de ontrolador y de la forma en que e ajutado ara roduir una determinada eñal de ontrol. La relaión que exite entre la eñal de alida de un ontrolador y el error en la variable ontrolada (diferenia entre el valor deeado y el valor intantáneo de la variable ontrolada) e denomina Aión de Control. Por lo tanto, un ontrolador tendrá una aión de ontrol dada or eta relaión. Comerialmente exiten ontroladore que ueden tener una de la iguiente aione: Tabla.. Aione de lo Controladore Comeriale.

2 BB MBoB Proorional (P) Aión de Control Proorional má Integral (PI) Proorional má Derivativo (PD) Proorional má Integral má Derivativo (PID) Do Poiione (ON OFF) Eta aione on la que normalmente enontramo en un ontrolador, in embargo, el emleo de ontroladore rogramable y dioitivo de ontrol omutarizado ermiten la rogramaión de aione de ontrol diferente a la menionada anteriormente.. MODO DE CONTROL PROPORCIONAL L G l U - e m F G Gv G C O H Figura.. Diagrama de Bloque General de un Lazo de Control or Retroalimentaión. Un ontrolador de aión roorional uede er derito or la iguiente euaión: m t M e t 0 (.) Donde: m : Señal de alida del ontrolador (riable Maniulada). : Ganania roorional (arámetro ajutable). : Señal de alida del ontrolador uando el error e ero (normalmente e le onoe omo Bia ).

3 e(t) : Error. De la E.., e uede deduir que en un ontrolador de aión roorional la eñal de alida del ontrolador (eñal de ontrol) e roorional al error. Al aliar tranformada de Lalae a diha euaión e tiene omo reultado la funión de tranferenia rereentada en la E.., ara un ontrolador de aión roorional: M G e (.) Al igual que la ganania del roeo, la ganania roorional generalmente e exrea orentualmente. Sin embargo, muho ontroladore tienen el ajute roorional exreado en funión de la banda roorional, la ual uede definire omo el orentaje de variaión en la variable ontrolada que hae que la eñal de alida del ontrolador ambie dede 0 % a 00 %, omo e oberva en la euaión.4. Para ilutrar mejor el oneto de banda roorional uonga el iguiente ejemlo: En un roeo, on un itema de ontrol de temeratura, la temeratura uede variar entre 0 C y 00 C. Con un ontrolador de temeratura que regula el flujo de agua de enfriamiento al roeo, e mantiene la temeratura en 60 C (valor deeado). El ontrolador eta ajutado de forma tal que uando la temeratura llega a 40 C la válvula de agua de enfriamiento etá omletamente errada; y uando la temeratura llega a 80 C, la válvula etá omletamente abierta. Cuál e la banda roorional?. El orentaje de variaión en la variable ontrolada, obre el ual oera el ontrolador e: x % B x 00 y y (.3) donde:

4 x : riaión de la eñal de entrada. y : riaión de la eñal de alida x : Rango de entrada. y : Rango de alida. Calulando e tiene: % B 00 50% 00 0 Se tiene que ete 50% de variaión rodue una variaión de 00% en la eñal de alida del ontrolador; luego, la banda roorional e de 50%. También: % B 00 (.4) En la figura., e rereenta gráfiamente la banda roorional obtenida: Figura.. riaión de la Señal de Salida. Tanto la banda roorional omo la ganania on de uo omún, in embargo, en ete aítulo, e utilizará la ganania roorional omo el ajute roorional.

5 A ontinuaión e etudiará el efeto de la aión de ontrol roorional obre la araterítia de la reueta de lazo errado... Proeo de rimer orden. Tomando omo ejemlo el roeo motrado en la figura.3. Para imlifiar el etudio e reume que el roeo e de rimer orden, y que la funión de tranferenia del tranmior de temeratura y la válvula del vaor on iguale a uno. Figura.3. Calentador. El diagrama de bloque ara ete ejemlo orreonde al motrado en la figura.3a. Figura.3a. Diagrama de bloque del itema de ontrol del alentador. La funión de tranferenia ara ete ao, e: T G G Gv G Gv G H (.5)

6 Como e reumió que la funión de tranferenia ara el tranmior y ara la válvula e de, e deir, Gv H e tiene: T G G G G (.6) Con la que e obtiene el diagrama de bloque de la figura.3b ( ) e ( ) T ( ) G G - Figura.3b. Diagrama de bloque on Gv y H. Sutituyendo lo arámetro en ada una de la funione, e obtiene: G y G T (.7) Eta e la funión de tranferenia de lazo errado del ejeriio del alentador, imlifiando e tiene: T ( ) dividiendo el numerador y denominador or, reulta:

