TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 36 PROPORCIONES NOTABLES. EL NÚMERO ÁUREO.

Transcripción

1 TEMS DE MTEMÁTICS (PSICINES DE SECUNDRI) TEM 36 PRPRCINES NTLES. EL NÚMER ÁURE. 1. Introducción.. Magnitudes 3. Longitud de segmentos rectilíneos. 4. Proporcionalidad de segmentos. 5. Segmentos proporcionales. 6. Proporciones notables Cuarto proporcional. 6.. Tercero proporcional 6.3. Cuaterna armónica Media proporcional. 7. Sección áurea de un segmento 8. Historia aplicaciones del número áureo. 1/10

2 TEM 36 PRPRCINES NTLES. EL NÚMER ÁURE. 1. INTRDUCCIÓN. En este tema pretendemos definir el concepto de longitud de un segmento, así como establecer las relaciones o proporciones más importantes que eisten entre ellos que son básicas para el estudio de la geometría de figuras en ramas tan importantes como la geometría proectiva. También abordaremos la eistencia de una proporción entre segmentos tan importante como la proección áurea, tanto desde el punto de vista histórico, a que para los griegos era la relación perfecta, como desde el punto de vista científico (biología, matemáticas, etc.).. MGNITUDES. Definición Sea un conjunto. Diremos que en dicho conjunto definimos una magnitud si podemos establecer una relación de equivalencia, que denominaremos R, en, de manera que se defina un conjunto cociente /R sobre el cual definimos la operación suma con las siguientes propiedades. a) Conmutativa: + = +, / R b) sociativa: ( + z ) = ( + ) + z +,, z / R c) Eistencia de elemento neutro: eiste el elemento 0 / R tal que: a + 0 = 0 + a = a a / R Nota: las clases de equivalencia de /R, [a] se les llama cantidades todos los elementos que pertenecen a una misma clase de equivalencia diremos que tienen la misma cantidad. Con esta definición podemos definir, sobre un mismo conjunto, distintas magnitudes, por ejemplo: sobre el conjunto de polígonos regulares, podemos definir las magnitudes: área, número de lados, número de vértices, etc. 3. LNGITUD DE SEGMENTS RECTILÍNES. Definición: Sea R una recta cualquiera. Se define un segmento de dicha recta como los puntos que unen dos puntos P, Q cualesquiera de dicha recta. Por lo tanto, se define un segmento cualquiera de etremos P Q como los puntos de la recta que pasa por P Q, que además están entre ellos. Lo denotaremos por PQ. /10

3 Diremos que dos segmentos PQ son congruentes si podemos establecer un movimiento que haga corresponder los puntos inicial final de uno con los del otro. Esta congruencia es una relación de equivalencia a cada clase de equivalencia la llamaremos longitud, por eso diremos que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Fijada una semirrecta de origen, si tomamos un segmento cualquiera, podemos encontrar un punto sobre la semirrecta de manera que sean congruentes. demás si Y son segmentos congruentes, se tiene que =Y. Utilizando la propiedad que acabamos de eponer podemos definir una suma en el conjunto cociente /R de manera que dados dos segmentos cualesquiera CD, si tomamos una semirrecta con origen, tenemos que: ~ además Y ~CD por lo tanto: Y = ~ CD Nota: Lo anterior es cierto siempre cuando Y no esté entre. La operación suma verifica las propiedades: Conmutativa sociativa Eistencia de elemento neutro. La longitud es divisible, es ordenada es continua. Si tomamos una unidad de longitud u, tomada una longitud a se tiene que eiste α + tal que α es la medida de a sobre u. Si α es un número irracional entonces se dice que a es inconmensurable con u. 4. PRPRCINLIDD DE SEGMENTS. Definición: Se llama proporcionalidad de segmentos a toda aplicación biectiva del conjunto de cantidades de longitud en sí mismo de modo que conserve el orden, la igualdad eista correspondencia en la suma. Teorema fundamental de la proporcionalidad: Dados dos longitudes a b, si tomamos dos rectas r s con un punto común sobre ellas = a, = b se hace corresponder al segmento el segmento ' tal que la recta sea paralela a la recta además se obtiene una proporcionalidad, esta proporcionalidad no depende de las rectas. ' Z' Z r s 3/10