7 T N D (.8) Donde N e la ganania de lazo errado y D e la ontante de tiemo de lazo errado. Oberve que a lazo errado la ontante de tiemo del itema e menor, debido a que la ontante e mayor. Como e uede obervar el orden de la funión de tranferenia de lazo errado e el mimo que el de la funión de tranferenia de lazo abierto. Debido a que e un número oitivo, la ontante de tiemo de lazo errado, D iemre erá menor que la ontante de tiemo de lazo abierto. De ete modo, el itema de lazo errado reonderá má ráidamente que el itema de lazo abierto. Por otro lado, la ontante de tiemo de lazo errado diminuye a medida que la ganania del ontrolador aumenta. Aí, que una mayor ganania del ontrolador imlia una reueta má ráida. La ganania de lazo errado, N relaiona lo ambio en la variable ontrolada T on lo ambio en el valor deeado. Uando el alentador de la figura.3, omo ejemlo, e obervará uál erá la variaión en la temeratura T, i el valor deeado e inrementa en 0 C en forma ealón. De la euaión.8 e tiene: T 0 Sutituyendo or u valor: e tiene:

8 T 0 La variaión final de la variable ontrolada T on reeto al nuevo valor deeado e: T ( ) Lim T 0 Lim 0 0 (.9) T 0 0 (.0) Si BBBB > T > 0. Como e uede obervar el ambio de la variable ontrolada deende de la ganania del ontrolador. En la figura.4 e muetra la reueta del alentador (donde e reume un omortamiento de rimer orden) ara diferente valore de. El valor deeado iniial etá fijado en 60 C. La diferenia entre el ambio en el valor deeado, ambio en la variable ontrolada e onoe omo error. e 0 C - T C (.) Sutituyendo:

9 e 0º C 0º C Para e 0 Se oberva que el error olamente etá determinado or la ganania del ontrolador y or la araterítia de etado etaionario del roeo. La dinámia del roeo no tiene efeto obre el error. Como e muetra en la figura.4, al inrementar la ganania del ontrolador e diminuye el error. El error ería ero úniamente uando or ete e die que la aión de ontrol roorional no elimina el error Reueta de Primer Orden,5 5 7,5 0,5 Tiemo t (min) Figura.4. Reueta de un Proeo de Primer Orden, on Aión de Control Proorional, ara un ambio en la referenia. De la urva de reueta de la figura.4, e uede obervar que aumentando la ganania del ontrolador, diminuye el error y la reueta e hae má ráida, iendo eta do ondiione deeable. Eto ugiere que la ganania del ontrolador debería ajutare lo má alto oible. Deafortunadamente eto olamente e ierto ara lo roeo de rimer orden. En roeo de orden mayor, el aumento de la ganania del ontrolador rodue otro efeto que limitan lo valore aetable de... Proeo de egundo orden

10 La figura.5 muetra el diagrama de bloque de un roeo de egundo orden on aión de ontrol roorional. De la mima forma que en el ao anterior, el diagrama de bloque e obtiene, haiendo Gv H. Figura.5. Diagrama en bloque de un itema de egundo orden. En ete ao, la funión de tranferenia de lazo errado, on reeto al valor deeado e obtiene de la iguiente manera: ( )( ) ( )( ) C (.) ( )( ) C (.3) reolviendo el denominador de la funión de tranferenia: ( ) C (.4) dividiendo toda la exreión or e tiene: C C (.5)

11 El termino: e la ganania del lazo errado, y e igual a la exreión obtenida en el ao anterior en un roeo de rimer orden, lo ual onfirma que el error (off-et) no e afetado or la reenia de una egunda ontante de tiemo en la funión de tranferenia (no deende de la dinámia del roeo). Solamente deende de la ganania del ontrolador BB. El efeto de la ganania del ontrolador obre la veloidad de reueta y obre la etabilidad del lazo de ontrol e uede deduir, analizando el denominador de la funión de tranferenia de egundo orden que tiene la forma general, omo e muetra a ontinuaión X Y G δ De auerdo a lo término del denominador e igualando e obtiene:ç > Contante de tiemo en lazo errado (freuenia de reonania) δ ( ) δ (.6) ( ) ( ) δ (.7)

12 aumenta. aumenta, Donde: δ : Coefiiente de amortiguamiento. La euaione anteriore muetran que la ontante de tiemo de lazo errado BB, al igual que en el ao anterior del ontrol de un roeo de rimer orden, e funión de la ganania del ontrolador. A medida que BB BB e menor, or lo tanto, la reueta del lazo de ontrol e má ráida. Al analizar la euaión.7, e oberva que un aumento de la ganania del ontrolador, rodue una diminuión en el valor del oefiiente de amortiguamiento δ. En el unto anterior e etableió que la etabilidad de un itema o roeo de egundo orden etá etrehamente relaionada on el valor de δ. En artiular, e vio que 0 < δ <, la reueta ería ubamortiguada. La oilaione y el obreimulo de la reueta del lazo de ontrol erán mayore a medida que BB Como e vio anteriormente eto limita el valor máximo de BB. En la figura.6 e ueden obervar la urva de reueta del itema de ontrol, del roeo de egundo orden equematizado en la figura.5, frente a una erturbaión tio ealón unitario en el valor deeado, ara diferente valore de. El análii de la urva de reueta onfirma lo iguiente. El error diminuye al aumentar la ganania del ontrolador. La reueta e má ráida al aumentar, la ganania del ontrolador. El valor de obreimulo y la oilaione e inrementan al aumentar la ganania del ontrolador.

13 e,0 0 Reueta de Segundo Orden,5 %/% t 4 0 min t,5 min 0, Tiemo t (min) Figura.6. Reueta de un Proeo de Segundo Orden on Aión de Control Proorional, Cambio de Ealón en el lor Deeado. Se onluye que un ontrolador de aión roorional no elimina el error. Solo una alta ganania ermite reduir el error a un mínimo. En la rátia, la ganania del ontrolador e aumenta ata que el obreimulo y la oilaione alanzan un limite aetable..3 MODO DE CONTROL PROPORCIONAL MAS INTEGRAL (PI) Una de la deventaja de la aión de ontrol roorional e que no uede eliminar el error. Para omenar eta difiultad, muho ontroladore de roeo inororan una aión de ontrol adiional, llamada aión integral, la ual ermite eliminar el error. Como e obervara má adelante, la reueta de la aión integral etá baada en la integral del error. Un ontrolador de Aión Proorional má Integral uede deribire or medio de la iguiente euaión: M e t e t m t 0 i t 0 dt (.8) Donde, BiB un arámetro ajutable y e denomina tiemo integral, normalmente e exrea en minuto. Se oberva que el oefiiente de la aión integral diminuye al aumentar el tiemo integral, eto genera una relaión

14 invera entre el tiemo integral y la aión integral (BiB ignifia que no hay aión integral). Aliando la tranformada de Lalae a la euaión.8, e obtiene la funión de tranferenia de un ontrolador de aión roorional má integral omo e muetra en la euaión.9. M G E E E (.9) i i m e (.0) i En la euaione anteriore e oberva que la eñal de alida de un ontrolador roorional má integral onta de do arte: La rimera e roorional al error. La egunda e roorional a la integral del error. La figura.7, muetra la reueta de un ontrolador de aión roorional má integral ideal frente a un ambio en ealón ( E) en la eñal de error. E 0 Tiemo Señal de Error 0% Señal de Reueta E Tiemo E i Contribuión Proorional Contribuión Integral Figura.7. Reueta de un ontrolador Proorional má Integral frente a una entrada ealón. Iniialmente la alida del ontrolador e del 0%. Cuando el error varia dede 0 hata E, la aión roorional inmediatamente ambia la alida en una magnitud igual a E y ermanee ontante. La alida de la aión de ontrol

15 e integral no e modifia intantáneamente on el error, ino que varía linealmente on el tiemo. De la euaión.8 ara un error ontante E, e tiene que la omonente de la euaión roorional e una ontante igual a E, y la omonente de la E aión integral e una rama igual a t. i M E m t t 0 i 0 Edt (.) m t t M 0 E E (.) i De la euaión.9, e obtiene: M (.3) E i De eto e dedue que la aión roorional atúa rimero, reondiendo intantáneamente uando ambia el error, mientra que la aión integral ambia linealmente en el tiemo roorional al error. El tiemo integral BiB define omo el tiemo neeario ara que la reueta de la aión integral ea igual a la reueta de la aión roorional. La figura.7, muetra que, uando la reueta de aión integral alanza el valor BB E (la reueta total e BB. E BB. E ó BB E), el tiemo tranurrido e igual a BiB. Para etudiar la araterítia de la aión de ontrol roorional má integral, e toma omo ejemlo el lazo de ontrol motrado en la figura.8. Vd e m C i - b ( )

16 Figura.8. Diagrama de bloque de un roeo de rimer orden on aión de ontrol PI. La funión de tranferenia de lazo errado que relaiona la variable ontrolada C on el valor deeado e deribe omo igue: C i i (.4)