4 Demostración: Sean Y, Z puntos de r e Y Z puntos de s de modo que YY ZZ sean paralelas a. Entonces el segmento YZ le corresponde el segmento Y 'Z' en la correspondencia anterior. Haremos R = YZ tenemos R sobre s de modo que RR sea paralela a. Trazamos por Y la recta Y M paralela a r. Los triángulos RR e Y MZ son congruentes luego R ' = Y ' Z' Z r Y R M R' Y' Z' s Veamos ahora que a la suma de segmentos le corresponde un segmento que es suma de los correspondientes a los sumandos. Consideremos: Y = + Y se verifica Y ' = ' + ' Y' La correspondencia en la igualdad es trivial, luego la correspondencia establecida es una proporcionalidad. Esta proporcionalidad es independiente de las rectas r s elegidas. Si tomamos otro par de rectas r, s que se cortan en ' ' = a, ' ' = b ' = veremos que ' 1' = ' con lo que quedará probado. 1 1 ' ' ' Llevemos a coincidir, mediante un movimiento, la recta r de modo que coincida con coincida con. Se tiene que coincide con 1 Tenemos que: es paralelo a 1 es paralelo a Entonces por el teorema reducido de Desargues se tiene que es paralela a 1 como el triángulo es isósceles, también lo es el 1 ' = 1'. r ' 1 ' ' s' Nota. Para demostrar este teorema hemos utilizado el teorema reducido de Desargues, el cual vamos a demostrar a continuación. 4/10

5 Teorema reducido de Desargues. Si en un plano tenemos dos triángulos C C tales que las rectas, CC se cortan en además, C C entonces también se cumple que C C. ' Demostración Tracemos por una recta que cumpla que no está contenida en el plano de los triángulos dados ' en ella marcamos los puntos 1 1 tales que 1 C es paralela a 1. C' Como se cumple que el plano 1 es paralelo al plano como el plano 1 C es paralelo al plano 1 C 1 C 1 C. Como las rectas 1 1 C son paralelas respectivamente a 1 1 C el plano C es paralelo a C por lo tanto tenemos que: C C 5. SEGMENTS PRPRCINLES. Definición. Dados los segmentos a,..., 1, a ar se dice que son proporcionales a 1', a',..., ar' a en a i' donde i { 1,...r} a si ha una proporcionalidad que transforma i Para comprobarlo basta tomar dos rectas cualesquiera r s tales que ambas incidan en un mismo punto. Tomaremos sobre la recta r, r segmentos de longitudes a 1, a,..., a r consecutivamente en la recta s, r segmentos de longitudes a 1', a',..., ar' comprobamos que las rectas que unen los puntos a i con a i' son paralelas. Teorema Si a b son proporcionales a a b b '. a ' b ' entonces a a ' son proporcionales Demostración Tomaremos sobre r los segmentos = a = b sobre s los segmentos ' = a' ' = b'. Utilizando la hipótesis tomaremos " = ' sobre r " = sobre s. Por ser las rectas perpendiculares a la bisectriz del ángulo tenemos que. Entonces por la configuración de Pappus, por lo tanto son proporcionales a " ' si, sólo si a a' son proporcionales a b b '. 5/10

6 Configuración de Pappus: Si CD FCE entonces: EFD C F E D 6. PRPRCINES NTLES Cuarto proporcional. Si tomamos 3 segmentos a, b c, se define el cuarto proporcional de los segmentos a, b c como el segmento, que es único, que verifica la condición siguiente: Nota. Se epresa geométricamente como C s r a = b c = a en = b C = c Como se ve, trazando la paralela a la recta C que pasa por obtenemos un punto de corte con la recta s, tal que = es el segmento buscado. en s r 6.. Tercero proporcional. Sean a b dos segmentos cualesquiera., Se llama tercero proporcional de a b al segmento, que es único, tal que: a b = b Nota: Su construcción es igual a la del cuarto proporcional, pero siendo 6.3. Cuaterna armónica. Definición c = b. Sean, tres puntos alineados. El segmento con la unidad, que se escribe: 6/10

7 es positivo cuando no está entre negativo en caso contrario. Este concepto definido así, lo llamaremos razón simple de 3 puntos. Definición Sean,,, cuatro puntos alineados. Se dice que estos puntos forman una cuaterna armónica si: ' = ' En este caso se dirá que están armónicamente separados por. Construcción del cuarto armónico: Sean,, los cuatro puntos alineados (con entre ) M n N' n ' N Tracemos rectas paralelas por fijemos un punto M en la primera recta. La recta M corta a la segunda en N. Determinamos N tal que N =N. La recta MN corta a en que es el cuarto armónico. En efecto, las rectas M determinan su proporcionalidad: pero la recta MN también, luego = m n ' = ' m n ' = ' 6.4. Media proporcional. Dados dos segmentos a b, se llama media proporcional de a b al segmento tal que a = b La construcción puede hacerse del modo siguiente: se trazan segmentos de longitud a b sobre una recta tal que = a = b separe. 7/10

8 Se traza la circunferencia de diámetro. La recta perpendicular a por corta a la circunferencia en = pues la semejanza de los triángulos garantiza a = b a b 7. SECCIÓN ÁURE DE UN SEGMENT. Definición. Se dice que un punto que se encuentra en un segmento divide a dicho segmento en media etrema razón cuando la parte maor es media proporcional de la parte menor del segmento total. Definición La parte maor del segmento que está dividido recibe el nombre de segmento o sección áurea, es decir: donde + = a, entonces tendremos a a = La parte menor también es segmento áureo de la parte maor, es decir: a a = = = Proporción áurea La razón de esa proporción φ = a es conocida por el nombre de sección desde la época de Grecia. En el Renacimiento, el monje Lucca Pacioli la llamó durna proporción fue finalmente Leonardo da Vinci el que la llamó sección áurea. Su valor es: a = a a = a. a. = 0 a a = ± = a 1+ = 5 1+ φ = 5 8/10

9 8. HISTRI Y PLICCINES DEL NÚMER ÁURE. Desde la antigüedad, los filósofos geómetras creeron en la eistencia de una proporción privilegiada, que posteriormente los artistas del Renacimiento denominaron el número de oro. Eiste una armonía, que algunos estiman perfecta, entre dos magnitudes, particularmente dos dimensiones, cuando ambas están entre sí, en la misma proporción que la maor de ellas la suma de las dos. Si e son estas magnitudes, siendo la menor, se tiene: = + Para encontrar la proporción que relacione con basta resolver la ecuación anterior para =1 resultando, como anteriormente se ha demostrado que: 1+ φ = 5 Como 5 es irracional, el número de oro lo es también vale aproimadamente: El rectángulo cuos lados guardan esta proporción tiene propiedades dignas de mencionar. Se presta prácticamente a una separación ilimitada de rectángulos semejantes cada vez menores, es decir, contiene en germen un desarrollo en fracciones continuas. Si en un rectángulo CD, trazado siguiendo la proporción del número de oro, se construe sobre el lado, lado menor, un cuadrado EF, queda delimitado un rectángulo FECD semejante al primero; continuando con el mismo procedimiento, que puede seguirse indefinidamente, se obtienen siempre rectángulos IECJ, luego GHCJ, de proporciones ideales. la inversa, construendo un cuadrado KLC sobre el lado maor C de un rectángulo perfecto CD, se obtiene otro rectángulo perfecto KLD, así sucesivamente. D J C G H 1'618 F I E 1 El número de oro parece ser una de las claves estructurales del universo visible, aunque la ciencia moderna no comparte esta creencia. Se le encuentra en la espiral logarítmica que a su vez es la forma que adoptan algunas nebulosas o el perfil de algunas con L K chas animales, en la disposición periódica de las hojas sobre el tallo de los vegetales; en el cuerpo humano, en el que el ombligo divide a su eje longitudinal en dos partes según la proporción áurea., etc. En la antigüedad el número de oro fue a la vez símbolo cosmológico, fórmula mágica clave de diversas construcciones geométricas utilizadas sobre todo en arquitectura. En geometría aparece en varios lugares de la teoría de los pentágonos 9/10

10 regulares conveos o estrellados. Se encuentra su trazo también en ciertos elementos de la pirámide de Keops, en el Erecteion, sobre todo en el Partenón, tanto por las proporciones del conjunto como por los detalles estructurales, en especial los concernientes a los capiteles. El número de oro ha sido la clave de la armonía numérica de obras maestras de la escultura de la pintura. lgunos artistas han etendido estas eperiencias a la música a la poesía. 10/10